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第二十二章 二次函数 评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在下列函数中,是二次函数的是 (　　)
A.y=8x-1 B.y= C.y=8x2+1 D.y=+1
2.若二次函数y=ax2的图象经过点A(3,-6),则该图象必经过点 (　　)
A.(-3,6) B.(-3,-6) C.(6,-3) D.(6,3)
3.下表是函数y=2x2-3x-6的部分自变量与对应的函数值:
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y -1 -0.28 0.48 1.28 2.12
根据此表,可以判断方程2x2-3x-6=0的一个解x可能的取值范围是 (　　)
A.2.5C.2.74.已知(-4,y1),(-1,y2),(2,y3)是抛物线y=-2x2上的点,则(　　)
A.y1C.y35.要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 (　　)
A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度　
B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度　
C.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度　
D.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
6.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标,规则是每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成求解.过程如图所示:
　 　　　 老师　 　 甲　　 　乙　　　 丙　 　 丁
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (　　)
A.甲和乙 B.乙和丙
C.乙和丁 D.甲和丙
7.关于x的二次函数y=x2-2mx+m2-1(m>1)的图象可能是 (　　)
A B C D
8.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB,射线BC的方向匀速运动,且速度相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,则S与x之间的函数图象大致是 (　　)
A B C D
9.已知二次函数y=x2+2x+a2,当x=m时,函数值y<0,则当x=m+2时,函数值y (　　)
A.小于0 B.等于0
C.大于0 D.与0的大小不能确定
10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,1)都在直线y=x+上.若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是 (　　)
A.a≤-2 B.a<
C.1≤a<或a≤-2 D.-2≤a<
11.(2024天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的函数解析式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
12.(2024广安中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A-,0,对称轴是直线x=-.有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.抛物线y=-(x+2)2+6与y轴的交点坐标是　　　　.
14.已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是　　　　.
15.(2024石家庄期中)如图,一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y(m)与时间x(s)的平方成正比例,当乒乓球经过的时间为1 s时,滚下的路程为 m,当x=3 s时,乒乓球所滚下的路程为　　　　m.
16.(2024济宁中考)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共8 个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)在平面直角坐标系中,设二次函数y=(x+a)(x-a-1)(a>0).
(1)求二次函数的对称轴.
(2)当-1≤x≤3时,函数的最大值为4,求此二次函数的顶点坐标.
18.(8分)如图,利用函数y=x2-x+4的图象,回答下列问题.
(1)方程x2-x+4=0的解是　　　　　　　.
(2)当x　　　　时,y随x的增大而减小.
(3)当x满足　　　　　　　时,函数值大于0.
(4)当019.(8分)如图,二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与一次函数y=-x+b的图象交于A,C两点.
(1)求b的值.
(2)求△ABC的面积.
(3)根据图象直接写出当x为何值时,一次函数的值大于二次函数的值.
20.(8分)(2024江西中考)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,小球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律如下表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m=　　　　,n=　　　　.
②小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)小球飞行高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系:y=-5t2+vt.
①小球飞行的最大高度为　　　　m.
②求v的值.
21.(9分)如图,对称轴为直线x=3的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(-1,0).
(1)求此抛物线对应的函数解析式.
(2)求B,C两点的坐标.
(3)设抛物线的顶点为M,请通过计算说明△ABM的面积是否为△ABC面积的2倍
22.(9分)某种植基地种植一种蔬菜,它的成本为每千克12元,经过市场调查发现,该蔬菜的日销售量y(kg)与销售单价x(元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
销售单价x/元 14 15 16
日销售量y/kg 2 000 1 800 1 600
(1)直接写出y与x之间的函数解析式:　　　　　　　　.
(2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润.
