资源简介

　3.1　不等式的基本性质
1.与a＞b等价的不等式是（　　）
A.｜a｜＞｜b｜ B.a2＞b2
C.＞1 D.a3＞b3
2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A.a＞b ac2＞bc2 B.＞ a＞b
C. ＞ D.a＞b＞0 ＞
3.设a，b∈R，若a＋｜b｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A.a－b＞0 B.a3＋b3＞0
C.a2－b2＜0 D.a＋b＜0
4.（2024·无锡月考）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.M≥N
5.（多选）下列四个选项中，能推出＜的是（　　）
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
6.（多选）（2024·淮安期中）已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式成立的是（　　）
A.c－a＜c－b B.ac＞bc
C.＜ D.＞
7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是　　　　.
8.若－1＜α＜β＜1，则α－β的取值范围为　　　　.
9.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为　　　　.（用“＜”“≤”或“＝”连接）
10.（1）已知a＜b＜0，求证：＜；
（2）已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
11.“屏占比”是最早用于手机上的一个概念，用于表示手机屏幕面积和手机前面板面积的比值，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）之间，若手机设计师将某老款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则新手机“屏占比”的变化是（　　）
A.“屏占比”不变　　B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.“屏占比”的变化不确定
12.（多选）设a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A.＞ B.ac＜bc
C.｜a｜＞－b D.＞
13.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围为　　　　.
14.已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围：
（1）a；（2）a－b；（3）.
15.对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序列”.
（1）对于2，3，7，11，试问（2，7）是否为（3，11）的“下位序列”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系.
3.1　不等式的基本性质
1.D　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1，故A、B、C都不正确.
2.C　当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b ＜，即＞，C成立；当a＞b＞0时，＜，D不成立.
3.D　本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b＜0，a3＋b3＜0，a2－b2＞0，a＋b＝－1＜0.故A、B、C错误，D正确.
4.B　∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1）＝（a1－1）·（a2－1）＞0，∴M＞N.故选B.
5.ABD　＜ ＜0 ab（a－b）＞0.对于A，ab＜0，a－b＜0，ab（a－b）＞0成立；对于B，ab＞0，a－b＞0，ab（a－b）＞0成立；对于C，ab＜0，a－b＞0，ab（a－b）＜0，不成立；对于D，ab＞0，a－b＞0，ab（a－b）＞0成立.故选A、B、D.
6.ACD　对于A，由a＞b得，－a＜－b，则c－a＜c－b，故A正确；对于B，由a＞b及c＜0得，ac＜bc，故B错误；对于C，由a＞b＞0得，0＜＜，故C正确；对于D，因为a＞b＞0，c＜0，所以－ac＞－bc，所以ab－ac＞ab－bc，即a（b－c）＞b（a－c），因为a－c＞0，a＞0，所以＞，故D正确.故选A、C、D.
7.a＞0＞b　解析：若a，b同号，则a＞b ＜，故需a，b异号且a＞b.
8.（－2，0）　解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1，∴－2＜α－β＜2.又∵α＜β，故－2＜α－β＜0.
9.p≤q　解析：根据题意，得p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·＝＝.因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q.
10.证明：（1）由于－＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
（2）∵＜，∴－＜0，即＜0，
而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
11.C　设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（a＞b＞0，m＞0）.∵－＝＞0，∴手机的“屏占比”和升级前相比变大.故选C.
12.ACD　对于A，a＜b＜0，＞，则＞，选项A正确；对于B，当c＞0时选项B成立，当c≤0，选项B不成立，所以选项B错误；对于C，｜a｜＝－a＞－b，则选项C正确；对于D，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D正确.故选A、C、D.
13.［－，1］　解析：设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，则解得由已知得－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－.上面两式相加，得－≤a＋3b≤1.
14.解：（1）∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋（－b）＜4，即2＜a＜4.
∴a的取值范围是{a｜2＜a＜4}.
（2）∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.
