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2024-2025 学年湖南省邵阳市海谊中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 2 4+ ( 2) 是纯虚数，则实数 =( )
A. 0 B. ±2 C. 2 D. 2
2.已知集合 = 2, 1,0,1,2 ， = 2 6 ≥ 0 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1 B. 0,1,2 C. 2 D. 2
3.已知圆 的圆心在曲线 = 2( > 0)上，且圆 与直线 + 2 + 1 = 0 相切，则圆 面积的最小值为( )
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
4 .已知 中，角 , , 所对的边分别为 , , .已知 = 1, = 4， 的面积 = 2，则 的外接圆的
半径为( )
A. 4 5 B. 2 5 C. 5 2 D. 5 22
5.已知定义域为 的函数 ， 1， 2 ∈ ， 1 < 2，都有 1 2 1 2 < 0，则( )
A. 3 < < 2 B. < 3 < 2
C. 2 < < 3 D. < 2 < 3
6.已知向量 = 2, , = 1, 2 , = 1,2 ，且 // ，则实数 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
7 .圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 1 与直线 : 4 + 3 = 1 的位置关系为( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相交且过圆心
8.已知 3 = lg ，则 10 的值为( )
A. 1 B. 3 10 C. 13 D.
1
3 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 ， 在 上的射影有可能是( )
A.两条平行直线 B.两条互相垂直的直线
C.同一条直线 D.一条直线及其外一点
2 210.已知双曲线 : 2 = 1( > 0)，则下列说法正确的是( )
A.双曲线 的实轴长为 2
B.双曲线 的焦点到渐近线的距离为
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C.若 2,0 是双曲线 的一个焦点，则 = 2
D.若双曲线 的两条渐近线相互垂直，则 = 2
11.在 5中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2， = 2， = 3，则( )
A. sin : sin = 5: 4 B. = 2
C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 + , ≤ ,.已知 > 0，若函数 ( ) = ln + 2, > 有两个不同的零点，则 的取值范围为 ．
13.已知在等比数列 中， 1 3 11 = 8，则 2 8 = ．
14.设随机变量 服从两点分布，若 = 1 = 0 = 0.2，则 = 1 = ， = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
用分层随机抽样从某校高二年级 800 名学生的数学成绩(满分为 100 分，成绩都是整数)中抽取一个样本量
为 100 的样本，其中男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个．再将 40 个男生成绩样本数据分为 6 组：
40,50 , 50,60 ， 60,70 , 70,80 ， 80,90 , 90,100 ，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计男生成绩样本数据的第 80 百分位数；
(2)若成绩不低于 80 分的为“优秀”等级，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩为“优
秀”等级的人数．
16.(本小题 15 分)
1
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且
2

= ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 1 2 + 2 3 + + +1 >
16
33，求正整数 的最小值．
17.(本小题 15 分)
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如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ⊥ , // ， = = 2 = 2 = 2， ⊥
平面 , 为棱 上的动点．
(1)当 为棱 的中点时，证明： //平面 ；
(2)若 = 2 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 : +
2
已知椭圆 2 2 = 1( > > 0)
2
的离心率为 2 ，长轴长为 4．
(1)求 的方程；
(2)过点(0, 2)的直线 与 交于 , 两点， 为坐标原点，若 的面积为 2，求| |．
19.(本小题 17 分)
对于定义域为 的函数 = ，如果存在区间 , ，同时满足① 在 , 内是单调函数；②当定
义域是 , 时， 的值域也是 , ，则称 , 是该函数的“优美区间”．
(1) 1求证： 0,2 是函数 = 22 的一个“优美区间”；
(2) 6求证：函数 = 4 + 不存在“优美区间”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0, 1 2
13.4
14.0.6 3或5 ；0.6
3
或5
15.解：(1)在[40,80)内的成绩占比为 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.015 × 10 + 0.03 × 10 = 0.7 < 0.8，
在[40,90)内的成绩占比为 0.7 + 0.025 × 10 = 0.95 > 0.8，
因此第 80 0.8 0.7百分位数在[80,90)内，80 + 10 × 0.95 0.7 = 84，
所以估计第 80 百分位数约是 84．
(2)成绩不低于 80 分的频率为(0.025 + 0.005) × 10 = 0.3，
则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：0.3 × 40100 × 800 = 96，
所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为 96 人．
16.解：(1) ∵ = 2，∴当 ≥ 2
1
时， = 1 = 2 1，
1
又 1 = 1， = 1，满足；1
1
即 = 2 1
1
，

= 2 1．
(2) ∵ 1 1 1 1 +1 = (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
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∴ 1 2 + 2 3 + +
1 1 1 1 1
+1 = 2 ( 1 3 + 3 5 + +
1 1 1
2 1 2 +1 ) = 2 (1
1 ) = 2 +1 2 +1，
∴ 162 +1 > 33，解得 > 16，∴ min = 17，
即正整数 的最小值为 17．
17.解：(1)
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，
所以 // , = 12 ，
因为 // , = 2 ，
所以 // , = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ．
又 平面 , 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
因为 ⊥ , ⊥平面 ，即 , , 两两垂直，
故可以 为原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 0,0,0 , 0,0,2 , 0,2,0 , 1,1,0 ，
因为 = 2 4 2，所以 0, 3 , 3 ，
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所以 = 1,1,0 , = 0,2,0 , = 0, 43 ,
2
3 .
设平面 的法向量为 = , , ，
= + = 0
则
= 4 + 23 3 = 0
取 = 1，得 = 1, = 2，
所以 = 1,1, 2 ．
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
所以 = 0,2,0 为平面 的一个法向量．
设平面 与平面 的夹角为 ，

则 cos = cos , = 2 6

=
2 6
= 6 ．
6
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 6 ．
18.解：(1) 2因为长轴长为 4，故 = 2，而离心率为 2 ，故 = 2，
2 2
故 = 2 ，故椭圆方程为： 4 + 2 = 1．
(2)
由题设直线 的斜率不为 0，故设直线 : = + 2 ， 1, 1 , 2, 2 ，
= + 2
由 2 2 2 2 2 + 2 2 = 4可得 + 2 + 4 + 4 4 = 0，
故 = 16 4 4 2 + 2 4 2 4 = 4 8 4 2 > 0 即 2 < < 2，
2 2
且 1 + 2 =
4
2+2 , 1 =
4 4
2 2+2，
1 2
故 = 2 × 2 ×
2
1 2 = 1 + 2 4 =
32 16
1 2 2+2 = 2，
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解得 =± 63 ，
32 16×2
故 = 1+ 2 1 2 = 1 +
2
3 ×
2 5 3
1 + 2 4 1 2 = 3 × 2 = 5．
3+2
19.解：(1) = 1 22 在区间 0,2 上单调递增，
又 0 = 0 1， 2 = 2，∴ = 22 的值域为 0,2 ，
∴区间 0,2 是 = 12
2的一个“优美区间”．
(2)设 , 是已知函数 的定义域的子集．
由 ≠ 0，可得 , ∞,0 或 , 0, + ∞ ，
∴函数 = 4 + 6 在 , 上单调递减．
4 + 6 = ,
假设 , 6 6是已知函数的“优美区间”，则 6 两式相减得， = ．4 + = ,

6 6 6 6
则 = ，∵ > ，∴ = 6，∴ = ，则 4 + = ，
6
显然等式不成立，∴函数 = 4 + 不存在“优美区间”．
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