资源简介

4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
基础过关练
题组　不同函数增长的差异
1.下列函数中,当x很大时,y随x的增大而增大速度最快的是(　　)
A.y=ex　　　　B.y=100ln x
C.y=100x　　　　D.y=100·2x
2.下列四种说法正确的是(　　)
A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快
B.对任意的x>0,xa>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax
3.已知三个变量y1,y2,y3随变量x的变化数据如下表:
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A.y1=x2,y2=2x,y3=log2x
B.y1=2x,y2=x2,y3=log2x
C.y1=log2x,y2=x2,y3=2x
D.y1=2x,y2=log2x,y3=x2
4.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1,+∞)上增长速度较快的是　　　　.
5.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号为　　　　.
6.若x∈(0,+∞),则使log2x<2x7.函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数的图象,比较f(3),g(3), f(2 019),g(2 019)的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　
2.D　对于A,幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较;对于B,C,当01时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax,当0x0时,总有xa>ax>logax,故D中说法正确.故选D.
3.B　从题表可以看出,三个变量y1,y2,y3都随x的增大而增大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长呈指数函数型变化,变量y2的增长呈幂函数型变化,变量y3的增长呈对数函数型变化.
4.答案　y=x2
解析　由于对数函数y=ln x在区间(1,+∞)上的增长速度慢于一次函数y=x的增长速度,所以函数y=x2比函数y=xln x在区间(1,+∞)上增长速度快.
5.答案　③④⑤
解析　四个函数的大致图象如图所示,四个图象均过点(1,1),根据图象易知,③④⑤正确.
6.答案　(2,4);(0,2)∪(4,+∞)
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的图象如图.
由图可得,若log2x<2x若log2x4.
7.解析　(1)C1对应的函数为g(x)=3x,
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(3)=8,g(3)=9,∴f(3)又f(4)=16,g(4)=12,∴f(4)>g(4),
∴3从题图可以看出,当x>x2时, f(x)>g(x),
∴f(2 019)>g(2 019).
又g(x)为增函数,
∴g(2 019)>g(3),
∴f(2 019)>g(2 019)>g(3)>f(3).(共14张PPT)
4.5　函数模型及其应用
1 | 常见的函数模型
常 见 的 函 数 模 型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型 y=axn+b(a,n,b为常数,a≠0,n≠0)
1.定义:把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证
模型的合理性,并用该数学模型所提供的解来解释现实问题,数学知识的这一应
用过程称为数学建模.
2.步骤:
(1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的
各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确
的语言提出一些恰当的假设.
(2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学
关系,建立相应的数学结构.
2 | 数学建模
(3)求得数学问题的解.
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性
和适用性.
1.简述利用函数知识和函数观点解决实际问题的一般步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(1)审题;(2)建模;(3)求模;(4)还原.
这些步骤用框图表示如图:

知识辨析
2.对于收集的一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),我们常对其如何操作,以
发现其所隐含的规律
常先画出上述数据的散点图,再借助其变化趋势,结合我们已学习的函数模型,对
数据作出合理的分析,从中找出所隐含的规律.
3.函数不同变化趋势有哪些具体特征
“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量
成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度逐渐减
缓.
1　建立适当的数学模型解决实际问题
典例　渔民出海打鱼,为了保持捕获的鱼的新鲜度,鱼被打上岸后,要在最短的
时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼会很快失去新鲜度(以鱼肉内
的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生
物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质
进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后的时间t(分钟)满足的函数关系
式为h(t)=m·at.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种
鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,这种鱼在出海后开始失去全部新鲜度
的时间约为(参考数据:lg 2≈0.3) ( C )
A.33分钟　　　 B.40分钟　
C.43分钟　　　 D.50分钟
解析 由题意得 解得 故h(t)=0.05×( )t,
令h(t)=0.05×( )t=1,得( )t=20,
故t= = ≈ ≈43.3.故选C.
2　拟合数据构建函数模型解决实际问题
　　函数拟合与预测的一般程序:

典例　某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场,根据市场调研情况,预计每枚
该纪念章的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与
上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y= +b;
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价;
(3)利用你选取的函数,若存在x∈(10,+∞),使得不等式 -k≤0成立,求实数k的
取值范围.
上市时间x(天) 2 6 20
市场价y(元) 102 78 120
解析 (1)随着上市时间x的增加,y的值先减小后增大,而所给的三个函数中y=ax+
b和y= +b显然都是单调函数,不满足题意,
∴选择y=ax2+bx+c.