∴a－b的取值范围是{a－b｜1＜a－b＜4}.
（3）∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.
∴的取值范围是{｜＞2}.
15.解：（1）因为2×11＞7×3，不满足“下位序列”的定义，
所以（2，7）不是（3，11）的“下位序列”.
（2）因为a，b，c，d均为正数，（a，b）是（c，d）的“下位序列”，所以ad＜bc，即bc－ad＞0.
因为－＝－＝＞0，所以＞.
因为－＝－＝＝－＜0，所以＜，即＞，
所以＞＞.
2 / 23.1　不等式的基本性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系 数学抽象、逻辑推理
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 逻辑推理
（1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同；
（2）我们经常看到如下标志：
【问题】　它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
当a－b为正数时，称　　 a＞b a－b　　0
当a－b为0时，称　　　 a＝b a－b　　0
当a－b为负数时，称　　　 a＜b a－b　　0
【想一想】
　在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b　　a 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c　　b＋c 可逆
4 可乘性 ac　　bc c的 符号
ac　　bc
5 同向可加性 a＋c　 b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac　　bd 同向 同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an　　bn（n∈N*） 同正
提醒　（1）若a＞b＞0，则0＜＜；若a＜b＜0，则0＞＞；（2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.
1.已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A.ad＞bc　　　　B.ac＞bd
C.a－c＞b－d D.a＋c＞b＋d
2.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（　　）
A.a＞b　　　　　　　　B.a＜b
C.a≥b D.a≤b
3.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b从小到大依次排列的顺序是　　　　.（用“＜”连接）
题型一 作差法比较大小
【例1】　（链接教科书第53页例3）（1）比较两数（a2－1）2与a4－a2＋1的大小；
（2）已知：a＞0，b＞0，试比较＋与的大小.
通性通法
作差法比较大小的步骤
【跟踪训练】
1.（2024·扬州月考）若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（　　）
A.y1＞y2　　　　B.y1＝y2
C.y1＜y2 D.随x值变化而变化
2.已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小.
题型二 不等式性质的应用
角度1　利用不等式性质判断命题的真假
【例2】　（多选）下列命题中为真命题的是（　　）
A.0＞a＞b a2＞b2
B.a2＞b2 a＞b＞0
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
通性通法
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
角度2　利用不等式性质证明不等式
【例3】　（链接教科书第53页例2）已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质证明不等式问题时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
角度3　利用不等式性质求代数式的范围
【例4】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求的取值范围.
通性通法
　　利用不等式的性质求范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围.
【跟踪训练】
1.（多选）已知＜＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.a＜b B.ab＞a＋b
C.｜a｜＜｜b｜ D.ab＞b2
2.已知a＞b＞0，求证：＞.
1.已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2（a＋b＋c），那么P与Q的大小关系是（　　）
A.P＞Q　　　　　　　 B.P≥Q
C.P＜Q D.P≤Q
2.（多选）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中为真命题的是（　　）
A.若a＞b，c＜0，则ac＜bc
B.若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd
C.若a＞b，则＜
D.若ac2＞bc2，则a＞b
3.若1＜a＜2，－1＜b＜3，则a－b的取值范围是　　　.
4.求解不等式－＞，并用不等式的性质说明理由.
3.1　不等式的基本性质
【基础知识·重落实】
知识点一
　a＞b　＞　a＝b　＝　a＜b　＜
想一想
　提示：是.
知识点二
　＜　＞　＞　＜　＞　＞　＞
自我诊断
1.D　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式性质5知，D一定成立.
2.C　a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.
3.－a＜b＜－b＜a　解析：因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又b＜0，则－b＞0，所以－a＜b＜－b＜a.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为（a2－1）2－（a4－a2＋1）＝a4－2a2＋1－a4＋a2－1＝－a2.
当a＝0时，－a2＝0，所以（a2－1）2＝a4－a2＋1；
当a≠0时，－a2＜0，所以（a2－1）2＜a4－a2＋1.
