资源简介

　　
一、不等式及其性质
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】　（1）（多选）下列命题正确的有（　　）
A.若a＞1，则＜1
B.若a＋c＞b，则＜
C.对任意实数a，都有a2≥a
D.若ac2＞bc2，且ac＞bc，则c＞0
（2）若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（　　）
A.A≤B
B.A≥B
C.A＜B或A＞B
D.A＞B
（3）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
（1）作差法是比较两个实数大小的基本方法；
（2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不等式的一些常见变形.
【例2】　（1）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是　　　　；
（2）已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值是　　　　.
反思感悟
利用基本不等式求最值的注意点
（1）把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等；
（2）注意寻求已知条件与目标函数之间的联系；
（3）利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生定值.特别注意“1”的代换.
三、一元二次不等式的解法
　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多选）若关于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），则（　　）
A.a＞0 B.a＋b＝0
C.12a＋c＝0 D.b2－4ac＝49a2
（2）解下列关于x的不等式：
①－x2＋5x－4＞0；②≥－2；
③m2x2＋2mx－3＜0.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、不等式在实际问题中的应用
　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】　（1）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示.如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米112元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（单位：米）的函数，并求出最低造价；
（2）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成＝10%），售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价.
①设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
②若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
反思感悟
解决与不等式有关的实际应用问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造应用不等式的形式并解决问题.
章末复习与总结
【例1】　（1）解析：AD　因为a＞1，所以＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有＞，故B错误；对于C，可取a＝，则a2＜a，故C错误；因为ac2＞bc2，所以c2＞0，即c≠0，且a＞b，假设c＜0，则有ac＜bc与已知ac＞bc矛盾，所以c＞0，故D正确.
（2）解析：B　∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝a2＋b2－ab＝（a－）2＋b2≥0，∴A≥B.
（3）解：因为－2＜b＜－1，所以1＜－b＜2，
又因为2＜a＜3，所以2＜－ab＜6，
所以－6＜ab＜－2.
因为－2＜b＜－1，
所以1＜b2＜4，
因为2＜a＜3，所以＜＜，所以＜＜2.
【例2】　（1）3　（2）4　解析：（1）∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则x＋的最小值是3.
（2）∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号.
【例3】　（1）解析：ACD　由不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），可得a＞0，且x1＝－3，x2＝4是一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得即b＝a，
c＝－12a，即12a＋c＝0，a＋b＝2a＞0，b2－4ac＝a2＋48a2＝49a2.故选A、C、D.
（2）解：①原不等式等价于x2－5x＋4＜0，
∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为x1＝1，x2＝4，
∴原不等式的解集为{x｜1＜x＜4}.
②不等式≥－2可化为＋2≥0，即≥0，
则原不等式等价于（x－11）（x－5）≥0且x－5≠0，解得x＜5或x≥11，
故≥－2的解集为{x｜x＜5或x≥11}.
③当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化为（mx＋3）（mx－1）＜0.
当m＞0时，解不等式得－＜x＜，
当m＜0时，解不等式得＜x＜－.
∴当m＝0时不等式的解集为R；
当m＞0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜}；
当m＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜－}.
【例4】　解：（1）依题意y＝112（2x＋×2）＋96（x＋×3）＋100×160＝320（x＋）＋16 000≥26 240.
当且仅当x＝，
即x＝16时，取等号.
故建造网箱的最低造价为26 240元.
（2）①依题意y＝100·100.
又售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，
解得x≤2，
所以y＝40（10－x）（25＋4x）（0≤x≤2）.
②由题意得40（10－x）（25＋4x）≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又x∈{x｜0≤x≤2}，
所以x的取值范围为{x≤x≤2}.
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章末复习与总结
一、不等式及其性质
　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整
个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】　（1）（多选）下列命题正确的有（　　）
A. 若 a ＞1，则 ＜1
B. 若 a ＋ c ＞ b ，则 ＜
C. 对任意实数 a ，都有 a2≥ a
D. 若 ac2＞ bc2，且 ac ＞ bc ，则 c ＞0
解析：　因为 a ＞1，所以 ＜1，所以A正确；若 a ＋ c ＞ b ，可令
a ＝1， c ＝1， b ＝－1，则有 ＞ ，故B错误；对于C，可取 a ＝ ，
则 a2＜ a ，故C错误；因为 ac2＞ bc2，所以 c2＞0，即 c ≠0，且 a ＞ b ，
假设 c ＜0，则有 ac ＜ bc 与已知 ac ＞ bc 矛盾，所以 c ＞0，故D正确.
（2）若 A ＝ a2＋3 ab ， B ＝4 ab － b2，则 A ， B 的大小关系是（　　）
A. A ≤ B B. A ≥ B
C. A ＜ B 或 A ＞ B D. A ＞ B
解析：　∵ A － B ＝ a2＋3 ab －（4 ab － b2）＝ a2＋ b2－ ab ＝
（ a － ）2＋ b2≥0，∴ A ≥ B .
