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第2课时　一元二次不等式的综合问题
1.若0＜t＜1，则不等式（x－t）（x－）＜0的解集为（　　）
A.{x｜＜x＜t} B.{x｜x＞或x＜t}
C.{x｜x＜或x＞t} D.{x｜t＜x＜}
2.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为{x｜＜x＜2}，则m的取值范围为（　　）
A.（－∞，0） B.（0，）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
3.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　）
A.{x｜10＜x＜20} B.{x｜15≤x＜20}
C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20}
4.不等式mx2－ax－1＞0（m＞0）的解集可能是（　　）
A.{x｜－＜x＜} B.R
C.{x｜x＜－1或x＞} D.
5.（多选）关于实数x的不等式a（x－a）（x＋1）＞0（a∈R）的解集可能是（　　）
A.{x｜x＜－1或x＞a} B.R
C.{x｜－1＜x＜a} D.{x｜a＜x＜－1}
6.（多选）（2024·徐州月考）已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）
A.不等式的解集可以是{x｜x＞3}
B.不等式的解集可以是R
C.不等式的解集可以是
D.不等式的解集可以是{x｜－1＜x＜3}
7.（2024·扬州月考）当a＜0时，关于x的不等式42x2＋ax－a2＜0的解集为　　　　.
8.（2024·南通月考）制作一个高为20 cm的长方体容器，底面矩形的长比宽多10 cm，并且容积不少于4 000 cm3.设底面矩形的宽为x，则x的最小值为　　　　cm.
9.已知a，b，c是常数，若不等式ax2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，则不等式bx（ax＋c）＞0的解集是　　　　.
10.解关于x的不等式：x2－（a＋a2）x＋a3＞0（a∈R）.
11.设a＞1，则关于x的不等式（1－a）（x－a）（x－）＜0的解集是（　　）
A.（－∞，a）∪（，＋∞）
B.（a，＋∞）
C.（a，）
D.（－∞，）∪（a，＋∞）
12.（2024·南通月考）若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的非空解集为{x｜1＜x＜m}，则m＝　　　　　　.
13.若关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＜0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是　　　　　　.
14.某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.
（1）据市场调查，若削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？
（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x元.公司计划投入x2万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价.
15.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax（a∈R）.
第2课时　一元二次不等式的综合问题
1.D　当t∈（0，1）时，t＜，∴解集为{x｜t＜x＜}.故选D.
2.A　由题意知m＜0，∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为{x｜＜x＜2}，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是（－∞，0）.
3.B　由题意可知x[30－2（x－15）]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴（x－10）（x－20）＜0，解得10＜x＜20.又∵每盏最低售价为15元，∴15≤x＜20.故选B.
4.C　因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点.又m＞0，所以原不等式的解集不可能是A、B、D，故选C.
5.ACD　当a＞0时，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＞0，解得x＞a或x＜－1；当a＝0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为 ；当－1＜a＜0时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜a；当a＝－1时，不等式a（x－a）（x＋1）＞0可化为（x＋1）2＜0，此时不等式的解集为 ；当a＜－1时，不等式a（x－a）·（x＋1）＞0可化为（x－a）（x＋1）＜0，解得a＜x＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.故选A、C、D.
6.BD　选项A，假设结论成立，则无解，故选项A错误；选项B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故选项B正确；选项C，若不等式的解集是 ，则a＜0且Δ＝b2－12a≤0，而a＜0时，Δ＝b2－12a＞0，所以不等式的解集不可能是 ，故选项C错误；选项D，假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确.故选B、D.
7.（，－）　解析：因为42x2＋ax－a2＜0，所以（7x－a）（6x＋a）＜0.因为a＜0，所以－＞，则原不等式的解集为（，－）.
8.10　解析：由题意可得20x（x＋10）≥4 000，整理可得x2＋10x－200≥0，解得x≤－20（舍），或x≥10.
