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本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的互异性致错
1.已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-1≤a≤1}
B.{a|-1C.{a|-1D.{a|-1≤a≤1且a≠0}
2.设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},求A∪B.
易错点2　对集合中元素的意义理解错误
3.(多选题)设集合A={x|y=x2-4},B={y|y=x2-4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系中正确的是(　　)
A.A=B　　　B.A∪B=R
C.A∩C= 　　　D.A B
4.已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R}.
(1)求A∩B;
(2)若集合A,B中的元素都为整数,求A∩B;
(3)若集合A变为A={x|y=x2-2x,x∈R},其他条件不变,求A∩B.
易错点3　忽略空集的存在致错
5.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若A∩B=B,则a的取值范围为　　　　.
6.设集合A={x|a+1(1)若a=3,求 R(A∪B);
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
易错点4　忽略对端点值的取舍导致解题错误
7.已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},若A B,则实数a的取值范围是　　　　.
8.设全集U=R,已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|m≤x≤m+1}.
(1)若A∩B= ,求实数m的取值范围;
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求实数m的取值范围.
易错点5　混淆充分条件与必要条件致错
9.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x
≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的　　　　
(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件 若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由;
(2)请在①充分不必要条件;②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面问题的横线上.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.
易错点6　忽略命题中的隐含条件导致错误
10.若命题p: x∈R,>1,则 p:　　　　.
思想方法练
一、分类讨论思想在集合中的运用
1.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2a(1)当a=1时,求( UA)∩B;
(2)若( UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
二、数形结合思想在集合中的运用
2.已知M,N均为R的子集,且 RM N,则M∪( RN)=(　　)
A. 　　　B.M　　　C.N　　　D.R
3.若全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-1=　　　　(用A,B或其补集表示).
4.某年级举行数学、物理、化学三项竞赛,共有88名学生参赛,其中参加数学竞赛的有48人,参加物理竞赛的有48人,参加化学竞赛的有38人,同时参加物理、化学竞赛的有18人,同时参加数学、物理竞赛的有28人,同时参加数学、化学竞赛的有18人,则这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有　　　　　　　名.
三、函数与方程思想在集合中的运用
5.设集合A={a,b},B={0,a2,-b2}.若A B,则a-b=(　　)
A.-2　　　B.2　　　C.-2或2　　　D.0
6.集合A={a2+a-2,1-a,2},若4∈A,则a=　　　　.
7.已知集合A={x|x2+2x-3=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.
(1)若A∩B=A,求实数m的值;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.
四、转化与化归思想在充分条件、必要条件中的运用
8.已知α:x>3或x<1,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若β是 α的必要不充分条件,则m的取值范围是　　　　　　　　.
五、特殊化思想在集合中的运用
9.定义差集A-B={x|x∈A,且x B},现有三个集合A,B,C,则下列图中阴影部分表示集合C-(A-B)的为(　　)
　　　
10.大数据时代,需要对数据库进行检索,检索过程中有时会出现笛卡儿积现象,而笛卡儿积会产生大量的数据,对内存、计算资源都会产生巨大压力,为优化检索软件,编程人员需要了解笛卡儿积.两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡儿积,又称直积,记为A×B.即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}.关于任意非空集合M,N,T,下列说法一定正确的是(　　)
A.M×N=N×M
B.(M×N)×T=M×(N×T)
C.M×(N∪T)≠(M×N)∪(M×T)
D.M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T)
六、正难则反——补集思想在集合中的运用
11.设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x+k≥0},若 RM RN,则k的取值范围是(　　)
A.{k|k≤2}　　　B.{k|k≥1}
C.{k|k>-1}　　　D.{k|k≥2}
12.已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.D　由P∪M=P得M P,所以-a∈P,a∈P,即-1≤-a≤1,且-1≤a≤1,解得-1≤a≤1,
又因为-a≠a,所以a≠0,所以实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1且a≠0}.
故选D.
2.解析　由A∩B={25}得25∈A,
所以(x-1)2=25或7x-3=25,
解得x=6或x=-4或x=4.
当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,舍去;
当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11};
当x=4时,A={9,25,5},集合B中元素不满足互异性,舍去.
综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}.
易错警示　求解此类问题时,要注意集合中的元素必须是互异的,所以求解集合中的参数问题时,一定要验证是否满足集合中元素的互异性.
