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11.3带电粒子在匀强磁场中的运动
满分：133
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共5小题,共20分）
1. 如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，
MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，
沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、
qBd
速度大小均为 m 。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　）
（4分）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为√ 3 d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
πm
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 qB 6
正确答案： C
2
答案解析： 解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得qvB = mv ，解得粒 R
子的轨迹半径为R=d,故A错误；
B、当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1。
根据几何关系可知s上min=d；
当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知
s √上max = 3 d ，所以上表面接收到粒子的区域长度为s上 = √ 3 d d ，故B错误；
C、根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子
离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系可知，此时离y轴距离为d,所以下表面接收到粒子的区域长度为d,
故C正确；
60° 1
D、根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，为tmin= 360° T= 6 ×
2πm πm
qB = 3qB ，故D错误。
故选：C。
2. 如图所示，一定厚度和宽度的半导体板放在匀强磁场中，当半导体板通过一定电流，
且电流与磁场方向垂直时，在上侧面A和下侧面A'之间会产生一定的电势差UH。
将这种半导体板制成磁敏元件，可用来探测某空间的磁场。下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.若半导体板内载流子为电子，则上侧面A的电势比下侧面A'的电势高
B.探测空间磁场时，UH与被测磁场的磁感应强度呈线性关系
C.探测空间磁场时，磁敏元件的摆放方向对UH的数值无影响
D.在图示情况下，半导体板单位体积中载流子数目越大，UH越大
正确答案： B
答案解析： 解：A、电子的定性移动方向与电流方向相反，根据左手定则可知，电子受到的洛伦兹力向
上，则电子向上偏转，使得上侧面A的电势比下侧面A′电势低，故A错误；
BD、设半导体板的厚度为d、宽度为h,根据电流微观表达式可得：I=neSv=nedhv
U
当电势差稳定时，自由电子受到的洛伦兹力大小等于电场力，则有：evB=e H
h
IB
联立解得：UH= ned
可知电势差UH与B成正比，UH与d成反比，半导体板单位体积中载流子数目越大，UH越小，故B正确，D错
误；
C、探测空间磁场时，磁敏元件的摆放要求磁场方向与板的厚度平行，及摆放方向对UH的数值有影响，故
C错误。
故选：B。
3. 如图所示，平行金属板1、2竖直放置，两板间电压为U；平行金属板3、4水平放置，
两板间匀强电场的电场强度大小为E、垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小为B；
竖直虚线OP与倾斜虚线OQ间的夹角为45°，两虚线间有垂直纸面向外的匀强磁场。
一带电量为q的正电粒子（不计重力）从1的小孔M无初速度飘入1、2间，从2的小孔N进入3、4间，
沿直线从N到达P，粒子离开P后运动到OQ。已知OP两点间的距离为L，下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.粒子在N点时的动能为2Uq
B.粒子从N运动到P的过程电势能增大
4UB
C.若粒子到达虚线OQ时的速度竖直向下，则OP、OQ间磁场的磁感应强度大小为 EL
πLB
D.若粒子到达虚线OQ时的速度垂直于OQ，则粒子从P到OQ的时间为 E 2
正确答案： C
答案解析： 解：A.粒子在加速电场中运动时，由动能定理可知，粒子在N点时的动能为
E 1kN =
2
mv = Uq 0 ，故A错误；2
B.粒子在3、4间做匀速直线运动，洛伦兹力和电场力平衡，则从N运动到P的过程电场力不做功，则电势
能不变，故B错误；
C.粒子在3、4间做匀速直线运动，则qE=Bqv,若粒子到达虚线OQ时的速度竖直向下，如图
r v2 4UB
由几何关系L=r+ ，根据qv B m 0 tan 45° ′ ，则OP、Q间线场的感应强度大小为B′ = ，故C正0 = r EL
确；
D.若粒子到达虚线OQ时的速度垂直于OQ，则粒子做圆周运动的圆心在O点，粒子从P到OQ转过的角度为
t 45° 2πL= πLB45°时间为 ·360° v = 4E ，故D错误。0
故选：C。
4. 如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、
电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。
不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　）
（4分）
A.在磁场中运动轨迹的半径不同
B.在磁场中运动的时间不同
C.射出磁场时的速度方向不同
D.射出位置到射入位置的距离不同
正确答案： B
2 2πr
答案解析： 解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有：qvB= mv ，T=
r v
mv 2πm解得粒子做圆周运动的半径：r= qB ，T= qB
可见，比荷相同而电性不同的粒子的轨道半径相同，故A错误；
B、大致画出正负粒子的轨迹如图所示，
2π 2θ 2θ
正粒子运动的时间t+= × T ，负粒子运动的时间为t = × T ＜t ，故B正确；2α - 2π +
C、从上图可知，射出磁场时，速度的方向与边界的夹角为θ，完全相同，故C错误；
D、从上图还可以知道，出射点与入射点的距离均为2rsinθ，也相同，故D错误。
