资源简介

3.2.2　基本不等式的应用
1.已知a＞0，b＞0，2a＋b＝1，则＋的最小值是（　　）
A.2　 B.3－2　 C.3＋2　 D.3＋
2.若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（　　）
A.25 B.
C. D.
3.文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（　　）
A.20件 B.500件
C.100件 D.250件
4.（2024·淮安月考）已知不等式（x＋y）（＋）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
5.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次均加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　）
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为（　　）
A. B.3
C. D.
7.为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：min）的变化关系为C＝，则经过　　　　min后室内消毒液浓度达到最大.
8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则当每台机器运转　　　　年时，年平均利润最大，最大值是　　　　万元.
9. x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是　　　　.
10.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）.
（1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.
11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　）
A.30件　B.60件　C.80件　D.100件
12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中p，q（p≠q）为正百分数，则提价幅度较大的一种是（　　）
A.先提价p，后提价q（p≠q）
B.先提价q，后提价p（p≠q）
C.分两次提价（p≠q）
D.分两次提价（p≠q）
13.（多选）（2024·扬州月考）已知正数m，n满足m＋n2＝2，则下列说法正确的是（　　）
A.m＋3n的最大值为
B.mn2的最大值为2
C.＋的最小值为2
D.m2＋n4的最小值为2
14.（2024·南京师大附中期末）中国政府在第七十五届联合国大会上提出，“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：m2）之间的函数关系是C＝（x≥0，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y（单位：万元）.
（1）求常数k，并写出y关于x的函数关系式；
（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？
15.（2024·宿迁期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1 000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/m2.设AD长为x（单位：m）.
（1）用x表示AM的长度，并求x的取值范围；
（2）当AD的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？
3.2.2　基本不等式的应用
1.C　＋＝（2a＋b）（＋）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.故选C.
2.D　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝5，所以ab＝a·2b≤×（）2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故ab的最大值为.
3.C　设每次进货量为x件，一年的运费和租金总费用为y元.由题意，得y＝10·＋2·＝＋x≥2＝200，当且仅当x＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为100件.
4.B　∵（x＋y）（＋）≥9对任意正实数x，y恒成立，∴（x＋y）（＋）≥（1＋）2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.
5.B　假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算.
6.B　由题意知，p＝×（3＋5）＝4，则S＝＝＝2≤2×＝8－（b＋c）＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c时，等号成立.∴此三角形面积的最大值为3.故选B.
7.5　解析：由题意可得t＞0，C＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即t＝5时取等号.
8.5　8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－（x＋），且x∈N*，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立.所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元.
9.[2，＋∞）　解析： x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2.
10.解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1，
所以S＝（x－2）（－1）＝102－－x，
因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20，
所以S＝102－－x，5≤x≤20.
（2）S＝102－－x≤102－2＝102－20，
当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意.
故当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为（102－20）平方米.
11.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B.
12.D　设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次提价后的价格均为（1＋p）（1＋q），C选项的提价后的价格为（1＋）2，D选项的提价后的价格为（1＋）2，又∵＜，∴（1＋p）（1＋q）＜（1＋）2＜（1＋）2，∴提价幅度较大的为D选项.
13.CD　∵m＝2－n2＞0，∴0＜n＜，∴m＋3n＝2－n2＋3n＝－（n－）2＋，则m＋3n＜，故A错误；依题意，mn2≤＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B错误；∵＋＝（m＋n2）（＋）＝（2＋＋）≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；∵≥（）2＝1，∴m2＋n4≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立.故D正确.故选C、D.
14.解：（1）由题意知，当x＝0时，C＝50，即＝50，解得k＝3 000，
则y＝×20＋0.6x＝＋0.6x（x≥0）.
（2）由于x≥0，故y＝＋0.6x＝＋（x＋6）－≥2－＝116.4（万元），
当且仅当＝（x＋6），即x＝94（m2）时，等号成立.
故当太阳能电池板的面积为94平方米时，y取得最小值，最小值是116.4万元.