(3)销售一段时间以后,由于某种原因,该蔬菜每千克成本增加了2元,在日销售量y(kg)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该蔬菜的日销售利润能否达到6 000元
23.(11分)如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶,为绿化带浇水,喷水口离地面的高度为1.6 m.如图2,可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度EF=0.6 m,喷水口点H是下边缘抛物线L2:y=-x2+1.6的最高点,上边缘抛物线L1的最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.2 m,灌溉车到绿化带底部边缘的距离OD为d m.
(1)求上边缘喷出水的最大射程OC.
(2)当d=4时,灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗 请你通过计算说明理由.
(3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请求出d的取值范围.
图1　　　 图2
24.(12分)(2024河北中考)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P.
(1)直接写出a的值和点Q的坐标.
(2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上.
淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
(3)当t=4时,
①求直线PQ的解析式.
②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标.
(4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA【详解答案】
1.C　解析:由二次函数的定义可知,y=8x2+1为二次函数.故选C.
2.B　解析:∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴,∴点A(3,-6)关于y轴对称的点为(-3,-6).∴该图象必过点(-3,-6).故选B.
3.B　解析:观察表格可知,当x=2.6时,y=-0.28<0,当x=2.7时,y=0.48>0,∴方程2x2-3x-6=0的一个解x可能的取值范围是2.64.D　解析:∵(-4,y1),(-1,y2),(2,y3)是抛物线y=-2x2上的点,∴y1=-2×(-4)2=-32,y2=-2×(-1)2=-2,y3=-2×22=-8.∵-32<-8<-2,∴y15.C　解析:∵y=2(x-4)2-1的顶点坐标为(4,-1),y=2x2的顶点坐标为(0,0),∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,可得到抛物线y=2(x-4)2-1.故选C.
6.A　解析:老师→甲:y=-2x2-8x+6=-2(x2+4x-3),故甲错误;甲→乙:y=x2+4x-3=x2+4x+4-3-4,故乙错误;乙→丙:y=x2+4x+4-3=(x+2)2-3,故丙正确;丙→丁:y=(x+2)2-3的顶点坐标为(-2,-3),故丁正确.故选A.
7.C　解析:当x=0时,y=m2-1,∵m>1,∴y=m2-1>0,即函数图象与y轴的交点应在x轴的上边.故选项D错误;y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1,函数图象的对称轴为直线x=m,∵m>1,故选项A错误;当x=m时,函数值为y=-1,∴函数图象过点(m,-1),即经过第四象限.故选项B错误,选项C正确.故选C.
8.A　解析:当0≤x≤4时,点M在AB上,点N在BC上,设AM=BN=x,∴BM=CN=4-x.∴S=S正方形ABCD-S△AMD-S△BMN-S△DNC=4×4-×4x-×(4-x)x-×4×(4-x)=(x-2)2+6.∴S与x的函数关系是二次函数,函数图象是抛物线,抛物线开口向上.当x=2时,二次函数的最小值为6;当x=0或4时,二次函数的最大值为8.故选A.
9.C　解析:设二次函数y=x2+2x+a2的图象与x轴交于点(x1,0),(x2,0)(x10.故选C.
10.C　解析:∵抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,∴令x+=ax2-x+1,则2ax2-3x+1=0.∴Δ=9-8a>0.∴a<.①当a<0时,解得a≤-2.∴a≤-2.②当a>0时,解得a≥1.∴1≤a<.综上所述,a的取值范围是1≤a<或a≤-2.故选C.
11.C　解析:①令h=0,则30t-5t2=0.解得t1=0,t2=6.∴小球从抛出到落地需要6 s.故①正确;②h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,∵-5<0,∴当t=3时,h有最大值,最大值为45.∴小球运动中的高度可以是30 m.故②正确;③当t=2时,h=30×2-5×4=40,当t=5时,h=30×5-5×25=25,∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度.故③错误.综上所述,正确的结论为①②,共2个.故选C.
