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第13章　勾股定理
(时间：40分钟　　　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(渠县期末)以下列数为边，可以得到直角三角形的是（ ）
A．9，16，25 B．8，15，17
C．6，8，14 D．10，12，13
2．用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不可能有两个角是直角”时，假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，令∠A＝∠B＝90°，则与得出的结论相矛盾的是（ ）
A．已知条件
B．三角形的内角和等于180°
C．直角三角形的定义
D．垂直的定义
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1.将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为－1，2.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．3 B.
C.－1 D．－－1
4．如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往北走9 km，又往东走6 km，再向北走 3 km，往西一拐，仅走1 km就找到宝藏，则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是（ ）
A．10 km B．11 km C．12 km D．13 km
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每小题5分，共25分)
7．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 .
8．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需 m.
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若AB＝13，AC＝8，则BD2－DC2＝ .
10．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
11．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么(a＋b)2的值为 .
三、解答题(共51分)
12．(12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9.
(1)求CD的长；
(2)求AB的长．
13．(12分)如图，每个小方格的边长都为1.
(1)求图中格点四边形ABCD的面积；
(2)请探究AD与CD的位置关系，并说明理由．
14．(13分)某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15 m，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12 m，且吊臂B点距离地面1.5 m.
(1)求吊臂最高点A与地面的距离；
(2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3 m，求吊臂支柱B点移动的距离(BD的长度)．
15．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE.
(1)求证：AB＝AE；
(2)求等腰三角形的腰CD的长．第13章　勾股定理
(时间：40分钟　　　满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(渠县期末)以下列数为边，可以得到直角三角形的是（B）
A．9，16，25 B．8，15，17
C．6，8，14 D．10，12，13
2．用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不可能有两个角是直角”时，假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，令∠A＝∠B＝90°，则与得出的结论相矛盾的是（B）
A．已知条件
B．三角形的内角和等于180°
C．直角三角形的定义
D．垂直的定义
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1.将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为－1，2.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（D）
A．3 B.
C.－1 D．－－1
4．如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积是（B）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往北走9 km，又往东走6 km，再向北走 3 km，往西一拐，仅走1 km就找到宝藏，则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是（D）
A．10 km B．11 km C．12 km D．13 km
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是（A）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每小题5分，共25分)
7．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是25.
8．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5m.
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D.若AB＝13，AC＝8，则BD2－DC2＝105.
10．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是10.
11．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么(a＋b)2的值为25.
三、解答题(共51分)
12．(12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9.
(1)求CD的长；
(2)求AB的长．
解：(1)∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△CDB中，CD2＋BD2＝CB2，
∴CD＝12.
(2)在Rt△CDA中，CD2＋AD2＝AC2，
∴AD＝16，∴AB＝AD＋BD＝25.
13．(12分)如图，每个小方格的边长都为1.
(1)求图中格点四边形ABCD的面积；
(2)请探究AD与CD的位置关系，并说明理由．
解：(1)S△ADC ＝×5×2＝5，S△ABC ＝×5×3＝7.5，
∴S四边形ABCD＝
S△ADC＋S△ABC ＝12.5.
(2)AD⊥CD.
理由：由勾股定理，得AD2＝12＋22 ＝5，
CD2＝42＋22＝20，∴ AD2＋CD2＝25＝AC2.
∴△ACD 为直角三角形，且∠ADC＝90°.
∴ AD⊥CD.
14．(13分)某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15 m，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12 m，且吊臂B点距离地面1.5 m.
(1)求吊臂最高点A与地面的距离；
解：AB＝15 m，
BE＝12 m，
OE＝1.5 m，
∴AE＝
＝9(m)，
∴AO＝AE＋OE＝10.5(m)．
答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5 m.
(2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3 m，求吊臂支柱B点移动的距离(BD的长度)．
解：∵AE＝9 m，AC＝3 m，
∴CE＝AE－AC＝9－3＝6(m)，
∵CD＝AB＝15 m，
∴DE＝＝3，
∴BD＝DE－BE＝(3－12)m.
答：吊臂支柱B点移动的距离为(3－12)m.
15．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE.
(1)求证：AB＝AE；
(2)求等腰三角形的腰CD的长．
(1)证明：∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠ACB＝∠DCA，
∴CA平分∠BCD，
又∵AE⊥CD，∠B＝90°，
∴AB＝AE.
(2)解：由(1)得AE＝AB＝6，
易证Rt△ABC≌Rt△AEC(HL)，
∴CE＝CB＝4，
设CD＝x，则DA＝x，DE＝x－4，
由勾股定理得DE2＋AE2＝DA2，
即(x－4)2＋62＝x2，
解得x＝，
即CD＝.

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