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第2课时　充分、必要、充要条件的应用
1.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是（　　）
A.a≤1 B.a≤－1
C.a≥2 D.a＜2
2.若命题p：x≥1，命题q：≤1，则q是p的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（　　）
A.a≤－1 B.a≤－1或a≥2
C.a≥2 D.－1≤a＜2
4.若“x＞1或x＜－2”是“x＜a”的必要条件，则a的最大值为（　　）
A.2 B.－2
C.－1 D.1
5.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（　　）
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2
6.（多选）已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的值为（　　）
A.－ B.0
C. D.
7.“x＜5”是“x＜3”的　　　　　　条件.（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空）
8.写出使x2＜1成立的一个充分不必要条件是　　　　.
9.已知p：A＝{x｜－1≤x≤5}，q：B＝{x｜－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　　.
10.已知集合M＝{x｜x＜－3或x＞5}，P＝{x｜a≤x≤8}.
（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件；
（2）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的一个必要不充分条件.
11.若不等式1－a＜x＜a＋1成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（　　）
A.[0，＋∞） B.[1，＋∞）
C.[3，＋∞） D.[1，3]
12.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是（　　）
A.ab＝0 B.ab＞0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0
13.已知当a＜0时，设p：3a＜x＜a，q：x＜－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由.
15.设a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
第2课时　充分、必要、充要条件的应用
1.A　由题意，得{x｜x＞1} {x｜x＞a}，故a≤1.故选A.
2.B　由≤1得，x≥1或x＜0，因为{x｜x≥1} {x｜x≥1或x＜0}，所以q是p的必要不充分条件.故选B.
3.C　因为q是p的必要条件，所以{x｜－1≤x＜2} {x｜x＜a}，在数轴上画出－1≤x＜2，借助数轴可知a≥2.故选C.
4.B　∵“x＞1或x＜－2”是“x＜a”的必要条件，∴{x｜x＜a} {x｜x＞1或x＜－2}，如图所示，∴a≤－2，∴a的最大值为－2.故选B.
5.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集即可，只有B、C满足题意.故选B、C.
6.ABC　p：x∈{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，q：x∈{x｜mx＋1＝0}，因为p是q的必要不充分条件，所以{x｜mx＋1＝0} {2，－3}.当{x｜mx＋1＝0}＝ ，即m＝0时，符合题意；当{x｜mx＋1＝0}≠ 时，由{x｜mx＋1＝0} {2，－3}，得－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝.综上，m＝0或－或.故选A、B、C.
7.必要不充分　解析：设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为A B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件.
8.x＝0（答案不唯一）　解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，则x＝0可以作为x2＜1的充分不必要条件.
9.{m｜m＞3}
解析：因为p是q的充分条件，所以A B，如图，则解得m＞3.则m的取值范围为{m｜m＞3}.
10.解：（1）M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a｜－3≤a≤5}.
（2）结合数轴可知a＜－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a｜a＜－3}.
11.C　由题意得，（0，4） （1－a，a＋1），所以 a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞）.故选C.
12.D　由“a，b中至少有一个不为零”可知，a，b都不为0，或a，b中有一个为0.选项A中，由ab＝0，可得a＝0或b＝0或a，b均为0，不满足条件.选项B中，由ab＞0，可得a，b都不为0，不满足条件.选项C中，由a2＋b2＝0，可得a＝b＝0，不满足条件.选项D中，a2＋b2＞0 a，b中至少有一个不为零，满足条件.故选D.
13.{a｜a≤－4或－≤a＜0}
解析：设A＝{x｜3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x｜x＜－4，或x≥－2}.∵p是q的充分不必要条件，∴A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.又∵a＜0，∴a≤－4或－≤a＜0，即实数a的取值范围为{a｜a≤－4或－≤a＜0}.
14.解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则x＝－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
15.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则＋2ax0＋b2＝0，＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝，将此式代入＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2. ①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即（x＋a－c）（x＋a＋c）＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即（x＋c－a）·（x＋c＋a）＝0.
故两方程有公共根x＝－（a＋c）.