故选：B。
5. 如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，
磁场宽度为d,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，
同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　）
（4分）
A.两粒子的周期之比为Ta：Tb=1：1
B.两粒子的轨迹半径之比为Ra： √ Rb = 3 ：1
C.两粒子的电荷量之比为|qa|：|qb|=1：2
D.两粒子的速度之比为va ：vb = 2：√ 3
正确答案： D
答案解析： 解：A．根据题图可知，带电粒子a和b在磁场中运动的圆心角分别为120°和60°，则
T
t a a = 3
T
t = b b 6
因为两带电粒子运动时间相同，所以可得两粒子的周期之比为
Ta：Tb=1：2
故A错误；
B．如图连接AB，AB连线是两粒子的运动圆弧对应的弦，则弦的中垂线（红线）与各自速度方向的垂直线
（虚线）的交点即为各自圆心。如图：
根据几何关系，两粒子的轨迹半径分别为
d
2
R √ 3a = = d cos 30° 3
d
R 2b = = d cos 60°
所以两粒子的轨迹半径之比
Ra： Rb = √ 3 ：3
故B错误；
CD．两粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
2
qvB = m v R
可得粒子的轨迹半径为
R = mv qB
运动的周期为
T 2πR 2πm= v = qB
所以两粒子的电荷量之比为
|qa|：|qb|=2：1
两粒子的速度之比为
va ：vb = 2：√ 3
故C错误，D正确。
故选：D。
二、多选题（共5小题,共30分）
6. 2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）
在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，
两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。
在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、
q qBR
c带正电且比荷均为 m ，a粒子的速度大小为v
0
a= ，方向沿同心圆的径向； m
b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。
下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.外圆半径等于2R0
（3π + 2）m
B.a粒子返回A点所用的最短时间为 qB
√ 2
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 √ 2 + 2
√ 2
D.c粒子的速度大小为 va 2
正确答案： B D
答案解析： 解：A.a粒子恰好到达磁场外边界后返回，作出a粒子运动轨迹图，如图所示：
设粒子a的轨迹半径为ra，外圆半径为R；
v2
根据洛伦兹力提供向心力qva B = m
a
r a
qBR
由于a粒子的速度大小为v 0 a = m
联立解得ra=R0
根据数学知识OO′ = √ 2 R0
外圆半径为R = ra + OO′ = R √ √0 + 2 R0 =（ 2 + 1）R0 ，故A错误；
2πra 2πm
B.a粒子做匀速圆周运动的周期T = v = a qB
t 270° T 3 2πm 3πm根据对称性，粒子在磁场中运动的时间 21 = × = ×360° 2 qB = qB
2R
t 0 m 2m粒子在内圆中的运动时间 2 = v = 2R0 × a qBR
= qB
0
t t t 3πm 2m （3π + 2）ma粒子返回A点所用的最短时间为 = 1 + 2 = qB + qB = qB ，故B正确；
C.由题意，作出b、c柆子运动轨迹如图所示：
因为b、c柆子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为 q m ，所以两粒子倣圆周运动的周
期相同，因此所用的最短时间之比为1：l,故C错误；
D.根据运动轨迹图，结合几何关系得2rc+R0=R
√ 2
联立解得rc = R 2 0
v2
洛伦兹力提供向心力qv c cB = m r c
联立解得v √ 2c = va ，故D正确。 2
故选：BD。
7. 如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；
Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；
正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4：1。
一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。
取sin37°=0.6。则带电粒子（　　）
（6分）
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1：2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127：37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127：148
正确答案： A D
答案解析： 解：B、设Ⅰ区的磁感应强度大小为B1，Ⅱ区的磁感应强度大小为B2，则有：B1：B2=4：1
2
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：qvB=m v
r
mv
解得圆周运动半径为：r= qB
r1 B2 1
可得在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为： r = B = ，故B错误；2 1 4
ACD、依据题意，结合在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径的比例关系，作出粒子的运动轨迹如上图所示，易知在Ⅰ
区的轨迹圆心不在O点。粒子在Ⅱ区的两段圆弧轨迹的圆心角相等，设为θ，由几何关系得：
r2 r1 1
cosθ= r r ，结合： r = ，解得：θ=37°，易知上图中的角β=53°1 + 2 2 4
360° 2β πr 254°粒子在Ⅰ区的轨迹长度为：s1= × 2 = × 2πr 360° 1 360° 1
θ 74°
粒子在Ⅱ区的轨迹长度为：s2=2 × × 2πr2 = × 2πr2 360° 360°
s1 127
解得： s = 2 148
因粒子在Ⅰ区与Ⅱ区中的线速度大小相等，故在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比等于在Ⅰ区与Ⅱ区的轨迹长
