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§1.4　充要条件
本节 思维导图
基础知识 三维训练
典例选析·分类突破
2门世2有
3厚
第·章
集合与充要条件
充分条件
必要条件
命题的推出关系
充要条件
充要条件
既不充分
也不必要条件
子集与推出的关系§1.4　充要条件
一、选择题
1．“x∈A”是“x∈A∩B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＜y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2
3．“(x－a)(x－b)＝0”是“x＝a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“a＜2”是“a2－2a＜0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2018年山东职教高考题)已知a，b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件，则q是r的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．m≤1是x2＋2x－m＝0有实数根的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
10．下列命题是真命题的是(　　)
A．x>3是x>5的充分条件
B．x2＝1是x＝1的充分条件
C．a>b是ac2>bc2的必要条件
D．α＝是sin α＝1的必要条件
二、填空题
11．|x|＋|y|≠0的充要条件是________．
12．a2＋b2＝0的充要条件是________．
13．“x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根”是“x1＋x2＝－2”的__________条件．
14．(1)集合A，B，则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的________条件．
(2)集合A，B，则“x∈A且x∈B”是“x∈A∪B”的________条件．
三、解答题
15．已知p q，a是b的充分条件，b是p的充要条件，试确定q与a的关系．
16．已知命题p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
答案
1．B
2．A　解析　B项中，x2＝1 x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．B
4．B　解析　解不等式a2－2a<0得05．C　解析　因为，2x底数为2，所以单调递增．所以，“a>b”是“2a>2b”的充要条件，故选C.
6．C
7．A　解析　因为p是q的必要条件，所以q p，s是r的充分条件，所以s r，p是s的充要条件，所以p s，所以q p s r，所以q r.故选A.
8．D　解析　x2＋2x－m＝0有实数解，需满足Δ＝22－4(－m)≥0，可知m≥－1，因此m≥－1是m≤1的既不充分也不必要条件．
9．A　解析　因为f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，所以－＝1，所以m＝－2，故选A.
10．C　解析　因为x>5是x>3的子集，所以x>3是x>5的必要条件，而非充分条件；x2＝1是x＝1的必要条件；若a＞b，当c＝0时，有ac2＝bc2，即由a＞b推不出ac2＞bc2，若ac2＞bc2成立，则c2＞0.由不等式的性质，在ac2＞bc2的两边同除以c2即得a＞b，所以ac2＞bc2 a＞b；所以a>c是ac2＞bc2的必要条件；若α＝，则sin ＝1，反之若sin α＝1，则α＝＋2kπ(k∈Z)，所以α＝是sin α＝1的充分条件．故选C.
11．x≠0或y≠0
12．a＝0且b＝0
13．充分不必要　解析　由根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，故是充分条件．
14．(1)必要不充分　(2)充分不必要
15．a q，a是q的充分条件，q是a的必要条件．　
解析　因为a是b的充分条件，所以a b，
因为b是p的充要条件，所以b p.
又因为p q，所以a q，反之不成立．
16．解　因为命题p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，即：2所以(2，3)?(－∞，2m＋1)，所以2m＋1≥3，解得m≥1.实数m的取值范围为m≥1.
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