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
1 / 2第2课时　充分、必要、充要条件的应用
题型一 用集合观点理解充分、必要与充要条件
【例1】　（链接教科书第35页习题6题）（1）设p：“－2≤x≤2”，q：“x≤2或x＞3”，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
（2）设x∈R，则“－1＜x＜3”是“1＜x＜2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
通性通法
　　利用集合间的包含关系判断充分、必要与充要条件的方法
　　对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}：
（1）若A B，则p是q的充分条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件；
（4）若A B，则p是q的充分不必要条件；
（5）若A B，则p是q的必要不充分条件.
【跟踪训练】
1.（2024·扬州广陵红桥高中期中）设p：a＞1，q：＜1，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“x≤2”是“1＜x＜2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
题型二 充分条件与必要条件的应用
【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【母题探究】
1.（变条件）将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
通性通法
　　利用充分条件与必要条件的关系求参数范围的方法
　　利用充分条件、必要条件的关系求参数，主要是依据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的联系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1.（2024·常熟期中）已知A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≤m}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　.
2.设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A B的充要条件为　　　　；写出一个充分不必要条件可为　　　　.
题型三 充要条件的证明
【例3】　（链接教科书第35页习题4题）求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0.
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长）
题型四 充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例4】　关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是（　　）
A.m＜ B.m＜
C.m＜－ D.m＜－
通性通法
寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法
（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.即p q；
（2）寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p.即q p；
（3）寻求q的充要条件有两种方法：
①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；
②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明.
【跟踪训练】
1.（2024·宿迁沭阳期中）已知a，b∈R，则“a＞b”的一个必要不充分条件是（　　）
A.｜a｜＞｜b｜ B.a＞b＋2
C.a＞｜b｜ D.a＞b－2
2.（多选）若p：1≤x≤3，则p成立的一个充分不必要条件是（　　）
A.1≤x≤3 B.2＜x＜3
C.1＜x＜3 D.0≤x≤4
1.（2024·镇江中学质检） “｜x｜＜3”是“｜x｜＜1”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.（多选）使ab＞0成立的充分条件是（　　）
A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0
C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1
3.已知集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜1－2a≤x≤a＋2}.
（1）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围.
第2课时　充分、必要、充要条件的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　（2）B　解析：（1）设A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤2或x＞3}.因为A B，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
（2）设A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜1＜x＜2}，因为A B.所以“－1＜x＜3”是“1＜x＜2”的必要不充分条件.故选B.
跟踪训练
1.A　由q：＜1，得a＞1或a＜0，因为{a｜a＞1} {a｜a＞1或a＜0}，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
2.B　设A＝{x｜x≤2}，B＝{x｜1＜x＜2}，A B.故“x≤2”是“1＜x＜2”的必要不充分条件.故选B.
【例2】　解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的必要不充分条件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}.
母题探究
1.解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的充分不必要条件，
设p表示的集合为A，q表示的集合为B，
所以A B.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围为{m｜m≥9}.
2.解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
跟踪训练
1.（－∞，1]　解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，所以m≤1.
2.a≤9　8≤a≤9（答案不唯一）　
解析：若A＝ ，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；若A≠ ，则A B 6≤a≤9.综上可知，A B的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为8≤a≤9.
【例3】　证明：（1）充分性：∵－＜m＜0，
∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m＞0，
∴x2－2x－3m＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
则x1x2＝－3m＞0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.
（2）必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
设两实根为x1，x2，则有
解得－＜m＜0.
综合（1）（2）知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0.
跟踪训练
　证明：必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，
所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立；
充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立.
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
【例4】　A　由题意得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m＜是m≤的必要条件，故选A.
跟踪训练
1.D　A中，若a＝0，b＝－1，a＞b但｜a｜＜｜b｜，故“｜a｜＞｜b｜”不是“a＞b”的必要条件，故A错误；B中，a＞b＋2 a＞b，所以“a＞b＋2”是“a＞b”的充分条件，B错误；C中，a＞｜b｜ a＞b，所以“a＞｜b｜”是“a＞b”的充分条件，C错误；D中，a＞b－2推不出a＞b，若a＞b，则a＞b－2，所以“a＞b－2”是“a＞b”的必要不充分条件，D正确.故选D.
2.BC　设1≤x≤3对应的集合为A＝{x｜1≤x≤3}，使p成立的一个充分不必要条件对应的集合为B，则B A，满足上述条件的选项有B、C.
随堂检测
1.B　由｜x｜＜3，解得－3＜x＜3；由｜x｜＜1，解得－1＜x＜1；因为{x｜－1＜x＜1} {x｜－3＜x＜3}，所以“｜x｜＜3”是“｜x｜＜1”的必要不充分条件.故选B.
