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2.2　充分条件、必要条件、充要条件
第1课时　充分、必要、充要条件的判断
1.下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x3＞0，q：x＞1
D.p：a＞b，q：＞
2.下列选项中，p是q的必要条件的是（　　）
A.p：a＝－1，q：｜a｜＝1
B.p：－1＜a＜1，q：a＜1
C.p：a＜b，q：a＜b＋1
D.p：a＞b，q：a＞b＋1
3.“x＝1是x2－4x＋3＝0”的（　　）
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.“x＜2”是“＜0”的（　　）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.（2024·连云港期中）“｜a｜＞｜b｜”是“a＞b”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
7.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件
8.设命题p：k＞5，b＜5，命题q：一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　条件.（用“充分”或“必要”填空）
9.对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈（A∪B）的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）
10.指出下列命题中，p是q的什么条件？（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”回答）
（1）p：x2＝2x＋1，q：x＝；
（2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
（3）p：（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：（x－1）（y－2）＝0.
11.给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确的是（　　）
A.该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述
B.该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述
C.该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述
D.该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述
12.（多选）设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　）
13.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a（a2＋b2）＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空.
（1）“a，b都为0”的必要条件是　　　　；
（2）“a，b都不为0”的充分条件是　　　　；
（3）“a，b至少有一个为0”的充要条件是　　　.
14.指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）p：x＝1，q：x－1＝；
（2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
（3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2；
（4）p：a是自然数，q：a是正数.
15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　）
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
第1课时　充分、必要、充要条件的判断
1.A　对于A：p q，故p是q的充分条件；对于B：p / q，故p不是q的充分条件；对于C：p / q，故p不是q的充分条件；对于D：p / q，故p不是q的充分条件.故选A.
2.D　要满足p是q的必要条件，即q p，只有q：a＞b＋1 p：a＞b符合题意，故选D.
3.A　若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件.故选A.
4.A　由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件.
5.D　设a＝－2，b＝0，此时满足｜a｜＞｜b｜，但a＞b不成立，充分性不成立；设a＝2，b＝－3，此时满足a＞b，但｜a｜＞｜b｜不成立，必要性不成立，故｜a｜＞｜b｜是a＞b的既不充分又不必要条件.故选D.
6.B　由a∈（M∪N） / a∈M，但a∈M a∈（M∪N），故p是q的必要不充分条件.
7.ABC　由A∩B＝B，得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
8.充分　必要
解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝（k－4）x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是 p的必要条件.
9.充要　解析：由x∈B，可得x∈（A∪B）；反之，因为A B，A∪B＝B，所以由x∈（A∪B），可得x∈B，故x∈B是x∈（A∪B）的充要条件.
10.解：（1）∵x2＝2x＋1 /x＝，x＝ x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件.
（2）∵a2＋b2＝0 a＝b＝0 a＋b＝0，a＋b＝0 /a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件.
（3）∵（x－1）2＋（y－2）2＝0 x＝1且y＝2 （x－1）（y－2）＝0，而（x－1）·（y－2）＝0 / （x－1）2＋（y－2）2＝0，∴p是q的充分不必要条件.
11.D　此定理揭示了等腰梯形的某个特征，是性质定理，可用必要条件的语言来表述，故选D.
12.BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D.
13.（1）①②③　（2）④　（3）①
解析：①ab＝0 a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0 a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a（a2＋b2）＝0 a＝0或④ab＞0 或则a，b都不为0.故（1）“a，b都为0”的必要条件是①②③；（2）“a，b都不为0”的充分条件是④；（3）“a，b至少有一个为0”的充要条件是①.
14.解：（1）当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件.
（3）由q：（x＋2）2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，
又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
（4）0是自然数，但0不是正数，故p /q；是正数，但不是自然数，故q /p.故p是q的既不充分又不必要条件.
15.A　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 / 丙，如图.综上，有丙 甲，但甲 / 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选A.
1 / 22.2　充分条件、必要条件、充要条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
第1课时　充分、必要、充要条件的判断
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关.
