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2024-2025学年湖南省娄底市第一中学高二下学期期末学情诊断考试
数学试卷 A
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( )
A.样本相关系数 ∈ [ 1,1]
B.当样本相关系数 < 0 时，称成对数据成正相关
C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近 1
D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近 1
2.已知等差数列 的公差为 3，则 10 1 =( )
A. 3 B. 9 C. 27 D. 30
3.已知向量 = 1, 3 ， = 3， 2 = 10，则向量 与 的夹角是( )
A. π3 B.
π
6 C.
5π
6 D.
2π
3
4.曲线 = ln 在点(1, 1)处切线的斜率为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.记 为等比数列 的前
1
项和，若 21 = 3， 4 = 6，则 4 =( )
A. 121 533 B. 3 C.
41
3 D.
40
3
6.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排 2 名志愿者，乙、
丙场馆都至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 300 种 B. 210 种 C. 120 种 D. 60 种
7.已知函数 ( ) = 1 33 +
2 + 23在 = 1 处的切线与直线 = 1 平行，且在区间( 8, )内存在最小值，
则实数 的取值范围是( )
A. (1,9) B. [1,9) C. [3,9) D. (3,9]
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
1 1
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为9，第二轮检测不合格的概率为10，两轮检测是否合
格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利 40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损 80 元，
已知一箱中有 4 件产品，记一箱产品获利 元，则 ( ≥ 80)等于( )
A. 96 B. 256625 625 C.
608 209
625 D. 625
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩 与历史类班级女生的成绩 均服从正态
分布，且 (75,81)， (75,64)，则( )
A. ( ) = 75 B. ( ) = 8
C. ( < 60) + ( ≤ 90) = 1 D. ( ≤ 91) > ( ≤ 91)
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 ， ，且 =
2，则下列结论中
2
正确的有( )
A.当点 运动时， 1 ⊥ 总成立
B.当 向 1运动时，二面角 逐渐变小
C.二面角 的最小值为 45°
D.三棱锥 的体积为定值
11.若 ln + 1 ≤ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，则 的值可能是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1.数列 满足 1 = 1， +1 = 1 ( ∈ +)，则 100 = ．
13.( + 2 )
7的展开式中 2的系数是 . (结果用数字作答)
2 214 .已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 1的直线与双曲线 的右支相交于
点 ，分别过点 ， 2作直线 1的垂线，垂足分别为 ， ，且 为线段 的中点，| | = ，则此双曲线
的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2 3
已知 ， 是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点和左焦点，椭圆 过点 1, 2 ，且焦距为 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
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(2)直线 与 交于 点(不与 点重合)，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = ln 22 ， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )在[1, ]上恒小于 0，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
2025 年是中国共产党成立的 104 周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共
分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节，前两个环节是否通过
相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有 ， ， 三位同学参加比赛， 同学通过前两个环节的概率
2 1 2
分别为3和2， 同学和 同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为3．
(1)求恰有两位同学仅．通过第一个环节的概率；
(2)设进入决赛的同学人数为 ，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
如图 1，正方形 的边长为 2，如图 2，将正方形 沿着对角线 翻折， 为原正方形 的中心．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)翻折至四面体 的体积最大时．
(ⅰ)求异面直线 与 所成角的大小；
(ⅱ)求 与平面 所成的角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
设 为正整数， 1， 2，… 为 枚质地不均匀的硬币.投掷硬币 ( = 1,2, , )，设正面朝上的概率为 ，
反面朝上的概率为 1 .同时投出 枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功．
(1)当 = 3 = 1， 3 ( = 1,2,3)时，求游戏成功的概率；
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(2)当 =
1
3 ( = 1,2, , )时，设游戏成功的概率为