3.BC　易得A=R,B=[-4,+∞),C表示点集,
∴A≠B,A∪B=R,A∩C= ,B A,故选BC.
易错警示　解决集合问题的前提是明确元素是什么,集合的一般形式是什么,有何限制条件等.用描述法表示集合时要注意区分数集和点集,一般地,竖线左侧是单个字母时,表示的集合为数集;竖线左侧是数对形式时,表示的是点集.
4.解析　(1)∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},
∴A∩B={y|-1≤y≤7}.
(2)结合(1)知A∩B={y∈Z|-1≤y≤7}={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
(3)由题意得A=R,由(1)知B={y|y≤7},
∴A∩B={y|y≤7}.
5.答案　{a|a≥2}
解析　由题意得A={1,2}.∵A∩B=B,∴B A.
①当B= 时,方程x2-2x+a-1=0无实数根,则Δ=(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2,符合题意;
②当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,此时B={1},符合题意;
③当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2},不符合题意.
综上所述,a的取值范围是{a|a≥2}.
易错警示　 (1)经过数学运算后,要代入原集合进行检验,这一点极易被忽视.(2)A∩B=B B A,B可能为空集,这一点极易被忽视.
6.解析　(1)当a=3时,A={x|4(2)由A∩B=A,得A B,
当A= 时,a+1≥2a-1,解得a≤2,满足A B;
当A≠ 时,a>2,若A B,则解得2所以实数a的取值范围是(-∞,3].
易错警示　空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当题设中隐含空集参与的集合关系与运算时,其特殊性容易被忽略,如解决有关A B,A∩B= 等集合问题时,应注意考虑空集的情况.
7.答案　{a|a≤1}
解析　在数轴上表示出A,B,因为A B,所以a≤1.
易错警示　解决此类问题时,借助数轴较为直观,并且要检验端点值能否取到.本题的易错之处是漏掉a=1.
8.解析　(1)因为A∩B= ,且B≠ ,
所以m+1<1或m>4,解得m<0或m>4.
所以实数m的取值范围是{m|m<0或m>4}.
(2)因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件,所以B A,
所以解得1≤m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|1≤m≤3}.
9.解析　(1)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件,则A=B.
故无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件.
(2)选①充分不必要条件,则A B,故且等号不能同时成立,解得m≥4.
故m的取值范围为[4,+∞).
选②必要不充分条件,则B A,因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠ ,故且等号不能同时成立,解得m≤2,又m>1,所以m的取值范围为(1,2].
10.答案　 x∈R,≤1或x<0
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,
又>1中x的取值范围是{x|x>1},其补集为{x|x≤1},所以 p为 x∈R,≤1或x<0.
易错警示　确定命题的否定时,必须注意隐含条件.本题中隐含条件为x≥0,先由>1解出x的取值范围为{x|x>1},再取其补集,为{x|x≤1},所以命题的否定为 x∈R,≤1或x<0,而不是 x∈R,≤1.
思想方法练
2.B 5.C 9.A 10.D 11.B
1.解析　(1)当a=1时,B={x|2又 UA={x|x<1或x>3},∴( UA)∩B={x|3(2)∵( UA)∩B=B,∴B UA.
分B= 与B≠ 两种情况进行讨论.
当B= 时,2a≥a+3,解得a≥3,此时B UA,符合题意;
当B≠ 时,若B UA,
则解得a≤-2或≤a<3.
综上,实数a的取值范围是aa≤-2或a≥.
2.B　根据题意可画出维恩图如图所示,
则M∪( RN)=M.故选B.
借助图形的直观性理解集合间的关系.
3.答案　B∩( UA)
解析　如图所示,
由图可知,C=B∩( UA).
借助图形的直观性理解集合间的关系.
4.答案　18
解析　设这个年级三个学科竞赛都参加的学生有x名,则只参加数学、化学竞赛的有(18-x)名,只参加物理、化学竞赛的有(18-x)名,只参加数学、物理竞赛的有(28-x)名,
则只参加数学竞赛的人数为48-(18-x)-(28-x)-x=2+x,
只参加物理竞赛的人数为48-(18-x)-(28-x)-x=2+x,
只参加化学竞赛的人数为38-(18-x)-(18-x)-x=2+x,
故参加竞赛的总人数为2+x+2+x+2+x+18-x+18-x+28-x+x=88,解得x=18.
故这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有18名.
