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5.5　数学归纳法
1.用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（　　）
A.a1＋（k－1）d
B.
C.ka1＋d
D.（k＋1）a1＋d
2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－（n≥2，n∈N＋）时，第一步应验证不等式（　　）
A.1＋＜2－
B.1＋＋＜2－
C.1＋＜2－
D.1＋＋＜2－
3.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N＋）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（　　）
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
4.若k（k≥3，k∈N＋）棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f（k＋1）为（　　）
A.f（k）＋k－1 B.f（k）＋k＋1
C.f（k）＋k D.f（k）＋k－2
5.用数学归纳法证明“＋＋…＋＞”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是（　　）
A.增加一项
B.增加和两项
C.增加和两项，同时减少一项
D.以上结论都不正确
6.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为（　　）
A.a＝，b＝c＝
B.a＝b＝c＝
C.a＝0，b＝c＝
D.不存在这样的a，b，c
7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1（k∈N＋）命题为真时，进而需证n＝　　　　　时，命题亦真.
8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　　　　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　.
9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　.
10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）.
11.如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈.然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度Ln为（　　）
A.（3n2＋n）π　　　　 B.（3n2－n＋1）π
C. D.
12.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N＋）.
（1）计算a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
13.已知f（n）＝1＋＋＋＋…＋，g（n）＝－，n∈N＋.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明.
14.对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝　　　　.
15.已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋）且点P1的坐标为（1，－1）.
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，点Pn都在（1）中的直线l上.
5.5　数学归纳法
1.C　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
2.A　因为n≥2，所以第一步应验证当n＝2时，1＋＜2－.
3.C　因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
4.A　三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面（0＋2＝0＋（3－1））；五棱柱有5个对角面（2＋3＝2＋（4－1））；六棱柱有9个对角面；（5＋4＝5＋（5－1））.猜想：若k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱有f（k）＋k－1个对角面.故选A.
5.C　当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项.
6.A　令n＝1，2，3，
得
即
解得a＝，b＝，c＝.
7.2k＋1　解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立.
8.1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1.
9.k＋1　解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝－＝k＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
10.证明：（1）当n＝2时，左边＝f（1）＝1，
右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立.
（2）假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立，
即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）
＝k[f（k）－1]＋f（k）
＝（k＋1）f（k）－k
＝（k＋1）－k
＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）
＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立.
由（1）（2）可知，f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）成立.
11.A　由条件知，，，…，对应的圆心角都是，且半径依次为1，2，3，4，…，故弧长依次为，×2，×3，….据题意，第1圈长度为（1＋2＋3），第2圈长度为（4＋5＋6），……第n圈长度为[（3n－2）＋（3n－1）＋3n]，故Ln＝（1＋2＋3＋…＋3n）＝·＝（3n2＋n）π.
12.解：（1）a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
（2）由（1）的计算猜想an＝.
下面用数学归纳法进行证明.
①当n＝1时，a1＝1，猜想成立.
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝.
13.解：（1）当n＝1时，f（1）＝1，g（1）＝1，所以f（1）＝g（1）；
当n＝2时，f（2）＝，g（2）＝，所以f（2）＜g（2）；
当n＝3时，f（3）＝，g（3）＝，
所以f（3）＜g（3）.
（2）由（1）猜想f（n）≤g（n）.
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立.
②假设当n＝k（k≥3，k∈N＋）时，不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－.
那么，当n＝k＋1时，
f（k＋1）＝f（k）＋＜－＋.
因为f（k＋1）－g（k＋1）＜－＋－
＝－
＝－＝＜0，
所以f（k＋1）＜g（k＋1）.
由①②可知，对一切n∈N＋，都有f（n）≤g（n）成立.
14.5　解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
15.解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知，a1＝1，b1＝－1，
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝，∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.
（2）证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝（2ak＋1）＝＝＝1，故当n＝k＋1时，命题也成立.
由①和②知，对任意的n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn都在直线l上.