15.解：（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为，因此AM＝，
因为AM＞0，所以0＜x＜20.
（2）设总造价为y元，由题意可得，y＝1 000x2＋400×（400－x2）＋200×4××（）2＝100（＋）＋140 000，
由基本不等式得y≥100×2＋140 000＝240 000，
当且仅当＝，即x＝4时，等号成立，
所以当x＝4时，总造价y最小，最小值为240 000元.
3 / 33.2.2　基本不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用 数学运算
2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 逻辑推理、数学运算
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 数学建模、数学运算
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a，b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏.
【问题】　如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　用基本不等式求最值
　已知x，y都是正数，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当　　　　时，和x＋y有最小值　　　　；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当　　　　时，积xy有最大值　　　　.
知识点二　利用基本不等式解决实际问题的步骤
1.先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内求出函数的最大值或最小值.
4.正确写出答案.
1.已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是　　　　.
2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应都购买　　　　吨.
题型一 求“和为定值”模型的最值
【例1】　（链接教科书第59页例3）欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为（　　）
A.15 m， m　　　　　B.15 m， m
C.7 m， m D.7 m， m
通性通法
两个正数和为定值，求它们积的最大值
（1）应满足基本不等式成立的条件；
（2）若所给代数式具备和为定值的形式，可利用重要不等式ab≤（）2，求出积的最大值；
（3）若所给代数式不具备和为定值的形式，应配凑出和为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为　　　　.
题型二 求“积为定值”模型的最值
【例2】　（链接教科书第60页例6）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是　　　　dm2.
通性通法
两个正数积为定值，求它们和的最小值
（1）应满足基本不等式成立的条件；
（2）若所给代数式具备积为定值的形式，可利用基本不等式的变形a＋b≥2，求出和的最小值；
（3）若所给代数式不具备积为定值的形式，应化简（或配凑）出积为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】
要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
题型三 利用基本不等式求代数式的最值
【例3】　（链接教科书第60页例5）（1）设a＞0，b＞0，且＋＝1，求ab的最小值；
（2）设x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
通性通法
“1的代换”问题的解题步骤
（1）构造值为“1”的表达式；
（2）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商；
（3）变形产生和式或积式为定值的式子，利用基本不等式求解最值.【跟踪训练】
1.（2024·南京月考）已知x，y为正实数，且＋＝2，则x＋2y的最小值是（　　）
A.2　　　　　　　　　　B.4
C.8 D.16
2.设x＞0，y＞0，且xy＝1，则＋的最小值是　　　　.
1.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（　　）
A.6.5 m　　　　 　B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
2.（2024·苏州期末）已知正数a，b满足＋b＝1，则a＋的最小值为　　　　.
3.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为　　　　米.
3.2.2　基本不等式的应用
【基础知识·重落实】
知识点一
　（1）x＝y　2　（2）x＝y　S2
自我诊断
1.20　解析：设直角边分别为a，b，则ab＝50，即ab＝100.∴a＋b≥2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号.∴两直角边和的最小值是20.
2.20　解析：设总运费与总存储费用之和为y，则y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应都购买20吨.
【典型例题·精研析】
【例1】　A　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·（2y）≤（）2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
跟踪训练
　　解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤，≤b≤，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号.
【例2】　56　解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积为y dm2.由题意，得y＝（x＋4）·－72＝8＋2≥8＋2×2＝56.当且仅当x＝，即x＝12时等号成立.
跟踪训练
　C　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4 xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋20×2＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C.
【例3】　解：（1）因为a＞0，b＞0，
由基本不等式，得＋≥2＝4.
因为＋＝1，所以1≥4，故ab≥16，
当且仅当＝，即a＝2，b＝8时，等号成立，
所以ab的最小值是16.
（2）因为x＞0，y＞0，＋＝1，
所以x＋y＝（x＋y）＝1＋＋＋9＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时，等号成立.
故x＋y的最小值为16.
