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新课预习 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025 从江县校级二模）已知一元二次方程2x2+7x﹣8＝0的两根分别为x1，x2，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1x2为（　　）
A．2 B．7 C．8 D．﹣4
2．（2025 碧江区 校级模拟）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解为（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣3
C．x1＝x2＝3 D．x1＝0，x2＝3
3．（2025 青阳县模拟）设关于x的一元二次方程kx2﹣2kx﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则当x1＝x2时，实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣4
4．（2025 盘龙区一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352
C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352
5．（2025春 莱山区期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．（2025 东莞市校级三模）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220
B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220
D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
7．（2025 武安市二模）已知x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，该方程的另一个解为x2，则下列说法正确的是（　　）
A．b﹣c＝﹣1 B．b2≤4c C．b＝1﹣x2 D．c＝x2
8．（2025 前进区校级二模）对于实数a，b定义新运算：a b＝ab2﹣b，若关于x的方程1 x＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A． B．
C．且k≠0 D．k且k≠0
9．（2025 河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
10．（2025 方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　）
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
二．填空题（共5小题）
11．（2025 樟树市校级三模）已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2mn﹣n的值为　 　 ．
12．（2025 通州区一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　 　 ．
13．（2025 中山市校级三模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　 ．
14．（2025 东明县一模）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　 　 ．
15．（2025 姑苏区一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 碧江区 校级模拟）现有一块长BC为30米，宽AB为20米的矩形ABCD空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为x米．
（1）所有路的总面积为　 　 ．（用含x的代数式表示）；
（2）求x的值．
17．（2025 汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
18．（2025 嘉陵区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，设，求y关于m的函数关系式．点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，已知y1＜y2，求整数a的值．
19．（2025 嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框：
小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
20．（2025 新抚区四模）某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）小澎同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由．
新课预习 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 从江县校级二模）已知一元二次方程2x2+7x﹣8＝0的两根分别为x1，x2，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1x2为（　　）
A．2 B．7 C．8 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用根与系数的关系得结论．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+7x﹣8＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x24．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
2．（2025 碧江区 校级模拟）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解为（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣3
C．x1＝x2＝3 D．x1＝0，x2＝3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据每个因式等于0，求出x1＝0，x2＝3，即可作答．
【解答】解：由条件可知x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025 青阳县模拟）设关于x的一元二次方程kx2﹣2kx﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则当x1＝x2时，实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
【解答】解：∵已知kx2﹣2kx﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4k×（﹣1）＝0
解得k1＝﹣1或k2＝0（不合题意，舍去），
∴k的值为﹣1．
故选：B．
【点评】本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
4．（2025 盘龙区一模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352
C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据停车场的长、宽及车道的宽度，可得出停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（19﹣x）米的长方形，根据停车位的占地面积为352平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（19﹣x）米的长方形．
根据题意得：（40﹣x）（19﹣x）＝352．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2025春 莱山区期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
6．（2025 东莞市校级三模）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220
B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220
D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设每个文创产品降价x元，这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，根据题意列方程即可．
【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220，
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润＝销售量×单位利润．
7．（2025 武安市二模）已知x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，该方程的另一个解为x2，则下列说法正确的是（　　）
A．b﹣c＝﹣1 B．b2≤4c C．b＝1﹣x2 D．c＝x2
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义可对A选项进行判断；根据根的判别式的意义可对B选项进行判断；利用根与系数的关系可对C、D选项进行判断．
【解答】解：∵x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，
∴1﹣b+c＝0，
∴b﹣c＝1，所以A选项不符合题意；
∵关于x的方程x2+bx+c＝0有2个解，
∴Δ＝b2﹣4c≥0，
即b2≥4c，所以B选项不符合题意；
∵x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个解，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，
∴b＝1﹣x2，所以C选项符合题意；
c＝﹣x2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解．
8．（2025 前进区校级二模）对于实数a，b定义新运算：a b＝ab2﹣b，若关于x的方程1 x＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A． B．
C．且k≠0 D．k且k≠0
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用新定义得到x2﹣x＝2k，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣2k）＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵1 x＝2k，
∴x2﹣x＝2k，
方程化为一般式为x2﹣x﹣2k＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣2k）＞0，
解得k．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（2025 河南校级三模）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论．
【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值．
10．（2025 方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　）