9.（0，2）　解析：因为不等式ax2＋bx－c＞0的解集是{x｜1＜x＜2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－c＝0的两根，由根与系数的关系可得b＝－3a，c＝－2a.于是不等式bx（ax＋c）＞0可化为－3ax（ax－2a）＞0，所以x（x－2）＜0，解得0＜x＜2，所以不等式bx（ax＋c）＞0的解集是（0，2）.
10.解：原不等式可化为（x－a）（x－a2）＞0，
当a＜a2，即a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}；
当a2＝a，即a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x｜x≠a，x∈R}；
当a2＜a，即0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}.
综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x｜x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≠0，x∈R}.
11.D　a＞1时，1－a＜0，且a＞，则关于x的不等式（1－a）（x－a）（x－）＜0可化为（x－a）·（x－）＞0，解得x＜或x＞a，所以不等式的解集为（－∞，）∪（a，＋∞）.故选D.
12.2　解析：因为ax2－6x＋a2＜0的解集为{x｜1＜x＜m}，所以a＞0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根.则即1＋m＝，所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m＜0（舍去），故m＝2.
13.{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}
解析：原不等式可等价为（x－a）（x－1）＜0，不等式解集中恰有3个整数，当a＞1时，即4＜a≤5时，不等式的解集为1＜x＜a，符合题意；当a＝1时，不等式无解，不符合题意；当a＜1时，即－3≤a＜－2时，不等式的解集为a＜x＜1，符合题意；综上，实数a的取值范围是{a｜－3≤a＜－2或4＜a≤5}.
14.解：（1）设每件零售价为x元，由题意可得x[18－0.2（x－15）]≥15×18，
即x2－105x＋15×90≤0，∴（x－15）·（x－90）≤0，∴15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.
（2）由题意知x＞15，tx≥15×18＋30＋x2，
即t≥＋.
∵＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝30时，等号成立，∴t≥20，
因此，该削笔器的年销售量t至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.
15.解：原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为（x－）·（x＋1）≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为（x－）·（x＋1）≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即a＞－2时，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x或x≤－1}；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x≤x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{x｜x＝－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为{x}.
2 / 2第2课时　一元二次不等式的综合问题
题型一 含参一元二次不等式的解法
角度1　讨论两根的大小
【例1】　解关于x的不等式：x2＋（1－a）x－a＜0.
通性通法
根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
（1）若一元二次不等式可因式分解，则将一元二次不等式因式分解或求出一元二次不等式对应方程的根；
（2）比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；
（3）写出不等式的解集.
角度2　讨论判别式的符号
【例2】　解关于x的不等式：x2＋ax－a≥0.
通性通法
根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解
（1）若二次项系数不含参数且不能因式分解时，先求出一元二次不等式所对应方程的判别式；
（2）讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；
（3）写出不等式的解集.
角度3　讨论二次项系数的符号
【例3】　解关于x的不等式：ax2－（a＋1）x＋1＜0.
通性通法
　　根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解
　　二次项系数若含有参数，应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式，然后再进行求解.【跟踪训练】
　解关于x的不等式：ax2－2ax＋2≤0（a≥0）.
题型二 一元二次不等式的实际应用
【例4】　（链接教科书第67页例3）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
通性通法
利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题目中的未知数；
（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案.
【跟踪训练】
如图，在某住宅小区的Rt△ABC区域内，修建一地面为矩形AMPQ的凉亭供小区居民休闲.测得AB＝8 m，AC＝6 m，要使修建的凉亭占地面积不小于9 m2，该怎样设计？
1.若a＞2，则关于x的不等式ax2－（2＋a）x＋2＞0的解集为（　　）
A.{x｜x＜或x＞1} B.{x｜＜x＜1}
C.{x｜x＞或x＜1} D.{x｜1＜x＜}
2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2（0＜x＜240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）
A.50 B.100
C.150 D.200
3.若集合A＝{x｜ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是　　　　.
4.解关于x的不等式x2－ax＋4＞0.
第2课时　一元二次不等式的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝a.
又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，
当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}.
综上所述，当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}.