跟踪训练
1.B　依题意，x＞0，y＞0，x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝（4＋＋）≥（4＋2）＝4，当且仅当＝，即x＝2y＝2时，等号成立.
2.2　解析：因为x＞0，y＞0，且xy＝1，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2＝2，当且仅当＝，即x＝y＝1时取等号.所以＋的最小值是2.
随堂检测
1.C　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m），当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用，浪费也最少.
2.9　解析：由正数a，b满足＋b＝1，则a＋＝（a＋）（＋b）＝5＋ab＋≥5＋2＝9，当且仅当ab＝时，即a＝6，b＝时，等号成立，所以a＋的最小值为9.
3.5　解析：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W，则由题意可得∴W＝2a（xh＋yh）＋2axy＝2ah（x＋y）＋2axy＝40ah＋，∴W≥2＝400a，当且仅当h＝5时，W取最小值.
2 / 3(共57张PPT)
3.2.2　基本不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用 数学运算
2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 逻辑推理、数学
运算
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a ， b 的矩形牧场，现在已有材料能做成 l km的栅栏.
【问题】　如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　用基本不等式求最值
　已知 x ， y 都是正数，则
（1）如果积 xy 等于定值 P ，那么当 时，和 x ＋ y 有最小
值 ；
（2）如果和 x ＋ y 等于定值 S ，那么当 时，积 xy 有最大
值 .
x ＝ y 　
2 　
x ＝ y 　
S2　
知识点二　利用基本不等式解决实际问题的步骤
1. 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量
定为函数.
2. 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值
问题.
3. 在定义域内求出函数的最大值或最小值.
4. 正确写出答案.
1. 已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是 .
解析：设直角边分别为 a ， b ，则 ab ＝50，即 ab ＝100.∴ a ＋ b
≥2 ＝20，当且仅当 a ＝ b ＝10时取等号.∴两直角边和的最小
值是20.
20　
2. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x 吨，运费为4万元/
次，一年的总存储费用为4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费
用之和最小，则每次应都购买 吨.
解析：设总运费与总存储费用之和为 y ，则 y ＝4 x ＋ ×4＝4 x ＋
≥2 ＝160，当且仅当4 x ＝ ，即 x ＝20时取等号.
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应都购买20吨.
20　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求“和为定值”模型的最值
【例1】　（链接教科书第59页例3）欲用一段长为30 m的篱笆围成一
个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽
分别为（　　）
A. 15 m， m B. 15 m， m
C. 7 m， m D. 7 m， m
解析：　设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x ＋2 y ＝30，所以 S ＝ xy
＝ x ·（2 y ）≤ （ ）2＝ ，当且仅当 x ＝2 y ，即 x ＝15， y ＝
时取等号.
通性通法
两个正数和为定值，求它们积的最大值
（1）应满足基本不等式成立的条件；
（2）若所给代数式具备和为定值的形式，可利用重要不等式 ab ≤
（ ）2，求出积的最大值；
（3）若所给代数式不具备和为定值的形式，应配凑出和为定值的形
式后再求解.
【跟踪训练】
从等腰直角三角形纸片 ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中
BC ＝2，∠ A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
　
解析：设两个正方形边长分别为 a ， b ，则由∠ B ＝∠ C ＝45°，可得
a ＋ b ＝ BC ＝1，且 ≤ a ≤ ， ≤ b ≤ ， S ＝ a2＋ b2≥2×
＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时取等号.
题型二 求“积为定值”模型的最值
【例2】　（链接教科书第60页例6）如图，有一张单栏的竖向张贴的
海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
56　
解析：设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积
为 y dm2.由题意，得 y ＝（ x ＋4）· －72＝8＋2 ≥8
＋2×2 ＝56.当且仅当 x ＝ ，即 x ＝12时等号成立.