2 / 25.5　数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 逻辑推理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数学归纳法
一个与自然数有关的命题，如果
（1）当n＝n0时，命题成立；
（2）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立.
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（　　）
A.1　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.当验证n＝1时，上式左端计算所得为　　　　.
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N＋）.
尝试解答
通性通法
　　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项.
【跟踪训练】
　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N＋）.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N＋）.
尝试解答
通性通法
　　对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N＋）.
题型三 用数学归纳法证明整除问题
【例3】　用数学归纳法证明：（3n＋1）·7n－1（n∈N＋）能被9整除.
尝试解答
通性通法
　　证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得到证明.
【跟踪训练】
　求证：an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除（n∈N＋）.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明.
尝试解答
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
（1）观察：由已知条件写出前几项；
（2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；
（3）猜想：猜想一般项的表达式；
（4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
　若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立.
（1）猜想正整数a的最大值；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
1.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋），那么f（n＋1）－f（n）等于（　　）
A.　　　　　 B.＋
C.＋ D.＋＋
2.一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k≥1且k∈N＋）时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（　　）
A.一切正整数命题成立
B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立
D.以上都不对
3.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N＋），假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　　）
A.1项 B.k－1项
C.k项 D.2k项
4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为　　　　.
5.5　数学归纳法
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.　
2.1＋a＋a2
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立.
【例2】　证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，
即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，
∵＜，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－.
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
【例3】　证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除.
（2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1
＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1
＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k
＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.
∴n＝k＋1时也能被9整除.
由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1.
显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立.
【例4】　解：S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝.
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立.
跟踪训练
解：（1）当n＝1时，＋＋＝＝，则＞，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.
（2）下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞.
①当n＝1时，已证.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＋＋
＝＋（＋＋－）＞＋
＝＋
＞＋
＝＋＝，
即当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有＋＋＋…＋＞.
所以正整数a的最大值为25.
随堂检测
1.D　要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
2.B　本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.
3.D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项.
4.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6　解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
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5.5　数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数
列中的一些简单命题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生
把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
知识点　数学归纳法
一个与自然数有关的命题，如果
（1）当n＝n0时，命题成立；
（2）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n
＝k＋1时命题也成立.
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明
方法称为数学归纳法.
1. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳
奠基中n0的取值应为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
2. 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ （a≠1）”.当
验证n＝1时，上式左端计算所得为 .
1＋a＋a2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】　求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋
（n∈N＋）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ .
左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋
－ ＝ ＋ ＋…＋ ，则
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
通性通法
　　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于
“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的
多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多
少项，增加了怎样的项.
【跟踪训练】
　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n
（n＋1）2（其中n∈N＋）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右
边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10
＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k
＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝
（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1
时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】　求证： ＋ ＋…＋ ＞ （n≥2，n∈N＋）.
证明：（1）当n＝2时，
左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，即
＋ ＋…＋ ＞ ，
则当n＝k＋1时，
＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋
＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋
－ ）＞ ＋ ＝ ，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
通性通法
　　对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困
难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二
个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式
证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加
以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
　用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （n≥2，n∈N
＋）.
证明：（1）当n＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ，
∵ ＜ ，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ .
则当n＝k＋1时，
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－
＝1－ ＜1－ ＝1－ .
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
题型三 用数学归纳法证明整除问题
【例3】　用数学归纳法证明：（3n＋1）·7n－1（n∈N＋）能被9
整除.
证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除.
（2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当
n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1
＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1
＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k
＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.
∴n＝k＋1时也能被9整除.
由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除.
通性通法
　　证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和
因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得到
证明.
【跟踪训练】
　求证：an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除（n∈N＋）.
证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显
然成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1
整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k
－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1.
显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】　已知数列 ， ， ，…， ，…，设Sn
为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表
达式，并用数学归纳法证明.
解：S1＝ ＝ ，
S2＝ ＋ ＝ ，
S3＝ ＋ ＝ ，
S4＝ ＋ ＝ ，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用
项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝ .
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当n＝1时，S1＝ ＝ ，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝ .
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝ ＋
＝
＝
＝ ，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立.
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
（1）观察：由已知条件写出前几项；
（2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；
（3）猜想：猜想一般项的表达式；
（4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
　若不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ 对一切正整数n都成立.
（1）猜想正整数a的最大值；
解：当n＝1时， ＋ ＋ ＝ ＝ ，则 ＞ ，
所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
解：下面用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ .
①当n＝1时，已证.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＋ ＋
＋…＋ ＞ .
那么当n＝k＋1时，
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋
＋
＝ ＋（ ＋ ＋ － ）＞
＋
＝ ＋
＞ ＋
＝ ＋ ＝ ，
即当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有 ＋ ＋ ＋…＋
＞ .
所以正整数a的最大值为25.
1. 设f（n）＝1＋ ＋ ＋…＋ （n∈N＋），那么f（n＋1）－f
（n）等于（　　）
A. B. ＋
C. ＋ D. ＋ ＋
解析：　要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋ ＋ ＋…＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，所以f（n＋1）－f（n）
＝ ＋ ＋ .
2. 一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设
当n＝k（k≥1且k∈N＋）时命题成立的基础上，证明了当n＝k
＋2时命题成立，那么综合上述，对于（　　）
A. 一切正整数命题成立 B. 一切正奇数命题成立
C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对
解析：　本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命
题对一切正奇数成立.
3. 证明1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＞ （n∈N＋），假设n＝k时成立，
当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　　）
A. 1项 B. k－1项
C. k项 D. 2k项
解析：　当n＝k时，不等式左端为1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ；当
n＝k＋1时，不等式左端为1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋
，增加了 ＋…＋ 项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项.
4. 用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1
时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为
.
解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋
1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
（k3＋5k）＋3k
（k＋1）＋6　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公
式是Sn＝na1＋ d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝
（　　）
A. a1＋（k－1）d B.
C. ka1＋ d D. （k＋1）a1＋ d
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解析： 　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即
可，即Sk＝ka1＋ d.
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2. 用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＜2－ （n≥2，
n∈N＋）时，第一步应验证不等式（　　）
A. 1＋ ＜2－ B. 1＋ ＋ ＜2－
C. 1＋ ＜2－ D. 1＋ ＋ ＜2－
解析：　因为n≥2，所以第一步应验证当n＝2时，1＋ ＜2－ .
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3. 用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝
（2n－1）2（n∈N＋）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋
2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（　　）
A. 3k－1 B. 3k＋1
C. 8k D. 9k
解析：　因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－
2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k
－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋
3k＋1－k＝8k.
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4. 若k（k≥3，k∈N＋）棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱的对
角面个数f（k＋1）为（　　）
A. f（k）＋k－1 B. f（k）＋k＋1
C. f（k）＋k D. f（k）＋k－2
解析：　三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面（0＋2＝0＋
（3－1））；五棱柱有5个对角面（2＋3＝2＋（4－1））；六棱柱
有9个对角面；（5＋4＝5＋（5－1））.猜想：若k棱柱有f（k）
个对角面，则k＋1棱柱有f（k）＋k－1个对角面.故选A.
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5. 用数学归纳法证明“ ＋ ＋…＋ ＞ ”时，由k到k＋1，
不等式左边的变化是（　　）
A. 增加 一项
B. 增加 和 两项
C. 增加 和 两项，同时减少 一项
D. 以上结论都不正确
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解析：　当n＝k时，左边＝ ＋ ＋…＋ ，当n＝k＋1
时，左边＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋
，故不等式左边的变化是增加 和 两
项，同时减少 一项.
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6. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对
一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为（　　）
A. a＝ ，b＝c＝ B. a＝b＝c＝
C. a＝0，b＝c＝ D. 不存在这样的a，b，c
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解析：　令n＝1，2，3，
得
即
解得a＝ ，b＝ ，c＝ .