t1 s1 127
度之比，即在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为： t = s = ，故AD正确，C错误。2 2 148
故选：AD。
8. 如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。质量均为m、
电荷量均为q的大量带正电的粒子，以相同的速率从P点向圆面内的各个方向射入磁场区域。
粒子的重力和粒子间的相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　）
（6分）
BqR
A.若粒子射入磁场的速率为 m ，则粒子均沿水平方向射出磁场
√ 2 BqR
B.若粒子射入磁场的速率为 m ，则粒子最远可以从M点射出磁场2
3BqR πm
C.若粒子射入磁场的速率为 ，则粒子在磁场中运动的时间可能为 qB m 3
3BqR
D.若粒子射入磁场的速率为 m ，则不可能有粒子从N点射出磁场
正确答案： A B
答案解析： 解：A.若粒子射入磁场的速率为
v BqR
1 = m
由洛伦兹力提供向心力有：
v
qv1 B
1
= m r 1
解得粒子运动的轨迹半径为：
r1=R
根据左手定则结合“磁发散”可知，则粒子均沿水平方向向左射出磁场，故A正确；
B.若粒子射入磁场的速率为
√
v 2 BqR2 = m 2
由洛伦兹力提供向心力有：
v2
qv B m 2 2 = r
2
解得粒子运动的轨迹半径为：
r √ 2
2 = R 2
粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径：
d=2r2
解得
d = √ 2 R
则粒子最远可以从M点射出磁场，故B正确；
CD.若粒子射入磁场的速率为
v 3BqR3 = m
由洛伦兹力提供向心力有：
v2
qv B 3 = m
3 r 3
解得粒子运动的轨迹半径为：
r3=3R
粒子在磁场中运动时间最长时，运动轨迹对应的弦最长，最长的弦为圆的直径，如图所示：
根据几何关系可得：
1 1
sin θ = R R =3 ＜3 2
所以
θ＜30°
粒子在磁场中运动的最长时间：
t 2θ T 2 × 30° 2πm= ＜ × πm 360° 360° qB = 3qB
πm
则粒子在磁场中运动的时间小于 3qB
根据“旋转圆”的知识可知，可能有粒子从N点射出磁场，故CD错误。
故选：AB。
9. 如图所示，等腰直角三角形abc内有一垂直纸面向里的匀强磁场（ac边界无磁场），ab边长为L，
磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源P垂直ab以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，
粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.粒子可能从b点飞出磁场
B.粒子可能从c点飞出磁场
πm
C.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 qB 4
√ 2 qBL
D.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
m
正确答案： A C
答案解析： 解：粒子可能的轨迹如图所示
A.如图所示，若粒子沿轨迹1运动，由几何关系可知此时的半径为
r = L
1
4
故A正确；
B.与ac边相切的粒子，轨迹如2，由几何关系可知，半径为
r （√ 2 + 1）L=
2
2
由几何关系可知，切点到a的距离也为
r （√ 2 + 1）L= ＜√ 2 L 2 2
所以切点在c点上侧，故粒子不可能过c点，故B错误；
CD.当粒子与ac边相切出磁场时，粒子的速度最小，运动时间最长，轨迹如2，由几何关系可知，此时的
圆心角为
θ=45°
根据牛顿第二定律可知
v2
qv B m 2
2 = r2
解得
qBr
v 2 （√ 2 + 1）qBL2 = m = m 2
周期为
2πr
T 2 2πm= v = qB
2
运动的时间为
t 45°= T = πm qB 360° 4
故C正确，D错误。
故选：AC。
10. 如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，
这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，
相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v1：v2为（　　）
（6分）
A.√ 2 ：1
B.√ 2 ：√ 3
C.1：√ 2
D.√ 3 ：√ 2
正确答案： B
答案解析： 当粒子的速度为v1时，粒子出射点分布在六分之一圆周，则粒子能达到的最远的位置为如图
所示的A点，设粒子的轨道半径为r1，磁场的半径为R
根据图中的几何关系满足
当粒子的速度为v2时，粒子能到达的最远的位置为 B点，设粒子的轨道半径为r2，同理可得
根据几何关系可得
即
而由于
可得
故选：C。
三、计算题（组）（共6小题,共83分）
11. 电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，
一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。
在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，
某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）
所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。
求：（R、v0、B0均为已知量）
（14分）
e
(1)电子的比荷 m ； （7分）
e 2v0
正确答案： 电子的比荷 m 为 B R ；0
答案解析： 电子的发射速度方向与中心轴线的夹角为θ时，平行于磁场方向的分速度大小为：
vy=v0sinθ，垂直于磁场方向的分速度大小为：vx=v0sinθ。电子在平行于磁场的方向上做匀速直线运
动，在垂直于磁场方向的平面内以线速度大小为vx做匀速圆周运动（当θ≠90°时电子的轨迹为螺旋
线）。对于圆周运动，设其运动半径为r,根据洛伦兹力提供向心力得：
v2
evxB = m
x
0 r
mv
r 0
sin θ
解得： = eB 0
恰好没有电子落到筒壁上，说明r最大时，圆周运动轨迹的直径等于R。当θ=90°时r最大，可得：
mv0 R
rmax= eB = 0 2
e 2v0
解得： m = B R 0
1
(2)当磁感应强度大小调至 B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 （7分）2
1
正确答案： 当磁感应强度大小调至 2 B0时，筒壁上落有电子的区域面积S为2√ 3 π