2.ACD　因为a＞0，b＞0 ab＞0；a＜0，b＜0 ab＞0；a＞1，b＞1 ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件.
3.解：（1）因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A B，
所以解得a≥1.即实数a的取值范围是[1，＋∞）.
（2）因为x∈A是x∈B的必要条件，所以B A，
当B＝ 时，符合题意，则1－2a＞a＋2，解得a＜－，
当B≠ 时，则解得－≤a≤0，
综上，a≤0，即实数a的取值范围是（－∞，0].
3 / 3(共49张PPT)
第2课时　充分、必要、充要条件的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 用集合观点理解充分、必要与充要条件
【例1】　（链接教科书第35页习题6题）（1）设 p ：“－2≤ x
≤2”， q ：“ x ≤2或 x ＞3”，则 p 是 q 的（　A　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：设 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜ x ≤2或 x ＞3}.因为 A B ，
所以 p 是 q 的充分不必要条件.故选A.
A
（2）设 x ∈R，则“－1＜ x ＜3”是“1＜ x ＜2”的（　B　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：设 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜2}，因为
A B . 所以“－1＜ x ＜3”是“1＜ x ＜2”的必要不充分条
件.故选B.
B
通性通法
　　利用集合间的包含关系判断充分、必要与充要条件的方法
　　对于集合 A ＝{ x ｜ x 满足条件 p }， B ＝{ x ｜ x 满足条件 q }：
（1）若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
（2）若 A B ，则 p 是 q 的必要条件；
（3）若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件；
（4）若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（5）若 A B ，则 p 是 q 的必要不充分条件.
【跟踪训练】
1. （2024·扬州广陵红桥高中期中）设 p ： a ＞1， q ： ＜1，则 p 是 q
的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　由 q ： ＜1，得 a ＞1或 a ＜0，因为{ a ｜ a ＞1} { a ｜ a
＞1或 a ＜0}，所以 p 是 q 的充分不必要条件.故选A.
2. “ x ≤2”是“1＜ x ＜2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　设 A ＝{ x ｜ x ≤2}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜2}， A B . 故“ x
≤2”是“1＜ x ＜2”的必要不充分条件.故选B.
题型二 充分条件与必要条件的应用
【例2】　已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若
p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m } { x ｜－2≤ x ≤10}，
故有或
解得 m ≤3.
又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}.
【母题探究】
1. （变条件）将本例中“ p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充
分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
设 p 表示的集合为 A ， q 表示的集合为 B ，
所以 A B .
所以或
解得 m ≥9，
即实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥9}.
2. （变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条
件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件.
通性通法
　　利用充分条件与必要条件的关系求参数范围的方法
　　利用充分条件、必要条件的关系求参数，主要是依据集合间的包
含关系与充分条件和必要条件的联系，将问题转化为集合之间的关
系，建立关于参数的不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1. （2024·常熟期中）已知 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≤ m }，若“ x
∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要条件，则实数 m 的取值范围是
.
解析：因为“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的必要条件，所以 B A ，所以
m ≤1.
（－∞，
1]　
2. 设集合 A ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ≤3 a －5}， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}，则 A
B 的充要条件为 ；写出一个充分不必要条件可为
.
解析：若 A ＝ ，则2 a ＋1＞3 a －5，解得 a ＜6；若 A ≠ ，则 A
B 6≤ a ≤9.综上可知， A B 的充要条件为
a ≤9；一个充分不必要条件可为8≤ a ≤9.
a ≤9　
8≤ a ≤9
（答案不唯一）　
题型三 充要条件的证明
【例3】　（链接教科书第35页习题4题）求证：方程 x2－2 x －3 m ＝0
有两个同号且不相等实根的充要条件是－ ＜ m ＜0.
证明：（1）充分性：∵－ ＜ m ＜0，
∴方程 x2－2 x －3 m ＝0的判别式Δ＝4＋12 m ＞0，
∴ x2－2 x －3 m ＝0有两个不相等的实数根，分别设为 x1， x2.
则 x1 x2＝－3 m ＞0，
∴方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等的实根.
（2）必要性：若方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等的实根，
设两实根为 x1， x2，则有解得－ ＜ m ＜0.
综合（1）（2）知，方程 x2－2 x －3 m ＝0有两个同号且不相等实根的
充要条件是－ ＜ m ＜0.
