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第一课时　等比数列的定义
1.若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　）
A.405 B.－405
C.135 D.－135
2.在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是（　　）
A.－2 B.
C.2 D.4
3.已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　）
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
4.数列{an}满足：an＋1＝λan－1（n∈N＋，λ≠0，λ∈R），若数列{an－1}是等比数列，则λ的值是（　　）
A.1 B.2
C. D.－1
5.（多选）已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是（　　）
A.{｜an｜} B.{an－an＋1}
C. D.{kan}
6.（多选）已知等比数列{an}的公比为q，a3＝4且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为（　　）
A. B.1
C.2 D.3
7.若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比q＝　　　　.
8.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为　　　　.（只需写出一组）
9.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　　 　，d＝　　　　.
10.已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30.
（1）求an；
（2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
11.（多选）已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　）
A.一定是等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.可能是等比数列
D.可能既非等差数列又非等比数列
12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，则a＝　　　　，an＝　　　　.
13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
（1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
14.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53的值为（　　）
A. B.
C. D.
15.设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.
（1）证明：，，，依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列？并说明理由.
第一课时　等比数列的定义
1.A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.
2.C　设公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.
3.D　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025.
4.B　数列{an－1}为等比数列 ＝＝q，即：λan－2＝qan－q恒成立，可知： λ＝2.
5.AC　设等比数列{an}的公比为q，
∵ ＝｜q｜，∴{｜an｜}是等比数列.
当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，
∴{an－an＋1}不是等比数列.
∵＝＝，∴是等比数列.
当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列.
故只有A、C一定是等比数列.
6.AC　因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2（a3＋1），因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2（a3＋1），得a3＝2（a3＋1），即q＋＝，解得q＝2或.
7.－1或2　解析：设首项为a1，显然a1q≠0，由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
8.2，8，32（答案不唯一）　解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1，所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…，显然＝，所以2，8，32能构成等比数列.
9.　－1　解析：由题意可得＝，
即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d），
故有3a1＋2d＝0， ①
由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1， ②
联立①②解得d＝－1，a1＝.
10.解：（1）设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0，
所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3.
所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）.
（2）因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1.
所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
11.ABC　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C.
12.2　5n－3　解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3.
13.解：（1）证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
＝＋（n－1）×＝n－.
所以an＝（3n－1）·2n－2.
14.C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.
15.解：（1）证明：因为＝＝2d（n＝1，2，3）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列.
（2）令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）.
假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列，
则＝，即a4＝（a－d）（a＋d）3，
同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4.
令t＝，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4，化简得t3＋2t2－2＝0　（*），且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列.
2 / 2第一课时　等比数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题：
（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…；
（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035.
【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给等比数列下一个定义？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　等比数列的定义
如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于　　　　　　　　　　，即＝　　　　恒成立，则称{an}为等比数列，其中　　称为等比数列的公比.
【想一想】
1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？
2.等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？
3.常数列一定是等比数列吗？
　给出下列数列：
①2，2，4，8，16，32，…；
②在数列{an}中，＝2，＝2；
③常数列c，c，c，…，c.
其中等比数列的个数为　　　　.
知识点二　等比数列的通项公式
　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公式为an＝　　　　.
【想一想】
　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
1.已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为（　　）
A.an＝2·3n＋1　　　 B.an＝3·2n＋1
C.an＝2·3n－1 D.an＝3·2n－1
2.在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝　　　　.
题型一 等比数列的判断与证明
【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式.
尝试解答
通性通法
证明数列{an}是等比数列的常用方法
（1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2） 数列{an}为等比数列；
（2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋） 数列{an}是等比数列.
【跟踪训练】
1.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.
2.已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】　在等比数列{an}中.
（1）a4＝2，a7＝8，求an；
（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.
2.（变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1”若换为“a1＝，q＝，an＝”，其他条件不变，试求n.
通性通法
求等比数列通项公式的常用方法
（1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
（2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
【跟踪训练】
1.在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　）
A.36　　　　　　　　 B.48
C.60 D.72
2.已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝（　　）
A. B.
C.2 D.4
题型三 灵活设元求解等比数列
【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　　　；
（2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.
尝试解答
通性通法
几个数成等比数列的设法
（1）三个数成等比数列设为，a，aq；
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，….
（2）四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3；
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，….
