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第4章　三角形 质量评价
(时量：120分钟　满分：120分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4
C．3，3，5 D．5，6，7
2．将一副含30°，45°的三角板按如图所示的方式放置，则
∠α＋∠β的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
3．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（ ）
4．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．三角形是轴对称图形
C．如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
6．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．5 B．36 C．21 D．15
7．如图，AB与CD交于点O，已知△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠D＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，DE垂直平分BC，
∠ABD　∶∠A　∶∠C＝2　∶6　∶5，则∠BDE的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，△ABC中，BA＝BD，BD＝2DC，∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC.若△ABC的面积为9 cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．1.5 cm2 B．3 cm2
C．4.5 cm2 D．6 cm2
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG＝CF；②BG垂直平分CF；③∠EAF＝∠ABC；④EF＝EG；⑤S△AFG＝S△ABC.其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．起重机的底座，输电线路的支架，自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 ．
12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°， 则∠DAC＝ .
13．如图，∠ABC＝∠BAD，请添加一个条件： ，使△ABC≌△BAD.(写一个即可)
14．把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为： .
15．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长比△ACD的周长大2 cm，则AB的长与AC的长的差为 cm.
16．如图，将边长为5 cm的等边三角形ABC向右平移1 cm，得到等边三角形A′B′C′，此时阴影部分的周长为 cm.
17.如图，AD，BE是△ABC的两条中线，则S△EDC∶S△ABD＝ .
18．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 .
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果x(2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．
20．(6分)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且DE平分∠BDC.求证：AD＝BC.
21．(8分)如图，已知△ABC.
(1)作BC边上的高AD；
(2)作AC边上的垂直平分线EF，交AC于点E，交BC于点F；
(3)作AB边的中线CG，交AB于点G.(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
22．(8分)如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
23．(9分)如图，已知AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4 cm，CD＝3 cm，AE＝5 cm.求△AEC的面积和CE的长．
24．(9分)如图是风筝的结构示意图，D是等边三角形ABC的外部一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E.
(1)求证：BD垂直平分线段AC；
(2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
25．(10分)如图是五角星和它的变形图．
(1)图①中是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)把图①中的点A向下移到BE上时(如图②)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？请证明你的结论．
26．(10分)【问题情境】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM.
【探究发现】(1)图①中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】(2)如图②，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围为 ；
【探究提升】(3)如图③，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．第4章　三角形 质量评价
(时量：120分钟　满分：120分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（A）
A．1，1，2 B．2，3，4
C．3，3，5 D．5，6，7
2．将一副含30°，45°的三角板按如图所示的方式放置，则
∠α＋∠β的度数为（C）
A．30° B．40° C．45° D．60°
3．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（B）
4．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（D）
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
5．下列命题中是真命题的是（C）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．三角形是轴对称图形
C．如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
6．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（D）
A．5 B．36 C．21 D．15
7．如图，AB与CD交于点O，已知△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠D＝25°，则∠B的度数为（A）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，DE垂直平分BC，
∠ABD　∶∠A　∶∠C＝2　∶6　∶5，则∠BDE的度数为（C）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，△ABC中，BA＝BD，BD＝2DC，∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC.若△ABC的面积为9 cm2，则△BPC的面积为（C）
A．1.5 cm2 B．3 cm2
C．4.5 cm2 D．6 cm2
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：①BG＝CF；②BG垂直平分CF；③∠EAF＝∠ABC；④EF＝EG；⑤S△AFG＝S△ABC.其中正确的个数是（C）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】过F作FM⊥DA于点M，过G作GN⊥DA于点N.证△FMA≌△ADB，△GNA≌△ADC，则FM＝AD＝GN，再证△FME≌△GNE，即可得④正确．由以上三组三角形全等，可得S△ABC＝S△ADB＋S△ADC＝S△FMA＋S△GNA＝S△FMA＋S△GEA＋S△FEM＝S△AFG.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．起重机的底座，输电线路的支架，自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性．
12．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝50°，∠AEC＝120°， 则∠DAC＝ 70°.