12.B　解析:由题图可知,二次函数开口方向向下,与y轴的正半轴交于一点,∴a<0,c>0.∵-<0,∴b<0.∴abc>0.故①错误;∵对称轴是直线x=-,点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,∴--(-1)=-+1=,2--=2.∵<2,∴y1>y2.故②错误;当x=m时,y=am2+bm+c,当x=-时,函数取最大值a-b+c,∴对于任意实数m有am2+bm+c≤a-b+c.∴am2+bm≤a-b.故③正确;∵-=-,∴b=a.当x=-时,y=0,∴a-b+c=0.∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0.故④正确.综上所述,正确的有③④,共2个.故选B.
13.(0,2)　解析:令抛物线y=-(x+2)2+6中x=0,即y=-(0+2)2+6,解得y=2.故与y轴的交点坐标为(0,2).
14.m≤1　解析:∵y=x2-(m+1)x+1,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-=.∵当x>1时,y随x的增大而增大,∴≤1.解得m≤1.
15.12　解析:由题意,设y与x之间的函数解析式为y=ax2.将点1,代入上式,得=a×12.解得a=.∴y与x之间的函数解析式为y=x2.当x=3时,y=×32=12,即乒乓球所滚下的路程为12 m.
16.k≥3　解析:将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度,得y=x2-6x+12-k.∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点,∴Δ=b2-4ac≥0.∴(-6)2-4×1×(12-k)≥0.解得k≥3.
17.解:(1)∵y=(x+a)(x-a-1)=x2-x-a2-a,即y=x-2-a2-a-,
∴该二次函数的对称轴为直线x=.
(2)设(-1,y1),(3,y2)是二次函数图象上的点.
∵二次函数y=(x+a)(x-a-1)图象的开口向上,对称轴为直线x=,
∴点(-1,y1)到对称轴的距离小于点(3,y2)到对称轴的距离.
∴y1∵当-1≤x≤3时,函数的最大值为4,
∴当x=3时,y2=4.
∴3-2-a2-a-=4.
整理,得a2+a-2=0.
解得a1=1,a2=-2.
∵a>0,
∴a=1.
当a=1时,y=x-2-a2-a-=x-2-,
∴此二次函数的顶点坐标为,-.
18.解:(1)x1=2,x2=6
(2)<4
(3)x<2或x>6
(4)由函数y=x2-x+4可知,函数开口向上,对称轴为直线x=-=4,
∴当x=0时,y=4;当x=4时,该函数有最小值,y=×42-×4+4=-;
当x=5时,y=×52-×5+4=-1.
∴当019.解:(1)∵令y=x2-2x-3=0,
解得x1=3,x2=-1.
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).
将点A(-1,0)代入y=-x+b,
得1+b=0,解得b=-1.
(2)联立方程组
解得或
∴点C的坐标为(2,-3).
∴S△ABC=AB·|yC|=×4×3=6.
(3)根据图象可知,当-120.解:(1)①3　6
②根据小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律表,可知
抛物线的顶点坐标为(4,8),
∴解得
∴二次函数的解析式为y=-x2+4x.
联立方程组
解得(不符合题意,舍去)或
∴点A的坐标是,.
(2)①8
②y=-5t2+vt=-5t-2+,
则=8,解得v=4(负值已舍去).
21.解:(1)根据题意,得
解得
∴抛物线对应的函数解析式为
y=x2-6x-7.
(2)令y=0,则x2-6x-7=0.
解得x1=-1,x2=7.
∴点B的坐标为(7,0).
令x=0,则y=-7.
∴点C的坐标为(0,-7).
(3)如图,连接AM,BM,AC,BC.
∵点C(0,-7),∴OC=7.
当x=3时,y=x2-6x-7=32-6×3-7=-16,
∴点M(3,-16).
∴MN=16.∴MN≠2OC.
∵S△ABM=AB·MN,S△ABC=AB·OC,
∴S△ABM≠2S△ABC.
∴△ABM的面积不是△ABC面积的2倍.