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7. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当
第二步假设n＝2k－1（k∈N＋）命题为真时，进而需证n＝
时，命题亦真.
解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需
证n＝2k＋1时，命题成立.
2k
＋1　
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8. 用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1
是31的倍数”时，当n＝1时，原式为 ，从n
＝k到n＝k＋1时需增添的项是
.
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋
23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1.
1＋2＋22＋23＋24　
25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋
4　
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9. 用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f
（n）部分，则f（n）＝1＋ .”证明第二步归纳递推
时，用到f（k＋1）＝f（k）＋ .
解析：f（k）＝1＋ ，f（k＋1）＝1＋ ，
∴f（k＋1）－f（k）＝ － ＝k
＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
k＋1　
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10. 设f（n）＝1＋ ＋ ＋…＋ （n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）
＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）.
证明：（1）当n＝2时，左边＝f（1）＝1，
右边＝2× ＝1，左边＝右边，等式成立.
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（2）假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立，
即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）
＝k[f（k）－1]＋f（k）
＝（k＋1）f（k）－k
＝（k＋1） －k
＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）
＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
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∴当n＝k＋1时等式仍然成立.
由（1）（2）可知，f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f
（n）－1]（n≥2，n∈N＋）成立.
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11. 如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的
正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，
AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一
圈.然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则
所得螺旋线的长度Ln为（　　）
A. （3n2＋n）π B. （3n2－n＋1）π
C. D.
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解析：　由条件知 ， ， ，…， 对应的
圆心角都是 ，且半径依次为1，2，3，4，…，
故弧长依次为 ， ×2， ×3，….
据题意，第1圈长度为 （1＋2＋3），
第2圈长度为 （4＋5＋6），
……
第n圈长度为 [（3n－2）＋（3n－1）＋3n]，
故Ln＝ （1＋2＋3＋…＋3n）＝ · ＝（3n2＋n）π.
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12. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ （n∈N＋）.
（1）计算a2，a3，a4；
解：a1＝1，a2＝ ＝ ，
a3＝ ＝ ，a4＝ ＝ .
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（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
解：由（1）的计算猜想an＝ .
下面用数学归纳法进行证明.
①当n＝1时，a1＝1，猜想成立.
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝ ，
那么ak＋1＝ ＝ ＝ ，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝ .
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13. 已知f（n）＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，g（n）＝ － ，
n∈N＋.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小；
解：当n＝1时，f（1）＝1，g（1）＝1，所以f（1）＝g（1）；
当n＝2时，f（2）＝ ，g（2）＝ ，
所以f（2）＜g（2）；
当n＝3时，f（3）＝ ，g（3）＝ ，
所以f（3）＜g（3）.
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（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明.
解：由（1）猜想f（n）≤g（n）.
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝1，2，3时，不等式显然成立.
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②假设当n＝k（k≥3，k∈N＋）时，不等式成立，
即1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ － .
那么，当n＝k＋1时，
f（k＋1）＝f（k）＋ ＜ － ＋ .
因为f（k＋1）－g（k＋1）＜ － ＋ －
＝ －
＝ － ＝ ＜0，所以f（k＋1）＜g（k＋1）.
由①②可知，对一切n∈N＋，都有f（n）≤g（n）成立.
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14. 对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a
＝ .
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5； 当a＝3且
n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
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15. 已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ （n∈N
＋）且点P1的坐标为（1，－1）.
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
解：由P1的坐标为（1，－1）知，a1＝1，b1＝－1，
∴b2＝ ＝ ，a2＝a1·b2＝ ，
∴点P2的坐标为 ，故直线l的方程为2x＋y＝1.
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（2）试用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，点Pn都在（1）中
的直线l上.
解：证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k
＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝ （2ak＋1）＝
＝ ＝1，故当n＝k＋1时，命题也成立.
由①和②知，对任意的n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即
点Pn都在直线l上.
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