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章末检测（四）　指数与对数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.＝（　　）
A.±4 B.4
C.－4 D.－8
2.化简（的结果是（　　）
A. B.
C.3 D.5
3.已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（　　）
A.as＋at＝as＋t
B.asat＝as＋t
C.logas＋logat＝loga（s＋t）
D.logas·logat＝loga（st）
4.若alog53＝1，则3a＋9a＝（　　）
A.15 B.20
C.25 D.30
5.若lg 2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），则x＝（　　）
A.1 B.0或
C.log23 D.
6.已知2a＝5，log83＝b，则2a－3b＝（　　）
A.25 B.5
C. D.
7.《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然.已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为N，则lg N的整数部分为（lg 4.02≈0.604）（　　）
A.2 566 B.2 567
C.2 568 D.2 569
8.设f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），现把满足乘积f（1）·f（2）·…·f（n）为整数的n叫作“贺数”，则在区间（1，2 024）内所有“贺数”的个数是（　　）
A.9 B.10
C.29 D.210
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中正确的有（　　）
A.＝
B.lg x2＝（lg x）2
C.若a＋a－1＝4，则＋＝
D.若a＝log32，则log23＝
10.下列化简或运算正确的是（　　）
A.lg 5＋lg 2＝1 B.·＝（a＞0）
C.＝－（x＞0） D.＝3
11.已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（　　）
A.ab＞4
B.a＋b＞4
C.a2＋b2＜4
D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为　　　　.
13.方程＝25的解是　　　　.
14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）将下列根式化为分数指数幂的形式：
（1）（a＞0）；
（2）；
（3）（（b＞0）.
16.（本小题满分15分）（1）已知3m＝4n＝36，求＋的值；
（2）已知log37＝a，2b＝3，用a，b表示log1456.
17.（本小题满分15分）计算：
（1）log2.56.25＋lg＋ln（e）＋log2（log216）；
（2）（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log6－log62）.
18.（本小题满分17分）已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
（1）求p；
（2）求证：－＝.
19.（本小题满分17分）20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
章末检测（四）　指数与对数
1.C　＝＝－4.故选C.
2.A　（＝＝（）－1＝.故选A.
3.B　A中，当a＝s＝t＝2时，22＋22≠22＋2，故A错误；B中，根据指数幂的运算性质可知：同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B正确；C中，当a＝2，s＝t＝4时，log24＋log24≠log2（4＋4），故C错误；D中，当a＝s＝t＝2时，log22·log22≠log2（2×2），故D错误.故选B.
4.D　∵alog53＝1，∴a＝＝log35，∴3a＋9a＝＋（）2＝5＋25＝30.故选D.
5.C　∵lg 2＋lg（2x＋5）＝2lg（2x＋1），∴2（2x＋5）＝（2x＋1）2，（2x）2－9＝0，2x＝3，x＝log23.故选C.
6.D　由log83＝b得8b＝3，即23b＝3，∴2a－3b＝＝.故选D.
7.B　由题意可知，lg N＝lg（4.02×102 567）＝2 567＋lg 4.02≈2 567.604.所以lg N的整数部分为2 567.
8.A　∵f（n）＝log（n＋1）（n＋2）＝，∴f（1）·f（2）·…·f（n）＝··…·＝＝log2（n＋2）.∵n∈（1，2 024），∴n＋2∈（3，2 026）.∵210＝1 024，211＝2 048，∴在（3，2 026）内，有22，23，…，210共9个2的幂，故选A.
9.CD　对于A选项，当x＜0时，＞0，＝＜0，故A错误；对于B选项，当x＜0时，lg x2有意义，（lg x）2无意义，故B错误；对于C选项，若a＋a－1＝4，则a＞0，＋＞0，因为（＋）2＝a＋a－1＋2＝4＋2＝6，故＋＝，故C正确；对于D选项，若a＝log32，由换底公式可得＝＝log23，故D正确.故选C、D.
10.ABD　由对数运算法则可知lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，＝3，即A、D正确；由指数运算法则可知·＝＝，＝，即B正确，C错误.故选A、B、D.
11.ABD　因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D.
12.　解析：使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足解得0＜a＜.
13.26　解析：由＝25，所以log5（x－1）＝2，则x－1＝25，x＝26.
14.1010.1　解析：令太阳的星等m1＝－26.7，天狼星的星等m2＝－1.45，则lg＝（m2－m1）＝（－1.45＋26.7）＝10.1，则太阳与天狼星的亮度的比值为＝1010.1.
