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5.3.2　等比数列的前n项和
1.在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝（　　）
A.－ B.
C.－或1 D.或1
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝（　　）
A.2n－1 B.2－21－n
C.2－2n－1 D.21－n－1
3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（　　）
A.16（1－4－n） B.16（1－2－n）
C.（1－4－n） D.（1－2－n）
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于（　　）
A.8 B.12
C.16 D.24
5.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于（　　）
A.－3 B.5
C.－31 D.33
6.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是（　　）
A.0＜q＜1
B.a7a9＜1
C.Tn的最大值为T7
D.Sn的最大值为S7
7.设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝　　　　　，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列.
8.等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为　　　　.
9.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为　　　　.
10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得Sn≥2 025？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由.
11.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝2n－1，则下列结论正确的是（　　）
A.S2＝2 B.Sn＝2n－1
C.Sn＜Sn＋1 D.{}是等比数列
12.把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图（2））；如此继续下去，则
（1）图（3）中共挖掉了　　　　个正方形；
（2）第n个图形挖掉正方形的面积和是　　　　.　
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t.
（1）求t；
（2）求数列{（cos nπ）·an}的前n项和.
14.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　）
A. 里 B.1 050里
C. 里 D.950里
15.已知等差数列{bn}中，bn＝log2（an－1），且a1＝3，a3＝9.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
第一课时　等比数列的前n项和公式
1.C　由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或q＝1.
2.B　法一　设等比数列{an}的公比为q，则由
解得
所以Sn＝＝2n－1，
an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B.
法二　设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B.
3.C　由a5＝a2q3，得q3＝，所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝（1－4－n）.
4.C　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16.
5.D　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，所以q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
6.ABC　∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；a7a9＝＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a1＞1，0＜q＜1，所以Sn无最大值，故D不正确.故选A、B、C.
7.（答案不唯一）　解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝就是符合条件的一个通项.
8.450　解析：由＝q，q＝2，得＝2 a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝150＋300＝450.
9.　解析：由题意知，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝.
10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1.
（2）由（1）有Sn＝＝1－（－2）n.
若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025，
即（－2）n≤－2 024.
当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N，k≥5}.
11.BCD　因为an＝2n－1，所以{an}是等比数列，且a1＝1，公比q＝2，所以S2＝a1＋a2＝3，Sn＝＝2n－1.Sn－Sn＋1＝2n－1－（2n＋1－1）＝－2n＜0，所以Sn＜Sn＋1，＝＝（）n，所以{}是等比数列.
12.（1）73　（2）1－　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝，∴a3＝73.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×＋8×＋82×＋…＋8n－1×＝＝1－.
13.解：（1）令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t，
当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t，
两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an，
依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1.
（2）由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝2n－1，
故{（cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列，
故an＝（－1）（－2）n－1.
故Tn＝＝（－2）n－.
14.C　由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700（里），
则a1＝（里），则＝（里）.
故选C.
15.解：（1）设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2（a1－1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28＝3，
∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n.
（2）由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1）
＝（2＋22＋…＋2n）＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.
2 / 25.3.2　等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
第一课时　等比数列的前n项和公式
　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.
【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
知识点　等比数列的前n项和公式
【想一想】
1.等比数列的前n项和公式中Sn＝的适用条件是什么？
2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？
3.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？
1.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　）
A.4　　　　　　　　 B.－4
C.2 D.－2
2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于（　　）
A.2 B.4
C. D.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝　　　　.
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
（1）已知a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
（2）已知S3＝，S6＝，求a1与q.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn.
2.（变条件）若本例（2）中的条件“S3＝，S6＝”变为“S3＝，S6＝”，其他条件不变，结果又如何呢？
通性通法
　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】　等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝　　　　.
尝试解答
通性通法
1.等比数列前n项和的性质
　　设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则：
（1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝；
（2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm；
（3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q；
（4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…）仍构成等比数列（公比为qn，n≥2）.
2.运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则会出现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
【跟踪训练】
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（　　）
A.2　　　　　　　　 B.
C. D.3
2.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】　某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则：
（1）该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？
（2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
尝试解答
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
　《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝　　　　尺.
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（　　）
A.16　　　　　　　　 B.8
C.4 D.2
2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（　　）
A.31 B.33
C.35 D.37
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于（　　）
A.1 B.0
C.1或0 D.－1
4.已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），则实数k为（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.2
5.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
（1）若S2＝30，S3＝155，求Sn；
（2）若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n.
第一课时　等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1　　na1　
想一想
1.提示：公比q≠1.
2.提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
3.提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－qn（q≠0且q≠1），
若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
自我诊断
1.A　由S5＝＝44，得a1＝4.
2.C　＝×＝＝.
3.±1　解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6（a1＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
（2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝.
法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入＝，得a1＝.
母题探究
1.解：由本例（2）知a1＝，q＝2，
所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
2.解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝.
跟踪训练
解：法一　由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.∴S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
法二　由等比数列的性质得a3·a5＝＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解.故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
【例2】　63　解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由可得所以S3n＝＝·[1－（qn）3]＝64×＝63.
