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12．3　等腰三角形-- 12．4　逆命题和逆定理
(时间：40分钟　　　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为（ ）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．13 cm
2．下列命题中，逆命题是真命题的为（ ）
A．若x>0，则x2>0
B．若a>0，b>0，则a＋b>0
C．全等三角形的面积相等
D．若a＝2，则a3＝8
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（ ）
A．2，2，2 B．3，3，3
C．4，4，4 D．2，3，5
4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．24° C．34° D．48°
6．如图，在四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD＝CD
B．∠B＝∠A＋∠C
C．∠EDF＝∠ADE＋∠CDF
D．BE＝BF
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．已知AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，则∠ADC＝ .
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝ .
9．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角度数分别为 .
10．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝ .
11．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC＝60°，BE＝3 cm，则AB＝ cm.
12．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝ .
三、解答题(共52分)
13．(16分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.
(1)尺规作图：
①作边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
14．(16分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BC交BC于点G，AD＝AB，连接BD.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)求证：BE＝AF.
15．(20分)如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．12．3　等腰三角形-- 12．4　逆命题和逆定理
(时间：40分钟　　　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为（A）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．13 cm
2．下列命题中，逆命题是真命题的为（D）
A．若x>0，则x2>0
B．若a>0，b>0，则a＋b>0
C．全等三角形的面积相等
D．若a＝2，则a3＝8
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为（A）
A．2，2，2 B．3，3，3
C．4，4，4 D．2，3，5
4．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（D）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠ACD的度数为（B）
A．36° B．24° C．34° D．48°
6．如图，在四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则下列结论中不正确的是（D）
A．AD＝CD
B．∠B＝∠A＋∠C
C．∠EDF＝∠ADE＋∠CDF
D．BE＝BF
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．已知AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，则∠ADC＝90°.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝54°.
9．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角度数分别为130°，80°.
10．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝150°.
11．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC＝60°，BE＝3 cm，则AB＝6cm.
12．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，若AB＝8，AC＝4，则AE＝6.
三、解答题(共52分)
13．(16分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.
(1)尺规作图：
①作边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
解：(1)①②作图如图所示．
(2)∵DF垂直平分AB，
∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°.
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝110°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝80°.
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°.
14．(16分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BC交BC于点G，AD＝AB，连接BD.若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.
(1)求证：△ABD是等边三角形；
证明：∵AB＝AC，
AD⊥BC，
∠BAC＝120°.
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°.
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形．
(2)求证：BE＝AF.
证明：由(1)得△ABD是等边三角形．
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD.
∴∠DBE＝∠DAF.
∵∠EDF＝60°＝∠ADB.
∴∠BDE＝∠ADF.
在△BDE和△ADF中，
∵∠DBE＝∠DAF，BD＝AD，
∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE＝AF.
15．(20分)如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
(1)解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－∠AEF＝40°，
∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝40°.
(2)证明：过点E作EG⊥AD于点G，
EH⊥BC于点H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥BC，∴EF＝EH，
∴EG＝EH，∴DE平分∠ADC.
(3)解：∵S△ACD＝15，
∴AD·EG＋CD·EH＝15，
解得EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，
∴S△ABE＝AB·EF＝.

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