【例2】　解：①当Δ＝a2＋4a＝0，即a＝0或a＝－4时，
由函数y＝x2＋ax－a的图象开口向上，故不等式x2＋ax－a≥0的解集为R.
②当Δ＝a2＋4a＜0，即－4＜a＜0时，x2＋ax－a＞0恒成立，所以解集为R.
③当Δ＝a2＋4a＞0，即a＜－4或a＞0时，
由x2＋ax－a＝0，解得x＝或x＝，
不等式的解集为{x｜x≤或x≥}.
综上所述，当－4≤a≤0时，不等式的解集为R，
当a＜－4或a＞0时，不等式的解集为{x｜x≤或x≥}.
【例3】　解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1.
②当a＜0时，原不等式化为（x－）·（x－1）＞0，解得x＜或x＞1.
③当a＞0时，原不等式化为（x－）·（x－1）＜0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜.
综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}；
当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x}；
当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为{x＜x＜1}.
跟踪训练
　解：（1）当a＝0时，原不等式即为2≤0，无解；
（2）当a＞0时，Δ＝4a2－8a，
①当Δ＝0，即4a2－8a＝0，得a＝2，原不等式对应的方程有两个相等的实根.
当a＝2时，原不等式的解集为{x｜x＝1}.
②当Δ＜0，即0＜a＜2时，原不等式无解.
③当Δ＞0，即a＞2时，原不等式对应的方程有两个不相等的实根，
x1＝，x2＝，且x1＜x2，
所以不等式的 解集为{x｜≤x≤}.
综上，当0≤a＜2时，原不等式的解集为 ；
当a＝2时，原不等式的解集为{x｜x＝1}.
当a＞2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}.
【例4】　解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）.
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0＜x＜，
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
跟踪训练
　解：设AM＝x m，PM＝y m，0＜x＜8，0＜y＜6.
则由PM∥CA得，
＝，所以y＝（8－x）.
由题意得
解得所以2≤x≤6.
所以当矩形AMPQ的边为2≤AM≤6 m时，满足设计要求.
随堂检测
1.A　由ax2－（2＋a）x＋2＞0，得（x－1）·（ax－2）＞0.∵a＞2，∴0＜＜1，∴原不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}.故选A.
2.C　依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200（舍去）.因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台.故选C.
3.{a｜0≤a≤4}　解析：①若a＝0，则1＜0不成立，此时不等式ax2－ax＋1＜0的解集为空集；②若a≠0，则解得0＜a≤4.综上，0≤a≤4.
4.解：Δ＝a2－16，当Δ＜0，即－4＜a＜4时，不等式x2－ax＋4＞0的解集为R.
当Δ＝0，即a＝±4时，原不等式对应的方程有两个相等的实根，
当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x≠2}.
当a＝－4时，原不等式的解集为{x｜x≠－2}.
当Δ＞0，即a＜－4或a＞4时，原不等式对应的方程有两个不相等实根，
x1＝，x2＝，且x1＞x2，
所以原不等式的解集为{x｜x＜或x＞}.
综上，当－4＜a＜4时，不等式的解集为R；
当a＝－4时，不等式的解集为{x｜x≠－2}；
当a＝4时，不等式的解集为{x｜x≠2}；
当a＜－4或a＞4时，不等式的解集为{x｜x＜或x＞}.
1 / 2(共50张PPT)
第2课时　一元二次不等式的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 含参一元二次不等式的解法
角度1　讨论两根的大小
【例1】　解关于 x 的不等式： x2＋（1－ a ） x － a ＜0.
解：方程 x2＋（1－ a ） x － a ＝0的两根分别为 x1＝－1， x2＝ a .
又函数 y ＝ x2＋（1－ a ） x － a 的图象开口向上，
当 a ＜－1时，原不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}；
当 a ＝－1时，原不等式的解集为 ；
当 a ＞－1时，原不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }.
综上所述，当 a ＜－1时，原不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}；
当 a ＝－1时，原不等式的解集为 ；
当 a ＞－1时，原不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }.