法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.
跟踪训练
1.B　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
法二　由＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝.
2.解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×.
【例3】　解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝，
∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458（辆），
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×，
由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，n∈N＋，解得n＞7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
2n－＋1　解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.
随堂检测
1.C　由题意知解得∴ a3＝a1q2＝4.故选C.
2.B　根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.
3.A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
4.C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
5.解：（1）由题意知解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
（2）∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
∴＝189.∴q＝2.
∴an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6.
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5.3.2　等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等
比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关
系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运
算
第一课时
等比数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而
乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱
是前一天的二倍.
【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？
知识点　等比数列的前n项和公式
【想一想】
1. 等比数列的前n项和公式中Sn＝ 的适用条件是什么？
提示：公比q≠1.
2. 若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为
何值？
提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所
以前n项和为Sn＝na.
3. 若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，
n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？
提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝ （q≠0且
q≠1）变形为Sn＝ － qn（q≠0且q≠1），
若令a＝ ，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
1. 等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
解析：　由S5＝ ＝44，得a1＝4.
2. 设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则 等于（　　）
A. 2 B. 4
C. D.
解析：　 ＝ × ＝ ＝ .
3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q
＝ .
解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝
q6（a1＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1.
±1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
（1）已知a1＝8，an＝ ，Sn＝ ，求n；
解：显然q≠1，由Sn＝ ，即 ＝ ，
∴q＝ .又∵an＝a1qn－1，即8× ＝ ，
∴n＝6.
（2）已知S3＝ ，S6＝ ，求a1与q.
解：法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得

②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝ .
法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋
a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，
∴1＋q3＝ ＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入 ＝ ，得a1＝ .
【母题探究】
1. （变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn.
解：由本例（2）知a1＝ ，q＝2，
所以an＝a1qn－1＝ ·2n－1＝2n－2，
Sn＝ ＝2n－1－ .
2. （变条件）若本例（2）中的条件“S3＝ ，S6＝ ”变为“S3＝
，S6＝ ”，其他条件不变，结果又如何呢？
解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则
解得q＝2，a1＝ .
通性通法
　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本
的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与
Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消
元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
解：法一　由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，
∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，
∴S8＝ ＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.
∴S8＝ ＝ .
综上知S8＝255或S8＝ .
法二　由等比数列的性质得a3·a5＝ ＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝ ＝4，
∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝ ＝－2，无解.故q＝±2.
当q＝2时，a1＝ ＝1，S8＝ ＝255.
当q＝－2时，a1＝ ＝－1，S8＝ ＝ .
综上知S8＝255或S8＝ .
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】　等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前
3n项和S3n＝ .
解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由
可得所以S3n＝ ＝ ·[1－（qn）3]
＝64× ＝63.
63　
法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝
Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.
通性通法
1. 等比数列前n项和的性质
　　设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则：
（1）当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ；
（2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm；
（3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则
＝q；若项数为2n＋1，则 ＝q；
（4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－
S2n，…）仍构成等比数列（公比为qn，n≥2）.
2. 运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则
会出现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，
S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
【跟踪训练】
1. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 ＝（　　）
A. 2 B.
C. D. 3
解析：　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9
＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是 ＝ ＝3，即1＋q3
＝3，所以q3＝2.于是 ＝ ＝ ＝ .
法二　由 ＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－
1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3
（S9－S6），解得S9＝7S3，所以 ＝ .
2. 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4
倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.
解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和
分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝ ＝ .
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以 ·q3＝64，即a1＝12，故所求通项
公式为an＝12× .
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】　某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆
电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则：
（1）该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？
解：每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，
其中a1＝128，q＝ ，
∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128× ＝1 458（辆），
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ？
解：设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝ ＝256× ，
由Sn＞（10 000＋Sn）× ，即Sn＞5 000，n∈N＋，解得n＞7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总
量的 .
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
　《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两
鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几
何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠
从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后
每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的
.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为
前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝ 尺.
2n－ ＋1　
解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比
的等比数列，前n天打洞长度之和为 ＝2n－1，小老鼠每天打洞的
长度构成以1为首项， 为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为
＝2－ ，所以Sn＝2n－1＋2－ ＝2n－ ＋1.
1. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋
4a1，则a3＝（　　）
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
解析：　由题意知解得
∴ a3＝a1q2＝4.故选C.
2. 已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于
（　　）
A. 31 B. 33
C. 35 D. 37
解析：　根据等比数列性质得 ＝q5，∴ ＝25，∴S10＝33.
3. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差
数列，则q等于（　　）
A. 1 B. 0
C. 1或0 D. －1
解析：　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定
值，即数列{an}为常数列，所以q＝ ＝1.
4. 已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k
（n∈N＋），则实数k为（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 2
解析：　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1
时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1
＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝
2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
5. 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
（1）若S2＝30，S3＝155，求Sn；
解：由题意知
解得或
从而Sn＝ ×5n＋1－ 或Sn＝ .
（2）若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n.
解： ∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
∴ ＝189.∴q＝2.