15.解：（1）原式＝＝＝＝.
（2）原式＝＝＝＝＝＝.
（3）原式＝[（＝＝.
16.解：（1）由3m＝4n＝36得m＝log336＝2log36，n＝log436＝lo62＝log26，
所以＋＝＋＝log63＋log62＝log6（2×3）＝1.
（2）因为2b＝3，所以b＝log23，
即log1456＝＝＝＝＝.
17.解：（1）原式＝2－2＋＋log24＝.
（2）原式＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log618－log62）＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log632＋log62－log62）
＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×log63
＝（log62＋log63）2＝1.
18.解：（1）设3x＝4y＝6z＝k（显然k＞0，且k≠1），
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34＝4log32.
（2）证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，又＝logk4＝logk2，∴－＝.
19.解：（1）M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，则＝10M，即A＝A0·10M.
当M＝7.6时，最大振幅A1＝A0·107.6；
当M＝5时，最大振幅A2＝A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
2 / 3(共32张PPT)
章末检测（四）指数与对数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ＝（　　）
A. ±4 B. 4 C. －4 D. －8
解析：　 ＝ ＝－4.故选C.
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2. 化简（ 的结果是（　　）
A. B. C. 3 D. 5
解析：　（ ＝ ＝（ ）－1＝ .故选A.
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3. 已知 a ， s ， t 都是正实数，且 a ≠1，下列运算一定正确的是（　　）
A. as ＋ at ＝ as＋ t
B. asat ＝ as＋ t
C. log as ＋log at ＝log a （ s ＋ t ）
D. log as ·log at ＝log a （ st ）
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解析：　A中，当 a ＝ s ＝ t ＝2时，22＋22≠22＋2，故A错误；B
中，根据指数幂的运算性质可知：同底数幂相乘，底数不变指数相
加，故B正确；C中，当 a ＝2， s ＝ t ＝4时，log24＋log24≠log2（4
＋4），故C错误；D中，当 a ＝ s ＝ t ＝2时，log22·log22≠log2
（2×2），故D错误.故选B.
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4. 若 a log53＝1，则3 a ＋9 a ＝（　　）
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
解析：　∵ a log53＝1，∴ a ＝ ＝log35，∴3 a ＋9 a ＝ ＋
（ ）2＝5＋25＝30.故选D.
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5. 若lg 2＋lg（2 x ＋5）＝2lg（2 x ＋1），则 x ＝（　　）
A. 1 B. 0或
C. log23 D.
解析：　∵lg 2＋lg（2 x ＋5）＝2lg（2 x ＋1），∴2（2 x ＋5）＝
（2 x ＋1）2，（2 x ）2－9＝0，2 x ＝3， x ＝log23.故选C.
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6. 已知2 a ＝5，log83＝ b ，则2 a－3 b ＝（　　）
A. 25 B. 5
C. D.
解析：　由log83＝ b 得8 b ＝3，即23 b ＝3，∴2 a－3 b ＝ ＝
.故选D.
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7. 《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人
从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂
而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然.已知将1
000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为
N ，则lg N 的整数部分为（lg 4.02≈0.604）（　　）
A. 2 566 B. 2 567
C. 2 568 D. 2 569
解析：　由题意可知，lg N ＝lg（4.02×102 567）＝2 567＋lg
4.02≈2 567.604.所以lg N 的整数部分为2 567.
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8. 设 f （ n ）＝log（ n＋1）（ n ＋2）（ n ∈N*），现把满足乘积 f
（1）· f （2）·…· f （ n ）为整数的 n 叫作“贺数”，则在区间
（1，2 024）内所有“贺数”的个数是（　　）
A. 9 B. 10
C. 29 D. 210
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解析：　∵ f （ n ）＝log（ n＋1）（ n ＋2）＝ ，∴ f
（1）· f （2）·…· f （ n ）＝ · ·…· ＝ ＝log2
（ n ＋2）.∵ n ∈（1，2 024），∴ n ＋2∈（3，2 026）.∵210＝
1 024，211＝2 048，∴在（3，2 026）内，有22，23，…，210共9个
2的幂，故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的有（　　）
A. ＝
B. lg x2＝（lg x ）2
C. 若 a ＋ a－1＝4，则 ＋ ＝
D. 若 a ＝log32，则log23＝
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解析：　对于A选项，当 x ＜0时， ＞0， ＝ ＜0，故A
错误；对于B选项，当 x ＜0时，lg x2有意义，（lg x ）2无意义，故B
错误；对于C选项，若 a ＋ a－1＝4，则 a ＞0， ＋ ＞0，因为
（ ＋ ）2＝ a ＋ a－1＋2＝4＋2＝6，故 ＋ ＝ ，故C正
确；对于D选项，若 a ＝log32，由换底公式可得 ＝ ＝log23，
故D正确.故选C、D.
