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1.4 充分条件与必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(数学抽象)
2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理,充要条件与数学定义的关系.(逻辑推理)
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(逻辑推理)
【自主预习】
1.初中我们学过的命题的定义是什么
2.命题的常用形式是什么
3.何为真命题 何为假命题
4.命题“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果q是p的必要条件,那么q是唯一的. (　　)
(2)q是p的必要条件的含义:如果q不成立,那么p一定不成立. (　　)
(3)“xy>0”是“x,y都大于0”成立的充分条件. (　　)
(4)若p是q的充分条件,则q是p的必要条件. (　　)
2.(多选题)下列条件是x2>4的充分条件的是(　　).
A.x>-2 B.x<-2
C.x<-3 D.x>4
3.若p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的　　　　条件.(填“充分”“必要”或“充要”)
4.若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的　　　　条件.(填“充分”“必要”或“充要”)
【合作探究】
探究1　充分条件、必要条件
如图,这是一个电路图,其中S1,S2为开关,L为一盏灯.
问题1:开关S1闭合时,灯一定亮吗
问题2:灯亮时,开关S1一定闭合吗
问题3:开关S1闭合是灯亮的什么条件
1.命题的概念及结构
(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作.判断为真的语句是,判断为假的语句是　　　　.
(2)当命题表示为“若p,则q”时,称为命题的条件,称为命题的结论.
2.充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的,q是p的　　　　.
如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p q.此时,我们就说p不是q的,q不是p的　　　　.
特别提醒:
1.p q的含义
(1)“若p,则q”形式的命题为真命题.
(2)由条件p可以得到结论q.
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p;
q是p的必要条件或p的必要条件是q.
(4)只要有条件p,就一定有结论q,即p对于q是充分的,q对于p的成立是必要的.
(5)为得到结论q,具备条件p即可.
显然,p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,即p q,只是说法不同而已.
2.对充分条件的理解
(1)所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
(2)充分条件不是唯一的,如x>2,x>3等都是x>0的充分条件.必要条件不是唯一的,如x>0,x>5等都是x>9的必要条件.
一、必要条件
例1　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若一个四边形是等腰梯形,则这个四边形的两条对角线相等;
(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)若=,则x=y;
(4)若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0.
【方法总结】必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断法:
若命题“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;若命题“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
二、充分条件
例2　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)若a=b,则=1(b≠0);
(3)若x,y∈R,|x|=|y|,则x=y;
(4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3;
(5)若四边形ABCD是正方形,则四边形ABCD是菱形.
【方法总结】充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断法:
若命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;若命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
设集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},则“A∪B=R”是“a=1”的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)
设集合M={x|0探究2　充要条件
问题1:若p是q的充要条件,则p和q相互等价,这种说法对吗
问题2:“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”的区别在哪里
充要条件
(1)如果“若p,则q”和“若q,则p”均是真命题,那么既有,又有,就记作.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为.
(2)当p是q的充要条件时,q也是p的条件.
特别提醒:从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件.
(1)若p q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p q,则p是q的充要条件.
(3)若p q,且q p,则称p是q的充分不必要条件.
(4)若p q,且q p,则称p是q的必要不充分条件.
(5)若p q,且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
例3　指出下列各题中,p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.
(2)p:m<-2或m>6,q:方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根.
(3)已知A U,B U,p:A∩B=A,q:UB UA.
a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　).
A.ab=0
B.ab>0
C.a2+b2=0
D.a2+b2>0
(人教A版必修第一册习题1.4第4题改编)已知A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.
(1)如果A B,那么p是q的什么条件
(2)如果B A,那么p是q的什么条件
(3)如果A=B,那么p是q的什么条件
探究3　充要条件的证明
已知关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
问题1:由m≥2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根,这个过程是“充分性”还是“必要性”
问题2:由方程x2+mx+1=0有两个负实根直接求解得到m的取值范围,则m的取值范围是方程x2+mx+1=0有两个负实根的什么条件
问题3:互为充要条件中条件和结论是相对的,在充要条件问题的证明中,条件是确定的吗
充要条件的证明一般分为两个步骤,即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明,这就需要分清条件与结论,若“条件” “结论”,则是证明充分性,若“结论” “条件”,则是证明必要性.
例4　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
【随堂检测】
1.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
2.若p:x2+x-6=0是q:ax-1=0(a≠0)的必要不充分条件,则实数a的值为(　　).
A.-
B.-或
C.-
D.或-
3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.