【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A开关一定闭合吗？
（2）从数学的角度如何描述A开关与B灯亮这种关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p / q
条件关系 p是q的　 　条件； q是p的　 　条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件
提醒　“p q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立，即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立，即q对p的成立是必要的.
【想一想】
1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
2.以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
知识点二　充要条件
1.定义：如果　　　　，且　　　　，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
2.记法：如果p是q的充要条件，就记作　　　，称为“p与q等价”，或“p等价于q”.
3.传递性：“ ”和“ ”都具有传递性，即
（1）如果p q，q s，那么　　　　；
（2）如果p q，q s，那么　　　　.
【想一想】
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
知识点三　判定定理和性质定理与充分、必要条件的关系
1.判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的　　　　　　，所以判定定理具有“　　　　　”.
2.性质定理是指某类对象具有的　　　　　　，所以性质定理具有“　　　　　　”.
3.数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质，即数学中的定义具有“充要性”.
1.（2024·扬州中学月考）《墨子·经说（上）》有这样一段话：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（　　）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.（2024·南通如东质检）已知a∈R，则“a＞0”是“a＞1”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的　　　　.（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空）
题型一 充分条件的判断
【例1】　（链接教科书第31页例1）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
（1）p：x＝3，q：x2－2x－3＝0；
（2）p：四边形的对角线垂直，q：四边形是菱形；
（3）p：内错角相等，q：两条直线平行；
（4）p：x＞2，q：x＞3.
通性通法
定义法判断充分条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.
【跟踪训练】
　（多选）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的是（　　）
A.p：x－3＝0，q：（x－2）（x－3）＝0
B.p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
C.p：a＞b，q：ac＞bc
D.p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4
题型二 必要条件的判断
【例2】　（链接教科书第31页例2）下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？
（1）p：｜x｜＝2，q：x＝－2；
（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
（3）p：内错角相等，q：两条直线平行；
（4）p：x∈Z，q：x∈R.
通性通法
定义法判断必要条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
【跟踪训练】
　（多选）下列命题中，p是q的必要条件的是（　　）
A.p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
B.p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
C.p：x＞2，q：｜x｜＞2
D.p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5
题型三 充分、必要、充要条件的判断
【例3】　（链接教科书第32页例3）指出下列各题中，p是q的什么条件？（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
（2）p：△ABC两个角相等，q：△ABC是等边三角形；
（3）p：a＞b，q：a2＞b2；
（4）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.
通性通法
定义法判断充分、必要、充要条件
（1）若p q，q / p，则p是q的充分不必要条件；
（2）若p / q，q p，则p是q的必要不充分条件；
（3）若p q，q p，则p是q的充要条件；
（4）若p / q，q / p，则p是q的既不充分又不必要条件.
【跟踪训练】
1.（2024·徐州高级中学质检）“x＞y＞0”是“x2＞y2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.（多选）（2024·江苏天一中学月考）下列说法正确的是（　　）
A.“＞”是“a＜b”的充分不必要条件
B.A∩B＝ 是A＝ 的必要不充分条件
C.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“｜a｜＋｜b｜≠0”的充要条件
题型四 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件
【例4】　指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述：
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
（2）正方形的对角线互相垂直且相等.
通性通法
判定定理、性质定理与充分、必要条件关系的判断
（1）判定定理阐述了结论成立的依据，判定定理给出了结论成立的充分条件；
（2）性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件；
（3）判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件的语言来表述.
【跟踪训练】
指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）如果两条平行直线同时和第三条直线相交，那么它们的同位角相等.
1.俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的（　　）
A.充分条件　　　　　　B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
2.（2024·连云港赣榆质检） “x＞1”是“x2＞1”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.（2024·徐州铜山月考）设p：－2＜x＜4，q：0＜x＜2，则p是q成立的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
第1课时　充分、必要、充要条件的判断
【基础知识·重落实】
知识点一
　充分　必要
想一想
1.提示：相同，都是p q.
