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一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础.
在本章中，数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求和等问题中.
培优一 等差、等比数列的基本运算
1.在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d（或q），n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程（或方程组）求出另外2个量的值.
2.数列可以看作是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数.运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有着密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题.
【例1】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　）
A.120　　　　　　　 B.85
C.－85 D.－120
（2）（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.
尝试解答
培优二 数列通项公式的求法
1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
2.已知Sn求an：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列的通项公式an可用公式an＝求解.
3.由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
4.待定系数法（构造法）：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推公式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法.
【例2】　（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.
（1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
尝试解答
培优三 数列求和
一般常见的求和方法有：
（1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）；
（2）分组求和法；
（3）错位相减法；
（4）倒序相加法；
（5）裂项相消法（把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和）；
（6）并项求和法（一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解）.
【例3】　（2023·全国甲卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
尝试解答
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
在本章中，逻辑推理主要体现在等差（比）数列的判断与证明及数学归纳法的应用问题中.
培优四 等差、等比数列的判断与证明
【例4】　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
尝试解答
培优五 数学归纳法
【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋.
（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
（2）证明通项公式的正确性.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）95　解析：（1）法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C.
法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C.
（2）法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列，
则由题意得解得
则S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋45×3＝95.
法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95.
【例2】　解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3，
∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1），
∴bn＝，
∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝，
∴6d＋＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0，
即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝（舍去）.
∴an＝3n，n∈N*.
（2）若{bn}为等差数列，
则b1＋b3＝2b2，即＋＝2·.
整理，得－3a1d＋2d2＝0.
解得a1＝d或a1＝2d.
当a1＝d时，an＝nd，bn＝＝，
∴S99－T99＝（d＋99d）－（＋）＝99.
整理，得50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1（舍去）.
当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝＝，
∴S99－T99＝（2d＋100d）－（＋）＝99.
整理，得51d2－d－50＝0，
解得d＝－或d＝1.
∵d＞1，∴此时无解.
综上可知，d＝.
【例3】　解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，
两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1，
即（n－1）an－1＝（n－2）an，
当n＝2时，可得a1＝0，
故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）.
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
（2）法一　令bn＝＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
即Tn＝2－.
法二　设bn＝，
所以bn＝＝＝（n＋0）×（）n－1，故a＝，b＝0，q＝.
故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.
故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（）n＋2，整理得Tn＝2－.
【例4】　解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝（n≥2）.
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝
【例5】　解：（1）当n＝1时，
由已知得a1＝＋－1，即＋2a1－2＝0.
所以a1＝－1（a1＞0）.
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.
所以a2＝－（a2＞0）.
同理可得a3＝－.
猜想an＝－（n∈N＋）.
（2）证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－＝－，
即n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题
的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推
理，是计算机解决问题的基础.
在本章中，数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求
和等问题中.
培优一 等差、等比数列的基本运算
1. 在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d
（或q），n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运
用方程思想，解方程（或方程组）求出另外2个量的值.
2. 数列可以看作是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数.
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最
值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列
与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有
着密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题.
【例1】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项
和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　C　）
A. 120 B. 85
C. －85 D. －120
C
解析：法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn
＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得
＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）
（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝
－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝ ＝ ＝
（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C.
法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－
S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝ .当S2＝－1时，由（S6
－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝ 时，结合
S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍
去.∴S8＝－85，故选C.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3
＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ .
95　
则由题意得解得
则S10＝10a1＋ d＝10×（－4）＋45×3＝95.
解析：法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列，
法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，
3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝ ＝3，a6＝11，则S10＝
×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95.
培优二 数列通项公式的求法
1. 定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种
方法适用于已知数列类型的题目.
2. 已知Sn求an：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列 的
通项公式an可用公式an＝求解.
3. 由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求解，通常可
以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也
用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
4. 待定系数法（构造法）：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是
由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较
高.通常可对递推公式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）
来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用
待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法.
【例2】　（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列{an}的公差为d，且d
＞1.令bn＝ ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.
（1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
解： ∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3，
∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1），
∴bn＝ ，
∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝ ，
∴6d＋ ＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0，
即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝ （舍去）.
∴an＝3n，n∈N*.
（2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解： 若{bn}为等差数列，
则b1＋b3＝2b2，即 ＋ ＝2· .
整理，得 －3a1d＋2d2＝0.
解得a1＝d或a1＝2d.
当a1＝d时，an＝nd，bn＝ ＝ ，
∴S99－T99＝ （d＋99d）－ （ ＋ ）＝99.
整理，得50d2－d－51＝0，
解得d＝ 或d＝－1（舍去）.
当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝ ＝ ，
∴S99－T99＝ （2d＋100d）－ （ ＋ ）＝99.
整理，得51d2－d－50＝0，
解得d＝－ 或d＝1.
∵d＞1，∴此时无解.
综上可知，d＝ .
培优三 数列求和
一般常见的求和方法有：
（1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）；
（2）分组求和法；
（3）错位相减法；
（4）倒序相加法；
（5）裂项相消法（把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一
些项可以相互抵消，从而求得其和）；
（6）并项求和法（一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之
为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求
解）.
【例3】　（2023·全国甲卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
（1）求{an}的通项公式；
解：当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，
两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1，
即（n－1）an－1＝（n－2）an，
当n＝2时，可得a1＝0，
故当n≥3时， ＝ ，则 · ·…· ＝
· ·…· ，整理得 ＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1
（n≥3）.
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
（2）求数列 的前n项和Tn.
解：法一　令bn＝ ＝ ，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， ①
Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， ②
由①－②得 Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ －
＝1－ ，
即Tn＝2－ .
法二　设bn＝ ，
所以bn＝ ＝ ＝（ n＋0）×（ ）n－1，故a＝ ，b＝0，q＝ .
故A＝ ＝ ＝－1，B＝ ＝ ＝－2，C＝－B＝2.
故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（ ）n＋2，整理得Tn＝2－
.
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素
养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严
谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
在本章中，逻辑推理主要体现在等差（比）数列的判断与证明及数学
归纳法的应用问题中.
培优四 等差、等比数列的判断与证明
【例4】　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已
知 ＋ ＝2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
解：证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝ ，
代入 ＋ ＝2可得， ＋ ＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝ （n≥2）.
又 ＋ ＝ ＝2，所以b1＝ ，
故{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）求{an}的通项公式.
解：由（1）可知，bn＝ ，则 ＋ ＝2，所以Sn＝ ，
当n＝1时，a1＝S1＝ ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ －
＝－ .故an＝
培优五 数学归纳法
【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝ ＋ －1，且an＞
0，n∈N＋.
（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
解：当n＝1时，由已知得a1＝ ＋ －1，
即 ＋2a1－2＝0.所以a1＝ －1（a1＞0）.
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝ ＋ －1，
将a1＝ －1代入并整理得 ＋2 a2－2＝0.
所以a2＝ － （a2＞0）.同理可得a3＝ － .
猜想an＝ － （n∈N＋）.
（2）证明通项公式的正确性.
解：证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立，
即ak＝ － .
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ ＋ － － ，
将ak＝ － 代入上式，整理得 ＋2
ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝ － ＝ －
，即n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N＋，an＝ － 都成立.
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