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2024-2025学年湖南省娄底市第一中学高二下学期期末学情诊断考试
数学试卷 B
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
2.公差不为零的等差数列 的首项为 1, 3 = 3，则 的公差为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
3.已知非零向量 , ，则“( + ) ( ) = 0”是“ = 或 = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列曲线中，存在与 轴平行的切线的是( )
A. = cos + 1 B. = C. = e D. = 3
5.已知等比数列 的公比为 ，前 ∈ N 项和为 ，若 6 = 9 3，则下列结论公比 =( )
A. = 2 B. = 12 C. = 2 D. =
1
2
6.在 10 件产品中，有 8 件合格品，2 件次品.从这 10 件产品中任意抽取 3 件，则抽出的 3 件产品中至少有
1 件是次品的抽法种数是( )
A. 56 B. 64 C. 72 D. 120
7.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ∈ 0, π2 ,
′( )cos > ( )sin( ).则下列不等式一定成立的是
( )．
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A. 32
π π π π
3 < 6 cos 3 B. (1) < 2 4 cos1
C. π π4 < 2 3 D.
2 3 π
3 6 cos1 > (1)
8.某市高二年级有 20000 名学生，在一次检测考试中，数学成绩 95, 152 ，若从所有学生中随机抽取
10 名学生了解教学情况(总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算)，则 10 名学生的成绩均在 65
分以上的概率为( )(参考数据： ( < ≤ + ) = 0.68, ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.95)
A. 0.6810 B. 0.9510 C. 0.97510 D. 0.8410
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布 ～ 110, 102 ，则( )
A.这次测试的数学平均成绩为 110
B.这次测试的数学成绩的方差为 10
C.分数在 120 分以上的人数与分数在 90 分以下的人数相同
D.分数在 140 分以上的人数与分数在 80 分以下的人数大致相同
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 4， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.存在无数个点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为定值
D.三棱锥 的外接球表面积为 36
11 ln +1.对于函数 ( ) = ，下列说法正确的有( )
A. ( )在 = 1 处取得极大值 1
B. ( )在 = e 1 3处的切线方程为 = e2 + e
C. ( )有两个零点
D. ( ) < 1若 在(0, + ∞)上恒成立，则 > e
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知数列 是首项 1 = 4 的等比数列，且 4 1， 5， 2 3成等差数列，则其公比 等于 ．
13.设(1 2 )6 = 0 + 1 + 22 + + 66 ，则 3的值为 ．
2 2
14 .点 1、 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过点 1的直线与双曲线的左、右两支分
别交于 ， 两点.若| |、 2 、 2 组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为 3 和 4，则
满足条件的双曲线的离心率有 种情况．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为 2 2，点 2, 1 在 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 : = + 2与椭圆 交于 ， 两点，且| | = 6，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2ln 2 ， ( ) = 2 2 2 ∈ R ．
(1) = 1若 2，求函数 ( )的极值；
(2)若 ∈ Z，且不等式 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立，求 的最小值．
17.(本小题 15 分)
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击 100 次，
所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有两次游戏机会．
②依次参加 、 游戏．
③若一个游戏胜利，则可以参加下一个游戏；若游戏失败，则继续进行该游戏．
④参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 100 元；参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 200 元；不管参加
哪一个游戏，失败均无奖金．
1 1
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是2，乙参加每一个游戏获胜的概率都是3，第一阶段甲、乙两位运动
员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
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(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
(2)在(1)的基础上，解答下列两问：
(ⅰ)求该运动员不能参加 游戏的概率；
(ⅱ)已知两次游戏结束后有三种不同的奖金额，分别为 1 = 0 元、 2 = 100 元、 3 = 300 元，记 为获得
元奖金对应的概率.定义：最终获得奖金的期望为 = =1 ，求 ( = 1,2,3)以及该运动员最终获得奖
金的期望．
18.(本小题 17 分)
如图(1)，在正三角形 中， , 分别为 , 中点，将 沿 折起，使二面角 为直二面
角，如图(2)，连接 , ，过点 作平面 与平面 平行，分别交 , 于 , ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2) 15 点 在线段 上运动，当 与平面 所成角的正弦值为 5 时，求 的值．
19.(本小题 17 分)
物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其
定义是：对于函数 ( )，若满足 +1 ′ + = 0，则称数列 为牛顿数列．已知 ( ) = 4，
如图，在横坐标为 1 = 1 的点处作 ( )的切线，切线与 轴交点的横坐标为 2，用 2代替 1重复上述过程得
到 3，一直下去，得到数列 ．
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(1)求数列 的通项公式；

