资源简介

章末检测（三）　不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.不等式4＋3x－x2＜0的解集为（　　）
A.{x｜－1＜x＜4} B.{x｜x＜－1或x＞4}
C.{x｜x＜－4或x＞1} D.{x｜－4＜x＜1}
2.已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是（　　）
A.－6≤2a－b≤4 B.0≤2a－b≤10
C.－4≤2a－b≤2 D.－5≤2a－b≤1
3.若x＞1，则4x＋的最小值为（　　）
A.4 B.6
C.8 D.9
4.已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是（　　）
A.{x｜x＜5a，或x＞－a}
B.{x｜x＞5a，或x＜－a}
C.{x｜－a＜x＜5a}
D.{x｜5a＜x＜－a}
5.“a＞0，b＞0”是“ab＜”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2（a－b－1），③＋＞2.其中恒成立的有（　　）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
7.若ax2－（a＋2）x＋2＜3－2x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－4） B.（－4，0]
C.[0，4） D.（4，＋∞）
8.已知x＞0，y＞0，且＋＝，则x＋y的最小值为（　　）
A.8 B.7
C.6 D.5
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有（　　）
A.xy＜y2 B.x2＞y2
C.＞1 D.＞
10.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则（1－xy）（1＋xy）有（　　）
A.最小值 B.最小值
C.最小值1 D.最大值1
11.已知关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，则下列说法正确的是（　　）
A.b＝－1
B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6}
C.b＋c＝5
D.不等式cx2－bx＋1＜0的解集是{x｜x＜－或x＞}
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），则关于x的不等式＋c＞bx的解集为　　　　.
13.设a＞0，b＞0，记A＝，G＝，H＝分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为　　　　，最小的为　　　　.
14.某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，则销售价格每件应定为　　　　元时取得最大利润，最大利润是　　　　　元.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x＋y的最小值.
16.（本小题满分15分）已知不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x｜x＞4或x＜1}.
（1）求实数a，b的值；
（2）若正实数x，y满足x＋y＝2，求t＝＋的最小值.
17.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.
18.（本小题满分17分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0；
（2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围.
19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
章末检测（三）　不等式
1.B　不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即（x＋1）·（x－4）＞0，解得x＜－1或x＞4.故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞4}.故选B.
2.A　因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4.
3.C　∵x＞1，∴x－1＞0，4x＋＝4（x－1）＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4（x－1）＝，即x＝时等号成立.故选C.
4.A　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1＜0，所以a＜－，所以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x｜x＜5a，或x＞－a}，故选A.
5.D　当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤，当a＝b时，ab＜不成立，故充分性不成立；当ab＜时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故必要性不成立.综上，知“a＞0，b＞0”是“ab＜”的既不充分也不必要条件，故选D.
6.B　①a5＋b5－（a3b2＋a2b3）＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3）＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）＞0不恒成立；②a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0恒成立；③＋＞2不恒成立.故选B.
7.B　由题意得ax2－（a＋2）x＋2＜3－2x恒成立，即ax2－ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则解得即－4＜a＜0，综上，实数a的取值范围为（－4，0].
8.D　由题意得，x＋y＝（x＋3）＋y－3＝2（＋）[（x＋3）＋y]－3＝2＋＋＋2－3＝＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当＝且＋＝，即x＝1，y＝4时，等号成立，∴x＋y的最小值为5.故选D.
9.BC　∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D错误.
10.BD　∵x2y2≤（）2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴0≤x2y2≤，∴≤1－x2y2≤1，即≤（1－xy）（1＋xy）≤1.
11.ABD　∵关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，∴－2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，∴根据根与系数的关系得，－b＝－2＋3，即b＝－1，故A中说法正确；又－2×3＝－6＝c，∴不等式bx＋c＞0可化为－x－6＞0，∴x＜－6，故B中说法正确；∴b＋c＝－7，故C中说法不正确；不等式cx2－bx＋1＜0为－6x2＋x＋1＜0，即6x2－x－1＞0，即（3x＋1）·（2x－1）＞0，解得x＞或x＜－，故D中说法正确.故选A、B、D.
12.（－∞，0）　解析：由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），即－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴解得则关于x的不等式＋c＞bx，可化为－2a＞－ax，即x＋＜2，即＜0，解得x＜0.
13.A　H　解析：因为a＞0，b＞0，a≠b，所以A－G＝－＝＝＞0，G－H＝－＝＝＞0，所以A＞G，G＞H，所以A＞G＞H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H.
14.60　2 500　解析：设每天获得利润为y元，则y＝（x－50）·P＝，设x－50＝t，则0＜t≤30，所以y＝＝＝≤＝2 500，当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
15.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0，
得＋＝1.