2.提示：这五种表述形式是等价的.
知识点二
1.p q　q p　2.p q　3.（1）p s　（2）p s
想一想
1.提示：正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2.提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
知识点三
1.所有特征　充分性
2.具体特征　必要性
自我诊断
1.A　由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件.故选A.
2.B　显然由“a＞0”不能推出“a＞1”，即充分性不成立，由“a＞1”可推出“a＞0”成立，即必要性成立，故“a＞0”是“a＞1”的必要不充分条件.故选B.
3.充要条件
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为p q，所以p是q的充分条件.
（2）因为p / q，所以p不是q的充分条件.
（3）因为p q，所以p是q的充分条件.
（4）因为p / q，所以p不是q的充分条件.
跟踪训练
　AD　A中，x－3＝0 （x－2）（x－3）＝0，故p是q的充分条件；B中，两个三角形相似 / 两个三角形全等，故p不是q的充分条件；C中，a＞b / ac＞bc，故p不是q的充分条件；D中，由a＞2且b＞2 a＋b＞4，ab＞4，故p是q的充分条件.故选A、D.
【例2】　解：（1）因为q p，所以p是q的必要条件.
（2）因为q / p，所以p不是q的必要条件.
（3）因为q p，所以p是q的必要条件.
（4）因为q / p，所以p不是q的必要条件.
跟踪训练
　AB　A中，q：两个三角形全等 p：两个三角形面积相等，所以p是q的必要条件；B中，q：四边形是矩形 p：四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件；C中，由｜x｜＞2，得x＞2或x＜－2，不一定有x＞2，所以p不是q的必要条件；D中，x＋y＞5 / x＞2且y＞3，p不是q的必要条件.故选A、B.
【例3】　解：（1）若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q / p.所以p是q的充分不必要条件.
（2）△ABC两个角相等 / △ABC是等边三角形，但△ABC是等边三角形 △ABC两个角相等，即p / q，q p，所以p是q的必要不充分条件.
（3）取a＝1，b＝－2，此时a＞b，但a2＜b2，即p / q.反之，取a＝－2，b＝－1，此时a2＞b2，但a＜b，即q / p.所以p是q的既不充分又不必要条件.
（4）因为xy＞0时，x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.故p q，且q p，即p q.所以p是q的充要条件.
跟踪训练
1.A　若x＞y＞0，则x2＞y2成立，所以“x＞y＞0”是“x2＞y2 ”的充分条件；若x2＞y2，例如x＝－2，y＝1满足x2＞y2，但x＜y，即必要性不成立，所以“x＞y＞0”是“x2＞y2”的充分不必要条件.
2.BD　A中，当a＝2，b＝－2时，有＞，此时a＞b，因此＞ / a＜b，反之当a＝－2，b＝2时，a＜b，但＜，即a＜b / ＞，所以是既不充分又不必要条件，故A错误；B中，当A＝{1}，B＝{2}时，A∩B＝ ，但A≠ ，当A＝ 时，A∩B＝ ，故B正确；C中，当ab2＞cb2时，b2＞0，从而a＞c，反之，a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，所以不是充要条件，故C错误；D中，a2＋b2≠0 a≠0或b≠0 ｜a｜＋｜b｜≠0，D正确.故选B、D.
【例4】　解：（1）是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”.
（2）是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件.
跟踪训练
　解：（1）是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”.
（2）是性质定理，用必要条件的语言表述为“两条直线同时和第三条直线相交，它们的同位角相等”是“这两条直线平行”的必要条件.
随堂检测
1.A　这句话的意思中，“好人” “有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A.
2.A　因为x＞1，则x2＞1，但是x2＞1不一定有x＞1，所以“x＞1”是“x2＞1”成立的充分不必要条件.故选A.
3.B　因为－2＜x＜4 / 0＜x＜2，但0＜x＜2 －2＜x＜4，故p是q成立的必要不充分条件.故选B.
4.D　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件.
