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单元整合练　集合的综合应用
1.设A,B是两个非空集合,定义A×B={x|x∈(A∪B)且x (A∩B)},已知A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},则A×B=(　　)
A.{x|0≤x≤1或x>2}　　　　B.
C.{x|0≤x≤1}　　　　D.{x|0≤x≤2}
2.整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k∈{0,1,2,3,4},则下列判断错误的是(　　)
A.2 023∈[3]
B.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
C.-2∈[2]
D.若a-b∈[0],则整数a,b属同一类
3.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x N},M N=(M-N)∪(N-M),设A=xx≥-,x∈R,B={x|x<0,x∈R},则A B=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
4.定义集合运算:A*B=(x,y)∈A,∈B.若集合A=B={x∈N|1A. 　　　　B.{(4,1)}　　
C.　　　　D.
5.已知集合M为非空数集,且同时满足条件:(1)2∈M;(2)对任意的x,y∈M,都有x-y∈M;(3)对任意的x∈M且x≠0,都有∈M.
给出四个结论:①0∈M;②1 M;③对任意的x,y∈M,都有x+y∈M;④对任意的x,y∈M,都有xy∈M.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
6.设集合A={x|x2-4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={-2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
7.定义运算 与 :对任意a,b∈R,有a b=ab,a b=.设全集U={x|x=(a b)+(a b),-2(1)求集合U和A;
(2)集合A,B能否满足( UA)∩B= 若能,求出实数m的取值范围;若不能,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　集合的综合应用
1.A 2.C 3.C 4.D
1.A　A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},∴A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1又A×B={x|x∈(A∪B)且x (A∩B)},
∴A×B={x|0≤x≤1或x>2}.故选A.
2.C　2 023=5×404+3,故2 023∈[3],A正确;全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4,故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],B正确;-2=5×(-1)+3,故-2∈[3],C错误;由题意可知a-b能被5整除,故a,b分别被5除的余数相同,故整数a,b属同一类,D正确.故选C.
3.C　由A=,B={x|x<0,x∈R}得A-B={x|x≥0},B-A=,
∴A B={x|x≥0}∪=.故选C.
易错警示　解决与不等式相关的集合问题,常画出数轴,利用数轴时要注意单独考虑端点值,确定端点“等”还是“不等”.
4.D　集合A=B={x∈N|1由∈A可得=2或=3,则x=4或x=6,
由∈B可得=2或=3,则y=1或y=.
所以A*B=(4,1),(6,1),,,
对于方程y=-x+,当x=4时,y=-×4+=1,当x=6时,y=-×6+=,
所以(4,1),∈C,
因此(A*B)∩C=,故选D.
5.答案　①③④
解析　①∵2∈M,∴2-2∈M,即0∈M,①正确.
②∵2∈M,∴∈M,(依据:条件(3))
∴2-=∈M,-=1∈M,②错误.(依据:条件(2))
③∵y∈M,0∈M,∴0-y=-y∈M(关键:赋值得-y),∴x-(-y)=x+y∈M,③正确.
④当x,y中至少有一个为0时,易知xy=0∈M;当x,y均不为0且至少有一个为1时,易知xy∈M;当x,y中不含0和1时,∵x∈M,∴∈M,由③得+=∈M,∴∈M,
由②知1∈M,∴x-1∈M,∴∈M,-=-∈M,∴-x(x-1)∈M,
∴x+x(x-1)=x2∈M(解题关键:构造分数之差升幂,得到二次式),
∴当x,y∈M时,结合③中结论易得,∈M,∴xy=-∈M,
所以对任意的x,y∈M,都有xy∈M,④正确.
综上,①③④正确.
6.解析　(1)依题意得A={-2,2},
∵A∩B={-2},∴-2∈B,
∴4-4(a+1)+a2-5=0,解得a=-1或a=5,
当a=-1时,B={-2,2},A∩B={-2,2},不满足题意,舍去,当a=5时,B={-2,-10},A∩B={-2},满足题意,∴a=5.
(2)∵A∪B=A,∴B A.
当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,即a<-3时,B= ,满足题意;
当Δ=0,即a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足题意;
当Δ>0,即a>-3时,由B A得B={-2,2},则解得a=-1.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-3或a=-1}.
7.解析　(1)集合U中,x=(a b)+(a b)=ab+,∵-2∴①a=-1,b=0或b=-1,此时x=-或x=1;
②a=0,b=0,此时x=0,∴U=.
集合A中,x=2(a b)+=2ab+,
∵-1∴a=0,b=1,此时x=-,∴A=.
(2)由(1)得 UA={0,1},∴当( UA)∩B= 时,B= 或B=A.
当B= 时,x2-3x+m=0无实根,∴Δ=(-3)2-4m<0,∴m>;
当B=A时,x2-3x+m=0有两个相等的根-,
∴此时m的值不存在.
综上,m>时,集合A,B能满足( UA)∩B= .
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