资源简介

(共16张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
知识点 1 全称量词与存在量词
知识 清单破
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的
　全称量词命题、存在量词命题及否定
知识点 2
命题类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型
全称量词命题 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 存在量词命题
存在量词命题 x∈M,p(x) x∈M, p(x) 全称量词命题
知识辨析
1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题还是存在量词命题
2.判断命题“自然数都是正整数”的真假.
3.判断命题“至少有一个偶数是质数”的真假.
4.命题“ x∈M,p(x)”与命题“ x∈M, p(x)”是否可以同真同假
一语破的
1.全称量词命题.量词“所有”省略了.
2.假命题.0是自然数,但0不是正整数.
3.真命题.偶数2是质数.
4.不可以.命题“ x∈M, p(x)”是命题“ x∈M,p(x)”的否定,它们一定一真一假.
定点 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
关键能力 定点破
1.全称量词命题、存在量词命题的否定方法:改量词,否结论.一些常用的词语和它的否定如下:
词语 都是 大于 小于
否定 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个
否定 一个也没有 至多有(n-1)个 至少有两个
词语 至多有n个 所有x成立 所有x不成立
否定 至少有(n+1)个 存在一个x不成立 存在一个x成立
其中n∈N*.
2.要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,验证p(x)成
立;但要判定该命题是假命题,只需找出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.简记为“全
真为真,一假则假”.
　　要判定存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个x=x0,使p(x0)成
立即可;否则,这一命题就是假命题,需要对集合M中的每个元素x,验证p(x)不成立.简记为“全
假为假,一真则真”.
3.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易直接判断时,可以通过原命题的真
假来判断.
典例 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有实数x都能使x2+2x+1>0成立;
(2) x,y∈R, +(y+1)2=0;
(3) a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4) x,y∈Z, x+y=3.
思路点拨 写出命题的否定:变换量词,否定结论.判断真假:一是直接判断,二是利用命题与
命题的否定真假相反进行判断.
解析 (1)该命题的否定:存在实数x,使x2+2x+1≤0.
当x=-1时,x2+2x+1=0,故为真命题.
(2)该命题的否定: x,y∈R, +(y+1)2≠0.原命题为真,其否定为假命题.
(3)该命题的否定: a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.真命题.
(4)该命题的否定: x,y∈Z, x+y≠3.当x=0,y=3时, x+y=3,故为假命题.
全称量词命题和存在量词命题及其否定中的求参问题
解决含有量词的命题求参问题的思路
(1)全称量词命题求参数范围的问题一般为“恒成立”问题,存在量词命题求参数范围的问
题一般转化为“有解”问题,常见结论:
① x∈D,y=0,等价于方程y=0在x∈D上有实数根;
② x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上恒成立,等价于ymin>0;
③ x∈D,y>0,就是不等式y>0在x∈D上有解,等价于ymax>0;
④ x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上恒成立,等价于ymax<0;
⑤ x∈D,y<0,就是不等式y<0在x∈D上有解,等价于ymin<0.
(2)与命题p有关的问题可转化成与命题 p有关的问题,即“正难则反”的应用.
定点 2
典例 (1)若“ x∈R,x2-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　 ;
(2)若“ x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,则k的取值范围是　　　 ;
(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若命题p: x∈B,x∈A是真命题,则m的取
值范围是　　　 ,若命题q: x∈A,x∈B是真命题,则m的取值范围是　 　　 .
{a|a≤0}
{k|k>0}
m≤3
2≤m≤4
解析 (1)∵“ x∈R,x2-a<0”是假命题,
∴它的否定“ x∈R,x2-a≥0”是真命题,
∴a≤x2对任意x∈R恒成立,
∴a≤0.
(2)∵“ x∈{x|1≤x≤2},x2-k≥1”为假命题,
∴“ x∈{x|1≤x≤2},x2-k<1”为真命题,
∴k+1>x2在x∈{x|1≤x≤2}上有解.
当1≤x≤2时,1≤x2≤4,∴k+1>1,解得k>0,
故k的取值范围为k>0.
(3)∵命题p: x∈B,x∈A是真命题,∴B A.
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,由B A可得
解得2≤m≤3.
故m的取值范围为m≤3.
∵命题q: x∈A,x∈B是真命题,
∴A∩B≠ ,
∴B≠ ,
即m+1≤2m-1,得m≥2,
此时m+1≥3,故只需满足m+1≤5,
即m≤4即可,
故m的取值范围为2≤m≤4.
通过充分、必要条件和集合间关系的转化发展逻辑推理素养
素养解读
　　充分条件、必要条件可在一定条件下转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关
系,结合数轴,经严谨的推理计算,可解决相关问题.
学科素养 情境破
素养
典例呈现
例题 给出下列三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个条件补充到
下面的横线上并解答.
已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的
　　　　 条件 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解题思路 若选择①,即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,则P S,
∴ 解得m>3,
即实数m的取值范围为{m|m>3}.
若选择②,即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,则S P.
当S= 时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求;
当S≠ 时,则有 无解.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}.
若选择③,即“x∈P”是“x∈S”的充要条件,
则P=S,易知无法成立,
则不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
思维升华
　　常用的逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,内容相对抽象,
可以从典型数学命题中理解判定定理与充分条件,性质定理与必要条件,以及数学定义和充
要条件之间的关系,做到能够辨析各种条件,并进行知识的迁移应用、数学问题的严谨表述,
提升逻辑推理素养.1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断
1.下列不是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
2.下列命题是全称量词命题的有(　　)
A.有些实数没有倒数
B.所有的矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
3.下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R,x2-x+≥0
B.所有的矩形都是正方形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D. x∈R,x2+1=0
4.(多选题)在下列命题中,真命题有(　　)
A. x∈R,x2+x+3=0B. x∈Q,x2+x+1是有理数
C. x,y∈Z,使3x-2y=10D. x∈R,x3-x2+1≤0