4.已知p:3a参考答案
1.4　充分条件与必要条件
自主预习·悟新知
预学忆思
1. 判断一件事的语句.
2. 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式.
3. 如果题设成立,那么结论一定成立的命题为真命题,结论不能保证一定成立的为假命题.
4. 充分条件.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.BCD　【解析】当x=0时,x>-2,但x2<4,故A错误,B,C,D都正确.
3.必要　【解析】x=y |x|=|y|,即q p,故p是q的必要条件.
4.充要　【解析】依题意,p q,q r,所以p r.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:一定.
问题2:不一定.
问题3:充分条件.
新知生成
1.(1)命题　真命题　假命题　(2)p　q
2.真命题　充分条件　必要条件　充分条件　必要条件
新知运用
例1　【解析】(1)等腰梯形的两条对角线相等,因此p q,所以q是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p q,所以q不是p的必要条件.
(3)命题“若=,则x=y”是真命题,因此p q,所以q是p的必要条件.
(4)命题“若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0”为假命题,因此p q,所以q不是p的必要条件.
例2　【解析】(1)因为Q R,所以p q,所以p是q的充分条件.
(2)因为当b=0时,没有意义,所以p q,所以p不是q的充分条件.
(3)若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y,所以p q,所以p不是q的充分条件.
(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p q,所以p不是q的充分条件.
(5)由菱形和正方形的定义可知,所有的正方形都是菱形,所以p q,所以p是q的充分条件.
巩固训练1　必要　【解析】已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},当A∪B=R时,a≤1.因为“a≤1” “a=1”,但“a=1” “a≤1”,所以“A∪B=R”是“a=1”的必要条件.
巩固训练2　充分　【解析】由题意得M N,所以“a∈M” “a∈N”,所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件.
探究2　情境设置
问题1:正确.若p是q的充要条件,则p q,即p等价于q.
问题2:“p是q的充分条件”说明p是条件,q是结论;“p的充分条件是q”说明q是条件,p是结论.
新知生成
(1)p q　q p　p q　充要条件　(2)充要
新知运用
例3　【解析】(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B BC>AC,∴p是q的充要条件.
(2)∵方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根 Δ=4-4m>0,且m≠0 m<1,且m≠0,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
(3)∵A∩B=A A B UB UA,∴p是q的充要条件.
巩固训练1　D　【解析】若a2+b2>0,则a,b不同时为零;若a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D.
巩固训练2　【解析】(1)如果A B,则有x∈A x∈B,即每个使p成立的量也使得q成立,也就是说p若成立则q成立,即p q,所以p是q的充分条件.
(2)如果B A,则有x∈B x∈A,即每个使q成立的量也使得p成立,也就是说q若成立则p成立,即q p,且x∈A x∈B,即使p成立的量不一定能使q成立,也就是说p若成立q不一定成立,即p q,所以p是q的必要不充分条件.
(3)如果A=B,则A B且B A,所以p是q的充要条件.
探究3　情境设置
问题1:充分性.m≥2是条件,方程x2+mx+1=0有两个负实根是结论.
问题2:必要条件.
问题3:在充要条件问题的证明中,条件是确定的.
新知运用
例4　【解析】先证充分性:∵ac<0,∴Δ=b2-4ac>0,<0.
∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,
则x1·x2=<0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根.
再证必要性:∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根,∴Δ=b2-4ac>0,且x1·x2=<0,
∴ac<0.
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
巩固训练　【解析】设p:a+b+c=0,q:方程ax2+bx+c=0有一个根是1.
①必要性:
∵x=1是方程ax2+bx+c=0的根,
∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
②充分性:
由a+b+c=0,得c=-a-b.
∵ax2+bx+c=0,∴ax2+bx-a-b=0,
∴a(x2-1)+b(x-1)=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0,
∴x=1是方程的一个根.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件是a+b+c=0.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】因为“a=2” “(a-1)(a-2)=0”,而“(a-1)·(a-2)=0” “a=2”,所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,故选A.
2.D　【解析】由x2+x-6=0,得x=2或x=-3.
∵a≠0,∴由ax-1=0得x=,
又p:x2+x-6=0是q:ax-1=0(a≠0)的必要不充分条件,
∴=2或=-3,解得a=或a=-.
3.m=-2　【解析】若函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则-=1,即m=-2;反之,若m=-2,则函数y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
4.【解析】设集合A={x|3aB={x|-2≤x≤3}.
因为p q,所以A B,
所以解得-≤a<0,
所以实数a的取值范围是.

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