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
【跟踪训练】
　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（　　）
A.13项　 B.12项　 C.11项　 D.10项
　等比数列的单调性
在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有关？
提示：因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f（x）＝×qx，则可以看出an＝f（n），而且：
（1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列；
（2）当公比q≠1时，f（x）是与y＝qx的乘积，此时，f（x）的增减性即与a1有关，也与q有关.
【问题探究】
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
（1）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递增数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0，∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列.
（2）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递减数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，
即an＋1＜an，
∴{an}是递减数列.
（3）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递减数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，
∴an＋1＜an，
∴{an}是递减数列.
（4）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递增数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，∴an＋1＞an，
∴{an}是递增数列.
（5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？
提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，{an}是一个摆动数列，也不具有单调性.
【迁移应用】
1.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　）
A.递增数列　　　　B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
2.数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），则该数列的公比q的取值范围是（　　）
A.q＝1 B.q＜0
C.q＞1 D.0＜q＜1
3.在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
1.若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是（　　）
A.公比为2的等比数列
B.公比为的等比数列
C.公差为2的等差数列
D.公差为的等差数列
2.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为（　　）
A. B.
C. D.1
4.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝（　　）
A.1 B.3
C.±1 D.±3
5.已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，则an＝　　　　.
第一课时　等比数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个常数q　q　q
想一想
1.提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
2.提示：不能.
3.提示：不一定，如0，0，0，….
自我诊断
0　解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列.
知识点二
a1qn－1
想一想
提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数.
自我诊断
1.C　由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
2.－729　解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，∵a4＝a1q3＝－27a1＝27，∴a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×（－3）6＝－729.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
跟踪训练
1.证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ①
＝， ②
＝＋. ③
由③得＝，所以a4＝. ④
由①得a2＝. ⑤
将④⑤代入②，得＝·.
所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）.
化简得＝a1·a5，
因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列.
2.证明：依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n，
于是bn＝.
而＝＝＝2，
又因为b1＝＝.
所以数列{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
【例2】　解：设等比数列的首项为a1，公比为q.
（1）法一　因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝.
（2）法一　因为
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
母题探究
1.解：由本例（1）知an＝.令an＝128，
得＝7，即n＝13.
故128是该数列中的第13项.
2.解：因为an＝a1qn－1，所以×＝，
即＝，解得n＝5.
跟踪训练
1.B　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48.
2.D　由题意可得
＝＝＝
＝＝4.
【例3】　（1）45　解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
（2）解：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
跟踪训练
B　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12.
拓视野　等比数列的单调性
迁移应用
1.A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列.
2.C　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1.
3.D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列.
随堂检测
1.A　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）.
2.D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3.A　原式＝＝＝.
4.A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
5.28－n　解析：由已知得得∵an＞0，
∴∴an＝128×＝28－n.
5 / 5(共76张PPT)
第一课时　等比数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和
通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关
系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运
算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题：
（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再
捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，
16，…；
（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初
将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算
一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，
1 000×1.032，…，1 000×1.035.
【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定
义，给等比数列下一个定义？
知识点一　等比数列的定义
　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于
，即 ＝ 恒成立，则称{an}为等比数列，其
中 称为等比数列的公比.
同一
个常数q　
q　
q　
【想一想】
1. 若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定
是等比数列吗？
提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，
该数列才是等比数列.
2. 等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？
提示：不能.
3. 常数列一定是等比数列吗？
提示：不一定，如0，0，0，….
　给出下列数列：
①2，2，4，8，16，32，…；
②在数列{an}中， ＝2， ＝2；
③常数列c，c，c，…，c.
其中等比数列的个数为 .
0　
解析：①不是等比数列，因为 ≠ .②不一定是等比数列，因为不
知道 的值.事实上，即使 ＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不
一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列.
知识点二　等比数列的通项公式
　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通
项公式为an＝ .
a1qn－1　
【想一想】
　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数.
1. 已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式
为（　　）
A. an＝2·3n＋1 B. an＝3·2n＋1
C. an＝2·3n－1 D. an＝3·2n－1
解析：　由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式
为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
2. 在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝ .
解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，∵a4＝a1q3＝－27a1＝
27，∴a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×（－3）6＝－729.
－729　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的判断与证明
【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝ .
（1）求b1，b2，b3；
解：由条件可得an＋1＝ an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
解： {bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得 ＝ ，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}
是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）求{an}的通项公式.
解：由（2）可得， ＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
通性通法
证明数列{an}是等比数列的常用方法
（1）定义法： ＝q（q为常数且q≠0）或 ＝q（q为常数且
q≠0，n≥2） 数列{an}为等比数列；
（2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋） 数列
{an}是等比数列.