∴1＝＋≥2＝，则xy≥64，
当且仅当即时，等号成立，
此时（xy）min＝64.
（2）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0，
得＋＝1.
则x＋y＝（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
此时（x＋y）min＝18.
16.解：（1）由题意可得解得
∴实数a，b的值分别为1，4.
（2）由（1）知t＝＋，
∵x＞0，y＞0，∴t＝＋＝（＋）（x＋y）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，
当且仅当＝，且x＋y＝2，即x＝，y＝时，等号成立.∴t的最小值为.
17.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0，
解得m＜1或m＞4.
∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}.
（2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可.
∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3，
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}.
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}.
18.解：（1）∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点，
∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0.
由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0.
∵x2－2tx＋t2－1≥0，
∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1.
∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}.
（2）∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0，
∴ t∈R，该方程总有两个不相等的实数根.
∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，
∴解得－1＜t＜3.
∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}.
19.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，
设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）.
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N*），
所以从第4年开始获取纯利润.
（2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，
所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①.
1 / 2(共35张PPT)
章末检测（三）　不等式
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 不等式4＋3 x － x2＜0的解集为（　　）
A. { x ｜－1＜ x ＜4} B. { x ｜ x ＜－1或 x ＞4}
C. { x ｜ x ＜－4或 x ＞1} D. { x ｜－4＜ x ＜1}
解析：　不等式4＋3 x － x2＜0可化为 x2－3 x －4＞0，即（ x ＋
1）（ x －4）＞0，解得 x ＜－1或 x ＞4.故所求不等式的解集为
{ x ｜ x ＜－1或 x ＞4}.故选B.
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2. 已知－1≤ a ≤3，2≤ b ≤4，则2 a － b 的取值范围是（　　）
A. －6≤2 a － b ≤4 B. 0≤2 a － b ≤10
C. －4≤2 a － b ≤2 D. －5≤2 a － b ≤1
解析：　因为－1≤ a ≤3，2≤ b ≤4，可得－2≤2 a ≤6，－4≤－
b ≤－2，所以－2－4≤2 a － b ≤6－2，即－6≤2 a － b ≤4.
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3. 若 x ＞1，则4 x ＋ 的最小值为（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 9
解析：　∵ x ＞1，∴ x －1＞0，4 x ＋ ＝4（ x －1）＋ ＋
4≥2 ＋4＝8，当且仅当4（ x －1）＝ ，即 x ＝
时等号成立.故选C.
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4. 已知2 a ＋1＜0，则关于 x 的不等式 x2－4 ax －5 a2＞0的解集是（　）
A. { x ｜ x ＜5 a ，或 x ＞－ a }
B. { x ｜ x ＞5 a ，或 x ＜－ a }
C. { x ｜－ a ＜ x ＜5 a }
D. { x ｜5 a ＜ x ＜－ a }
解析：　方程 x2－4 ax －5 a2＝0的两根为－ a ，5 a .因为2 a ＋1＜
0，所以 a ＜－ ，所以－ a ＞5 a .结合二次函数 y ＝ x2－4 ax －5 a2
的图象，得原不等式的解集为{ x ｜ x ＜5 a ，或 x ＞－ a }，故选A.
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5. “ a ＞0， b ＞0”是“ ab ＜ ”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　当 a ＞0， b ＞0时， ≥ ，即 ab ≤ ，当 a
＝ b 时， ab ＜ 不成立，故充分性不成立；当 ab ＜
时， a ， b 可以异号，故 a ＞0， b ＞0不一定成立，故必要性不成
立.综上，知“ a ＞0， b ＞0”是“ ab ＜ ”的既不充分也不
必要条件，故选D.
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6. 设 a ， b 是两个实数，且 a ≠ b ，有如下三个式子：① a5＋ b5＞ a3 b2
＋ a2 b3，② a2＋ b2≥2（ a － b －1），③ ＋ ＞2.其中恒成立的有
（　　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
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解析：　① a5＋ b5－（ a3 b2＋ a2 b3）＝ a3（ a2－ b2）＋ b3（ b2－
a2）＝（ a2－ b2）（ a3－ b3）＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）（ a2＋ ab ＋
b2）＞0不恒成立；② a2＋ b2－2（ a － b －1）＝ a2－2 a ＋ b2＋2 b
＋2＝（ a －1）2＋（ b ＋1）2≥0恒成立；③ ＋ ＞2不恒成立.故
选B.