利用维恩图表示集合间的关系.
5.C　对于集合A={a,b},由元素的互异性可知a≠b,对于集合B={0,a2,-b2},由元素的互异性可知a≠0,b≠0,因此,若A B,则有
由集合间的关系建立方程组.
解得故a-b=2或a-b=-2.故选C.
6.答案　2
解析　因为4∈A,所以a2+a-2=4或1-a=4,
由元素与集合的关系建立方程.
①若a2+a-2=4,则a=-3或a=2,当a=-3时,1-a=4,集合A中元素不满足互异性,舍去,当a=2时,A={4,-1,2},满足题意;
②若1-a=4,则a=-3,舍去.
综上所述,a=2.
7.解析　易得A={x|x2+2x-3=0}={-3,1}.
(1)因为A∩B=A,所以A B,
因此-3,1是方程x2+2(m+1)x+m2-3=0的两个根,
由集合间的关系得到方程根的情况.
故解得m=0.
(2)因为A∪B=A,所以B A,所以B= 或{-3}或{1}或{-3,1}.
由集合间的关系得到方程根的情况.
当B= 时,方程x2+2(m+1)x+m2-3=0没有实数根,所以Δ=[2(m+1)]2-4(m2-3)<0,解得m<-2;
当B={-3}时,
无解;
当B={1}时,
解得m=-2;
当B={-3,1}时,由(1)可知m=0.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-2或m=0}.
8.答案　
解析　∵α:x>3或x<1,∴ α:1≤x≤3.
又∵β是 α的必要不充分条件,
∴{x|1≤x≤3}是{x|m+1≤x≤2m+4,m∈R}的真子集,
∴≤m≤0.
方法点拨　已知A,B为两个非空集合,若A是B的子集,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件;若A是B的真子集,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件;若A=B,则“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
9.A　如图所示,取A={1,2,4,5},B={2,3,5,6},C={4,5,6,7}.
选取特殊集合来验证答案.
依题意得A-B={1,4},从而C-(A-B)={5,6,7},结合图形知,选项A正确.
10.D　对于A,若M={1},N={1,2},则M×N={(1,1),(1,2)},N×M={(1,1),(2,1)},M×N≠N×M,A错误;
对于B,若M={1},N={2},T={3},则M×N={(1,2)},(M×N)×T={((1,2),3)},而M×(N×T)={(1,(2,3))},(M×N)×T≠M×(N×T),B错误;
对于C,若M={1},N={2},T={3},则M×(N∪T)={(1,2),(1,3)},M×N={(1,2)},M×T={(1,3)},M×(N∪T)=(M×N)∪(M×T),C错误;
对于D,任取元素(x,y)∈M×(N∩T),则x∈M且y∈N∩T,则y∈N且y∈T,
所以(x,y)∈M×N且(x,y)∈M×T,即(x,y)∈(M×N)∩(M×T),
反之,任取元素(x,y)∈(M×N)∩(M×T),则(x,y)∈M×N且(x,y)∈M×T,所以x∈M,y∈N且y∈T,即x∈M且y∈N∩T,所以(x,y)∈M×(N∩T),
故M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T),D正确.
故选D.
思想方法　“特殊化思想”是指在解题时采用特殊的数值、特殊的几何图形等来解题的思想方法;或者先解决数学问题的特殊情形,再将解决特殊情形的方法或结果应用并推广到一般问题之中,从而解决一般性问题的思想.显而易见,相对于“一般”而言,“特殊”往往显得简单、直观和具体,在与集合和常用逻辑用语相关的客观题中,可根据具体情况进行特殊化处理,一般所求得的结果就是问题的结果.
11.B　由 RM RN可得M N,又N={x|x+k≥0}={x|x≥-k},∴-k≤-1,解得k≥1.
故选B.
12.解析　考虑A,B均为空集的情况,应用补集思想求解.
若集合A为空集,则Δ1=4-4(9-a)<0,解得a<8.
若集合B为空集,则Δ2=16-4a<0,解得a>4.
故若A,B均为空集,则4因为集合A,B中至少有一个非空集合,
所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4}.
方法点拨　有些集合问题从正面处理较难,一是解题思路不明朗,二是需要考虑的因素太多,要分多种情况讨论,运算量大,且讨论不全又容易出错.若用补集思想考虑其反面,则可达到化繁为简的目的.

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