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2024-2025 学年福建省福清市高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ln ， ′( )为 ( )的导函数，则 ′(1)的值为( )
A. 0 B. 1 C. D. 1
2.3 名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数
有( )
A. 43 B. 34 C. 24 D. 12
3.已知直线 与曲线 = 2 在原点处相切，则 的倾斜角为( )
A. π4 B.
π
3 C.
2π 3π
3 D. 4
4.导函数 = ′( )的图象如图所示，在标记的点中，函数 = ( )的极大值点为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 ( .若 )6 2 展开式中的常数项为 60，则常数 的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
6.一个边长为 6 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，
的值为( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 3
7.由 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的
个数为( )
A. 60 B. 108 C. 132 D. 144
8.已知函数 ( ) = ln 2 + 是增函数，则实数 的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = sin2 ，则( )
A. ′( ) = cos2 B. ′ π2 = 2
C. ( )在 0, π 44 上的平均变化率为π D. ( )在 = 0 处的瞬时变化率为 1
6
10 1.关于 2 的展开式，下列结论正确的是( )
A.二项式系数和为 64 B.所有项的系数之和为 1
C.第三项的二项式系数最大 D.系数最大值为 240
11.设函数 ( ) = 2 3 + 3 2 1，则( )
A.当 > 1 时， ( )有三个零点
B.当 < 0 时， = 0 是 ( )的极大值点
C.存在 , ∈ R，使得 = 为曲线 = ( )的对称轴
D.存在 ∈ R，使得点 1, (1) 为曲线 = ( )的对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 为函数 ( ) = 2 ln 的极小值点，则 = ．
13.若(1 2 )5( + 2) = 60 + 1 + + 6 ，则 3 = ．
14.现安排甲 乙 丙 丁 戊这 5 名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，
且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 ．
①不同安排方案的种数为54
②若每项工作至少有 1 人参加，则不同安排方案的种数为C2 45A4
③若司机工作不安排，其余三项工作至少有 1 人参加，则不同安排方案的种数为 C3C15 2 + C25C2 33 A3
④若每项工作至少有 1 人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为C14C24A33 + C24A33
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求下列问题的排列数：
(1)4 名男生 3 名女生排成一排，3 名女生相邻；
(2)4 名男生 3 名女生排成一排，3 名女生不能相邻；
(3)4 名男生 3 名女生排成一排，女生不能排在两端．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 + 1 23 2 + 3 + ．
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(1)求函数 ( )的单调递减区间；
(2) 5已知函数 ( )在区间[ 2,1]上的最小值为 6，求 ( )在该区间上的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知(1 2 )2024 = + + 20 1 2 + + 20242024 ( ∈ )，求解：
(1) 0 + 1 + 2 + + 2024；
(2) 1 + 3 + 5 + + 2 023；
(3) 0 + 1 + 2 + + 2024 ；
(4) 1 + 2 2 + 3 3 + + 2024 2024．
18.(本小题 17 分)
ln
已知函数 ( ) = ( ≠ 0)，
(1)若函数 ( )在点(1,0)的切线与直线 3 + 2 = 0 互相垂直，求实数 的值；
(2)若不等式 ( ) ≥ 1 2在 e, + ∞ 上恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )e ，其中 ∈ R．
(1)当 = 1 时，求出函数 ( )的极值并判断方程 ( ) = ∈ R 的解的个数；
(2) ( ) ( ) + 当 > 1 时，证明：对于任意的实数 , ( ≠ )，都有 e e > 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 22
13. 120
14.②④
15.【详解】(1)根据相邻问题捆绑法得，先将 3 名女生全排列，并作为一个元素，再和其余 4 名男生一起
排列，
共有A3 53A5 = 6 × 120 = 720(种)不同的安排方法．
(2)根据不相邻问题插空法得，先将 4 名男生进行全排列，再将 3 名女生插在 5 个空位上，
共有A4A34 5 = 24 × 60 = 1440(种)不同的排列方法．
(3)先从 4 名男生中取 2 人排在两端，再将其余 5 人排在中间 5 个位置上，
共有A2A54 5 = 12 × 120 = 1440(种)不同的排列方法．
16.【详解】(1)函数 ( ) = 2 33 +
1 2
2 + 3 + 的定义域为 ，
求导得 ′( ) = 2 2 + + 3 = (2 3)( + 1)，由 ′( ) < 0，得 < 1 或 > 32．
3
所以函数 ( )的单调递减区间是( ∞, 1)和( 2 , + ∞)．
(2)由(1)知，函数 ( )在[ 2, 1]上单调递减，在[ 1,1]上单调递增，
因此函数 ( )在[ 2,1]上的最小值为 ( 1) = 11 56 + = 6，解得 = 1，
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( 2) = + 4 7 17 23而 3 = 3， (1) = + 6 = 6， (1) > ( 2)，
所以函数 ( )在[ 2,1] 23上的最大值为 6．
17.【详解】(1)令 = 1，得 0 + 20241 + 2 + + 2024 = ( 1) = 1①.