5.(多选题)下列命题中,是真命题的有(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则对任意x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
6.(多选题)下列命题是真命题的有　(　　)
A.所有平行四边形的对角线都互相平分
B.若x,y是无理数,则xy一定是有理数
C.若m<1,则关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根
D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
7.(教材习题改编)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)存在一个四边形不是平行四边形;
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点;
(3)每个二次函数的图象都有最低点;
(4)矩形有一个外接圆.
题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断
8.已知命题p: x<1,x2≤1,则 p为(　　)
A. x≥1,x2>1　　　　B. x<1,x2>1　　
C. x<1,x2>1　　　　D. x≥1,x2>1
9.已知:① x∈R,x2+x+1>0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④
10.命题“ x∈{x|x≥0},x2-kx+1>0”的否定是　　　　.
11.若命题p: x∈R,<0,则 p:　　　　　.
12.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)命题p:梯形的内角和是360°;
(2)命题q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象关于y轴对称.
题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用
13.已知命题p: x∈R,x2+8x+a=0是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.016　　C.a<0　　D.a≥4
14.(多选题)已知命题p: x∈R,ax2-4x-4=0为真命题,则a的值可以为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3
15.命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　B.a≤2　　C.a≥3　　D.a≤0
16.若“ x∈{x|1≤x≤3},2x+a≥0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
17.某学校开展小组合作学习模式,高二某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙略加思索,也给了甲一道题:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.这两位同学出的题中m的取值范围是否一致 请说明理由.
18.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)当p为假命题时,求实数a的取值范围;
(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.ABD 6.AD 8.C 9.B
13.B 14.BCD 15.A
1.C　“ ”是存在量词,选项A中“有一个”,选项B中“有些”,选项D中“至少有一个”都是存在量词,与“ ”表述相同;选项C中“任选一个”是全称量词,不符合题意.故选C.
2.B　对于A,含有存在量词“有些”,为存在量词命题;
对于B,含有全称量词“所有的”,为全称量词命题;
对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题;
对于D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.
故选B.
3.A　对于A, x∈R,x2-x+=≥0,A为真命题;对于B,只有长和宽相等的矩形才是正方形,B为假命题;对于C, x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,C为假命题;对于D,x2+1=0无实根,D为假命题.故选A.
4.BC　因为x2+x+3=+>0,所以A是假命题;因为x是有理数,所以x2+x+1也是有理数,所以B是真命题;当x=4,y=1时,3x-2y=10,所以C是真命题;当x=0时,x3-x2+1=1>0,所以D是假命题.故选BC.
5.ABD　对于A,因为A B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故是真命题;对于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x B,故是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故是真命题.故选ABD.
6.AD　易知A是真命题;当x=,y=时,xy=,是无理数,所以B是假命题;由关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根,得解得07.解析　(1)存在量词命题.梯形不是平行四边形,所以该命题为真命题.
(2)全称量词命题.与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题.对于y=ax2+bx+c(a≠0),当a<0时,其图象有最高点无最低点,所以该命题为假命题.
(4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.以矩形的对角线为直径的圆是其外接圆,所以该命题为真命题.
8.C　改量词“ ”为“ ”,否结论“x2≤1”为“x2>1”,故选C.
9.B　x2+x+1=+>0,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
10.答案　 x∈{x|x≥0},x2-kx+1≤0
11.答案　 x∈R,>0或x=2
解析　<0隐含x-2≠0,故其否定为>0或x=2.
易错警示　写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0.
12.解析　(1) p:有一个梯形的内角和不是360°.
因为所有梯形的内角和都是360°,所以 p是假命题.
(2) q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象不关于y轴对称.
对于y=9x2+7a,用-x替换x,仍成立,故其图象关于y轴对称,所以 q是假命题.
13.B　若命题p为假命题,则其否定为真命题,∴ x∈R,x2+8x+a≠0,∴Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B.
解题模板　利用命题p或命题 p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题 p真与命题 p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题 p为真时参数的范围是 UA(U是全集),命题 p为假时参数的范围是A.
14.BCD　∵p为真命题,∴关于x的方程ax2-4x-4=0有实数根.
当a=0时,解得x=-1,符合题意;
当a≠0时,Δ=16+16a≥0,解得a≥-1,且a≠0.
综上,a的取值范围是{a|a≥-1}.故选BCD.
15.A　由题意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3,
结合选项可知,{a|a≤3} {a|a≤4},
因此a≤4是命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A.
16.答案　a<-6
解析　依题意得“ x∈{x|1≤x≤3},a<-2x”是真命题,当1≤x≤3时,-6≤-2x≤-2,则a<(-2x)min=-6,故实数a的取值范围为a<-6.
17.解析　两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
理由如下:∵“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,∴两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
18.解析　(1)由p为假命题,得 p为真命题,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2.
当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-.
所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是.
7

展开更多......

收起↑