（3）已知2＜ a ＜3，－2＜ b ＜－1，求 ab ， 的取值范围.
解：因为－2＜ b ＜－1，所以1＜－ b ＜2，
又因为2＜ a ＜3，所以2＜－ ab ＜6，所以－6＜ ab ＜－2.
因为－2＜ b ＜－1，所以1＜ b2＜4，
因为2＜ a ＜3，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
（1）作差法是比较两个实数大小的基本方法；
（2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条
件；当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法.
二、基本不等式
　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基
本不等式的一些常见变形.
【例2】　（1）已知 x ＞1，且 x － y ＝1，则 x ＋ 的最小值是 ；
解析：∵ x ＞1，∴ x －1＞0.又 y ＝ x －1，∴ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x －1＋
＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当 x ＝2时，等号成立，则
x ＋ 的最小值是3.
3　
（2）已知－1＜ x ＜3，则 y ＝（1＋ x ）（3－ x ）的最大值是 .
解析：∵－1＜ x ＜3，∴1＋ x ＞0，3－ x ＞0，
∴ ≤ ＝2.∴（1＋ x ）（3
－ x ）≤4，当且仅当1＋ x ＝3－ x ，即 x ＝1时取等号.
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反思感悟
利用基本不等式求最值的注意点
（1）把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等；
（2）注意寻求已知条件与目标函数之间的联系；
（3）利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生定值.特别注意
“1”的代换.
三、一元二次不等式的解法
　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌
握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】　（1）（多选）若关于 x 的不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集为
（－3，4），则（　　）
A. a ＞0 B. a ＋ b ＝0
C. 12 a ＋ c ＝0 D. b2－4 ac ＝49 a2
解析：　由不等式 ax2－ bx ＋ c ＜0的解集为（－3，4），可得 a
＞0，且 x1＝－3， x2＝4是一元二次方程 ax2－ bx ＋ c ＝0的两个根，由
根与系数的关系可得即 b ＝ a ， c ＝－12 a ，即12 a ＋ c
＝0， a ＋ b ＝2 a ＞0， b2－4 ac ＝ a2＋48 a2＝49 a2.故选A、C、D.
①－ x2＋5 x －4＞0；
② ≥－2；
③ m2 x2＋2 mx －3＜0.
（2）解下列关于 x 的不等式：
解：①原不等式等价于 x2－5 x ＋4＜0，
∵方程 x2－5 x ＋4＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝4，
∴原不等式的解集为{ x ｜1＜ x ＜4}.
②不等式 ≥－2可化为 ＋2≥0，即 ≥0，
则原不等式等价于（ x －11）（ x －5）≥0且 x －5≠0，解得 x ＜
5或 x ≥11，
故 ≥－2的解集为{ x ｜ x ＜5或 x ≥11}.
③当 m ＝0时，－3＜0恒成立，解集为R.
当 m ≠0时，二次项系数 m2＞0，Δ＝16 m2＞0，不等式可化为
（ mx ＋3）（ mx －1）＜0.
当 m ＞0时，解不等式得－ ＜ x ＜ ，
当 m ＜0时，解不等式得 ＜ x ＜－ .
∴当 m ＝0时不等式的解集为R；
当 m ＞0时，不等式的解集为{ x ｜－ ＜ x ＜ }；
当 m ＜0时，不等式的解集为{ x ｜ ＜ x ＜－ }.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受 a 的符号、 b2－4 ac 的符号
的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判
别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、不等式在实际问题中的应用
　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的
优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根
据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】　（1）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平
方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面
图所示.如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米112元，
筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为
每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价 y
（元）表示为网箱的长 x （单位：米）的函数，并求出最低造价；
解：依题意 y ＝112（2 x ＋ ×2）＋96（ x ＋ ×3）＋100×160＝
320（ x ＋ ）＋16 000≥26 240.
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝16时，取等号.
故建造网箱的最低造价为26 240元.
①设该商店一天的营业额为 y ，试求出 y 与 x 之间的函数关 系式；
②若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求 x 的取值范围.
（2）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，
若售价降低 x 成（1成＝10%），售出商品的数量就增加 x 成，
要求售价不能低于成本价.
②由题意得40（10－ x ）（25＋4 x ）≥10 260，
化简得8 x2－30 x ＋13≤0，解得 ≤ x ≤ .
又 x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}，
所以 x 的取值范围为{ x ≤ x ≤2}.
解：①依题意 y ＝100 ·100 .
又售价不能低于成本价，
所以100 －80≥0，解得 x ≤2，
所以 y ＝40（10－ x ）（25＋4 x ）（0≤ x ≤2）.
反思感悟
解决与不等式有关的实际应用问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造应用不等式的形式并解决问题.
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