（2）（＋）－＝，因为a＞0，b＞0，所以＞0，所以＋＞.
跟踪训练
1.A　y1－y2＝2x2－2x＋1－（x2－4x－1）＝x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0，故y1＞y2.故选A.
2.解：因为a≥1，
所以M＝－＞0，N＝－＞0.
又＝＝＋，
＝＝＋，
－＝－＞0，
所以＞＞0，所以M＜N.
【例2】　CD　对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由不等式性质7可知，（－b）2＞（－a）2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，不等式性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2，故C为真命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题.
【例3】　证明：因为a＞b＞0 －a＜－b c－a＜c－b.
因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b.
上式两边同乘，得＞＞0.
又因为a＞b＞0，所以＞.
【例4】　解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围是（－7，2）.
母题探究
　解：∵2＜b＜8，
∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是（，2）.
跟踪训练
1.BC　由＜＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；因为b＜a＜0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；因为b＜a＜0，所以｜b｜＞｜a｜，故选项C正确；因为b＜a＜0，所以b＜0，a－b＞0，可得ab－b2＝b（a－b）＜0，即ab＜b2，故选项D不正确.故选B、C.
2.证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0. ①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ②
由①②得＞.
随堂检测
1.A　P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝（a－1）2＋（b－1）2＋（c－1）2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q＞0，∴P＞Q.故选A.
2.AD　当c＞0时，ac＞bc，当c＜0时，ac＜bc，故A正确；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2＝bd＝－2，故B错误；取a＝1，b＝－1，则＝1＞＝－1，故C错误；若ac2＞bc2，显然c≠0，故可得c2（a－b）＞0，又c2＞0，故可得a＞b，故D正确.故选A、D.
3.（－2，3）　解析：因为1＜a＜2，－1＜b＜3，所以－3＜－b＜1，所以－2＜a－b＜3.
4.解：去分母，得2（x－1）－（x＋2）＞3（4＋3x）.（不等式性质4）
去括号，得2x－2－x－2＞12＋9x.
移项，得2x－x－9x＞2＋2＋12.（不等式性质3）
合并同类项，得－8x＞16，即8x＜－16.
系数化为1，得x＜－2.（不等式性质4）
3.2　基本不等式≤（a，b≥0）
4 / 4(共56张PPT)
3.1　不等式的基本性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解相等关系、不等关系是数学中最基本的数量
关系 数学抽象、逻
辑推理
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等
式的性质 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同；
（2）我们经常看到如下标志：
【问题】　它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
当 a － b 为正数时，称 a ＞ b a － b 0
当 a － b 为0时，称 a ＝ b a － b 0
当 a － b 为负数时，称 a ＜ b a － b 0
a ＞ b 　
＞　
a ＝ b 　
＝　
a ＜ b 　
＜　
【想一想】
在比较两实数 a ， b 大小的依据中， a ， b 两数是任意实数吗？
提示：是.
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a ＞ b
b a 可逆
2 传递性 a ＞ b ， b ＞ c
a ＞ c 不可逆
3 可加性 a ＞ b a ＋
c b ＋ c 可逆
＜　
＞　
性质 别名 性质内容 注意
4 可乘性 ac bc c 的
符号
ac bc
5 同向可加性 a ＋ c b ＋ d 同向
＞　
＜　
＞　
性质 别名 性质内容 注意
6 同向同正可乘性
ac bd 同向
同正
7 可乘方性 a ＞ b ＞0 an
bn （ n ∈N*） 同正
＞　
＞　
提醒　（1）若 a ＞ b ＞0，则0＜ ＜ ；若 a ＜ b ＜0，则0＞ ＞ ；
（2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算.
1. 已知 a ＞ b ， c ＞ d ，且 c ， d 均不为0，那么下列不等式一定成立的
是（　　）
A. ad ＞ bc B. ac ＞ bd
C. a － c ＞ b － d D. a ＋ c ＞ b ＋ d
解析：　令 a ＝2， b ＝－2， c ＝3， d ＝－6，可排除A、B、C.
