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第13章　勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟　满分：150分)
姓名：________　　　班级：________　　　分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)
1．一个直角三角形两直角边分别为4，5，它的斜边长的平方的值为（ ）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．用反证法证明a，b至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b都不为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多一个为0 D．a，b都为0
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，则它的三边a，b，c的比可能为（ ）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3 C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如图，在边长为1的小正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，下列能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．a，b，c B．b，c，d C．a，b，d D．a，c，d
6．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（ ）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．24
8．如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12 n mile/h的速度航行，2号舰以16 n mile/h的速度航行，离开港口1.5 h后它们分别到达相距30 n mile的A，B两点，则2号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
9. 如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，则AC的长为（ ）
A．17 B．15 C．14 D．13
10．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有这样一道题：今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸．问门广几何．大意：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘的D，C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺＝10寸)，连接CD，双门间的缝隙CD为2寸，则门的宽度(两扇门的宽度和)AB为（ ）
A．100寸 B．101寸 C．102寸 D．103寸
11．如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则∠A的度数为 .
14．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M.若OC＝34，OM＝30，则点C到射线OA的距离为 .
15．如图，O，A，B三点分别对应0，－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M对应的实数为 .
16．如图，在直线上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为 .
17．如图，一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC为25 cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为 cm.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE，DE，则CE＋DE的最小值是 ．
三、解答题(本大题共7个小题，共78分)
19．(10分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
20．(10分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用“面积法”来推导a2＋b2＝c2.请写出推导过程．
21．(10分)如图，在6×6的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画Rt△ABC，使点A，C在格点上，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝.说明你的作法，并求出BC的长．
22．(10分)如图是某品牌婴儿车的简化结构示意图．根据安全标准，需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准．
23．(12分)分析下列各组勾股数：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
当n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
当n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根据发现的规律写出：
(1)当n＝10时的勾股数；
(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数，并加以说明．
24．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动，连接AP.设点P的运动时间为t.
(1)当t＝4.5 s时，求AP的长；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
25．(14分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC.
【特殊求证】(1)P为BC上的中点，求证：AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系．第13章　勾股定理 质量评价
(考试时间：120分钟　满分：150分)
姓名：________　　　班级：________　　　分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)
1．一个直角三角形两直角边分别为4，5，它的斜边长的平方的值为（A）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四组数中，属于勾股数的是（B）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．用反证法证明a，b至少有一个为0，应该假设（A）
A．a，b都不为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多一个为0 D．a，b都为0
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，则它的三边a，b，c的比可能为（C）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3 C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如图，在边长为1的小正方形组成3×4的网格图中有a，b，c，d四条线段，下列能构成一个直角三角形三边的线段是（A）
A．a，b，c B．b，c，d C．a，b，d D．a，c，d
6．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（B）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（D）
A．14 B．16 C．18 D．24
8．如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以12 n mile/h的速度航行，2号舰以16 n mile/h的速度航行，离开港口1.5 h后它们分别到达相距30 n mile的A，B两点，则2号舰的航行方向是（D）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
9. 如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，则AC的长为（D）
A．17 B．15 C．14 D．13
10．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有这样一道题：今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸．问门广几何．大意：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘的D，C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺＝10寸)，连接CD，双门间的缝隙CD为2寸，则门的宽度(两扇门的宽度和)AB为（B）
A．100寸 B．101寸 C．102寸 D．103寸
11．如图，长方体的底面边长分别为3 cm和9 cm，高为7 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（D）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是（C）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
【解析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则∠A的度数为90°.
14．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M.若OC＝34，OM＝30，则点C到射线OA的距离为16.
15．如图，O，A，B三点分别对应0，－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M对应的实数为.
16．如图，在直线上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为16.
17．如图，一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC为25 cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为5cm.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为BC的中点，E是线段AB上一点，连接CE，DE，则CE＋DE的最小值是2．
三、解答题(本大题共7个小题，共78分)
19．(10分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都小于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60，∠C＜60°，
则∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，∴假设不成立．
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
20．(10分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用“面积法”来推导a2＋b2＝c2.请写出推导过程．
解：由题图，得
S五边形ABCDE＝S梯形ABFE＋S梯形CDEF
＝S正方形AGDE＋S△ABG＋S△CDG，
即[b＋(a＋b)]·b＋[a＋(a＋b)]·a＝c2＋ab＋ab，整理得a2＋b2＝c2.
21．(10分)如图，在6×6的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画Rt△ABC，使点A，C在格点上，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝.说明你的作法，并求出BC的长．
解：设AD＝＝，
∴AD可以看成是以2，5为直角边长的直角三角形的斜边．
作法不唯一，如图，网格图中的线段
AD＝，AC＝4.
以点A为圆心，AD长为半径作弧，与CE交于点B，连接AB，则△ABC即为所求．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝＝.
22．(10分)如图是某品牌婴儿车的简化结构示意图．根据安全标准，需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准．
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝45，
在△BCD中，BC2＋CD2＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2.
∴∠BCD＝90°.∴BC⊥CD.
故该车符合安全标准．
23．(12分)分析下列各组勾股数：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
当n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
当n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根据发现的规律写出：
(1)当n＝10时的勾股数；
(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数，并加以说明．
解：(1)当n＝10时，a＝2×10＝20，b＝102－1＝99，
c＝102＋1＝101.
(2)a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1.
理由：∵a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1，
∴a2＝4n2，b2＝n4－2n2＋1，c2＝n4＋2n2＋1.
∵4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1是勾股数．
24．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动，连接AP.设点P的运动时间为t.
(1)当t＝4.5 s时，求AP的长；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：(1)由题意，得BP＝2t，
∴当t＝4.5 s时，BP＝9.
∵BC＝12，∴PC＝BC－BP＝3.
由勾股定理，得
AP＝＝.
(2)在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13.
①当BP＝AB＝13时，t＝；
②当AP＝AB时，BP＝2BC＝24，则t＝12；
③当PA＝PB＝2t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2＋AC2，即(2t)2＝(12－2t)2＋52，
解得t＝.
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ，12或 .
25．(14分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC.
【特殊求证】(1)P为BC上的中点，求证：AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系．
(1)证明：如图①，连接AP，由题意，得
AP⊥BC，BP＝CP，∴AB2－AP2＝BP2，
又∵BP＝CP，∴BP·CP＝BP2，
∴AB2－AP2＝PB·PC.
(2)解：成立．理由：如图②，连接AP，作AD⊥BC，交BC于点D，∴BD＝CD，
AB2－AP2＝AD2＋BD2－(AD2＋DP2)
＝BD2－DP2，
又∵BP＝BD＋DP，
CP＝CD－DP＝BD－DP，
∴BP·CP＝(BD＋DP)(BD－DP)
＝BD2－DP2，
∴AB2－AP2＝PB·PC.
(3)解：AP2－AB2＝PB·PC.
如图③，P是BC延长线上一点，连接AP，并作AD⊥BC于点D，∴BD＝CD,
AP2－AB2＝(AD2＋DP2)－(AD2＋DB2)
＝PD2－BD2，
又∵BP＝BD＋DP，
CP＝DP－CD＝DP－BD，
∴BP·CP＝DP2－BD2，
∴AP2－AB2＝PB·PC.

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