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2.2　充分条件、必要条件、充要条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意
义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意
义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意
义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
第1课时　充分、必要、充要条件的判断
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，
任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”
开关.
【问题】　（1） A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？ B 灯亮时 A 开关一定闭
合吗？
（2）从数学的角度如何描述 A 开关与 B 灯亮这种关系？
知识点一　充分条件与必要条件
命题
真假 “若 p ，则 q ”是真命题 “若 p ，则 q ”是假命题
推出
关系 p q p / q
条件
关系 p 是 q 的 条件； q 是 p 的 条件 p 不是 q 的充分条件；
q 不是 p 的必要条件
充分　
必要　
提醒　“ p q ”含义的理解：一方面，一旦 p 成立， q 一定也成立，
即 p 对 q 的成立是充分的；另一方面，如果 q 不成立，那么 p 一定不成
立，即 q 对 p 的成立是必要的.
【想一想】
1. p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？
提示：相同，都是 p q .
2. 以下五种表述形式：① p q ；② p 是 q 的充分条件；③ q 的充分条
件是 p ；④ q 是 p 的必要条件；⑤ p 的必要条件是 q .这五种表述形
式等价吗？
提示：这五种表述形式是等价的.
知识点二　充要条件
1. 定义：如果 ，且 ，那么称 p 是 q 的充分且必要
条件，简称为 p 是 q 的充要条件，也称 q 的充要条件是 p .
2. 记法：如果 p 是 q 的充要条件，就记作 ，称为“ p 与 q 等
价”，或“ p 等价于 q ”.
3. 传递性：“ ”和“ ”都具有传递性，即
（1）如果 p q ， q s ，那么 ；
（2）如果 p q ， q s ，那么 .
p q 　
q p 　
p q 　
p s 　
p s 　
【想一想】
1. 若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说
法对吗？
提示：正确.若 p 是 q 的充要条件，则 p q ，即 p 等价于 q .
2. “ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q ”的区别在哪里？
提示： p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论； p 的充要条件是
q 说明 q 是条件， p 是结论.
知识点三　判定定理和性质定理与充分、必要条件的关系
1. 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的
，所以判定定理具有“ ”.
2. 性质定理是指某类对象具有的 ，所以性质定理具有
“ ”.
3. 数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质，即数学中的定义
具有“充要性”.
所
有特征　
充分性　
具体特征　
必要性　
1. （2024·扬州中学月考）《墨子·经说（上）》有这样一段话：“小
故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若
见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（　　）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发
生，所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件.故选A.
2. （2024·南通如东质检）已知 a ∈R，则“ a ＞0”是“ a ＞1”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　显然由“ a ＞0”不能推出“ a ＞1”，即充分性不成
立，由“ a ＞1”可推出“ a ＞0”成立，即必要性成立，故“ a ＞
0”是“ a ＞1”的必要不充分条件.故选B.
3. 若 p 是 q 的充要条件， q 是 r 的充要条件，则 p 是 r 的 .
（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空）
充要条件　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 充分条件的判断
【例1】　（链接教科书第31页例1）下列所给的各组 p ， q 中， p 是 q
的充分条件的有哪些？
（1） p ： x ＝3， q ： x2－2 x －3＝0；
解：因为 p q ，所以 p 是 q 的充分条件.
（2） p ：四边形的对角线垂直， q ：四边形是菱形；
解：因为 p / q ，所以 p 不是 q 的充分条件.
（3） p ：内错角相等， q ：两条直线平行；
解：因为 p q ，所以 p 是 q 的充分条件.
（4） p ： x ＞2， q ： x ＞3.
解：因为 p / q ，所以 p 不是 q 的充分条件.
通性通法
定义法判断充分条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，
否则就不是充分条件.