∴an＝a1qn－1＝3×2n－1，
∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在等比数列{an}中，a3＝ ，其前三项的和S3＝ ，则数列{an}的
公比q＝（　　）
A. － B.
C. － 或1 D. 或1
解析：　由题意，可得a1q2＝ ，a1＋a1q＋a1q2＝ ，两式相
除，得 ＝3，解得q＝－ 或q＝1.
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2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则
＝（　　）
A. 2n－1 B. 2－21－n
C. 2－2n－1 D. 21－n－1
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解析：　法一　设等比数列{an}的公比为q，则由
解得所以Sn＝
＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以 ＝ ＝2－21－n，故选B.
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法二　设等比数列{an}的公比为q，因为 ＝ ＝ ＝
＝2，所以q＝2，所以 ＝ ＝ ＝2－21－n，故选B.
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3. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝（　　）
A. 16（1－4－n） B. 16（1－2－n）
C. （1－4－n） D. （1－2－n）
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解析：　由a5＝a2q3，得q3＝ ，所以q＝ ，而数列{anan＋1}也
为等比数列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝ ，所以a1a2＋a2a3
＋…＋anan＋1＝ ＝ （1－4－n）.
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4. 等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋
a19＋a20等于（　　）
A. 8 B. 12
C. 16 D. 24
解析：　设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以
S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋
a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15（a1＋a2＋a3＋
a4＋a5）＝q15S5＝23×2＝16.
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5. 记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则 等于
（　　）
A. －3 B. 5
C. －31 D. 33
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解析：　由题意知公比q≠1， ＝ ＝1＋q3＝9，所以
q＝2， ＝ ＝1＋q5＝1＋25＝33.
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6. （多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积
为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1， ＜0.则下列结论正确的
是（　　）
A. 0＜q＜1 B. a7a9＜1
C. Tn的最大值为T7 D. Sn的最大值为S7
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解析：　∵a1＞1，a7a8＞1， ＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，
∴0＜q＜1，故A正确；a7a9＝ ＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中
的最大项，故C正确；因为a1＞1，0＜q＜1，所以Sn无最大值，故
D不正确.故选A、B、C.
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7. 设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝
，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；
②{Sn}是单调递增数列.
解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从
第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合
各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝
就是符合条件的一个通项.
（答案不唯一）　
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8. 等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列
{an}的前100项和为 .
解析：由 ＝q，q＝2，得 ＝2 a2
＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝（a1＋a3
＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝150＋300＝450.
450　
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9. 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝
S6，则数列 的前5项和为 　 　.　
　
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解析：由题意知，q≠1，由9S3＝S6，得9× ＝
，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1， ＝ ，
∴数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，其前5项和为
＝ .
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10. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且
a2＋a3＋a4＝－18.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1.
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（2）是否存在正整数n，使得Sn≥2 025？若存在，求出符合条件
的所有n的集合；若不存在，说明理由.
解：由（1）有Sn＝ ＝1－（－2）n.
若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025，
即（－2）n≤－2 024.
当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，
则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k
＋1，k∈N，k≥5}.
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11. （多选）已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝2n－1，
则下列结论正确的是（　　）
A. S2＝2
B. Sn＝2n－1
C. Sn＜Sn＋1
D. { }是等比数列
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解析： 　因为an＝2n－1，所以{an}是等比数列，且a1＝1，公
比q＝2，所以S2＝a1＋a2＝3，Sn＝ ＝2n－1.Sn－Sn＋
1＝2n－1－（2n＋1－1）＝－2n＜0，所以Sn＜Sn＋1， ＝
＝（ ）n，所以{ }是等比数列.
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12. 把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个
正方形挖掉（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相
等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图（2））；如此
继续下去，则
（1）图（3）中共挖掉了 个正方形；
73　
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（2）第n个图形挖掉正方形的面积和是 .
解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1
＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82
＋…＋8n－1＝ ，∴a3＝73.原正方形的边长为1，则这些
被挖掉的正方形的面积和为1× ＋8× ＋82×
＋…＋8n－1× ＝ ＝1－ .
1－ 　
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13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t.
（1）求t；
解：令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t，
当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t，
两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an，
依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1.
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（2）求数列{（ cos nπ）·an}的前n项和.
解：由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的
等比数列，故an＝2n－1，
故{（ cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比
数列，
故an＝（－1）（－2）n－1.
故Tn＝ ＝ （－2）n－ .
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14. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次
日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速
度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走
了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的
总路程为（　　）
A. 里 B. 1 050里
C. 里 D. 950里
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解析：　由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设
该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为 ，则有
＝700（里），则a1＝ （里），则 ＝
（里）.故选C.
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15. 已知等差数列{bn}中，bn＝log2（an－1），且a1＝3，a3＝9.
（1）求数列{bn}的通项公式；
解： 设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，
得b1＝log2（a1－1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28
＝3，
∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n.
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（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
解：由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n，
∴an＝2n＋1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1）
＝（2＋22＋…＋2n）＋n
＝ ＋n＝2n＋1＋n－2.
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