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向
进行，即证明两个命题“若 p ，则 q ”为真且“若 q ，则 p ”
为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的
解集是相同的.
提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
求证：△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc .
（这里 a ， b ， c 是△ ABC 的三边边长）
证明：必要性：因为△ ABC 是等边三角形，所以 a ＝ b ＝ c ，
所以 ab ＋ ac ＋ bc ＝ a2＋ b2＋ c2，所以必要性成立；
充分性：由 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc 两边同时乘2得，2 a2＋2 b2＋2 c2
＝2 ab ＋2 ac ＋2 bc ，
即（ a － b ）2＋（ b － c ）2＋（ c － a ）2＝0，所以 a ＝ b ＝ c ，所以△
ABC 是等边三角形，所以充分性成立.
综上，△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc .
题型四 充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例4】　关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ m ＝0有实数解的一个必要条
件是（　　）
A. m ＜ B. m ＜
C. m ＜－ D. m ＜－
解析：　由题意得Δ＝ b2－4 ac ＝1－4×1× m ≥0，解得 m ≤ .四个
选项中，只有 m ＜ 是 m ≤ 的必要条件，故选A.
通性通法
寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法
（1）寻求 q 的充分条件 p ，即求使 q 成立的条件 p .即 p q ；
（2）寻求 q 的必要条件 p ，即求以 q 为条件可推出的结论 p .即 q
p ；
（3）寻求 q 的充要条件有两种方法：
①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充
要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每
一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；
②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要
性和充分性两方面说明.
【跟踪训练】
1. （2024·宿迁沭阳期中）已知 a ， b ∈R，则“ a ＞ b ”的一个必要不
充分条件是（　　）
A. ｜ a ｜＞｜ b ｜ B. a ＞ b ＋2
C. a ＞｜ b ｜ D. a ＞ b －2
解析：　A中，若 a ＝0， b ＝－1， a ＞ b 但｜ a ｜＜｜ b ｜，故
“｜ a ｜＞｜ b ｜”不是“ a ＞ b ”的必要条件，故A错误；B中， a
＞ b ＋2 a ＞ b ，所以“ a ＞ b ＋2”是“ a ＞ b ”的充分条件，B错
误；C中， a ＞｜ b ｜ a ＞ b ，所以“ a ＞｜ b ｜”是“ a ＞ b ”的
充分条件，C错误；D中， a ＞ b －2推不出 a ＞ b ，若 a ＞ b ，则 a
＞ b －2，所以“ a ＞ b －2”是“ a ＞ b ”的必要不充分条件，D正
确.故选D.
2. （多选）若 p ：1≤ x ≤3，则 p 成立的一个充分不必要条件是（　）
A. 1≤ x ≤3 B. 2＜ x ＜3
C. 1＜ x ＜3 D. 0≤ x ≤4
解析：　设1≤ x ≤3对应的集合为 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}，使 p 成立
的一个充分不必要条件对应的集合为 B ，则 B A ，满足上述条件
的选项有B、C.
1. （2024·镇江中学质检） “｜ x ｜＜3”是“｜ x ｜＜1”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　由｜ x ｜＜3，解得－3＜ x ＜3；由｜ x ｜＜1，解得－1
＜ x ＜1；因为{ x ｜－1＜ x ＜1} { x ｜－3＜ x ＜3}，所以“｜ x ｜
＜3”是“｜ x ｜＜1”的必要不充分条件.故选B.
2. （多选）使 ab ＞0成立的充分条件是（　　）
A. a ＞0， b ＞0 B. a ＋ b ＞0
C. a ＜0， b ＜0 D. a ＞1， b ＞1
解析：　因为 a ＞0， b ＞0 ab ＞0； a ＜0， b ＜0 ab ＞0； a
＞1， b ＞1 ab ＞0，所以选项A，C，D都是使 ab ＞0成立的充分
条件，当 a ＝2， b ＝－1时， a ＋ b ＞0， ab ＜0，故 a ＋ b ＞0不是
ab ＞0成立的充分条件.
3. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜1－2 a ≤ x ≤ a ＋2}.
（1）若 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分条件，求实数 a 的取值范围；
解：因为 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分条件，所以 A B ，
所以解得 a ≥1.即实数 a 的取值范围是[1，＋∞）.