(2) 5若数列 的前 项和为 ，且对任意的 ∈ N ，满足 ≥ 16 6 ，求整数 的最小值．(参考数
据：0.94 = 0.6561，0.95 ≈ 0.5905，0.96 ≈ 0.5314，0.97 ≈ 0.4783)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±1
13. 160
14.5
15.解：(1)因为椭圆 的短轴长为 2 2，所以短半轴长 = 2。
2 2
所以椭圆 的标准方程为： 2 + 2 = 1，又因为点 2, 1 在椭圆上，
( 2)2 2+ 1 = 1 2 = 1所以 2 2 ，所以 2 2，解得 = 2，
2 2
所以椭圆 的标准方程为： 4 + 2 = 1；
(2)设直线 : = + 2与椭圆 的交点为 和 的坐标分别为 1, 1 , 2, 2 。
= + 2 2 2 2+2 2 +2
由 2 2 ，可得 ++ = 1 4 2
= 1，
4 2
1+2 2 2 2
整理得 24 + 2 = 0 = 2 4 ×
1+2
， 4 × 0 > 0，解得 ≠ 0，
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2 4 2
所以 1 + 2 = 2 = 1+2 2 , 1+2 1 2 = 0，
4
2
因为∣ ∣ = 6，所以 1 + 2 4 2 1+2 2 4 × 0 = 6，
32 2+32 4
所以 = 6，所以 32 2 1 + 2 = 6(1 + 2 2)2(1+2 2)2
整理得 8 4 + 8 2 6 = 0 1 3，解得 2 = 或 22 = 2 (舍去)，
2
所以 =± 2 ．
16.解：(1)当 = 12时， ( ) = 2ln ， > 0．
所以 ′( ) = 2 1 =
2
， > 0．
由 ′( ) > 0 0 < < 2；由 ′( ) < 0 > 2．
所以 ( )在(0,2)上单调递增，在(2, + ∞)上单调递减．
所以当 = 2 时，函数 ( )有极大值，为 (2) = 2ln2 2；无极小值．
(2)因为 ∈ Z，且不等式 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立．
所以 2ln 2 ≤ 2 2 2 在(0, + ∞)上恒成立．
即 2 + 2 ≥ 2ln + 2 + 2 在(0, + ∞)上恒成立．
设 ( ) = ln 1， > 0．
则 ′( ) = 1 1 = 1 ．
由 ′( ) > 0 > 1；由 ′( ) < 0 0 < < 1．
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
所以 (1)是函数 ( )的最小值，且 (1) = 0．
所以 ln 1 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立.所以 ≥ ln + 1 4 ≥ 2ln + 2 + 2．
所以 2 + 2 ≥ 4 在(0, + ∞)上恒成立．
> 0
所以 2 + (2 4) ≥ 0 4 2
2 ≤ 0
≥ 2．
又 ∈ Z，所以 的最小值为 2．
17.解：(1)由甲的频率分布直方图可得 0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 = 0.3 < 0.5，
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0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 + 0.045 × 10 = 0.75 > 0.5，则甲得分的中位数位于(80,90)；
由乙的频率分布直方图可得 0.01 × 10 + 0.015 × 10 = 0.25 < 0.5，
0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.035 × 10 = 0.6 > 0.5，则乙得分的中位数位于(70,80)，
综上可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以甲进入第二阶段．
(2)( )设事件 = ｛参与 游戏胜利｝，则其对立事件 = ｛参与 游戏失败｝
1
由题意可得 ( ) = = 2，则不能参加 游戏的概率 = + ( ) =
1
2；
( )设事件 = ｛参与 游戏胜利｝，则其对立事件 = ｛参与 游戏失败｝
1 1
由题意可得 ( ) = = 2，则 1 = = 4，
2 = ( ) + ( ) =
1
2， 3 = ( ) ( ) =
1
4，
所以 = 0 × 1 + 100 × 14 2 + 300 ×
1
4 = 125(元)．
18.解：(1)作 中点 ，连接 , , ，
, 分别为 , 中点，则 = , ∴ ⊥ ，
而二面角 为直二面角，且平面 ∩平面 = ，
平面 ，故 ⊥平面 ，
∵平面 /\ !/平面 ，平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
∴ /\ !/
同理 /\ !/ ，
由 , 分别为 , 中点，∴ /\ !/ ，则四边形 为平行四边形，
故 = = 12 ，∴ 为 中点，∴ 为 的中点，
而 = ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
而 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，∴ ⊥平面 ，
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∴ ⊥ ∴ = = 1平面 ， ， 2 ，
由于 = = ， 是公共边，∴ ≌ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，即 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，∴ ⊥平面 ．
(2)由(1)知 ⊥平面 ，以 为坐标原点， , , 为 , , 轴，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
令 = 4 ，则 (0,0,0)， 0,0, 3 ， 3 , 2 , 0 ， 3 , 2 , 0 ， (0, , 0)，
(0, , 0) 3 , 0,0 3 , , 3 ， ， 2 2 ，