由不等式性质5知，D一定成立.
2. 设 a ＝3 x2－ x ＋1， b ＝2 x2＋ x ，则（　　）
A. a ＞ b B. a ＜ b C. a ≥ b D. a ≤ b
解析：　 a － b ＝（3 x2－ x ＋1）－（2 x2＋ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x
－1）2≥0，所以 a ≥ b .
3. 已知 a ＋ b ＞0， b ＜0，那么 a ， b ，－ a ，－ b 从小到大依次排列
的顺序是 .（用“＜”连接）
解析：因为 a ＋ b ＞0，所以 a ＞－ b ， b ＞－ a ，又 b ＜0，则－ b ＞
0，所以－ a ＜ b ＜－ b ＜ a .
－ a ＜ b ＜－ b ＜ a 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 作差法比较大小
【例1】　（链接教科书第53页例3）（1）比较两数（ a2－1）2与 a4－
a2＋1的大小；
解：因为（ a2－1）2－（ a4－ a2＋1）＝ a4－2 a2＋1－ a4＋ a2－1＝－
a2.
当 a ＝0时，－ a2＝0，所以（ a2－1）2＝ a4－ a2＋1；
当 a ≠0时，－ a2＜0，所以（ a2－1）2＜ a4－ a2＋1.
（2）已知： a ＞0， b ＞0，试比较 ＋ 与 的大小.
解：（ ＋ ）－ ＝ ，因为 a ＞0， b ＞0，所以
＞0，所以 ＋ ＞ .
通性通法
作差法比较大小的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·扬州月考）若 y1＝2 x2－2 x ＋1， y2＝ x2－4 x －1，则 y1与 y2
的大小关系是（　　）
A. y1＞ y2 B. y1＝ y2
C. y1＜ y2 D. 随 x 值变化而变化
解析：　 y1－ y2＝2 x2－2 x ＋1－（ x2－4 x －1）＝ x2＋2 x ＋2＝
（ x ＋1）2＋1＞0，故 y1＞ y2.故选A.
2. 已知 a ≥1，试比较 M ＝ － 和 N ＝ － 的大小.
解：因为 a ≥1，
所以 M ＝ － ＞0， N ＝ － ＞0.
又 ＝ ＝ ＋ ，
＝ ＝ ＋ ，
－ ＝ － ＞0，
所以 ＞ ＞0，所以 M ＜ N .
题型二 不等式性质的应用
角度1　利用不等式性质判断命题的真假
【例2】　（多选）下列命题中为真命题的是（　　）
A. 0＞ a ＞ b a2＞ b2
B. a2＞ b2 a ＞ b ＞0
C. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ ab ＞ b2
D. 若 a ＞ b ， ＞ ，则 a ＞0， b ＜0
解析：　对于A，由0＞ a ＞ b 可知，0＜－ a ＜－ b ，则由不等式性
质7可知，（－ b ）2＞（－ a ）2，即 b2＞ a2，故A为假命题；对于B，
不等式性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得
a2＞ ab .因为所以 ab ＞ b2，从而有 a2＞ ab ＞ b2，故C为真命
题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为 a ＞ b ，所以 b － a ＜
0，于是 ab ＜0.又因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，故D为真命题.
通性通法
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性
质证明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代
表性.
角度2　利用不等式性质证明不等式
【例3】　（链接教科书第53页例2）已知 c ＞ a ＞ b ＞0，求证：
＞ .
证明：因为 a ＞ b ＞0 － a ＜－ b c － a ＜ c － b .
因为 c ＞ a ＞ b ＞0，所以0＜ c － a ＜ c － b .
上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0.
又因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ .
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质证明不等式问题时，一定要在理解的基础
上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应
用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立
的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与
法则.
角度3　利用不等式性质求代数式的范围
【例4】　已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，试求2 a ＋3 b 与 a － b 的取值
范围.