【跟踪训练】
（多选）下列所给的各组 p ， q 中， p 是 q 的充分条件的是（　　）
A. p ： x －3＝0， q ：（ x －2）（ x －3）＝0
B. p ：两个三角形相似， q ：两个三角形全等
C. p ： a ＞ b ， q ： ac ＞ bc
D. p ： a ＞2且 b ＞2， q ： a ＋ b ＞4， ab ＞4
解析：　A中， x －3＝0 （ x －2）（ x －3）＝0，故 p 是 q 的充分
条件；B中，两个三角形相似 / 两个三角形全等，故 p 不是 q 的充分
条件；C中， a ＞ b / ac ＞ bc ，故 p 不是 q 的充分条件；D中，由 a ＞2
且 b ＞2 a ＋ b ＞4， ab ＞4，故 p 是 q 的充分条件.故选A、D.
题型二 必要条件的判断
【例2】　（链接教科书第31页例2）下列所给的各组 p ， q 中， p 是 q
的必要条件的有哪些？
（1） p ：｜ x ｜＝2， q ： x ＝－2；
解：因为 q p ，所以 p 是 q 的必要条件.
（2） p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是平行四边形；
解：因为 q / p ，所以 p 不是 q 的必要条件.
（3） p ：内错角相等， q ：两条直线平行；
解：因为 q p ，所以 p 是 q 的必要条件.
（4） p ： x ∈Z， q ： x ∈R.
解：因为 q / p ，所以 p 不是 q 的必要条件.
通性通法
定义法判断必要条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，
否则就不是必要条件.
【跟踪训练】
（多选）下列命题中， p 是 q 的必要条件的是（　　）
A. p ：两个三角形面积相等， q ：两个三角形全等
B. p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是矩形
C. p ： x ＞2， q ：｜ x ｜＞2
D. p ： x ＞2且 y ＞3， q ： x ＋ y ＞5
解析：　A中， q ：两个三角形全等 p ：两个三角形面积相等，
所以 p 是 q 的必要条件；B中， q ：四边形是矩形 p ：四边形的对角
线相等，所以 p 是 q 的必要条件；C中，由｜ x ｜＞2，得 x ＞2或 x ＜－
2，不一定有 x ＞2，所以 p 不是 q 的必要条件；D中， x ＋ y ＞5 / x ＞2
且 y ＞3， p 不是 q 的必要条件.故选A、B.
题型三 充分、必要、充要条件的判断
【例3】　（链接教科书第32页例3）指出下列各题中， p 是 q 的什么
条件？（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”“既不充分又不必要条件”回答）
（1） p ：四边形是正方形， q ：四边形的对角线互相垂直平分；
解：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即 p
q .反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定
是正方形，即 q / p .所以 p 是 q 的充分不必要条件.
（2） p ：△ ABC 两个角相等， q ：△ ABC 是等边三角形；
解：△ ABC 两个角相等 / △ ABC 是等边三角形，但△ ABC 是等
边三角形 △ ABC 两个角相等，即 p / q ， q p ，所以 p 是 q 的
必要不充分条件.
（3） p ： a ＞ b ， q ： a2＞ b2；
解：取 a ＝1， b ＝－2，此时 a ＞ b ，但 a2＜ b2，即 p / q .反
之，取 a ＝－2， b ＝－1，此时 a2＞ b2，但 a ＜ b ，即 q / p .所
以 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
（4） p ： xy ＞0， q ： x ＞0， y ＞0或 x ＜0， y ＜0.
解：因为 xy ＞0时， x ＞0， y ＞0或 x ＜0， y ＜0.故 p q ，且 q
p ，即 p q .所以 p 是 q 的充要条件.
通性通法
定义法判断充分、必要、充要条件
（1）若 p q ， q / p ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（2）若 p / q ， q p ，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（3）若 p q ， q p ，则 p 是 q 的充要条件；
（4）若 p / q ， q / p ，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
【跟踪训练】
1. （2024·徐州高级中学质检）“ x ＞ y ＞0”是“ x2＞ y2”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：　若 x ＞ y ＞0，则 x2＞ y2成立，所以“ x ＞ y ＞0”是“ x2
＞ y2 ”的充分条件；若 x2＞ y2，例如 x ＝－2， y ＝1满足 x2＞ y2，
但 x ＜ y ，即必要性不成立，所以“ x ＞ y ＞0”是“ x2＞ y2”的充
分不必要条件.