通性通法
两个正数积为定值，求它们和的最小值
（1）应满足基本不等式成立的条件；
（2）若所给代数式具备积为定值的形式，可利用基本不等式的变形 a
＋ b ≥2 ，求出和的最小值；
（3）若所给代数式不具备积为定值的形式，应化简（或配凑）出积
为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】
要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底
面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
总造价是（　　）
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元
解析：　设底面相邻两边的长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则
xy ·1＝4 xy ＝4. T ＝4×20＋（2 x ＋2 y ）×1×10＝80＋20（ x ＋ y ）
≥80＋20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当 x ＝ y ＝2时取等号）.
故该容器的最低总造价是160元.故选C.
题型三 利用基本不等式求代数式的最值
【例3】　（链接教科书第60页例5）（1）设 a ＞0， b ＞0，且 ＋
＝1，求 ab 的最小值；
解：因为 a ＞0， b ＞0，
由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝4 .
因为 ＋ ＝1，所以1≥4 ，故 ab ≥16，
当且仅当 ＝ ，即 a ＝2， b ＝8时，等号成立，
所以 ab 的最小值是16.
（2）设 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，求 x ＋ y 的最小值.
解：因为 x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1，
所以 x ＋ y ＝ （ x ＋ y ）＝1＋ ＋ ＋9＝ ＋ ＋10≥6
＋10＝16，
当且仅当 ＝ ，且 ＋ ＝1，即 x ＝4， y ＝12时，等号成立.
故 x ＋ y 的最小值为16.
通性通法
“1的代换”问题的解题步骤
（1）构造值为“1”的表达式；
（2）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商；
（3）变形产生和式或积式为定值的式子，利用基本不等式求解最值.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）已知 x ， y 为正实数，且 ＋ ＝2，则 x ＋2 y 的
最小值是（　　）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
解析：　依题意， x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＝ （ x ＋2 y ）（ ＋ ）
＝ （4＋ ＋ ）≥ （4＋2 ）＝4，当且仅当 ＝ ，即 x
＝2 y ＝2时，等号成立.
2. 设 x ＞0， y ＞0，且 xy ＝1，则 ＋ 的最小值是 .
解析：因为 x ＞0， y ＞0，且 xy ＝1，所以 ＞0， ＞0，所以 ＋
≥2 ＝2 ＝2，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ y ＝1时取等号.所以
＋ 的最小值是2.
2　
1. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框
架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的
是（　　）
A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m
解析：　设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为
l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝
4＋2 ≈6.828（m），当且仅当 a ＝ b ＝2时等号成立.故C既够
用，浪费也最少.
2. （2024·苏州期末）已知正数 a ， b 满足 ＋ b ＝1，则 a ＋ 的最小
值为 .
解析：由正数 a ， b 满足 ＋ b ＝1，则 a ＋ ＝（ a ＋ ）（ ＋ b ）
＝5＋ ab ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ab ＝ 时，即 a ＝
6， b ＝ 时，等号成立，所以 a ＋ 的最小值为9.
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3. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖
蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造
价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该
为 米.
解析：设长方体蓄水池长为 y ，宽为 x ，高为 h ，每平方米池侧壁
造价为 a ，蓄水池总造价为 W ，则由题意可得∴ W ＝
2 a （ xh ＋ yh ）＋2 axy ＝2 ah （ x ＋ y ）＋2 axy ＝40 ah ＋ ，
∴ W ≥2 ＝400 a ，当且仅当 h ＝5时， W 取最小值.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 a ＞0， b ＞0，2 a ＋ b ＝1，则 ＋ 的最小值是（　　）
A. 2 B. 3－2
C. 3＋2 D. 3＋
解析：　 ＋ ＝（2 a ＋ b ）（ ＋ ）＝3＋ ＋ ≥3＋2
＝3＋2 ，当且仅当 ＝ ，即 a ＝1－ ， b ＝ －1时，等号
成立.∴ ＋ 的最小值是3＋2 .故选C.
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2. 若 a ＞0， b ＞0， a ＋2 b ＝5，则 ab 的最大值为（　　）
A. 25 B.
C. D.
解析：　因为 a ＞0， b ＞0， a ＋2 b ＝5，所以 ab ＝ a ·2 b ≤ ×
（ ）2＝ ，当且仅当 a ＝ ， b ＝ 时取等号，故 ab 的最大值
为 .