2R2 。
B
答案解析： 磁感应强度调整为 0 时，参照（1）的解答，对于恰好打到筒壁上的电子有： 2
mv sin θ
0
= R B
e · 0
2
2
e 2v0
其中： m = B R 0
1
解得：sin θ = ，即θ=30°2
圆周运动的周期为：
2π · R
T 2 2πR= v =sin θ 0 v
0
恰好打到筒壁上所需时间为：
t = T =
πR
2 v 0
恰好打到筒壁上的电子在平行于磁场方向上的位移大小为：
y = v t √ 3y = v0 cos θ · t = πR 2
因电子源向空间中各个方向发射电子，故筒壁上落有电子的区域沿中心轴线方向的宽度等于2y,可得：
S = 2πR × 2y = 2√ 3 π2R2 。
12. 如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。
MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。
一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上。
3mv
已知O点到MN的距离为 0 ，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求： 2qB
（16分）
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。 （5分）
mv
正确答案： 粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径为 0 ； qB
答案解析： 带电粒子在磁场中的运动，粒子能回到O点，则粒子的运动轨迹对称，其运动的轨迹如
图所示。
v2 mv
粒子在MN左侧区域磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qv B m 0 0 ，解得
0 = r r = 1 1 qB
；

(2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。 （5分）
√ 3 mv
正确答案： 粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 0 ；
2qB
3mv
答案解析： O点到MN的距离为 0 3= ，粒子在MN左侧磁场中运动的轨迹如上图所示，轨迹 2qB r 2 1
对应的圆心为O1，
粒子在中间无磁场区域做匀速直线运动，运动到PQ右侧后，粒子以O2为圆心、r2为半径做匀速圆周运
动，
v2 mv
由洛伦兹力提供向心力，有qv 0 0 · 2B = m 1 ，解得 ，
0 r r2 = = r1 2 2qB 2
由几何关系得，粒子在PQ右侧磁场中运动的轨迹所对的圆心角为120°，则粒子第一次和第二次经过PQ时
√ 3 mv
位置的间距为d 0 = 2r sin2 60° =
；
qB 2
(3)粒子的运动周期。 （6分）
5πm √ 3 m
正确答案： 粒子的运动周期 + 。3qB qB
答案解析： 由几何关系得粒子在MN左侧磁场中运动的轨迹所对的圆心角为240°，运动时间为
240° 2 2πrt 1 1 = T1 = T1 ，由 T360° 3 1 = v ，
0
粒子在PQ右侧磁场中运动的轨迹所对的圆心角为120°，运动时间为 t 120°= T
1
= T
2 360° 2
，由
3 2
2πr
T 22 = v ，0
2（r1 r2） tan 60°
粒子在中间无磁场区域做匀速直线运动的时间 t3 = v ，0
5πm √ 3 m
则粒子的运动周期为T = t + t + t =
1 2 3 3qB + qB 。

13. 如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）
左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，OC=2L，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、
右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为（0，L，0）的A点沿yOz平面发射一质量为n,电荷量为
+q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向与y轴负方向的夹角为60°，
经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求：
（16分）
(1)磁感应强度B的大小； （5分）
√ 3 mv
正确答案： 磁感应强度B的大小为 0 ； 2qL
答案解析： 根据题意可知，lAC=L
粒子的轨迹如图所示
Rsin60°=lAC
由
mv2
qv B 0 = R 0
可得：
√ 3 mv
B 0 = 2qL
(2)粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； （5分）
10√ 3 πL
正确答案： 粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间为 ×9 v ；
0
答案解析： 粒子以水平速度v0进入区域Ⅱ，粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的轨迹如图所示
在区域I中，轨迹的圆心角为120°对应的时间为：
t 120°1 = T 360°
在区域I中，轨迹为半圆，对应的时间为：
t 12 = T 2
T 2πR= v
0
得
T 4√ 3 πL= v 3 0
故： t = t t
5 πR 10√ 3 πL
1 + 2 = ×3 v = × 9 v
0 0
(3)若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，
求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 （6分）
正确答案： 粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小为
①当n为偶数时
n2q2E2π2L2vn = √ v20 + 2 ；3m v2
0
②当n为奇数时
n 2q2E2π2L2v 2 （ 1）n = √ v + 0 m2 2 。 3 v
0
答案解析： 粒子第一次以水平速度v0进入在区域Ⅱ后，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，在
1
电场力作用下，沿z轴方向做加速度为a的匀加速直线运动，运动时间为 T 2 ，粒子第1次经过平面MNPQ时
的速度为v0，第2次经过平面MNPQ时获得了沿z轴负方向的速度vz2
由牛顿第二定律
qE=ma
vz2 = a ·
T
2
在区域I以速度v2做匀速圆周运动，轨迹如图所示