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7. 若 ax2－（ a ＋2） x ＋2＜3－2 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是
（　　）
A. （－∞，－4） B. （－4，0]
C. [0，4） D. （4，＋∞）
解析：　由题意得 ax2－（ a ＋2） x ＋2＜3－2 x 恒成立，即 ax2－
ax －1＜0恒成立，当 a ＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当 a ≠0
时，则解得即－4＜ a ＜0，综
上，实数 a 的取值范围为（－4，0].
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8. 已知 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为（　　）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
解析：　由题意得， x ＋ y ＝（ x ＋3）＋ y －3＝2（ ＋ ）
[（ x ＋3）＋ y ]－3＝2＋ ＋ ＋2－3＝ ＋
＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当 ＝ 且 ＋
＝ ，即 x ＝1， y ＝4时，等号成立，∴ x ＋ y 的最小值为5.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若正实数 x ， y 满足 x ＞ y ，则下列结论中正确的有（　　）
A. xy ＜ y2 B. x2＞ y2
C. ＞1 D. ＞
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解析：　∵ x ， y 为正实数且 x ＞ y ，∴ xy ＞ y2，故A错；∵ x ，
y 为正实数且 x ＞ y ，∴ x2＞ y2，故B正确；∵ x ， y 为正实数且 x ＞
y ，∴ · x ＞ · y ，即 ＞1，故C正确；∵ x ， y 为正实数且 x ＞ y ，
∴ x ＞ x － y ＞0，∴ ＞ ，即 ＜ ，故D错误.
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10. 已知实数 x ， y 满足 x2＋ y2＝1，则（1－ xy ）（1＋ xy ）有（　　）
A. 最小值 B. 最小值
C. 最小值1 D. 最大值1
解析：　∵ x2 y2≤（ ）2＝ ，当且仅当 x2＝ y2＝ 时，
等号成立，∴0≤ x2 y2≤ ，∴ ≤1－ x2 y2≤1，即 ≤（1－ xy ）
（1＋ xy ）≤1.
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11. 已知关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－2或 x ＞3}，则下列说法正确的是（　　）
A. b ＝－1
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－6}
C. b ＋ c ＝5
D. 不等式 cx2－ bx ＋1＜0的解集是{ x ｜ x ＜－ 或 x ＞ }
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解析：　∵关于 x 的不等式 x2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜
－2或 x ＞3}，∴－2和3是方程 x2＋ bx ＋ c ＝0的两个实数根，∴根
据根与系数的关系得，－ b ＝－2＋3，即 b ＝－1，故A中说法正
确；又－2×3＝－6＝ c ，∴不等式 bx ＋ c ＞0可化为－ x －6＞0，
∴ x ＜－6，故B中说法正确；∴ b ＋ c ＝－7，故C中说法不正确；
不等式 cx2－ bx ＋1＜0为－6 x2＋ x ＋1＜0，即6 x2－ x －1＞0，即
（3 x ＋1）·（2 x －1）＞0，解得 x ＞ 或 x ＜－ ，故D中说法正
确.故选A、B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为（－1，2），则关于 x
的不等式 ＋ c ＞ bx 的解集为 .
（－∞，0）　
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解析：由题意，关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为（－1，
2），即－1，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根且 a ＜0，
∴解得则关于 x 的不等式 ＋ c
＞ bx ，可化为 －2 a ＞－ ax ，即 x ＋ ＜2，即 ＜0，解
得 x ＜0.
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13. 设 a ＞0， b ＞0，记 A ＝ ， G ＝ ， H ＝ 分别为 a ， b
的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯
于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 a ≠ b 时 A ， G ， H
的大小关系，则 A ， G ， H 中最大的为 ，最小的为 .
A 　
H 　
解析：因为 a ＞0， b ＞0， a ≠ b ，所以 A － G ＝ － ＝
＝ ＞0， G － H ＝ －
＝ ＝ ＞0，所以 A ＞ G ， G ＞
H ，所以 A ＞ G ＞ H ，所以 A ， G ， H 中最大的为 A ，最小的为 H .
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14. 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件 x 元）
在50＜ x ≤80时，每天售出的件数 P ＝ ，则销售价格每
件应定为 元时取得最大利润，最大利润是 元.
解析：设每天获得利润为 y 元，则 y ＝（ x －50）· P ＝
，设 x －50＝ t ，则0＜ t ≤30，所以 y ＝ ＝
＝ ≤ ＝2 500，当且仅当 t ＝10，即 x
＝60时， ymax＝2 500.
60　
2 500　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知 x ＞0， y ＞0，且2 x ＋8 y － xy ＝0，求：
（1） xy 的最小值；
解：由2 x ＋8 y － xy ＝0， x ＞0， y ＞0，
得 ＋ ＝1.
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∴1＝ ＋ ≥2 ＝ ，则 xy ≥64，
当且仅当即时，等号成立，
此时（ xy ）min＝64.