∈ ，求当 ≥ 2 时， 1与 的递推关系，并
证明 1 2 是等比数列；
1
3 ( = 1,2, , )
(3)设 = 3 ∈ ，对于 = 1,2, , 3 2， 的取值如下： = 3 ( = + 1, + 2, , 2 )，设此时
1
( = 2 + 1,2 + 2, , 3 )
≤ 1游戏成功的概率为 3 ，求证： 3 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.14
14. 132 /
1
2 13
15.解：(1)因为焦距为 2 = 2，即 = 1，
9
1
方法一：由题意可得： 2 +
4
2 = 1，解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2 = 1
2 2
所以椭圆方程 4 + 3 = 1．
方法二：由题意可知： ( 1,0)，右焦点 ′(1,0)，则 = 1，
2 2
可得| | + ′ = (1 + 1)2 + 32 + (1 1)
2 + 3 5 32 = 2 + 2 = 4 = 2 ，
即 = 2，可得 = 2 2 = 3，
2 2
所以椭圆方程 4 + 3 = 1．
(2)因为 1, 3 ( 1,0) 0 +12 ， ，直线 方程为3 = ，即 3 4 + 3 = 0，
2 0 2+1
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3 4 + 3 = 0 13
联立方程 2 2 ，消去 可得 7 2 + 6 13 = 0，解得 = 1 或 = 7，
4 + 3 = 1
2
| | = 1 + 3 1 + 13 25可得 4 7 = 7，
9 9
且 (2,0)到直线 : 3 4 + 3 = 0 的距离为 = ，
32+42 5
所以 1 25 9 45的面积 = 2 × 7 × 5 = 14．
2
16.解：(1) ( ) = ln 1 2 ( ) = = + 2 ，则 ′ ， > 0，
2
当 ≤ 0 + 时， ′( ) = < 0 恒成立，函数单调递减；
当 > 0 时， ( ) = + ′ ，函数在 0, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减．
综上所述：当 ≤ 0 时，函数单调递减；当 > 0 时，函数在 0, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减．
(2)当 ≤ 0 1时，函数单调递减，故 ( )max = (1) = 2 < 0 恒成立，故 ≤ 0；
当 > 0 时，若 ≤ 1 1，即 0 < ≤ 1，函数在[1, ]上单调递减，故 ( )max = (1) = 2 < 0，成立，故 0 < ≤
1；
若 1 < < ，即 1 < < 2，函数在 1, 上单调递增，在 , 上单调递减，故 ( )max = =
ln 2 < 0，解得 0 < < ，故 1 < < ；
2 2
若 ≥ ，即 ≥ 2，函数在[1, ] 上单调递增，故 ( )max = ( ) = 2 < 0，故 < 2，
故无解．
综上所述： < ．
17.解：(1) , , 三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
2 1 1 2 2 2 2 2 21 = 3 × (1 2 ) = 3， 2 = 3 × (1 3 ) = 9， 3 = 3 × (1 3 ) = 9，
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所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
= 1 × 2 × (1 2 ) + 1 2 2 1 2 2 43 9 9 3 × (1 9 ) × 9 + (1 3 ) × 9 × 9 = 27；
(2)记 , , 三位同学进入决赛分别为事件 1, 2, 3，则，
( ) = 2 × 11 3 2 =
1 2 2 4 2 2 4
3， ( 2) = 3 × 3 = 9， ( 3) = 3 × 3 = 9，
随机变量 可能的取值为：0,1,2,3，
( = 0) = 2 × 5 5 503 9 × 9 = 243，
( = 1) = 1 × 5 × 5 2 4 5 2 5 4 353 9 9 + 3 × 9 × 9 + 3 × 9 × 9 = 81，
( = 2) = 1 × 4 × 5 1 5 4 2 4 4 83 9 9 + 3 × 9 × 9 + 3 × 9 × 9 = 27，
( = 3) = 1 × 4 × 43 9 9 =
16
243，
所以随机变量 的分布列为：

0 1 2 3
50 35 8 16
243 81 27 243
50 35 8 16 297 11
所以随机变量 的数学期望为 ( ) = 0 × 243 + 1 × 81 + 2 × 27 + 3 × 243 = 243 = 9．
18.解：(1)证明：在图中，连接 ， ，
因为 和 都是等腰三角形，且 是正方形中心，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)在翻折过程中，四面体 的体积取最大值时， 点到平面 的距离最大，
此时平面 ⊥平面 ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥平面 ．
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方法 1：(ⅰ)在四面体 中，取 ， 的中点，记为 ， ，连接 ， ， ．
因为 为 的中位线，所以 // 且 = 12 ，
1
同理 // 且 = 2 ，
所以∠ 或其补角为异面直线 与 所成角，且 = 1， = 1，
由前知， ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
又 = 2， = = 2，所以 = 1，
所以 π为等边三角形，∠ = 3，
π
所以异面直线 与 所成角的大小为3．
方法 2：(ⅰ)所以 ， ， 两两垂直，如图，以 为坐标原点，
， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
因为正方形 的边长为 2，
所以 2, 0,0 ， 0,0, 2 ， 0, 2, 0 ， 2, 0,0 ，
= 2, 0, 2 ， = 2, 2, 0 ，