(2)把(2,102),(6,78),(20,120)分别代入y=ax2+bx+c,
得
解得
∴y= x2-10x+120= (x-10)2+70.
∴当x=10时,y有最小值,ymin=70.
故当纪念章上市10天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为70元.
(3)由题意,令g(x)= = (x-10)+ ,
若存在x∈(10,+∞)使得不等式g(x)-k≤0成立,则k≥g(x)min,
又 (x-10)+ ≥2 ,当且仅当x=10+2 时,等号成立,
所以k≥2 .
素养　应用数形结合解决函数与方程问题,发展直观想象核心素养
素养解读
　　数形结合的应用主要是“以形助数”寻找解决问题的途径,利用函数的图象
可解决某些方程和不等式的求解问题.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)图象交
点的横坐标,不等式f(x)坐标的集合......这些都体现了数形结合思想.
典例呈现
例题　若关于x的方程|x2-4|x|+3|= k有4个不相等的实数根,则实数k应满足的条
件是　　　　　　 .
解题思路 设f(x)=|x2-4|x|+3|,当x≥0时,f(x)=|x2-4x+3|,其图象是由y=x2-4x+3(x≥0)
的图象在x轴及其上方的部分不变,在x轴下方的部分对称到x轴上方而得到的,易
知f(x)是偶函数,故f(x)的大致图象如图所示.
由图象知,当k=0或1≤k<3时,方程|x2-4|x|+3|=k有4个不相等的实数根.
　　将函数、方程或不等式转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象
的特征确定参数的取值范围.
思维升华4.5.2　形形色色的函数模型
基础过关练
题组一　一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为(　　)
A.P=-　　B.P=　　C.P=　　D.P=
2.小李大学毕业后选择自主创业,开发了一种新型电子产品.2025年9月1日投入市场销售,在9月份的30天内,前20天每件的售价P(元)与时间x(天,x∈N+)满足一次函数关系,其中第1天每件的售价为63元,第10天每件的售价为90元,后10天每件的售价均为120元.已知日销售量Q(件)与时间x(天)之间的函数关系是Q=-x+50(x∈N+).
(1)写出该电子产品9月份每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式;
(2)请问9月份哪一天的日销售金额最大 并求出最大日销售金额(日销售金额=每件的售价×日销售量).
题组二　幂函数模型
3.美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式;
(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求分别对A,B两种芯片投入多少资金时,该公司可以获得最大净利润,并求出最大净利润.(净利润=A芯片的毛收入+B芯片的毛收入-研发耗费资金)
题组三　指数函数模型和对数函数模型
4.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律,常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中,人体内药物含量x(单位:mg)与给药时间t(单位:h)近似满足函数关系式x=(1-e-kt),其中k0,k分别为给药速率和药物消除速率(单位:mg/h).经测试发现,当t=23时,x=,则该药物的消除速率k的值约为(参考数据:ln 2≈0.69)(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
5.某工厂产生的废气必须经过过滤后才能排放,规定排放时污染物的剩余含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中废气的体积保持不变,污染物的剩余含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt(其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量).已知前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k=　　　　;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为　　　　.(参考数据:log52≈0.43)
题组四　函数模型的拟合
6.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x/天 10 20 25 30
Q(x)/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.
能力提升练
题组一　建立适当的数学模型解决实际问题
1.为了抗击流感病毒,某医药公司研究出一种消毒剂,该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y=其图象如图所示,实验表明,当药物释放量y<0.75(mg/m3)时,对人体无害.(1)k=　　　　;(2)若使用该消毒剂对房间进行消毒,则为了不使人身体受到药物伤害,在消毒后至少经过　　　　分钟人方可进入房间.
2.已知某船舶每小时航行所需费用u(单位:元)与航行速度v(单位:千米/时)的函数关系为u(v)=(其中a,b,k为常数),函数u(v)的部分图象如图所示.
(1)求u(v)的解析式;
(2)若该船舶需匀速航行20千米,问船舶的航行速度v为多少时,航行所需费用最少 最少的费用为多少
3.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份x(x∈N)的关系有两个函数模型y=k·ax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
(2)问约经过多少个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍 (参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
题组二　拟合函数模型
4.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的一组数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时刹车后的停车距离.
车速(km/h) 10 15 30 40 50
停车距离(m) 4 7 12 18 25
车速(km/h) 60 70 80 90 100
停车距离(m) 34 43 54 66 80
5.环保生活,低碳出行,电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,该段国道限速80 km/h(即不超过80 km/h).经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的几组数据:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时的耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
①M(v)=v3+bv2+cv;②M(v)=1 000+a;③M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v≤80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆该型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何行驶才能使总耗电量最少 最少为多少
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=(k≠0),由题图可知,点A(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,故P=.故选D.