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可．
【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x，
（1﹣x），
解得x1，x（不合题意，舍去），
∵0.293，
∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键根据题意正确确定等量关系．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 樟树市校级三模）已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2mn﹣n的值为　﹣2024　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】﹣2024．
【分析】先利用方程的根与方程的关系、一元二次方程根与系数的关系，再整体代入得结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2025，m2＝2025﹣m．
∴m2+2mn﹣n＝2025﹣m+2mn﹣n
＝2025﹣（m+n）+2mn
＝2025﹣（﹣1）﹣2×2025
＝2025+1﹣4050
＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握方程与根的关系，一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
12．（2025 通州区一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　160（1﹣x）2＝40　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】160（1﹣x）2＝40．
【分析】根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可．
【解答】解：根据题意可列出方程为：160（1﹣x）2＝40．
故答案为：160（1﹣x）2＝40．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解题的关键．
13．（2025 中山市校级三模）若关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　1　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，可列出关于a的方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×m＝0，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．（2025 东明县一模）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　2024　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0，
所以m2﹣m＝1，
所以2025﹣m2+m＝2025﹣（m2﹣m）＝2025﹣1＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（2025 姑苏区一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程x2﹣x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，所以x2﹣x＝0是邻根方程．若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是邻根方程，则m＝ 　3或1　 ．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m方程，注意有两种情况．
【解答】解：解方程得：（x﹣2）（x﹣m）＝0，
∴x1＝2，x2＝m，
∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，
则m﹣2＝1或2﹣m＝1，
解得m＝3或m＝1．
故答案为：3或1．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法与根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 碧江区 校级模拟）现有一块长BC为30米，宽AB为20米的矩形ABCD空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为x米．
（1）所有路的总面积为　﹣x2+50x　 ．（用含x的代数式表示）；
（2）求x的值．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣x2+50x；
（2）x＝2．
【分析】（1）水平方向小路面积为30x，竖直方向小路面积为x（20﹣x），由此即可求解；
（2）根据题意列式得﹣x2+50x＝96，用因式分解法求一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）水平方向小路面积为30x，竖直方向小路面积为x（20﹣x），
故所有路的总面积为：30x+x（20﹣x）＝﹣x2+50x，
故答案为：﹣x2+50x．
（2）根据题意列一元二次方程得：﹣x2+50x＝96，
化简得：（x﹣2）（x﹣48）＝0，
解得x1＝2，x2＝48，
经检验：x2＝48不符合题意，舍去．
即x＝2，
所以x的值为2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
17．（2025 汕头校级模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2．
①该收纳盒的高是多少cm2？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm；
（2）①收纳盒的高为12厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为（100﹣2x）厘米，宽为（40﹣2x）厘米，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为608cm2列式可得a＝12，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600，
解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为10cm
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米，
∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608，
解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为12厘米，
②∵12＜15，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【点评】本题主要考查用一元二次方程的运用，理解题意是关键．
18．（2025 嘉陵区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，设，求y关于m的函数关系式．点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，已知y1＜y2，求整数a的值．
【考点】根与系数的关系；函数关系式；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m；
（2）a＝1．
【分析】（1）由方程有实数根，可得出Δ＝4m﹣3≥0，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2﹣2m+1，结合y＝（x1﹣x2）2+5，可得出y关于m的函数关系式，由4＞0，利用一次函数的性质，可得出y随m的增大而增大，结合m的取值范围及y1＜y2，可求出a＜2，再取其中的整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝4m﹣3≥0，
解得：m，
∴实数m的取值范围为m；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2﹣2m+1，
∴y＝（x1﹣x2）2+5＝（x1+x2）2﹣4x1x2+5＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m+1）+5＝4m+2，
∵4＞0，
∴y随m的增大而增大，
∵点（a，y1），（4﹣a，y2）为其图象上两点，且y1＜y2，m，
∴a＜4﹣a，
∴a＜2，
又∵a为整数，
∴a＝1，
∴整数a的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及函数关系式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系及y＝（x1﹣x2）2+5，找出y关于m的函数关系式．
19．（2025 嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框：
小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】×；×；x1＝2，x2＝4．正确的解答过程见解析．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：两个都错：×；×
2（x﹣2）＝（x﹣2）2，
2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，
（x﹣2）（4﹣x）＝0，
x1＝2，x2＝4．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．
20．（2025 新抚区四模）某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）小澎同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣3x+60（8≤x≤15）；
（2）小澎同学的说法不正确，理由见解答．
【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式，结合“销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克”，可确定自变量x的取值范围；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，结合合平均每天获得1200÷10元的利润，列出关于x的一元二次方程，再由根的判别式Δ＝﹣16＜0，得出原方程没有实数根，即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（9，33），（10，30）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y＝﹣3x+60，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，
∴8≤x≤15，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+60（8≤x≤15）；
（2）小澎同学的说法不正确，理由如下：
假设小澎同学的说法正确，
根据题意得：（x﹣8）（﹣3x+60）＝1200÷10，
整理得：x2﹣28x+200＝0，
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即小澎同学的说法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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