设异面直线 与 1所成角为 ，cos = cos , = = 2，
因为 ∈ 0, π π2 ，所以 = 3．
(ⅱ)因为 = 2, 0, 2 ， = 2, 2, 0 ， = 2, 0, 2 ，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= 0 2 + 2 = 0因为 ，即 ,
= 0 2 + 2 = 0
令 = 1，则 = 1， = 1，得 = (1,1,1)，
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sin = cos , =
2 2 6
设 与平面 所成角为 ，

= 2 3 = 3 ，
即 6与平面 所成的角的正弦值为 3 ．
19.解：(1)当 = 3 时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为 1 或 3，
2 3
此时，游戏成功的概率为：C13
1 2 1 13
3 3 + 3 = 27；
(2) 1设游戏成功的概率为 ，当 = 1 时， 1 = 1 = 3，接下来用 1表示 ，
当 ≥ 2 时，投掷 枚硬币 1， 2，…， 正面朝上的硬币为奇数有两种情况：
第一：硬币 1， 2，…， 1中正面朝上的硬币数为奇数时， 反面朝上；
第二：硬币 1， 2，…， 1中正面朝上的硬币数为偶数时， 正面朝上．
此时， =
1 1 1 1
1 1 3 + 1 1 3，所以 = 3 1 + 3 ( ≥ 2 且 ∈ )，
1 = 1 1则 2 3 1 2 ，且 1 = 1 =
1 1 1 1 13，则 2 是以 1 2 = 6为首项，3为公比的等比数列．
(3)方法一：当 1 ≤ ≤ 1时，此时游戏成功的概率记为 ， 1 = 3 ．
由(2) 1 1 1 2 1知： = 1 1 3 + 1 1 3 ，则 2 = 1 3 1 2 ，( ≥ 2)
1
所以
1
2 = 1
2 1
3 1 2 =
1
2 1
2
3 ，( ∈ )①
当 + 1 ≤ ≤ 2 2 2时， = 1 1 3 + 1 1 3 ，
1
则 1 4 12 2 = 1 3 +1 2 ，
2
注意到： +1 = 1 3 + 1
2
3 ，则 +1
1
2 = 1
4 1
3 2 ，
1

故： 2 2 = 1
4
3
1
2 ②
1 1
当 2 + 1 ≤ ≤ 3 时， = 1 1 + 1 1 ，
1 6 1
则： 3 2 = 1 3 2 2 ③.
1 2
结合①②③： 3 2 = 1
1 2
2 2 = 1 1
4 1 = 1 1 2 23 2 2 3 1 1
4
3
∈ = 1 1 2

> 0 1 2

由于 ，当 时， 3 ， < 0， 1
4 1
3 < 0，则 3 < 2；
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= 2 2

当 时， 1 = 0 =
1
，则 3 2；

当 ≥ 3 2 2时， 1 3 > 0， 1 > 0， 1
4 1
3 > 0，则 3 < 2．
1
综上：对任意的 ∈ ， 3 ≤ 2成立．
方法二：对于 个硬币出现奇数的概率为 ( )，
∴ ( ) = ( 1) 1 + 1 ( 1)
∴ ( ) = 1 2 1 +
1 1
∴ ( ) 2 = 1 2 ( 1) 2
∴ ( ) 12 等比，∴ ( )
1
2 =
1 1
2 1 2
∴ = 1 1 1 2
1
+ 1

前 个硬币出现奇数的概率 1 3 2 3 2 =
1 1 2 + 12 3 2
1 4 1
中间 个： 2 = 2 1 3 + 2
1 2 1
后面 个： 3 = 2 1 + 2
3 = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 + 2 2 + 2 3 + 2 + 1 + 2 2 2 2 3 + 2 1 2 + 2 2 3
1 1 1 1
+ 2 1 2 2 3 + 2 = 4 1 2 3 + 2
1 2 4 2 1
= 2 1 3 1 3 1 + 2
当 = 1 1时， 3 < 2．
当 = 2 时， = 16 2．
当 ≥ 3 1时， 3 < 2．
∴ ≤ 13 2成立．
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