(2)令 = 1，得 20240 1 + 2 3 + 2023 + 2024 = 3 ②，
由① ②，得 2 20241 + 3 + 5 + 2023 = 1 3 ，
1 32024∴ 1 + 3 + 5 + + 2023 = 2 ．
(3)相当于求展开式(1 + 2 )2024的系数和，令 = 1，得 + + + + = 320240 1 2 2024 ．
(4)(1 2 )2024 = + + 2 + + 20240 1 2 2024 ( ∈ )，
两边分别求导，得 4048(1 2 )2023 = 1 + 2 2 + 3 3 2 + + 2024 20232024 ( ∈ )，
令 = 1，得 1 + 2 2 + 3 3 + + 2024 2024 = 4048．
18.【详解】(1)函数 ( ) = ln 的定义域为(0, + ∞)
1 ln
所以 ′( ) = = ln 1 ln ( )2 2 2 = 2
得 ′(1) = 1 1 ，由 ( 3) = 1，解得 = 3
(2) ln 1由题意得， ≥ 2在 e, + ∞ 上恒成立．
①当 > 0 时，不等式可化为 ≤ ln ，
令 ( ) = ln , ∈ e, + ∞ ，则 ′( ) = ln + 1，
当 ∈ e, + ∞ 时， ′( ) ≥ 2 > 0．
所以函数 ( )在 e, + ∞ 上单调递增．
所以 ( )在 = e 处取得最小值 e = e，
故实数 的取值范围 0, e ．
②当 < 0 时，由 ∈ e, + ∞ ln 1得 < 0, 2 > 0，
ln 1
此时 < 2，不符合题意．
综上， 的取值范围为 0, e ．
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19.【详解】(1)当 = 1 时， ( ) = ( + 1)e ，则 ′( ) = ( + 2)e ，
当 < 2 时 ′( ) < 0；当 > 2 时 ′( ) > 0，
故 ( )在( ∞, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
1
所以当 = 2 时，函数 ( )有极小值 ( 2) = e2，无极大值．
方程 ( ) = 解的个数，转化为 = 与 = ( )交点的个数，
由于 ( )在( ∞, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) 1min = ( 2) = e2，
令 ( ) = 0，解得 = 1.且 < 1 时， ( ) < 0； > 1 时， ( ) > 0，
1
所以，当 < e2时，方程有 0 个解，
= 1当 e2或 ≥ 0 时，方程有 1 个解，
1当 e2 < < 0 时，方程有 2 个解．
(2) ( ) ( ) + 要证 e e 1 > 2 ，
不妨设 > + ，即证 e e > + 1 e e 2 ，
两边同时除以e 并化简，即证( 2)e + + 2 > 0，
令 = ，则 > 0，设 ( ) = ( 2)e + + 2, > 0，
′( ) = ( 1)e + 1，令 ( ) = ( 1)e + 1，则 ′( ) = e > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
得 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
故 ′( ) > ′(0) = 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
所以 ( ) > (0) = 0，从而命题得证．
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