（2）若 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
解：因为 x ∈ A 是 x ∈ B 的必要条件，所以 B A ，
当 B ＝ 时，符合题意，则1－2 a ＞ a ＋2，解得 a ＜－ ，
当 B ≠ 时，则解得－ ≤ a ≤0，
综上， a ≤0，即实数 a 的取值范围是（－∞，0].
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若“ x ＞1”是“ x ＞ a ”的充分条件，则 a 的取值范围是（　　）
A. a ≤1 B. a ≤－1
C. a ≥2 D. a ＜2
解析：　由题意，得{ x ｜ x ＞1} { x ｜ x ＞ a }，故 a ≤1.故选A.
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2. 若命题 p ： x ≥1，命题 q ： ≤1，则 q 是 p 的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　由 ≤1得， x ≥1或 x ＜0，因为{ x ｜ x ≥1} { x ｜ x ≥1
或 x ＜0}，所以 q 是 p 的必要不充分条件.故选B.
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3. 设 p ：－1≤ x ＜2， q ： x ＜ a ，若 q 是 p 的必要条件，则 a 的取值范
围是（　　）
A. a ≤－1 B. a ≤－1或 a ≥2
C. a ≥2 D. －1≤ a ＜2
解析：　因为 q 是 p 的必要条件，所以{ x ｜－1≤ x ＜2} { x ｜ x
＜ a }，在数轴上画出－1≤ x ＜2，借助数轴可知 a ≥2.故选C.
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4. 若“ x ＞1或 x ＜－2”是“ x ＜ a ”的必要条件，则 a 的最大值为
（　　）
A. 2 B. －2
C. －1 D. 1
解析：　∵“ x ＞1或 x ＜－2”是“ x ＜ a ”的必要条件，∴{ x ｜ x ＜ a } { x ｜ x ＞1或 x ＜－2}，如图所示，∴ a ≤－2，∴ a 的最大值为－2.故选B.
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5. （多选）使“ x ∈{ x ｜ x ≤0或 x ＞2}”成立的一个充分不必要条件
是（　　）
A. x ≥0 B. x ＜0或 x ＞2
C. x ∈{－1，3，5} D. x ≤0或 x ＞2
解析：　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子
集即可，只有B、C满足题意.故选B、C.
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6. （多选）已知 p ： x2＋ x －6＝0和 q ： mx ＋1＝0，且 p 是 q 的必要不
充分条件，则实数 m 的值为（　　）
A. － B. 0
C. D.
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解析：　 p ： x ∈{ x ｜ x2＋ x －6＝0}＝{2，－3}， q ： x
∈{ x ｜ mx ＋1＝0}，因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以{ x ｜ mx
＋1＝0} {2，－3}.当{ x ｜ mx ＋1＝0}＝ ，即 m ＝0时，符合题
意；当{ x ｜ mx ＋1＝0}≠ 时，由{ x ｜ mx ＋1＝0} {2，－3}，得
－ ＝2或－ ＝－3，解得 m ＝－ 或 m ＝ .综上， m ＝0或－ 或
.故选A、B、C.
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7. “ x ＜5”是“ x ＜3”的 条件.（用“充分不必
要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空）
解析：设 A ＝{ x ｜ x ＜5}， B ＝{ x ｜ x ＜3}，因为 A B ，所以“ x
＜5”是“ x ＜3”的必要不充分条件.
必要不充分　
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8. 写出使 x2＜1成立的一个充分不必要条件是 .
解析：由 x2＜1，得－1＜ x ＜1，则 x ＝0可以作为 x2＜1的充分不必
要条件.
x ＝0（答案不唯一）　
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9. 已知 p ： A ＝{ x ｜－1≤ x ≤5}， q ： B ＝{ x ｜－ m ＜ x ＜2 m －1}，
若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是 .
解析：因为 p 是 q 的充分条件，所以 A B ，如图，则
解得 m ＞3.则 m 的取值范围为{ m ｜ m ＞3}.
{ m ｜ m ＞3}　
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10. 已知集合 M ＝{ x ｜ x ＜－3或 x ＞5}， P ＝{ x ｜ a ≤ x ≤8}.
（1）求实数 a 的取值范围，使它成为 M ∩ P ＝{ x ｜5＜ x ≤8}的
充要条件；
解：M ∩ P ＝{ x ｜5＜ x ≤8}的充要条件是－3≤ a
≤5，所以实数 a 的取值范围是{ a ｜－3≤ a ≤5}.