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（2） x ＋ y 的最小值.
解：由2 x ＋8 y － xy ＝0， x ＞0， y ＞0，得 ＋ ＝1.
则 x ＋ y ＝ （ x ＋ y ）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，
当且仅当即时，等号成立，
此时（ x ＋ y ）min＝18.
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16. （本小题满分15分）已知不等式 x2－5 ax ＋ b ＞0的解集为{ x ｜ x
＞4或 x ＜1}.
（1）求实数 a ， b 的值；
解：由题意可得解得
∴实数 a ， b 的值分别为1，4.
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（2）若正实数 x ， y 满足 x ＋ y ＝2，求 t ＝ ＋ 的最小值.
解：由（1）知 t ＝ ＋ ，
∵ x ＞0， y ＞0，∴ t ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）（ x ＋ y ）＝ （5
＋ ＋ ）≥ （5＋2 ）＝ ，
当且仅当 ＝ ，且 x ＋ y ＝2，即 x ＝ ， y ＝ 时，等号成
立.∴ t 的最小值为 .
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17. （本小题满分15分）设命题 p ：方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m ＝0有
两个不相等的实数根；命题 q ：对所有的2≤ x ≤3，不等式 x2－4 x
＋13≥ m2恒成立.
（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
解：若命题 p 为真命题，即方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m
＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2 m －4）2－4 m ＝4 m2－20 m ＋16＞0，
解得 m ＜1或 m ＞4.
∴实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ＜1或 m ＞4}.
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（2）若命题 p ， q 一真一假，求实数 m 的取值范围.
解：若命题 q 为真命题，则对所有的2≤ x ≤3，不等式
x2－4 x ＋13≥ m2恒成立.
设 y ＝ x2－4 x ＋13，则只需2≤ x ≤3时， m2≤ ymin即可.
∵ y ＝ x2－4 x ＋13＝（ x －2）2＋9，2≤ x ≤3，
∴ ymin＝9，∴ m2≤9，解得－3≤ m ≤3.
∴当命题 q 为真命题时，实数 m 的取值范围为{ m ｜－3≤ m
≤3}.
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∵命题 p ， q 一真一假，
∴若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则有
解得 m ＜－3或 m ＞4；
若命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，则有
解得1≤ m ≤3.
综上所述，当命题 p ， q 一真一假时，实数 m 的取值范围为
{ m ｜ m ＜－3或1≤ m ≤3或 m ＞4}.
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18. （本小题满分17分）已知二次函数 y ＝ x2－2 tx ＋ t2－1（ t ∈R）.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2－2 tx
＋ t2－1≥0；
解：∵二次函数 y ＝ x2－2 tx ＋ t2－1有两个互为相反数的零点，
∴方程 x2－2 tx ＋ t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设
为 x1， x2，∴ x1＋ x2＝0.
由根与系数的关系可得， x1＋ x2＝2 t ＝0，解得 t ＝0.
∵ x2－2 tx ＋ t2－1≥0，
∴ x2－1≥0，解得 x ≥1或 x ≤－1.
∴该不等式的解集为{ x ｜ x ≥1或 x ≤－1}.
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（2）若关于 x 的方程 x2－2 tx ＋ t2－1＝0的两个实数根均大于－2
且小于4，求实数 t 的取值范围.
解：∵Δ＝（－2 t ）2－4（ t2－1）＝4 t2－4 t2＋4＝4＞0，
∴ t ∈R，该方程总有两个不相等的实数根.
∵方程的两个实数根均大于－2且小于4，
∴解得－1＜ t ＜3.
∴实数 t 的取值范围是{ t ｜－1＜ t ＜3}.
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19. （本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基
地，已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 y ＝ ax2＋
c ，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维
护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始
获取纯利润；
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解：由已知得，当 x ＝1时， y ＝3；当 x ＝2时， y ＝12，即解得所以 y ＝3 x2.
又投资243万元， x 年共收入90 x 万元，
设 x 年共获得的纯利润为 P 万元，则 P ＝90 x －3 x2－243（ x ∈N*）.
令 P ＞0，即90 x －3 x2－243＞0，即 x2－30 x ＋81＜0，解得
3＜ x ＜27（ x ∈N*），
所以从第4年开始获取纯利润.
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（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基
地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
解：方案①：年平均利润 t ＝ ＝90－3
≤90－3×2 ＝36，当且仅当 x ＝9时，取等号，
所以当 x ＝9时， t 取最大值36，此时以138万元出售该基地
共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
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方案②：纯利润总和 P ＝90 x －3 x2－243＝－3（ x －15）2＋
432（ x ∈N*），
当 x ＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①.
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