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(共11张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
知识点 1 充分条件与必要条件
知识 清单破
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q,记作p q 由p不能推出q,记作p / q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
　 充要条件
　　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作p
q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条
件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充
要条件.
知识点 2
知识辨析
1.若p是q的充分条件,则p成立与q成立之间有什么关系
2.已知集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若p为q的充分条件,则集合A与B有什么
关系
3.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的什么条件 性质定理呢
一语破的
1.p成立可以充分保证q成立,但是q成立,p未必成立,q不成立,则p一定不成立.
2.若p为q的充分条件,则x∈A x∈B,即A B.
3.充分条件;必要条件.
定点 1 充分条件、必要条件的判断
关键能力 定点破
充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法:直接利用定义进行判断.
(2)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若p1 p2 p3
… pn-1 pn,则p1 pn,即p1是pn的充分条件.必要条件也具有传递性,若p1 p2 p3 … pn-1
pn,则p1 pn,即p1是pn的必要条件.当然充要条件也具有传递性.
(3)集合关系法:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,那么
①A B相当于p q;
②B A相当于q p;
③A=B相当于p q;
④A B相当于p q,但q / p;
⑤B A相当于q p,但p / q;
⑥A B且B A相当于p / q,且q / p.
(4)特殊值法:对于选择题,可以取一些“特殊值”,用来说明由条件不能推出结论,判断“不充
分”;由结论不能推出条件,判断“不必要”.
典例 判断下列各题中p是q的什么条件:
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)p:|x|=|y|,q:x=y;
(3)p:0(4)p:一个四边形是菱形,q:四边形的对角线相等.
思路点拨 判断p是否能够推出q(充分性),q是否能够推出p(必要性).
解析 (1)在△ABC中,由边角关系知∠A>∠B BC>AC,所以p是q的充要条件.
(2)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,
因此p / q,q p,
所以p是q的必要不充分条件.
(3)令A={x|0所以p是q的充分不必要条件.
(4)因为菱形的对角线不一定相等,对角线相等的四边形也不一定是菱形,
所以p是q的既不充分也不必要条件.
充分条件、必要条件的证明与探究
1.充要条件的证明方法
(1)要证p是q的充要条件,需证两方面:
①充分性,即证p q;②必要性,即证q p.
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论分别进行等价转化.
2.探求充分条件、必要条件的步骤
(1)分清条件和结论,明确探求的方向;
(2)分析题目中的条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;
(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到使结论成立的必要不充分条件或充
分不必要条件.
定点 2
典例 求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a≤0.
证明 设p:a≤0,q:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根.
充分性(p q):
当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=- ,方程只有一个负根;
当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,又 <0,所以方程有一正一负两个根.
充分性成立.
必要性(q p):
当a=0时,适合条件;
当a≠0时,若方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4(1-a)≥0,即a≤1,
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,得x1=x2=-1,故方程有两个相等的负根,不符合要求,
当a<1时,若方程有且只有一个负根,则 解得a<0,所以a≤0.
必要性成立.
综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a≤0.1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件
基础过关练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.已知p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°,底角为72°的等腰三角形,另一种是顶角为108°,底角为36°的等腰三角形,则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设M,N为两个集合,则“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
5.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中正确命题的序号是(　　)
A.①　　　　B.②　　
C.③　　　　D.④
6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　　)
①若x,y是偶数,则x+y是偶数;
②若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根;
③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
④若ab=0,则a=0.
A.0个　　　　B.1个　　
C.2个　　　　D.3个
7.(多选题)下列结论中正确的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件
C.“00恒成立”的充要条件
D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
8.已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的　　　　条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答).
题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明
9.使x2<4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x<2　　　　B.0C.-2≤x≤2　　　　D.x>0
10.(多选题)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0
11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件填在下面横线处(用序号填空):
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
12.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用
13.若“x>2a-3”是“-1A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1
14.若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
15.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求3a+4b的值.
答案与分层梯度式解析
1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B
10.BC 13.B
1.A　因为{x|02.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故选C.
3.B　若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形,则△ABC不是黄金三角形,充分性不成立;
反之,若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件.故选B.
4.B　由M∪N≠ ,得M,N中至少有一个不是空集,而M∩N可能是空集,
因此M∪N≠ 推不出M∩N≠ ,所以充分性不成立;
由M∩N≠ ,说明M,N都不是空集,且M与N至少有一个公共元素,因此M∪N≠ ,
即由M∩N≠ 能推出M∪N≠ ,所以必要性成立.因此“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的必要不充分条件.
故选B.
5.C　根据题意,可得p r,r s,s p,q r且r /q,
因此p、r、s两两互为充要条件,并且q是p的充分不必要条件,所以只有③正确.故选C.
6.D　对于①,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程x2-2x+a=0有实根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若a=0,则ab=0,故④符合题意.故选D.
7.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.故选AB.
8.答案　充要
解析　由A∩B=A,得A B,故( UB) ( UA),充分性成立;
由( UB) ( UA)得A B,故A∩B=A,必要性成立,
所以“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的充要条件.
9.B　由x2<4,得到-2解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4.
设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C.故选BC.
解题模板　解决充分条件、必要条件的探究问题,常先探究其充要条件,再利用充要条件进行判断.
11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
12.证明　必要性:因为a+b=1,
所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
则a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
易错警示　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反了.
13.B　因为“x>2a-3”是“-1所以集合{x|-12a-3}的真子集,故有2a-3≤-1 a≤1,故选B.
14.答案　{a|a≥3}
解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,∴{x|x>a} {x|x≤2或x≥3},∴a≥3.
15.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以或解得0≤a≤2.
故a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P、Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
16.解析　依题意得B A,B≠ ,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}.
当B={-1}时,有
所以3a+4b=3×(-2)+4×=-;
当B={3}时,有
所以3a+4b=3×6+4×3=30;
当B={-1,3}时,有
所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2.
综上,3a+4b的值为-或30或2.
7

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