解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24.
∴8＜2 a ＋3 b ＜32.
∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2.
又∵1＜ a ＜4，∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2），
即－7＜ a － b ＜2.
故2 a ＋3 b 的取值范围是（8，32）， a － b 的取值范围是（－7，2）.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求 的取值范围.
解：∵2＜ b ＜8，
∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4，
∴1× ＜ a · ＜4× ，即 ＜ ＜2.
故 的取值范围是（ ，2）.
通性通法
　　利用不等式的性质求范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用不等式的
性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是
等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩
大其范围.
【跟踪训练】
1. （多选）已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（　　）
A. a ＜ b B. ab ＞ a ＋ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. ab ＞ b2
解析：　由 ＜ ＜0可得 b ＜ a ＜0，显然选项A不正确；因为 b
＜ a ＜0，所以 ab ＞0， a ＋ b ＜0，所以 ab ＞ a ＋ b ，故选项B正
确；因为 b ＜ a ＜0，所以｜ b ｜＞｜ a ｜，故选项C正确；因为 b ＜
a ＜0，所以 b ＜0， a － b ＞0，可得 ab － b2＝ b （ a － b ）＜0，即
ab ＜ b2，故选项D不正确.故选B、C.
2. 已知 a ＞ b ＞0，求证： ＞ .
证明：∵ a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞0.　①
又∵ a ＞ b ＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0.　②
由①②得 ＞ .
1. 已知 a ， b ， c 为不全相等的实数， P ＝ a2＋ b2＋ c2＋3， Q ＝2（ a
＋ b ＋ c ），那么 P 与 Q 的大小关系是（　　）
A. P ＞ Q B. P ≥ Q
C. P ＜ Q D. P ≤ Q
解析：　 P － Q ＝ a2＋ b2＋ c2＋3－2 a －2 b －2 c ＝（ a －1）2＋
（ b －1）2＋（ c －1）2≥0.∵ a ， b ， c 不全相等，∴ P － Q ＞0，
∴ P ＞ Q . 故选A.
2. （多选）对于任意实数 a ， b ， c ， d ，以下四个命题中为真命题的
是（　　）
A. 若 a ＞ b ， c ＜0，则 ac ＜ bc
B. 若 a ＞ b ＞0， c ＞ d ，则 ac ＞ bd
C. 若 a ＞ b ，则 ＜
D. 若 ac2＞ bc2，则 a ＞ b
解析：　当 c ＞0时， ac ＞ bc ，当 c ＜0时， ac ＜ bc ，故A正
确；取 a ＝2， b ＝1， c ＝－1， d ＝－2，则 ac ＝－2＝ bd ＝－2，
故B错误；取 a ＝1， b ＝－1，则 ＝1＞ ＝－1，故C错误；若 ac2
＞ bc2，显然 c ≠0，故可得 c2（ a － b ）＞0，又 c2＞0，故可得 a ＞
b ，故D正确.故选A、D.
3. 若1＜ a ＜2，－1＜ b ＜3，则 a － b 的取值范围是 .
解析：因为1＜ a ＜2，－1＜ b ＜3，所以－3＜－ b ＜1，所以－2＜
a － b ＜3.
（－2，3）　
4. 求解不等式 － ＞ ，并用不等式的性质说明理由.
解：去分母，得2（ x －1）－（ x ＋2）＞3（4＋3 x ）.（不等式性
质4）
去括号，得2 x －2－ x －2＞12＋9 x .
移项，得2 x － x －9 x ＞2＋2＋12.（不等式性质3）
合并同类项，得－8 x ＞16，即8 x ＜－16.
系数化为1，得 x ＜－2.（不等式性质4）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 与 a ＞ b 等价的不等式是（　　）
A. ｜ a ｜＞｜ b ｜ B. a2＞ b2
C. ＞1 D. a3＞ b3
解析：　可利用赋值法.令 a ＝1， b ＝－2，满足 a ＞ b ，但｜ a ｜
＜｜ b ｜， a2＜ b2， ＝－ ＜1，故A、B、C都不正确.