显然，第3次经过平面MNPQ时沿z轴负方向的速度vz3=vz2
1
再在区域Ⅱ中，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，运动时间仍为 T ，在电场力作用下，沿z2
轴方向做加速度为a的匀加速直线运动，第4次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度
vz4 = vz3 + a
T = 2a T 2 2
第5次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度vz5=vz4
T T
第6次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度vz v6 = z + a · = 3a5 ·2 2
粒子的速度为：vn = √ v
2
0 + v
2
zn
依次类推可知：
①当n为偶数时
n T
粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度vzn = · a · 2 2
解得：
n2q2E2π2 2vn = √ v2 + L0 2 23m v
0
②当n为奇数时
粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度
v n 1zn = · a ·
T
2
2
粒子的速度为：
2 2 2 2 2
vn = √ v
2 v2 2 （n 1） q E π L0 + zn = √ v0 + 2 2 。3m v
0
14. 如图，在xOy平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
一带正电的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角θ=30°，从N（0，y0）
点射出磁场。已知粒子的电荷量为q（q＞0），质量为m,忽略粒子重力及磁场边缘效应。
（16分）
(1)求粒子射入磁场的速度大小v1和在磁场中运动的时间t1。 （5分）
2qBy πm
正确答案： 正电荷的入射速度等于 0 ，从M运动到N的时间等于 m 3qB
；
答案解析： 一带正电的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角θ=30°，粒子
从M到N做匀速圆周运动，根据几何关系rsinθ=y0，解得r=2y0
mv2
洛伦兹力提供向心力，则qv B 1 = r 1
2qBy
联立解得v 0=1 m
2πr 2πm
周期T= v ，解得T=1 qB
速度偏转角为2θ=2×30°=60°，所以
t 60°= T πm
1
360° ，解得t1= 3qB
B2y3
(2)若在xOy平面内某点固定一负点电荷，电荷量为48q,粒子质量取m= 0 （k为静电力常量）， k
粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小v2。 （5分）
6kq
正确答案： 这次正电荷的入射速度为 By2 ；
0
答案解析： 正电荷沿原来轨迹从M运动到N，负电荷需固定在（1）问圆心处，这样负电荷受到洛伦
兹力与库仑力的合力提供向心力，轨迹与（1）相同
v2
根据牛顿第二定律有 kQq
+ qv B m
2
= ′
r2 2 r
整理成关于v2的一元二次方程：
B2y4 · v2 2kqBy2 · v k2q224 = 0
0 2 0 2
2
因式分解（By v 6kq）（By2v 4kq） 0 0 2 0 2 + =
v 6kq解得 2 = By2
（已舍去另一负解）
0
(3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间t2速度方向首次与N点速度方向相反，
求t2（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，
Q
与该点电荷距离为r处的电势φ=k r ）。 （6分）
正确答案： 在（2）的条件下，正电荷从N点离开磁场后到首次速度变为与N点的射出速度相反的时间
2√ 3 πBy3
为 0
kq
。
3
答案解析： 离开磁场后洛伦兹力消失，只靠库仑力不足以提供维持圆周运动的向心力，粒子做离
心运动，由于N点受力与速度v2垂直，因此轨迹是负电荷为焦点的椭圆，负电荷类比地球，N点为“近地
点”，速度变为与N点的射出速度相反的点为“远地点”
类比天体，根据开普勒第二定律有
v3r'=v2r
根据能量守恒定律可得
1
m′v
2 kqQ 12 r = m′v
2
3
kqQ
2 2 r ′
联立解得r'=6y0，可得椭圆半长轴a=4y0，根据开普勒第三定律，椭圆轨道周期与半径为a=4y0的圆轨道
周期T'相同，对这个圆轨道列向心力方程
kqQ m 4π
2
2 = ′ · 2 · 4y0
（4y ） T′
0
4√ 3 Bπy3
解得T'= 0
kq 3
T 3′ 2√ 3 πBy
因此所求时间t = ，解得t = 0 2 2 2 3kq

15. 某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，
再进行治疗，其原理简化如图所示。半径为R的圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场。
水平放置的目标靶长为2l，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为l、竖直距离为 。从电子枪逸出的电子
(质量为m、电荷量为e，初速度可以忽略)经匀强电场加速时间t后，沿PO方向射入磁场，
PO与水平方向夹角为θ=60°，当磁感应强度大小为B0时，电子恰好击中M点。
求： （12分）
(1)匀强电场场强E的大小； （7分）
正确答案： 　
答案解析： 电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得 【速度v0也可用v等其它速度符
号】
设OM与竖直方向夹角为α，则有
可得α=30°【角α可以用别的角度符号】
由几何关系得r=Rtan30°
解得
电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得eEt=mv0
联立解得
(2)为保证电子击中目标靶MN，匀强磁场的磁感应强度B的大小范围。 （5分）
正确答案：
答案解析： 当电子击中N点时，设ON与竖直方向夹角为β，则有
可得β=60°
由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，则偏转半径为r′=Rtan45°
【以上给出圆心角为90°后，直接写r′=R也给分】
解得
则磁感应强度的大小范围为
16. 如图所示，矩形区域abcd内存在垂直于纸面的匀强磁场。ab边长为√ 3 L ，ad边长为2L。
位于ad边中点S处的粒子源，不断地沿着垂直ad边的方向发射质量为m、电荷量为q、