通性通法
　　根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
（1）若一元二次不等式可因式分解，则将一元二次不等式因式分解
或求出一元二次不等式对应方程的根；
（2）比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；
（3）写出不等式的解集.
角度2　讨论判别式的符号
【例2】　解关于 x 的不等式： x2＋ ax － a ≥0.
解：①当Δ＝ a2＋4 a ＝0，即 a ＝0或 a ＝－4时，
由函数 y ＝ x2＋ ax － a 的图象开口向上，故不等式 x2＋ ax － a ≥0的解
集为R.
②当Δ＝ a2＋4 a ＜0，即－4＜ a ＜0时， x2＋ ax － a ＞0恒成立，所以
解集为R.
③当Δ＝ a2＋4 a ＞0，即 a ＜－4或 a ＞0时，
由 x2＋ ax － a ＝0，解得 x ＝ 或 x ＝ ，
不等式的解集为{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }.
综上所述，当－4≤ a ≤0时，不等式的解集为R，
当 a ＜－4或 a ＞0时，不等式的解集为{ x ｜ x ≤ 或 x ≥
}.
通性通法
根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解
（1）若二次项系数不含参数且不能因式分解时，先求出一元二次不
等式所对应方程的判别式；
（2）讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；
（3）写出不等式的解集.
角度3　讨论二次项系数的符号
【例3】　解关于 x 的不等式： ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0.
解：①当 a ＝0时，原不等式即为－ x ＋1＜0，解得 x ＞1.
②当 a ＜0时，原不等式化为（ x － ）（ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x
＞1.
③当 a ＞0时，原不等式化为（ x － ）（ x －1）＜0.
若 a ＝1，即 ＝1时，不等式无解；
若 a ＞1，即 ＜1时，解得 ＜ x ＜1；
若0＜ a ＜1，即 ＞1时，解得1＜ x ＜ .
综上可知，当 a ＜0时，不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}；
当 a ＝0时，不等式的解集为{ x ｜ x ＞1}；
当0＜ a ＜1时，不等式的解集为{ x }；
当 a ＝1时，不等式的解集为 ；
当 a ＞1时，不等式的解集为{ x ＜ x ＜1}.
通性通法
　　根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解
　　二次项系数若含有参数，应讨论参数是等于0，小于0，还是大于
0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式，然后再进行
求解.
【跟踪训练】
　解关于 x 的不等式： ax2－2 ax ＋2≤0（ a ≥0）.
解：（1）当 a ＝0时，原不等式即为2≤0，无解；
（2）当 a ＞0时，Δ＝4 a2－8 a ，
①当Δ＝0，即4 a2－8 a ＝0，得 a ＝2，原不等式对应的方程有两个相
等的实根.
当 a ＝2时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝1}.
③当Δ＞0，即 a ＞2时，原不等式对应的方程有两个不相等的实根，
x1＝ ， x2＝ ，且 x1＜ x2，
所以不等式的 解集为{ x ｜ ≤ x ≤ }.
综上，当0≤ a ＜2时，原不等式的解集为 ；
当 a ＝2时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝1}.
当 a ＞2时，原不等式的解集为{ x ｜ ≤ x ≤ }.
②当Δ＜0，即0＜ a ＜2时，原不等式无解.
题型二 一元二次不等式的实际应用
【例4】　（链接教科书第67页例3）某摩托车生产企业，上年度生产
摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成
本.若每辆车投入成本增加的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的
提高比例为0.75 x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利
润＝（出厂价－投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；
解：由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1
000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200
（0＜ x ＜1）.
解不等式组，得0＜ x ＜ ，
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的
比例 x 的范围为 .
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比
例 x 应在什么范围内？
解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当
即
通性通法
利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题目中的未知数；
（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案.
【跟踪训练】
如图，在某住宅小区的Rt△ ABC 区域内，修建一地面为矩形 AMPQ 的
凉亭供小区居民休闲.测得 AB ＝8 m， AC ＝6 m，要使修建的凉亭占
地面积不小于9 m2，该怎样设计？
解：设 AM ＝ x m， PM ＝ y m，0＜ x ＜8，0＜ y ＜6.