设 = , ∈ [0,1]， ( , , )，
= ，故 , , 3 = 0, , 3 ，
= 0
∴ = , ∴ 0, , 3 (1 ) ,
= 3 (1 )
设平面 的法向量 = 1, 1, 1 ， = 3 , , 0 ， =
3
2 , 0,
3
2 ，
3 1 1 = 0
则 3 + 3
，取 1 = 1，∴ = 1, 3, 1 ，
2 1 2 1 = 0
= 3 , , 3 (1 ) 15，而 与平面 所成角的正弦值为 5 ，
∴ 15 = 3 3 3 (1 ) 15 ，解得 = 或 1．5 3 2+ 2 2+3 (1 )2 2
19.解：(1) ∵ ′( ) = 4 3，
∴ ( )在点 3 , 处的切线方程为： = 4
令 = 0 3，得 +1 = 4 ，
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3
所以 是首项为 1，公比为4的等比数列，
3 1
故 = 4
1
(2)令 = =
3
4
法一：错位相减法
0 1
= 1 3 + 2 3 + 3 3
2 1
4 4 4 + . . . +
3
4 ，
3 1 2 3
4 = 1
3 3 3
4 + 2 4 + 3 4 + . . . +
3
4 ，
1 3 1 3 2 1
两式相减得：4 = 1 + 4 + 4 + +
3
4
3
4

化简得： = 16 (16 + 4 )
3
4

故 16 (16 + 4 ) 3 54 ≥ 16 6 ，

化简得 ≥ (16 + 4 ) 910

令 = (16 + 4 )
9
10 ，
2 +10 9
则 +1 = 5 10 ，
当 ≤ 5 时， +1 ≥ 0，即 6 = 5 > 4 > 3 > 2 > 1，
当 ≥ 6 时， +1 < 0，即 6 > 7 > 8 > . . .，
5
所以 max = 5 = 6 = 36
9
10 ≈ 21.26
从而整数 min = 22；
法二：裂项相消法
= 4

由 = 3
3
4 ，

设 3 = ( + ) 4 且 = +1 ，
4
则3
3
4 =
+ 3 34 4 4 ，
= 4 16
于是 4 3 = 3 ，得 3 ,
4 = 0 = 16
= 16 16 3

即 3 4
所以 = 1 + 2 + + = 2 1 + 3 2 + + +1
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= +1 1 = 16 (16 + 4 )
3
4
3
故 16 (16 + 4 ) 4 ≥ 16
5 9
6 ，化简得 ≥ (16 + 4 ) 10
9
令 = (16 + 4 ) 10 ，

则 +1
45+9
= 40+10 ≥ 1 时， ≤ 5，
当当 ≤ 5 时， +1 ≥ 1，即 6 = 5 > 4 > > > 3 2 1，
当 ≥ 6 时，0 < +1 < 1，即 6 > 7 > 8 > . . .，
9 5
所以 max = 5 = 6 = 36 10 ≈ 21.26
从而整数 min = 22
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