13．如图，∠ABC＝∠BAD，请添加一个条件：BC＝AD(答案不唯一)，使△ABC≌△BAD.(写一个即可)
14．把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等.
15．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长比△ACD的周长大2 cm，则AB的长与AC的长的差为2cm.
16．如图，将边长为5 cm的等边三角形ABC向右平移1 cm，得到等边三角形A′B′C′，此时阴影部分的周长为12 cm.
17.如图，AD，BE是△ABC的两条中线，则S△EDC∶S△ABD＝1 ∶ 2.
18．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为4.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果x(2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．
解：(1)假命题．反例：2<3，但2×(－1)>3×(－1)．
(2)假命题．反例：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，则有
∠C＝100°>90°，△ABC是钝角三角形．
20．(6分)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且DE平分∠BDC.求证：AD＝BC.
证明：因为DE平分∠BDC，所以∠BDE＝∠CDE.
又因为DE∥AB，
所以∠BDE＝∠ABD，∠CDE＝∠A.
所以∠ABD＝∠A.所以AD＝BD.
因为BD＝BC，所以AD＝BC.
21．(8分)如图，已知△ABC.
(1)作BC边上的高AD；
(2)作AC边上的垂直平分线EF，交AC于点E，交BC于点F；
(3)作AB边的中线CG，交AB于点G.(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)如图，AD为所作．
(2)如图，EF为所作．
(3)如图，CG为所作．
22．(8分)如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
(1)证明：因为FC∥AB，所以∠A＝∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
所以△ADE≌△CFE(角角边)．
(2)解：因为AB＝5，CF＝4，由(1)知AD＝CF＝4，
所以BD＝AB－AD＝1.
23．(9分)如图，已知AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4 cm，CD＝3 cm，AE＝5 cm.求△AEC的面积和CE的长．
解：因为S△AEC＝AE·CD
＝CE·AB
所以S△AEC＝ cm2，CE＝ cm.
24．(9分)如图是风筝的结构示意图，D是等边三角形ABC的外部一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E.
(1)求证：BD垂直平分线段AC；
(2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
(1)证明：因为△ABC为等边三角形，
所以BA＝BC.
又因为AD＝CD，
所以BD垂直平分线段AC.
(2)解：因为∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.
BD垂直平分线段AC，所以∠CBD＝30°.
因为DE∥AB，所以∠FEC＝∠ABC＝60°，
所以△CEF是等边三角形，
所以CE＝CF＝4，所以BE＝BC－CE＝6.
因为∠BDE＝∠FEC－∠CBD＝30°＝∠CBD，
所以DE＝BE＝6.
25．(10分)如图是五角星和它的变形图．
(1)图①中是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)把图①中的点A向下移到BE上时(如图②)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？请证明你的结论．
(1)证明：由三角形外角的性质，得
∠A＋∠C＝∠1，∠B＋∠D＝∠2.
由三角形的内角和定理，得∠E＋∠1＋∠2＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
(2)解：不变．
证明：由三角形外角的性质，得
∠2＝∠B＋∠D，∠1＝∠CAD＋∠C.
由三角形的内角和定理，得∠E＋∠1＋∠2＝180°，
所以∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
26．(10分)【问题情境】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM.
【探究发现】(1)图①中AC与BM的数量关系是AC＝BM，位置关系是AC∥BM；
【初步应用】(2)如图②，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
【探究提升】(3)如图③，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
解：(3)EF＝2AD，EF⊥AD，
理由：延长AD到点M，使得DM＝AD，连接BM，
由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，所以BM＝AC，
因为AC＝AF，所以BM＝AF，
由(1)可知，AC∥BM，所以∠BAC＋∠ABM＝180°，
因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE＝∠FAC＝90°，
所以∠BAC＋∠EAF＝180°，所以∠ABM＝∠EAF，
所以△ABM≌△EAF(SAS)，所以AM＝EF，∠BAM＝∠E，
因为AD＝DM，所以AM＝2AD，所以EF＝2AD；
因为∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝∠E＋∠APE，
所以∠APE＝∠BAE＝90°，所以EF⊥AD.

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