则由 PM ∥ CA 得，
＝ ，所以 y ＝ （8－ x ）.
由题意得
解得所以2≤ x ≤6.
所以当矩形 AMPQ 的边为2≤ AM ≤6 m时，满足设计要求.
1. 若 a ＞2，则关于 x 的不等式 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0的解集为
（　　）
A. { x ｜ x ＜ 或 x ＞1} B. { x ｜ ＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＞ 或 x ＜1} D. { x ｜1＜ x ＜ }
解析：　由 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0，得（ x －1）·（ ax －2）＞
0.∵ a ＞2，∴0＜ ＜1，∴原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}.
故选A.
2. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x （台）之间的函数关系是 y ＝3
000＋20 x －0.1 x2（0＜ x ＜240），若每台产品的售价为25万元，
则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　）
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
解析：　依题意得25 x ≥3000＋20 x －0.1 x2，整理得 x2＋50 x －
30 000≥0，解得 x ≥150或 x ≤－200（舍去）.因为0＜ x ＜240，所
以150≤ x ＜240，即最低产量是150台.故选C.
3. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2－ ax ＋1＜0}＝ ，则实数 a 的取值范围是
.
解析：①若 a ＝0，则1＜0不成立，此时不等式 ax2－ ax ＋1＜0的解
集为空集；②若 a ≠0，则解得0＜ a ≤4.综上，0≤
a ≤4.
{ a ｜
0≤ a ≤4}　
4. 解关于 x 的不等式 x2－ ax ＋4＞0.
解：Δ＝ a2－16，当Δ＜0，即－4＜ a ＜4时，不等式 x2－ ax ＋4＞0
的解集为R.
当Δ＝0，即 a ＝±4时，原不等式对应的方程有两个相等的实根，
当 a ＝4时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠2}.
当 a ＝－4时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－2}.
当Δ＞0，即 a ＜－4或 a ＞4时，原不等式对应的方程有两个不相等
实根，
x1＝ ， x2＝ ，且 x1＞ x2，
所以原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }.
综上，当－4＜ a ＜4时，不等式的解集为R；
当 a ＝－4时，不等式的解集为{ x ｜ x ≠－2}；
当 a ＝4时，不等式的解集为{ x ｜ x ≠2}；
当 a ＜－4或 a ＞4时，不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞
}.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若0＜ t ＜1，则不等式（ x － t ）（ x － ）＜0的解集为（　　）
A. { x ｜ ＜ x ＜ t } B. { x ｜ x ＞ 或 x ＜ t }
C. { x ｜ x ＜ 或 x ＞ t } D. { x ｜ t ＜ x ＜ }
解析：　当 t ∈（0，1）时， t ＜ ，∴解集为{ x ｜ t ＜ x ＜ }.故
选D.
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2. 关于 x 的不等式（ mx －1）（ x －2）＞0，若此不等式的解集为
{ x ｜ ＜ x ＜2}，则 m 的取值范围为（　　）
A. （－∞，0） B. （0， ）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
解析：由题意知 m ＜0，∵不等式（ mx －1）（ x －2）＞0的解集为{ x ｜ ＜ x ＜2}，∴方程（ mx －1）（ x －2）＝0的两个实数根为 和2，且解得 m ＜0，∴ m 的取值范围是（－∞，0）.
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3. 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价
销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.
为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则
这批台灯的销售单价 x （单位：元）的取值范围是（　　）
A. { x ｜10＜ x ＜20} B. { x ｜15≤ x ＜20}
C. { x ｜15＜ x ＜20} D. { x ｜10≤ x ＜20}
解析：　由题意可知 x [30－2（ x －15）]＞400，则－2 x2＋60 x
－400＞0，即 x2－30 x ＋200＜0，∴（ x －10）（ x －20）＜0，解
得10＜ x ＜20.又∵每盏最低售价为15元，∴15≤ x ＜20.故选B.
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4. 不等式 mx2－ ax －1＞0（ m ＞0）的解集可能是（　　）
A. { x ｜－ ＜ x ＜ } B. R
C. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ } D.