2.解析　(1)设前20天每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式为P=kx+b(k≠0).
由题意得解得
故该电子产品9月份每件的售价P(元)与时间x(天)的函数关系式为P=
(2)设9月份日销售金额为y元,则有y=
①若1≤x≤20,x∈N+,则y=(3x+60)(-x+50)=-3x2+90x+3 000的图象的对称轴为直线x=15,
∴y=-3x2+90x+3 000在[1,15]上为增函数,在[15,20]上为减函数,
∴当x=15时,ymax=3 675.
②若21≤x≤30,x∈N+,则y=-120x+6 000为减函数,
∴当x=21时,ymax=3 480.
综上可知,9月份第15天的日销售金额最大,最大为3 675元.
3.解析　(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设y=mx(m>0,x>0),
因为每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元,所以=m×1,所以m=,
因此生产A芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y=x(x>0).
由题图可知,故
因此生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y=(x>0).
(2)设对B芯片投入的资金为x千万元,则对A芯片投入的资金为(40-x)千万元,
设利润为W千万元,则W=+-2,0令t=,则W=-t2+t+8=-(t-2)2+9,t∈(0,2),
当t=2,即x=4时,W有最大值,最大值为9.
因此,当对A芯片投入3.6亿元,对B芯片投入4千万元时,该公司可以获得最大净利润,最大净利润为9千万元.
4.A　将t=23,x=代入x=(1-e-kt),
得=(1-e-23k),化简得=e-23k,
即ln=-23k,所以k=≈=.
故选A.
5.答案　-;11
解析　由题意得(1-80%)P0=P0·e4k,
即0.2=e4k,所以k=ln 0.2=-.
设经过m小时后能够按规定排放废气,
则P0·≤0.25%P0,即-m≤ln 0.25%,
所以m·ln 5≥8ln 20,
所以m≥=8log520=8(2log52+1)≈14.88.
所以正整数n的最小值为15-4=11.
6.解析　(1)由题意得P(10)·Q(10)=×110=121,解得k=1.
(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①,③,④中的函数均为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
由题表可得Q(10)=110,Q(20)=120,
即解得
故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=
∴f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x<25时,y=x+在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,
∴当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=-x是单调递减的,
∴当x=30时, f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元.
能力提升练
1.答案　(1)2　(2)40
解析　(1)由题图可知,当t=时,y=1,则=1,解得k=2.
(2)由题意可得解得t>,
若使用该消毒剂对房间进行消毒,则为了不使人身体受到药物伤害,在消毒后至少经过×60=40分钟人方可进入房间.
2.解析　(1)将(0,320),(10,650)分别代入u=kv+b,
得解得
把(10,650)代入u=450+av2,得650=450+a·102,解得a=2.
所以u(v)=
(2)航行时间t=小时,所需费用设为z元,
则z=u(v)·t=
①当0660+640=1 300;
②当v≥10时,z≥2=2=1 200,当且仅当=40v,即v=15时,等号成立.所以当航行速度为15千米/时时,航行所需费用最少,最少的费用为1 200元.
3.解析　(1)因为y=k·ax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=k·ax(k>0,a>1),则有解得所以y=8·.
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍,
则8·=8×1 000,
解得x=lo1 000==≈16.67.
故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.
4.解析　若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得
解得
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,
得解得
∴y=x2+x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它比较符合实际情况.
综上可知,最佳模拟函数为y=x2+x+2,
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
5.解析　(1)对于③M(v)=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不合题意,
对于②M(v)=1 000+a,易得其在定义域上是减函数,这与表格中数据之间的关系矛盾,
故选择①M(v)=v3+bv2+cv.
根据题表,得
解得
所以当0≤v≤80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设该汽车在国道路段所耗电量为f(v)Wh,在高速路段所耗电量为g(v)Wh.
因为国道路段长为200 km,
所以f(v)=·M(v)=·=5×(v2-80v+6 000)=5×(v-40)2+22 000,
因为0≤v≤80,所以当v=40时, f(v)min=22 000.
因为高速路段长为50 km,
所以g(v)=·N(v)=·(2v2-10v+200)=100×=100×-500,
由对勾函数的性质可知,g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×-500=7 625.
故当该汽车在国道路段的行驶速度为40 km/h,在高速路段的行驶速度为80 km/h时,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为22 000+7 625=29 625 Wh.

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