2. （多选）（2024·江苏天一中学月考）下列说法正确的是（　　）
A. “ ＞ ”是“ a ＜ b ”的充分不必要条件
B. A ∩ B ＝ 是 A ＝ 的必要不充分条件
C. 若 a ， b ， c ∈R，则“ ab2＞ cb2”的充要条件是“ a ＞ c ”
D. 若 a ， b ∈R，则“ a2＋ b2≠0”是“｜ a ｜＋｜ b ｜≠0”的充要 条件
解析：　A中，当 a ＝2， b ＝－2时，有 ＞ ，此时 a ＞ b ，因
此 ＞ / a ＜ b ，反之当 a ＝－2， b ＝2时， a ＜ b ，但 ＜ ，即
a ＜ b / ＞ ，所以是既不充分又不必要条件，故A错误；B中，
当 A ＝{1}， B ＝{2}时， A ∩ B ＝ ，但 A ≠ ，当 A ＝ 时， A ∩ B
＝ ，故B正确；C中，当 ab2＞ cb2时， b2＞0，从而 a ＞ c ，反之，
a ＞ c 时，若 b ＝0，则 ab2＝ cb2，所以不是充要条件，故C错误；D
中， a2＋ b2≠0 a ≠0或 b ≠0 ｜ a ｜＋｜ b ｜≠0，D正确.故选
B、D.
题型四 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件
【例4】　指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必
要条件的语言来表述：
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
解：是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形
是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直
且相等”.
（2）正方形的对角线互相垂直且相等.
解：是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线
互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件.
通性通法
判定定理、性质定理与充分、必要条件关系的判断
（1）判定定理阐述了结论成立的依据，判定定理给出了结论成立的
充分条件；
（2）性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用
是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的
必要条件；
（3）判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件
的语言来表述.
【跟踪训练】
指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语
言来表述：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
解：是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方
形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”.
（2）如果两条平行直线同时和第三条直线相交，那么它们的同位角
相等.
解：是性质定理，用必要条件的语言表述为“两条直线同时和
第三条直线相交，它们的同位角相等”是“这两条直线平行”
的必要条件.
1. 俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好
报”的（　　）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
解析：　这句话的意思中，“好人” “有好报”，所以“好
人”是“有好报”的充分条件.故选A.
2. （2024·连云港赣榆质检） “ x ＞1”是“ x2＞1”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　因为 x ＞1，则 x2＞1，但是 x2＞1不一定有 x ＞1，所以
“ x ＞1”是“ x2＞1”成立的充分不必要条件.故选A.
3. （2024·徐州铜山月考）设 p ：－2＜ x ＜4， q ：0＜ x ＜2，则 p 是 q
成立的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　因为－2＜ x ＜4 / 0＜ x ＜2，但0＜ x ＜2 －2＜ x ＜4，
故 p 是 q 成立的必要不充分条件.故选B.
4. 设 a ， b 是实数，则“ a ＋ b ＞0”是“ ab ＞0”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　若 a ＋ b ＞0，取 a ＝3， b ＝－2，则 ab ＞0不成立；反
之，若 ab ＞0，取 a ＝－2， b ＝－3，则 a ＋ b ＞0也不成立，因此
“ a ＋ b ＞0”是“ ab ＞0”的既不充分又不必要条件.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列命题中， p 是 q 的充分条件的是（　　）
A. p ： ab ≠0， q ： a ≠0
B. p ： a2＋ b2≥0， q ： a ≥0且 b ≥0
C. p ： x3＞0， q ： x ＞1
D. p ： a ＞ b ， q ： ＞
解析：　对于A： p q ，故 p 是 q 的充分条件；对于B： p / q ，
故 p 不是 q 的充分条件；对于C： p / q ，故 p 不是 q 的充分条件；
对于D： p / q ，故 p 不是 q 的充分条件.故选A.