解析：　因为Δ＝ a2＋4 m ＞0，所以函数 y ＝ mx2－ ax －1的图象
与 x 轴有两个交点.又 m ＞0，所以原不等式的解集不可能是A、B、
D，故选C.
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5. （多选）关于实数 x 的不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0（ a ∈R）
的解集可能是（　　）
A. { x ｜ x ＜－1或 x ＞ a } B. R
C. { x ｜－1＜ x ＜ a } D. { x ｜ a ＜ x ＜－1}
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解析：　当 a ＞0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为
（ x － a ）（ x ＋1）＞0，解得 x ＞ a 或 x ＜－1；当 a ＝0时，不等式
a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为0＞0，此时不等式的解集为 ；当
－1＜ a ＜0时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ）
（ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜ a ；当 a ＝－1时，不等式 a （ x －
a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x ＋1）2＜0，此时不等式的解集为 ；当
a ＜－1时，不等式 a （ x － a ）（ x ＋1）＞0可化为（ x － a ）（ x
＋1）＜0，解得 a ＜ x ＜－1.故A、C、D都有可能，B不可能.故选
A、C、D.
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6. （多选）（2024·徐州月考）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋3＞0，
关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）
A. 不等式的解集可以是{ x ｜ x ＞3}
B. 不等式的解集可以是R
C. 不等式的解集可以是
D. 不等式的解集可以是{ x ｜－1＜ x ＜3}
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解析：选项A，假设结论成立，则无解，故选项A错误；选项B，当 a ＝1， b ＝0时，不等式 x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故选项B正确；选项C，若不等式的解集是 ，则 a ＜0且Δ＝ b2－12 a ≤0，而 a ＜0时，Δ＝ b2－12 a ＞0，所以不等式的解集不可能是 ，故选项C错误；选项D，假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确.故选B、D.
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7. （2024·扬州月考）当 a ＜0时，关于 x 的不等式42 x2＋ ax － a2＜0的
解集为 .
解析：因为42 x2＋ ax － a2＜0，所以（7 x － a ）（6 x ＋ a ）＜0.因
为 a ＜0，所以－ ＞ ，则原不等式的解集为（ ，－ ）.
（ ，－ ）　
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8. （2024·南通月考）制作一个高为20 cm的长方体容器，底面矩形的
长比宽多10 cm，并且容积不少于4 000 cm3.设底面矩形的宽为 x ，
则 x 的最小值为 cm.
解析：由题意可得20 x （ x ＋10）≥4 000，整理可得 x2＋10 x －
200≥0，解得 x ≤－20（舍），或 x ≥10.
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9. 已知 a ， b ， c 是常数，若不等式 ax2＋ bx － c ＞0的解集是{ x ｜1＜
x ＜2}，则不等式 bx （ ax ＋ c ）＞0的解集是 .
解析：因为不等式 ax2＋ bx － c ＞0的解集是{ x ｜1＜ x ＜2}，所以 a
＜0，且1和2是方程 ax2＋ bx － c ＝0的两根，由根与系数的关系可
得 b ＝－3 a ， c ＝－2 a .于是不等式 bx （ ax ＋ c ）＞0可化为－3 ax
（ ax －2 a ）＞0，所以 x （ x －2）＜0，解得0＜ x ＜2，所以不等式
bx （ ax ＋ c ）＞0的解集是（0，2）.
（0，2）　
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10. 解关于 x 的不等式： x2－（ a ＋ a2） x ＋ a3＞0（ a ∈R）.
解：原不等式可化为（ x － a ）（ x － a2）＞0，
当 a ＜ a2，即 a ＜0或 a ＞1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ a 或 x ＞
a2}；
当 a2＝ a ，即 a ＝0或 a ＝1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠ a ， x
∈R}；
当 a2＜ a ，即0＜ a ＜1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ a2或 x ＞ a }.