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（2）求实数 a 的取值范围，使它成为 M ∩ P ＝{ x ｜5＜ x ≤8}的
一个必要不充分条件.
解：结合数轴可知 a ＜－3时符合题意，则实数 a 的取
值范围是{ a ｜ a ＜－3}.
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11. 若不等式1－ a ＜ x ＜ a ＋1成立的充分条件是0＜ x ＜4，则实数 a
的取值范围是（　　）
A. [0，＋∞） B. [1，＋∞）
C. [3，＋∞） D. [1，3]
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解析：　由题意得，（0，4） （1－ a ， a ＋1），所以
a ≥3，所以实数 a 的取值范围是
[3，＋∞）.故选C.
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12. 实数 a ， b 中至少有一个不为零的充要条件是（　　）
A. ab ＝0 B. ab ＞0
C. a2＋ b2＝0 D. a2＋ b2＞0
解析：　由“ a ， b 中至少有一个不为零”可知， a ， b 都不为
0，或 a ， b 中有一个为0.选项A中，由 ab ＝0，可得 a ＝0或 b ＝0
或 a ， b 均为0，不满足条件.选项B中，由 ab ＞0，可得 a ， b 都不
为0，不满足条件.选项C中，由 a2＋ b2＝0，可得 a ＝ b ＝0，不满
足条件.选项D中， a2＋ b2＞0 a ， b 中至少有一个不为零，满足
条件.故选D.
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13. 已知当 a ＜0时，设 p ：3 a ＜ x ＜ a ， q ： x ＜－4或 x ≥－2.若 p 是
q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是
.
解析：设 A ＝{ x ｜3 a ＜ x ＜ a ， a ＜0}， B ＝{ x ｜ x ＜－4，或 x ≥
－2}.∵ p 是 q 的充分不必要条件，∴ A B ，∴ a ≤－4或3 a ≥－
2，即 a ≤－4或 a ≥－ .又∵ a ＜0，∴ a ≤－4或－ ≤ a ＜0，即
实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤－4或－ ≤ a ＜0}.
{ a ｜ a ≤－4或－
≤ a ＜0}　
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14. 已知 a ， b ， c ∈R， a ≠0.判断“ a － b ＋ c ＝0”是“一元二次方
程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由.
解：“ a － b ＋ c ＝0”是“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一根为
－1”的充要条件.理由如下：
当 a ， b ， c ∈R， a ≠0时，若“ a － b ＋ c ＝0”，则 x ＝－1满足
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，即“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝
0有一根为－1”，
故“ a － b ＋ c ＝0”是“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一根为－
1”的充分条件，
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若“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一根为－1”，则“ a － b ＋ c
＝0”，
故“ a － b ＋ c ＝0”是“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一根为－
1”的必要条件，
综上所述，“ a － b ＋ c ＝0”是“一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有
一根为－1”的充要条件.
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15. 设 a ， b ， c 为△ ABC 中角 A ， B ， C 的对边，求证：方程 x2＋2 ax
＋ b2＝0与 x2＋2 cx － b2＝0有公共根的充要条件是∠ A ＝90°.
证明：必要性：设方程 x2＋2 ax ＋ b2＝0与 x2＋2 cx － b2＝0有公共
根 x0，则 ＋2 ax0＋ b2＝0， ＋2 cx0－ b2＝0.
两式相减，得 x0＝ ，将此式代入 ＋2 ax0＋ b2＝0，
可得 b2＋ c2＝ a2，故∠ A ＝90°.
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将①代入方程 x2＋2 cx － b2＝0，可得 x2＋2 cx ＋ c2－ a2＝0，即（ x
＋ c － a ）（ x ＋ c ＋ a ）＝0.
故两方程有公共根 x ＝－（ a ＋ c ）.
∴方程 x2＋2 ax ＋ b2＝0与 x2＋2 cx － b2＝0有公共根的充要条件是
∠ A ＝90°.
充分性：∵∠ A ＝90°，∴ b2＋ c2＝ a2， b2＝ a2－ c2.　①
将①代入方程 x2＋2 ax ＋ b2＝0，可得 x2＋2 ax ＋ a2－ c2＝0，即
（ x ＋ a － c ）（ x ＋ a ＋ c ）＝0.
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