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10. 下列化简或运算正确的是（　　）
A. lg 5＋lg 2＝1 B. · ＝ （ a ＞0）
C. ＝－ （ x ＞0） D. ＝3
解析：　由对数运算法则可知lg 5＋lg 2＝lg 10＝1， ＝
3，即A、D正确；由指数运算法则可知 · ＝ ＝ ，
＝ ，即B正确，C错误.故选A、B、D.
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11. 已知3 a ＝5 b ＝15，则 a ， b 满足的关系是（　　）
A. ab ＞4 B. a ＋ b ＞4
C. a2＋ b2＜4 D. （ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＞16
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解析：　因为3 a ＝5 b ＝15，所以 a ≠ b ， a ＝log315， b ＝
log515，所以log153＝ ，log155＝ ，所以 ＋ ＝1.由 ≤
≤ ≤ ，可得 ab ＞4， a ＋ b ＞4， a2＋ b2＞8，所以
（ a ＋1）2＋（ b ＋1）2＝ a2＋2 a ＋1＋ b2＋2 b ＋1＞18＞16.故选
A、B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 使对数log a （－2 a ＋1）有意义的 a 的取值范围为 .
解析：使对数log a （－2 a ＋1）有意义的 a 需满足
解得0＜ a ＜ .
　
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13. 方程 ＝25的解是 .
解析：由 ＝25，所以log5（ x －1）＝2，则 x －1＝
25， x ＝26.
26　
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14. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的
星等与亮度满足 m2－ m1＝ lg ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek
（ k ＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－
1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 .
解析：令太阳的星等 m1＝－26.7，天狼星的星等 m2＝－1.45，则
lg ＝ （ m2－ m1）＝ （－1.45＋26.7）＝10.1，则太阳与天狼
星的亮度的比值为 ＝1010.1.
1010.1　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）将下列根式化为分数指数幂的形式：
（1） （ a ＞0）；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
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（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
（3）（ （ b ＞0）.
解：原式＝[（ ＝ ＝ .
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16. （本小题满分15分）（1）已知3 m ＝4 n ＝36，求 ＋ 的值；
解：由3 m ＝4 n ＝36得 m ＝log336＝2log36， n ＝
log436＝lo 62＝log26，
所以 ＋ ＝ ＋ ＝log63＋log62＝log6
（2×3）＝1.
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（2）已知log37＝ a ，2 b ＝3，用 a ， b 表示log1456.
解：因为2 b ＝3，所以 b ＝log23，
即log1456＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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17. （本小题满分15分）计算：
（1）log2.56.25＋lg ＋ln（e ）＋log2（log216）；
解：原式＝2－2＋ ＋log24＝ .
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（2）（log62）2＋（log63）2＋3log62×（log6 － log62）.
解：原式＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（
log618－ log62）＝（log62）2＋（log63）2＋3log62×（
log632＋ log62－ log62）
＝（log62）2＋（log63）2＋3log62× log63
＝（log62＋log63）2＝1.
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18. （本小题满分17分）已知 x ， y ， z 为正数，3 x ＝4 y ＝6 z ，且2 x ＝
py .
（1）求 p ；
解：设3 x ＝4 y ＝6 z ＝ k （显然 k ＞0，且 k ≠1），
则 x ＝log3 k ， y ＝log4 k ， z ＝log6 k .
由2 x ＝ py ，得2log3 k ＝ p log4 k ＝ p · .
∵log3 k ≠0，∴ p ＝2log34＝4log32.
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（2）求证： － ＝ .
解：证明： － ＝ － ＝log k 6－log k 3＝log k
2，又 ＝ log k 4＝log k 2，∴ － ＝ .
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19. （本小题满分17分）20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种
表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等
级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是
我们常说的里氏震级 M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A0，其中 A 是
被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震
振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的
地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算
这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
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解：M ＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
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解：由 M ＝lg A －lg A0可得 M ＝lg ，则 ＝10 M ，即
A ＝ A0·10 M .
当 M ＝7.6时，最大振幅 A1＝ A0·107.6；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅
是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
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当 M ＝5时，最大振幅 A2＝ A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是 ＝ ＝107.6－5＝
102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的
398倍.
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