初速度为v的带电粒子，带电粒子恰好从b点射出。在此区域加上沿ad方向的匀强电场后，
带电粒子恰好做匀速直线运动。不计带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力。
（9分）
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B； （3分）
mv
正确答案： 匀强磁场的磁感应强度大小B为 2qL ；
答案解析： 带电粒子在匀强磁场中运动轨迹如图
设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系R2 =（R L 2） + 2（√3 L） ，解得
2 mv mv
R=2L，根据牛顿第二定律qvB = m v ，得B = qR = qL 2 ； R
(2)求匀强电场的电场强度大小E； （3分）
2
正确答案： 匀强电场的电场强度大小E为 mv ； 2qL
2
答案解析： 加上匀强电场后，带电粒子做匀速直线运动，根据平衡条件有Eq=qvB，得E = mv qL 2
；
(3)仅撤去磁场，请通过推导判断带电粒子将从矩形区域的哪一边界射出？ （3分）
正确答案： 仅撤去磁场，带电粒子将从矩形区域的bc边射出。
答案解析： 撤去磁场后，带电粒子做匀变速曲线运动，假设带电粒子从bc边射出，根据牛顿第二
定律可知a = F = qE = v
2
，带电粒子沿初速度方向做匀速直线运动，则m m L √ 3 L = vt ，垂直于初速2
1 2 3
度方向做匀变速直线运动，偏移量y = at 2 ，即y = L 4 ，由y＜L可知，带电粒子从bc边射出。
11.3带电粒子在匀强磁场中的运动
满分：133
班级：________ 姓名：________ 成绩：________
一、单选题（共5小题,共20分）
如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　）
（4分）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
如图所示，一定厚度和宽度的半导体板放在匀强磁场中，当半导体板通过一定电流，且电流与磁场方向垂直时，在上侧面A和下侧面A'之间会产生一定的电势差UH。将这种半导体板制成磁敏元件，可用来探测某空间的磁场。下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.若半导体板内载流子为电子，则上侧面A的电势比下侧面A'的电势高
B.探测空间磁场时，UH与被测磁场的磁感应强度呈线性关系
C.探测空间磁场时，磁敏元件的摆放方向对UH的数值无影响
D.在图示情况下，半导体板单位体积中载流子数目越大，UH越大
如图所示，平行金属板1、2竖直放置，两板间电压为U；平行金属板3、4水平放置，两板间匀强电场的电场强度大小为E、垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小为B；竖直虚线OP与倾斜虚线OQ间的夹角为45°，两虚线间有垂直纸面向外的匀强磁场。一带电量为q的正电粒子（不计重力）从1的小孔M无初速度飘入1、2间，从2的小孔N进入3、4间，沿直线从N到达P，粒子离开P后运动到OQ。已知OP两点间的距离为L，下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.粒子在N点时的动能为2Uq B.粒子从N运动到P的过程电势能增大
C.若粒子到达虚线OQ时的速度竖直向下，则OP、OQ间磁场的磁感应强度大小为
D.若粒子到达虚线OQ时的速度垂直于OQ，则粒子从P到OQ的时间为
如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　）
（4分）
A.在磁场中运动轨迹的半径不同 B.在磁场中运动的时间不同
C.射出磁场时的速度方向不同 D.射出位置到射入位置的距离不同
如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，磁场宽度为d,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　）
（4分）
A.两粒子的周期之比为Ta：Tb=1：1 B.两粒子的轨迹半径之比为
C.两粒子的电荷量之比为|qa|：|qb|=1：2 D.两粒子的速度之比为
二、多选题（共5小题,共30分）
2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va=，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.外圆半径等于2R0 B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D.c粒子的速度大小为
如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4：1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　）
（6分）
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点 B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1：2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127：37 D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127：148
如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。质量均为m、电荷量均为q的大量带正电的粒子，以相同的速率从P点向圆面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力和粒子间的相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿水平方向射出磁场
B.若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从M点射出磁场
C.若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为
D.若粒子射入磁场的速率为，则不可能有粒子从N点射出磁场
如图所示，等腰直角三角形abc内有一垂直纸面向里的匀强磁场（ac边界无磁场），ab边长为L，磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源P垂直ab以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.粒子可能从b点飞出磁场 B.粒子可能从c点飞出磁场