22.解:(1)y=-200x+4 800
(2)设种植基地销售该蔬菜获得的日利润为w元.由题意,得
w=(x-12)y=(x-12)(-200x+4 800)
=-200x2+7 200x-57 600
=-200(x-18)2+7 200.
∵-200<0,
∴当x=18时,w有最大值,最大值为7 200.
∴种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为7 200元.
(3)由题意,得(x-12-2)(-200x+4 800)=6 000.
整理,得x2-38x+366=0.
∵Δ=(-38)2-4×1×366=-20<0,
∴原方程没有实数根.
∴该蔬菜的日销售利润不能达到6 000元.
23.解:(1)由题意,得点A的横坐标为2,纵坐标为1.6+0.2=1.8.
设L1的函数解析式为y1=a(x-2)2+1.8.
将点H(0,1.6)代入y1=a(x-2)2+1.8,得1.6=4a+1.8.
∴a=-.
∴L1的函数解析式为y1=-(x-2)2+1.8.
当y1=0时,0=-(x-2)2+1.8,
解得x1=8,x2=-4(不符合题意,舍去).
∴上边缘喷出水的最大射程OC为8 m.
(2)当d=4时,灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带.理由如下:
当d=4时,根据题意,得点E(7,0),F(7,0.6).
∴当x=7时,y1=-×(7-2)2+1.8=0.55.
∵0.55<0.6,
∴当d=4时,灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带.
(3)∵EF=0.6,∴点F的纵坐标为0.6.
∴0.6=-(x-2)2+1.8.
解得x1=2+2,x2=2-2(不符合题意,舍去).
∴d的最大值为2+2-DE=2-1.
当下边缘抛物线经过点D时,即y=0时,0=-x2+1.6,
解得x1=2,x2=-2(不符合题意,舍去).
∴d的最小值为2.
∴d的取值范围是2≤d≤2-1.
24.解:(1)a=,点Q(2,-2).
解法提示:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q,
∴16a-8=0.解得a=.
∴抛物线C1:y=x2-2x=(x-2)2-2.
∴点Q(2,-2).
(2)选择嘉嘉的说法:
把点Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2),
当x=0时,抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2,
∴点(0,-2)在C2上.
∴嘉嘉的说法正确.
选择淇淇的说法:
∵抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+tx-2,当x=0时,y=-2,
∴抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2过定点(0,-2).
∴淇淇的说法正确.
(任选一个人的说法进行验证,答案不唯一)
(3)①当t=4时,抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2=-(x-4)2+6,
∴顶点P(4,6).∵点Q(2,-2),
∴设PQ的解析式为y=ex+f(e≠0).
∴解得
∴PQ的解析式为y=4x-10.
②∵点P(4,6),∴点P到x轴的距离为6.
∴l与抛物线C2交点的纵坐标为-6.
当抛物线C2:y=-(x-4)2+6=-6时(等于6时两直线重合,不符合题意),
解得x=4±2.
∵直线PQ的解析式为y=4x-10,
当y=-6时,-6=4x-10,解得x=1.
当y=4x-10=0时,x=.
设l与x轴交点的横坐标为x,则1-(4-2)=-x.解得x=-2.
此时直线l与x轴交点的横坐标为-2;
(4+2)-1=x-,解得x=+2.
此时直线l与x轴交点的横坐标为+2.
综上所述,直线l与x轴交点的横坐标为-2或+2.
(4)n=2+t-m.
解法提示:∵C1:y=(x-2)2-2,
C2:y=-(x-t)2+t2-2,
∴C2是由C1通过旋转180°,再平移得到的,两个函数图象的形状相同.
如图,连接AB交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP,
∴四边形APBQ是平行四边形.
当点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,此时点M与点B重合,点N与点A重合.
∵点Q(2,-2),Pt,t2-2,
∴点L的横坐标为,点Mm,m2-2m,Nn,-(n-t)2+t2-2.
∴点L的横坐标为.∴=.解得n=2+t-m.

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