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2. 已知 a ， b ， c ∈R，则下列命题正确的是（　　）
A. a ＞ b ac2＞ bc2
B. ＞ a ＞ b
C. ＞
D. a ＞ b ＞0 ＞
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解析：　当 c ＝0时，A不成立；当 c ＜0时，B不成立； ab ＜
0， a ＞ b ＜ ，即 ＞ ，C成立；当 a ＞ b ＞0时， ＜
，D不成立.
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3. 设 a ， b ∈R，若 a ＋｜ b ｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A. a － b ＞0 B. a3＋ b3＞0
C. a2－ b2＜0 D. a ＋ b ＜0
解析：　本题可采用特殊值法，取 a ＝－2， b ＝1，则 a － b ＜
0， a3＋ b3＜0， a2－ b2＞0， a ＋ b ＝－1＜0.故A、B、C错误，D
正确.
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4. （2024·无锡月考）已知0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，记 M ＝ a1 a2， N ＝
a1＋ a2－1，则 M 与 N 的大小关系是（　　）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. M ≥ N
解析：　∵0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，∴－1＜ a1－1＜0，－1＜ a2－1
＜0，∴ M － N ＝ a1 a2－（ a1＋ a2－1）＝ a1 a2－ a1－ a2＋1＝ a1
（ a2－1）－（ a2－1）＝（ a1－1）（ a2－1）＞0，∴ M ＞ N . 故
选B.
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5. （多选）下列四个选项中，能推出 ＜ 的是（　　）
A. b ＞0＞ a B. 0＞ a ＞ b
C. a ＞0＞ b D. a ＞ b ＞0
解析：　 ＜ ＜0 ab （ a － b ）＞0.对于A， ab ＜0，
a － b ＜0， ab （ a － b ）＞0成立；对于B， ab ＞0， a － b ＞0， ab
（ a － b ）＞0成立；对于C， ab ＜0， a － b ＞0， ab （ a － b ）＜
0，不成立；对于D， ab ＞0， a － b ＞0， ab （ a － b ）＞0成立.故
选A、B、D.
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6. （多选）（2024·淮安期中）已知 a ＞ b ＞0， c ＜0，则下列不等式
成立的是（　　）
A. c － a ＜ c － b B. ac ＞ bc
C. ＜ D. ＞
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解析：　对于A，由 a ＞ b 得，－ a ＜－ b ，则 c － a ＜ c － b ，
故A正确；对于B，由 a ＞ b 及 c ＜0得， ac ＜ bc ，故B错误；对于
C，由 a ＞ b ＞0得，0＜ ＜ ，故C正确；对于D，因为 a ＞ b ＞0，
c ＜0，所以－ ac ＞－ bc ，所以 ab － ac ＞ ab － bc ，即 a （ b － c ）
＞ b （ a － c ），因为 a － c ＞0， a ＞0，所以 ＞ ，故D正确.故
选A、C、D.
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7. 不等式 a ＞ b 和 ＞ 同时成立的条件是 .
解析：若 a ， b 同号，则 a ＞ b ＜ ，故需 a ， b 异号且 a ＞ b .
a ＞0＞ b
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8. 若－1＜α＜β＜1，则α－β的取值范围为 .
解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1，∴－2＜α
－β＜2.又∵α＜β，故－2＜α－β＜0.
（－2，0）　
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9. 若 a ＜0， b ＜0，则 p ＝ ＋ 与 q ＝ a ＋ b 的大小关系为 .