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3. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进
货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的
租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金
最省，每次进货量应为（　　）
A. 20件 B. 500件
C. 100件 D. 250件
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解析：　设每次进货量为 x 件，一年的运费和租金总费用为 y 元.
由题意，得 y ＝10· ＋2· ＝ ＋ x ≥2 ＝200，当且
仅当 x ＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货量
应为100件.
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4. （2024·淮安月考）已知不等式（ x ＋ y ）（ ＋ ）≥9对任意正实
数 x ， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析：　∵（ x ＋ y ）（ ＋ ）≥9对任意正实数 x ， y 恒成立，
∴（ x ＋ y ）（ ＋ ）≥（1＋ ）2≥9，∴ ≥2，即 a ≥4，故
正实数 a 的最小值为4.
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5. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾
出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有
降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃
油；第二种方案：每次均加200元的燃油，则下列说法正确的是
（　　）
A. 采用第一种方案划算
B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样
D. 无法确定
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解析：　假设第一次的油价为 m 元/升，第二次的油价为 n 元/升.
第一种方案的均价为 ＝ ≥ ；第二种方案的均价
为 ＝ ≤ .所以无论油价如何变化，第二种方案都
更划算.
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6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三
边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 a ， b ，
c ，则三角形的面积 S 可由公式 S ＝ 求
得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶
公式，现有一个三角形的边长满足 a ＝3， b ＋ c ＝5，则此三角形
面积的最大值为（　　）
A. B. 3
C. D.
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解析：　由题意知， p ＝ ×（3＋5）＝4，则 S ＝
＝ ＝2
≤2× ＝8－（ b ＋ c ）＝3，当且仅当4
－ b ＝4－ c ，即 b ＝ c 时，等号成立.∴此三角形面积的最大值为3.
故选B.
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7. 为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度 C （单
位：mg/L）随时间 t （单位：min）的变化关系为 C ＝ ，则经
过 min后室内消毒液浓度达到最大.
解析：由题意可得 t ＞0， C ＝ ＝ ≤ ＝2，当且仅当 t ＝
，即 t ＝5时取等号.
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8. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品
可获得的总利润 y （单位：万元）与机器运转时间 x （单位：年）
的关系为 y ＝－ x2＋18 x －25（ x ∈N*），则当每台机器运转 年
时，年平均利润最大，最大值是 万元.
解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为 ＝18－（ x ＋ ），且 x
∈N*，故 ≤18－2 ＝8，当且仅当 x ＝5时，等号成立.所以当
每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元.
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9. x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，则实数 a 的取值范围是 .
解析： x ＞0，使得 ＋ x － a ≤0，等价于 x ＞0时 a ≥ ，∵ x ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 x ＝1时等号成立，∴ a
≥2.
[2，＋∞）　
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10. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计
划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域
ABCD 修建一个羊驼养殖场，规定 ABCD 的每条边长均不超过20
米.如图所示，矩形 EFGH 为羊驼养殖区，且点 A ， B ， E ， F 四
点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设 AB ＝ x （单位：
米），养殖区域 EFGH 的面积为 S （单位：平方米）.
（1）将 S 表示为 x 的函数，并写出 x 的取值范围；
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解：因为 AB ＝ x ，所以 AD ＝ ，
EF ＝ x －2， FG ＝ －1，
所以 S ＝（ x －2）（ －1）＝102－ － x ，
因为0＜ x ≤20，0＜ ≤20，解得5≤ x ≤20，
所以 S ＝102－ － x ，5≤ x ≤20.
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（2）当 AB 为多长时， S 取得最大值？并求出此最大值.
解： S ＝102－ － x ≤102－2
＝102－20 ，
当且仅当 x ＝10 时，等号成立，经验
证，符合题意.