C.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v1：v2为（　　）
（6分）
A. B. C. D.
三、计算题（组）（共6小题,共83分）
电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、v0、B0均为已知量）
（14分）
(1) 电子的比荷；（7分）
(2) 当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。（7分）
如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求：
（16分）
(1) 粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。（5分）
(2) 粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。（5分）
(3) 粒子的运动周期。（6分）
如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，OC=2L，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为（0，L，0）的A点沿yOz平面发射一质量为n,电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向与y轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求：
（16分）
(1) 磁感应强度B的大小；（5分）
(2) 粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间；（5分）
(3) 若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。（6分）
如图，在xOy平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带正电的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角θ=30°，从N（0，y0）点射出磁场。已知粒子的电荷量为q（q＞0），质量为m,忽略粒子重力及磁场边缘效应。
（16分）
(1) 求粒子射入磁场的速度大小v1和在磁场中运动的时间t1。（5分）
(2) 若在xOy平面内某点固定一负点电荷，电荷量为48q,粒子质量取m=（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小v2。（5分）
(3) 在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间t2速度方向首次与N点速度方向相反，求t2（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势φ=k）。（6分）
某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治疗，其原理简化如图所示。半径为R的圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场。水平放置的目标靶长为2l，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为l、竖直距离为。从电子枪逸出的电子(质量为m、电荷量为e，初速度可以忽略)经匀强电场加速时间t后，沿PO方向射入磁场，PO与水平方向夹角为θ=60°，当磁感应强度大小为B0时，电子恰好击中M点。
求：（12分）
(1) 匀强电场场强E的大小；（7分）
(2) 为保证电子击中目标靶MN，匀强磁场的磁感应强度B的大小范围。（5分）
如图所示，矩形区域abcd内存在垂直于纸面的匀强磁场。ab边长为，ad边长为2L。位于ad边中点S处的粒子源，不断地沿着垂直ad边的方向发射质量为m、电荷量为q、初速度为v的带电粒子，带电粒子恰好从b点射出。在此区域加上沿ad方向的匀强电场后，带电粒子恰好做匀速直线运动。不计带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力。
（9分）
(1) 求匀强磁场的磁感应强度大小B；（3分）
(2) 求匀强电场的电场强度大小E；（3分）
(3) 仅撤去磁场，请通过推导判断带电粒子将从矩形区域的哪一边界射出？（3分）

第2页
第2页11.3带电粒子在匀强磁场中的运动
满分：133
班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、单选题（共5小题,共20分）
1. 如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，
MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，
沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、
qBd
速度大小均为 m 。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　）
（4分）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为√ 3 d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
πm
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 6qB
2. 如图所示，一定厚度和宽度的半导体板放在匀强磁场中，当半导体板通过一定电流，
且电流与磁场方向垂直时，在上侧面A和下侧面A'之间会产生一定的电势差UH。
将这种半导体板制成磁敏元件，可用来探测某空间的磁场。下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.若半导体板内载流子为电子，则上侧面A的电势比下侧面A'的电势高
B.探测空间磁场时，UH与被测磁场的磁感应强度呈线性关系
C.探测空间磁场时，磁敏元件的摆放方向对UH的数值无影响
D.在图示情况下，半导体板单位体积中载流子数目越大，UH越大
3. 如图所示，平行金属板1、2竖直放置，两板间电压为U；平行金属板3、4水平放置，
两板间匀强电场的电场强度大小为E、垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小为B；
竖直虚线OP与倾斜虚线OQ间的夹角为45°，两虚线间有垂直纸面向外的匀强磁场。
一带电量为q的正电粒子（不计重力）从1的小孔M无初速度飘入1、2间，从2的小孔N进入3、4间，
沿直线从N到达P，粒子离开P后运动到OQ。已知OP两点间的距离为L，下列说法正确的是（　　）
（4分）
A.粒子在N点时的动能为2Uq
B.粒子从N运动到P的过程电势能增大
4UB
C.若粒子到达虚线OQ时的速度竖直向下，则OP、OQ间磁场的磁感应强度大小为 EL
πLB
D.若粒子到达虚线OQ时的速度垂直于OQ，则粒子从P到OQ的时间为 E 2
4. 如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、
电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。
不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　）
（4分）
A.在磁场中运动轨迹的半径不同
B.在磁场中运动的时间不同
C.射出磁场时的速度方向不同
D.射出位置到射入位置的距离不同
5. 如图所示，两个质量相等的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入足够长平行边界匀强磁场，
磁场宽度为d,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，两粒子同时由A点出发，
同时到达B点，不计粒子重力及粒子间的影响，则（　　）
（4分）
A.两粒子的周期之比为Ta：Tb=1：1
B.两粒子的轨迹半径之比为Ra：R b = √ 3 ：1
C.两粒子的电荷量之比为|qa|：|qb|=1：2
D.两粒子的速度之比为va： √ vb = 2： 3
二、多选题（共5小题,共30分）
6. 2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）
在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，
两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。
在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、
q qBR
c带正电且比荷均为 m ，a粒子的速度大小为v =
0
a m
，方向沿同心圆的径向；
b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。
下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.外圆半径等于2R0
（3π + 2）m