（用“＜”“≤”或“＝”连接）
解析：根据题意，得 p － q ＝ ＋ － a － b ＝ ＋ ＝
（ b2－ a2）· ＝ ＝ .因为 a
＜0， b ＜0，所以 a ＋ b ＜0， ab ＞0.若 a ＝ b ，则 p － q ＝0，此时
p ＝ q ；若 a ≠ b ，则 p － q ＜0，此时 p ＜ q .综上所述， p ≤ q .
p ≤ q 　
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10. （1）已知 a ＜ b ＜0，求证： ＜ ；
证明：由于 － ＝ ＝ ，
∵ a ＜ b ＜0，∴ b ＋ a ＜0， b － a ＞0， ab ＞0，
∴ ＜0，故 ＜ .
（2）已知 a ＞ b ， ＜ ，求证： ab ＞0.
证明： ∵ ＜ ，∴ － ＜0，即 ＜0，
而 a ＞ b ，∴ b － a ＜0，∴ ab ＞0.
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11. “屏占比”是最早用于手机上的一个概念，用于表示手机屏幕面
积和手机前面板面积的比值，它是手机外观设计中的一个重要参
数，其值在（0，1）之间，若手机设计师将某老款手机的屏幕面
积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，
则新手机“屏占比”的变化是（　　）
A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小
C. “屏占比”变大 D. “屏占比”的变化不确定
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解析：　设升级前的“屏占比”为 ，升级后的“屏占比”为
（ a ＞ b ＞0， m ＞0）.∵ － ＝ ＞0，∴手
机的“屏占比”和升级前相比变大.故选C.
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12. （多选）设 a ＜ b ＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A. ＞ B. ac ＜ bc
C. ｜ a ｜＞－ b D. ＞
解析：　对于A， a ＜ b ＜0， ＞ ，则 ＞ ，选项A正确；
对于B，当 c ＞0时选项B成立，当 c ≤0，选项B不成立，所以选项
B错误；对于C，｜ a ｜＝－ a ＞－ b ，则选项C正确；对于D，由
－ a ＞－ b ＞0，可得 ＞ ，则选项D正确.故选A、C、D.
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解析：设 a ＋3 b ＝λ1（ a ＋ b ）＋λ2（ a －2 b ）＝（λ1＋λ2） a
＋（λ1－2λ2） b ，则解得由已知得－
≤ （ a ＋ b ）≤ ，－2≤－ （ a －2 b ）≤－ .上面两式相
加，得－ ≤ a ＋3 b ≤1.
13. 已知－1≤ a ＋ b ≤1，1≤ a －2 b ≤3，则 a ＋3 b 的取值范围
为 .
［－ ，1］　
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14. 已知3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，求下列各式的取值范围：
（1） a ；
解：∵3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0，
∴2＜ a ＋ b ＋（－ b ）＜4，即2＜ a ＜4.
∴ a 的取值范围是{ a ｜2＜ a ＜4}.
（2） a － b ；
解： ∵0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0.
又∵2＜ a ＜4，∴1＜ a － b ＜4.
∴ a － b 的取值范围是{ a － b ｜1＜ a － b ＜4}.
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解： ∵0＜ b ＜1，∴ ＞1，
又∵2＜ a ＜4，∴ ＞2.
∴ 的取值范围是{ ｜ ＞2}.
（3） .
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15. 对于四个正数 x ， y ， z ， w ，如果 xw ＜ yz ，那么称（ x ， y ）是
（ z ， w ）的“下位序列”.
（1）对于2，3，7，11，试问（2，7）是否为（3，11）的“下位
序列”；
解：因为2×11＞7×3，不满足“下位序列”的定义，
所以（2，7）不是（3，11）的“下位序列”.
（2）设 a ， b ， c ， d 均为正数，且（ a ， b ）是（ c ， d ）的“下
位序列”，试判断 ， ， 之间的大小关系.
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解：因为 a ， b ， c ， d 均为正数，（ a ， b ）是（ c ，
d ）的“下位序列”，所以 ad ＜ bc ，即 bc － ad ＞0.
因为 － ＝ － ＝ ＞0，
所以 ＞ .
因为 － ＝ － ＝ ＝－
＜0，所以 ＜ ，即 ＞ ，
所以 ＞ ＞ .
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