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2. 下列选项中， p 是 q 的必要条件的是（　　）
A. p ： a ＝－1， q ：｜ a ｜＝1
B. p ：－1＜ a ＜1， q ： a ＜1
C. p ： a ＜ b ， q ： a ＜ b ＋1
D. p ： a ＞ b ， q ： a ＞ b ＋1
解析：　要满足 p 是 q 的必要条件，即 q p ，只有 q ： a ＞ b ＋
1 p ： a ＞ b 符合题意，故选D.
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3. “ x ＝1是 x2－4 x ＋3＝0”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：　若 x ＝1，则 x2－4 x ＋3＝0，是充分条件，若 x2－4 x ＋3
＝0，则 x ＝1或 x ＝3，不是必要条件.故选A.
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4. “ x ＜2”是“ ＜0”的（　　）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：　由 ＜0，得 x －2＜0， x ＜2，即“ x ＜2”是“ ＜
0”的充要条件.
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5. （2024·连云港期中）“｜ a ｜＞｜ b ｜”是“ a ＞ b ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：　设 a ＝－2， b ＝0，此时满足｜ a ｜＞｜ b ｜，但 a ＞ b
不成立，充分性不成立；设 a ＝2， b ＝－3，此时满足 a ＞ b ，但｜
a ｜＞｜ b ｜不成立，必要性不成立，故｜ a ｜＞｜ b ｜是 a ＞ b 的
既不充分又不必要条件.故选D.
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6. 若 p ： a ∈（ M ∪ N ）， q ： a ∈ M ，则 p 是 q 的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
解析：　由 a ∈（ M ∪ N ） / a ∈ M ，但 a ∈ M a ∈（ M ∪
N ），故 p 是 q 的必要不充分条件.
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7. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. “ A ∩ B ＝ B ”是“ B ＝ ”的必要不充分条件
B. “ x ＝3”的必要不充分条件是“ x2－2 x －3＝0”
C. “ m 是实数”的充分不必要条件是“ m 是有理数”
D. “｜ x ｜＝1”是“ x ＝1”的充分条件
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解析：　由 A ∩ B ＝ B ，得 B A ，所以“ B ＝ ”可推出“ A
∩ B ＝ B ”，反之不成立，A正确；解方程 x2－2 x －3＝0，得 x ＝
－1或 x ＝3，所以“ x ＝3”的必要不充分条件是“ x2－2 x －3＝
0”，B正确；“ m 是有理数”可以推出“ m 是实数”，反之不一
定成立，C正确；解方程｜ x ｜＝1，得 x ＝±1，则“｜ x ｜＝1”
是“ x ＝1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
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8. 设命题 p ： k ＞5， b ＜5，命题 q ：一次函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5
的图象交 y 轴于负半轴，交 x 轴于正半轴，则 p 是 q 的 条件；
q 是 p 的 条件.（用“充分”或“必要”填空）
解析：当 k ＞5， b ＜5时，函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5的图象如图
所示，此时一次函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5的图象交 y 轴于负半
轴，交 x 轴于正半轴，所以 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件.
充分　
必要　
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9. 对于集合 A ， B 及元素 x ，若 A B ，则 x ∈ B 是 x ∈（ A ∪ B ）
的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或
“既不充分又不必要”）
解析：由 x ∈ B ，可得 x ∈（ A ∪ B ）；反之，因为 A B ， A ∪ B
＝ B ，所以由 x ∈（ A ∪ B ），可得 x ∈ B ，故 x ∈ B 是 x ∈（ A ∪
B ）的充要条件.
充要　
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10. 指出下列命题中， p 是 q 的什么条件？（用“充分不必要”“必要
不充分”“充要”“既不充分又不必要”回答）
（1） p ： x2＝2 x ＋1， q ： x ＝ ；
解：∵ x2＝2 x ＋1 /x＝ ， x ＝ x2＝
2 x ＋1，∴ p 是 q 的必要不充分条件.