B.a粒子返回A点所用的最短时间为 qB
√ 2
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 √ 2 + 2
√ 2
D.c粒子的速度大小为 v2 a
7. 如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；
Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；
正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4：1。
一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。
取sin37°=0.6。则带电粒子（　　）
（6分）
A.在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1：2
C.在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127：37
D.在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127：148
8. 如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。质量均为m、
电荷量均为q的大量带正电的粒子，以相同的速率从P点向圆面内的各个方向射入磁场区域。
粒子的重力和粒子间的相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　）
（6分）
BqR
A.若粒子射入磁场的速率为 m ，则粒子均沿水平方向射出磁场
√ 2 BqR
B.若粒子射入磁场的速率为 m ，则粒子最远可以从M点射出磁场2
3BqR πm
C.若粒子射入磁场的速率为 m ，则粒子在磁场中运动的时间可能为
3qB
3BqR
D.若粒子射入磁场的速率为 m ，则不可能有粒子从N点射出磁场
9. 如图所示，等腰直角三角形abc内有一垂直纸面向里的匀强磁场（ac边界无磁场），ab边长为L，
磁场磁感应强度大小为B。ab边中点的粒子源P垂直ab以不同速率向磁场内发射带负电的粒子，
粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是（　　）
（6分）
A.粒子可能从b点飞出磁场
B.粒子可能从c点飞出磁场
πm
C.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 qB 4
√ 2 qBL
D.能从ac边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
m
10. 如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，
这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，
相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v1：v2为（　　）
（6分）
A.√ 2 ：1
B.√ 2 ：√ 3
C.1：√ 2
D.√ 3 ：√ 2
三、计算题（组）（共6小题,共83分）
11. 电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，
一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。
在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，
某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）
所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。
求：（R、v0、B0均为已知量）
（14分）
e
(1)电子的比荷 m ； （7分）
1
(2)当磁感应强度大小调至 B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。 （7分）2
12. 如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。
MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。
一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上。
3mv
已知O点到MN的距离为 0 ，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求： 2qB
（16分）
(1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。 （5分）
(2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。 （5分）
(3)粒子的运动周期。 （6分）
13. 如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）
左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，OC=2L，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、
右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为（0，L，0）的A点沿yOz平面发射一质量为n,电荷量为
+q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向与y轴负方向的夹角为60°，
经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求：
（16分）
(1)磁感应强度B的大小； （5分）
(2)粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； （5分）
(3)若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，
求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 （6分）
14. 如图，在xOy平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
一带正电的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角θ=30°，从N（0，y0）
点射出磁场。已知粒子的电荷量为q（q＞0），质量为m,忽略粒子重力及磁场边缘效应。
（16分）
(1)求粒子射入磁场的速度大小v1和在磁场中运动的时间t1。 （5分）
B2y3
(2)若在xOy平面内某点固定一负点电荷，电荷量为48q,粒子质量取m= 0 （k为静电力常量）， k
粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小v2。 （5分）
(3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间t2速度方向首次与N点速度方向相反，
求t2（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，
Q
与该点电荷距离为r处的电势φ=k r ）。 （6分）
15. 某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，
再进行治疗，其原理简化如图所示。半径为R的圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场。
水平放置的目标靶长为2l，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为l、竖直距离为 。从电子枪逸出的电子
(质量为m、电荷量为e，初速度可以忽略)经匀强电场加速时间t后，沿PO方向射入磁场，
PO与水平方向夹角为θ=60°，当磁感应强度大小为B0时，电子恰好击中M点。
求： （12分）
(1)匀强电场场强E的大小； （7分）
(2)为保证电子击中目标靶MN，匀强磁场的磁感应强度B的大小范围。 （5分）
16. 如图所示，矩形区域abcd内存在垂直于纸面的匀强磁场。ab边长为√ 3 L ，ad边长为2L。
位于ad边中点S处的粒子源，不断地沿着垂直ad边的方向发射质量为m、电荷量为q、
初速度为v的带电粒子，带电粒子恰好从b点射出。在此区域加上沿ad方向的匀强电场后，
带电粒子恰好做匀速直线运动。不计带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力。
（9分）
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B； （3分）
(2)求匀强电场的电场强度大小E； （3分）
(3)仅撤去磁场，请通过推导判断带电粒子将从矩形区域的哪一边界射出？ （3分）

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