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综上所述，当 a ＜0或 a ＞1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ a 或 x
＞ a2}；
当0＜ a ＜1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ a2或 x ＞ a }；
当 a ＝1时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠1， x ∈R}；
当 a ＝0时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠0， x ∈R}.
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11. 设 a ＞1，则关于 x 的不等式（1－ a ）（ x － a ）（ x － ）＜0的解
集是（　　）
A. （－∞， a ）∪（ ，＋∞）
B. （ a ，＋∞）
C. （ a ， ）
D. （－∞， ）∪（ a ，＋∞）
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解析：　 a ＞1时，1－ a ＜0，且 a ＞ ，则关于 x 的不等式（1－
a ）（ x － a ）（ x － ）＜0可化为（ x － a ）·（ x － ）＞0，解
得 x ＜ 或 x ＞ a ，所以不等式的解集为（－∞， ）∪（ a ，＋
∞）.故选D.
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12. （2024·南通月考）若关于 x 的不等式 ax2－6 x ＋ a2＜0的非空解集
为{ x ｜1＜ x ＜ m }，则 m ＝
解析：因为 ax2－6 x ＋ a2＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜ m }，所以 a ＞
0，且1与 m 是方程 ax2－6 x ＋ a2＝0的根.则 即1＋ m
＝ ，所以 m2＋ m －6＝0，解得 m ＝－3或 m ＝2，当 m ＝－3时，
a ＝ m ＜0（舍去），故 m ＝2.
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13. 若关于 x 的不等式 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＜0的解集中恰有3个整数，
则实数 a 的取值范围是 .
解析：原不等式可等价为（ x － a ）（ x －1）＜0，不等式解集中
恰有3个整数，当 a ＞1时，即4＜ a ≤5时，不等式的解集为1＜ x
＜ a ，符合题意；当 a ＝1时，不等式无解，不符合题意；当 a ＜1
时，即－3≤ a ＜－2时，不等式的解集为 a ＜ x ＜1，符合题意；
综上，实数 a 的取值范围是{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}.
{ a ｜－3≤ a ＜－2或4＜ a ≤5}　
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14. 某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销
售18万个.
（1）据市场调查，若削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应
减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器
每件售价最多为多少元？
解：设每件零售价为 x 元，由题意可得 x [18－0.2（ x －15）]≥15×18，
即 x2－105 x ＋15×90≤0，∴（ x －15）（ x －90）≤0，
∴15≤ x ≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多
为90元.
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（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销
售策略改革，并提高售价到 x 元.公司计划投入 x2万元作为
技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新
后，该削笔器的年销售量 t 至少达到多少万个时，才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每
个削笔器售价.
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解：由题意知 x ＞15， tx ≥15×18＋30＋ x2，
即 t ≥ ＋ .
∵ ＋ ≥2 ＝20，当且仅当 ＝ ，即 x ＝30时，
等号成立，∴ t ≥20，
因此，该削笔器的年销售量 t 至少达到20万个时，才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削
笔器售价30元.
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15. 解关于 x 的不等式： ax2－2≥2 x － ax （ a ∈R）.
解：原不等式可化为 ax2＋（ a －2） x －2≥0.
①当 a ＝0时，原不等式化为 x ＋1≤0，解得 x ≤－1.
②当 a ＞0时，原不等式化为（ x － ）（ x ＋1）≥0，解得 x ≥
或 x ≤－1.
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③当 a ＜0时，原不等式化为（ x － ）（ x ＋1）≤0.
当 ＞－1，即 a ＜－2时，解得－1≤ x ≤ ；
当 ＝－1，即 a ＝－2时，解得 x ＝－1；
当 ＜－1，即 a ＞－2时，解得 ≤ x ≤－1.
综上所述，当 a ＝0时，不等式的解集为{ x ｜ x ≤－1}；
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当 a ＞0时，不等式的解集为{ x 或 x ≤－1}；
当－2＜ a ＜0时，不等式的解集为{ x ≤ x ≤－1}；
当 a ＝－2时，不等式的解集为{ x ｜ x ＝－1}；
当 a ＜－2时，不等式的解集为{ x }.
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