（2） p ： a2＋ b2＝0， q ： a ＋ b ＝0；
解：∵a2＋b2＝0 a＝b＝0 a＋b＝0，a＋b＝0 /a2＋
b2＝0，∴ p 是 q 的充分不必要条件.
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（3） p ：（ x －1）2＋（ y －2）2＝0， q ：（ x －1）（ y －
2）＝0.
解：∵（x－1）2＋（y－2）2＝0 x＝1且y＝2 （x－1）（y－2）＝0，而（x－1）（y－2）＝0 / （ x －1）2＋（ y －2）2＝0，∴ p 是 q 的充分不必要条件.
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11. 给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确
的是（　　）
A. 该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述
B. 该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述
C. 该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述
D. 该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述
解析：　此定理揭示了等腰梯形的某个特征，是性质定理，可
用必要条件的语言来表述，故选D.
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12. （多选）设计如图所示的四个电路图，若 p ：开关S闭合， q ：灯
泡L亮，则 p 是 q 的充要条件的电路图是（　　）
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解析：　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡
L亮开关S不一定闭合，故A中 p 是 q 的充分不必要条件；电路图B
中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B
中 p 是 q 的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，
灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中 p 是 q 的必要不充分条件；电路
图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，
故D中 p 是 q 的充要条件.故选B、D.
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13. 若 a ， b 都是实数，试从① ab ＝0；② a ＋ b ＝0；③ a （ a2＋ b2）
＝0；④ ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空.
（1）“ a ， b 都为0”的必要条件是 ；
①②③　
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解析：① ab ＝0 a ＝0或 b ＝0，即 a ， b 至少有一个为0；
② a ＋ b ＝0 a ， b 互为相反数，则 a ， b 可能均为0，也可
能为一正一负；③ a （ a2＋ b2）＝0 a ＝0或④ ab
＞0 或则 a ， b 都不为0.故（1）“ a ， b
都为0”的必要条件是①②③；
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（2）“ a ， b 都不为0”的充分条件是 ；
解析：① ab ＝0 a ＝0或 b ＝0，即 a ， b 至少有一个为0；
② a ＋ b ＝0 a ， b 互为相反数，则 a ， b 可能均为0，也可
能为一正一负；③ a （ a2＋ b2）＝0 a ＝0或④ ab
＞0 或则 a ， b 都不为0.故（2）“ a ， b
都不为0”的充分条件是④；
④　
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（3）“ a ， b 至少有一个为0”的充要条件是 .
解析：① ab ＝0 a ＝0或 b ＝0，即 a ， b 至少有一个为0；
② a ＋ b ＝0 a ， b 互为相反数，则 a ， b 可能均为0，也可
能为一正一负；③ a （ a2＋ b2）＝0 a ＝0或④ ab
＞0 或则 a ， b 都不为0.故（3）“ a ， b
至少有一个为0”的充要条件是①.
①　
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14. 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件：
（1） p ： x ＝1， q ： x －1＝ ；
解：当 x ＝1时， x －1＝ 成立；
当 x －1＝ 时， x ＝1或 x ＝2.
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
（2） p ：－1≤ x ≤5， q ： x ≥－1且 x ≤5；
解：因为－1≤ x ≤5 x ≥－1且 x ≤5，
所以 p 是 q 的充要条件.
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（3） p ： x ＋2≠ y ， q ：（ x ＋2）2≠ y2；
解：由 q ：（ x ＋2）2≠ y2，得 x ＋2≠ y ，且 x ＋2≠－ y ，又 p ： x ＋2≠ y ，
故 p 是 q 的必要不充分条件.
（4） p ： a 是自然数， q ： a 是正数.
解：0是自然数，但0不是正数，故 p /q； 是正数，但 不是自然数，故 q /p.故 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
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15. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充
分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　）
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
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解析：　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 / 丙，如图.综上，有丙 甲，但甲 / 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选A.
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