故当 AB ＝10 米时， S 取得最大值，最大
值为（102－20 ）平方米.
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11. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批
生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为
1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，
每批应生产产品（　　）
A. 30件 B. 60件
C. 80件 D. 100件
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解析：　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y
元，则 y ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝
，即 x ＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B.
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12. 某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中 p ， q
（ p ≠ q ）为正百分数，则提价幅度较大的一种是（　　）
A. 先提价 p ，后提价 q （ p ≠ q ）
B. 先提价 q ，后提价 p （ p ≠ q ）
C. 分两次提价 （ p ≠ q ）
D. 分两次提价 （ p ≠ q ）
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解析：　设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次
提价后的价格均为（1＋ p ）（1＋ q ），C选项的提价后的价格为
（1＋ ）2，D选项的提价后的价格为（1＋ ）2，
又∵ ＜ ，∴（1＋ p ）（1＋ q ）＜（1＋ ）2＜
（1＋ ）2，∴提价幅度较大的为D选项.
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13. （多选）（2024·扬州月考）已知正数 m ， n 满足 m ＋ n2＝2，则下
列说法正确的是（　　）
A. m ＋3 n 的最大值为
B. mn2的最大值为2
C. ＋ 的最小值为2
D. m2＋ n4的最小值为2
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解析：　∵ m ＝2－ n2＞0，∴0＜ n ＜ ，∴ m ＋3 n ＝2－ n2
＋3 n ＝－（ n － ）2＋ ，则 m ＋3 n ＜ ，故A错误；依题意，
mn2≤ ＝1，当且仅当 m ＝ n ＝1时，等号成立，故B错
误；∵ ＋ ＝ （ m ＋ n2）（ ＋ ）＝ （2＋ ＋ ）
≥2，当且仅当 m ＝ n ＝1时，等号成立，故C正确；∵ ≥
（ ）2＝1，∴ m2＋ n4≥2，当且仅当 m ＝ n ＝1时等号成立.
故D正确.故选C、D.
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14. （2024·南京师大附中期末）中国政府在第七十五届联合国大会上
提出，“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院
印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意
见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则
今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定
安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安
装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积
（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安
装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳
能供电设备后该企业每年消耗的电费 C （单位：万元）与安装的
这种太阳能电池板的面积 x （单位：m2）之间的函数关系是 C ＝
（ x ≥0， k 为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的
费用与20年所消耗的电费之和为 y （单位：万元）.
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解：由题意知，当 x ＝0时， C ＝50，即 ＝50，解得
k ＝3 000，
则 y ＝ ×20＋0.6 x ＝ ＋0.6 x （ x ≥0）.
（1）求常数 k ，并写出 y 关于 x 的函数关系式；
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（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时， y 取得最小值？最
小值是多少万元？
解：由于 x ≥0，故 y ＝ ＋0.6 x ＝ ＋
（ x ＋6）－ ≥2 － ＝116.4（万元），
当且仅当 ＝ （ x ＋6），即 x ＝94（m2）时，等号
成立.
故当太阳能电池板的面积为94平方米时， y 取得最小
值，最小值是116.4万元.
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15. （2024·宿迁期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场
所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构
成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形 MNPQ 上建一座花
坛，造价为1 000元/m2；在四个相同的矩形（图中
阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；
在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价
为200元/m2.设 AD 长为 x （单位：m）.
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解：由题意可得，矩形 AMQD 的面积
为 ，因此 AM ＝ ，
因为 AM ＞0，所以0＜ x ＜20.
（1）用 x 表示 AM 的长度，并求 x 的取值范围；
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（2）当 AD 的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？
解：设总造价为 y 元，由题意可得，
y ＝1 000 x2＋400×（400－ x2）＋200×4× ×（ ）2
＝100（ ＋ ）＋140 000，
由基本不等式得 y ≥100×2 ＋140 000＝240 000，
当且仅当 ＝ ，即 x ＝4 时，等号成立，
所以当 x ＝4 时，总造价 y 最小，最小值为240 000元.
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