【跟踪训练】
1. 已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，
a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，
a3，a5成等比数列.
证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ①
＝ ， ②
＝ ＋ . ③
由③得 ＝ ，所以a4＝ . ④
由①得a2＝ . ⑤
将④⑤代入②，得 ＝ · .
所以a3＝ ，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）.
化简得 ＝a1·a5，
因为a1，a3，a5均不为0，所以 ＝ ，故a1，a3，a5成等比数列.
2. 已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝ ，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
证明：依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n，
于是bn＝ .
而 ＝ ＝ ＝2，
又因为b1＝ ＝ .
所以数列{bn}是以 为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn
＝2n－3.
题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】　在等比数列{an}中.
（1）a4＝2，a7＝8，求an；
解：设等比数列的首项为a1，公比为q.
法一　因为所以
由 得q3＝4，从而q＝ ，而a1q3＝2，
于是a1＝ ＝ ，所以an＝a1qn－1＝ .
法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝ .
所以an＝a4qn－4＝2×（ ）n－4＝ .
解：法一　因为
由 得q＝ ，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32× ＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝ .
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
【母题探究】
1. （变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如
果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.
解：由本例（1）知an＝ .令an＝128，
得 ＝7，即n＝13.
故128是该数列中的第13项.
2. （变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝
1”若换为“a1＝ ，q＝ ，an＝ ”，其他条件不变，试求n.
解：因为an＝a1qn－1，所以 × ＝ ，
即 ＝ ，解得n＝5.
通性通法
求等比数列通项公式的常用方法
（1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求
an，这是常规方法；
（2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，
这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
【跟踪训练】
1. 在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　）
A. 36 B. 48
C. 60 D. 72
解析：　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝
48.
2. 已知等比数列{an}的公比q＝－ ，则 ＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 4
解析：　由题意可得
＝ ＝ ＝＝ ＝4.
题型三 灵活设元求解等比数列
【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，
4，13成等差数列，则这四个数的和是 ；
45　
解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是
3，6，12，24，其和为45.
（2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三
个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.
解：设前三个数为 ，a，aq，则 ·a·aq＝216，
所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为 ，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ .
故所求的四个数为9，6，4，2.
通性通法
几个数成等比数列的设法
（1）三个数成等比数列设为 ，a，aq；
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， ， ，a，aq，
aq2，….
（2）四个符号相同的数成等比数列设为 ， ，aq，aq3；
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…， ，
， ，aq，aq3，aq5，….
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，
aq，aq2，aq3.
【跟踪训练】
　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为
64，则该数列有（　　）
A. 13项 B. 12项
C. 11项 D. 10项
解析： 　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，
a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得 q3＝
2， q3n－6＝4，两式相乘得 q3（n－1）＝8，即 qn－1＝2.又
a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴ ＝64，即（ qn－1）n＝
642，∴2n＝642＝212，解得n＝12.
　等比数列的单调性
　　
在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有
关？
提示：因为an＝a1qn－1＝ ×qn，所以如果记f（x）＝ ×qx，则可
以看出an＝f（n），而且：
（1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列；
（2）当公比q≠1时，f（x）是 与y＝qx的乘积，此时，f（x）的
增减性即与a1有关，也与q有关.
【问题探究】
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
（1）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递增数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0，
∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列.
（2）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递减数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，
即an＋1＜an，∴{an}是递减数列.
（3）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递减数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，
∴an＋1＜an，∴{an}是递减数列.
（4）若则数列{an}是递增，还是递减数列？
提示：数列{an}是递增数列，证明如下：
∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，
∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列.
（5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？
提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，
{an}是一个摆动数列，也不具有单调性.
【迁移应用】
1. 在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为
（　　）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 无法确定单调性
解析： 　由8a2－a5＝0，可知 ＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞
0，所以数列{an}为递增数列.
2. 数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），
则该数列的公比q的取值范围是（　　）
A. q＝1 B. q＜0
C. q＞1 D. 0＜q＜1
解析： 　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比
数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1.
3. 在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是
（　　）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 无法确定单调性
解析： 　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不
具有单调性；等比数列 的公比为 ，是递减数列；等比数列
的公比为 ，是递增数列.
1. 若数列{an}是公比为 的正项等比数列，则{ ·a2n}是
（　　）
A. 公比为2 的等比数列
B. 公比为 的等比数列
C. 公差为2 的等差数列
D. 公差为 的等差数列
解析： 　数列{an}是公比为 的正项等比数列，则 ＝
（n≥2，n∈N＋），设bn＝ ·a2n，则 ＝ ＝
·（ ）2＝2 （n≥2，n∈N＋）.
2. 在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n
等于（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n
－1＝6，解得n＝7.
3. 设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 的值为
（　　）
A. B.
C. D. 1
解析： 　原式＝ ＝ ＝ .
4. 在等比数列{an}中，已知a1＝ ，a5＝3，则a3＝（　　）
A. 1 B. 3
C. ±1 D. ±3
解析： 　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝
×3＝1.
5. 已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，
则an＝ .
解析：由已知得得∵an＞0，
∴∴an＝128× ＝28－n.
28－n　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　）
A. 405 B. －405
C. 135 D. －135
解析： 　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝ ＝－3，∴a5＝405.
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2. 在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是
（　　）
A. －2 B.
C. 2 D. 4
解析： 　设公比为q，由题意得q3＝ ＝8，解得q＝2.
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3. 已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　）
A. 2 022 B. 2 023
C. 2 024 D. 2 025
解析： 　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an
＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025.
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4. 数列{an}满足：an＋1＝λan－1（n∈N＋，λ≠0，λ∈R），若数
列{an－1}是等比数列，则λ的值是（　　）
A. 1 B. 2
C. D. －1
解析： 　数列{an－1}为等比数列 ＝ ＝q，即：
λan－2＝qan－q恒成立，可知： λ＝2.
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5. （多选）已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等
比数列的是（　　）
A. {｜an｜} B. {an－an＋1}
C. D. {kan}
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解析： 　设等比数列{an}的公比为q，∵ ＝｜q｜，
∴{｜an｜}是等比数列.当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，
∴{an－an＋1}不是等比数列.∵ ＝ ＝ ，∴ 是等比数
列.当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列.故只有A、C一定
是等比数列.
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6. （多选）已知等比数列{an}的公比为q，a3＝4且a2，a3＋1，a4成
等差数列，则q的值可能为（　　）
A. B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2（a3＋
1），因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2
（a3＋1），得a3 ＝2（a3＋1），即q＋ ＝ ，解得q＝2
或 .
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7. 若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比q＝ .
解析：设首项为a1，显然a1q≠0，由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，
即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
－1或2　
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8. 已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等
比数列的三项可以为 .（只需写出
一组）
解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1，
所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，
29，32，35，…，显然 ＝ ，所以2，8，32能构成等比数列.
2，8，32（答案不唯一）　
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9. 已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，
且2a1＋a2＝1，则a1＝ ，d＝ .
解析：由题意可得 ＝ ，
即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d），
故有3a1＋2d＝0， ①
由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1， ②
联立①②解得d＝－1，a1＝ .
　
－1　
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10. 已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30.
（1）求an；
解： 设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0，
所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3.
所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）.
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（2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
解： 因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以
bn＋1＝bn＋2·3n－1.
所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
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11. （多选）已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成
的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　）
A. 一定是等差数列
B. 公差为2d的等差数列
C. 可能是等比数列
D. 可能既非等差数列又非等比数列
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解析： 　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3
＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋
（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2
＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D
错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3
＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C.
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12. 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项
为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜
a3，对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，
则a＝ ，an＝ .
2　
5n－3　
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解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜
b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N
＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m
－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N
＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3.
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13. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
（1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
解： 证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1
＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－
4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
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（2）求数列{an}的通项公式.
解： 由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是 － ＝ ，
因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
＝ ＋（n－1）× ＝ n－ .
所以an＝（3n－1）·2n－2.
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14. 如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第
三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
， ，
…
记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53的值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝
＋（5－1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而
且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等
比数列，所以a53＝ × ＝ .
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15. 设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.
（1）证明： ， ， ， 依次构成等比数列；
解： 证明：因为 ＝ ＝2d（n＝1，2，
3）是同一个常数，所以 ， ， ， 依次构成等
比数列.
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（2）是否存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数
列？并说明理由.
解： 令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，
a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）.
假设存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数列，
则 ＝ ，即a4＝（a－d）（a＋d）3，
同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4.
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令t＝ ，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋
2t）4 ，化简得t3＋2t2－2＝0　
（*），且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2
＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－ .
显然t＝－ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1， ， ， 依次构成等比数列.
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