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第5章　直角三角形 质量评价
(时量：120分钟　满分：120分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（C）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，能用“斜边、直角边”判定 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件是（C）
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
3．如图，数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，据此可求得A，B之间的距离为（C）
A．20 B．60
C．30 D．30
4．若直角三角形的两个锐角之差为32°，则较小的一个锐角的度数是（B）
A．24° B．29° C．44° D．46°
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC的形状是（D）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，∠BDC＝ 60°，AC＝6，则BC的长是（A）
A．3 B．6 C. D．4
7．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（D）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝ m，AB＝2 m，点P到AF的距离是4 m，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（C）
A. m B. m
C．5 m D. m
9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F.若AF＝ cm，则AD的长为（C）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
10．如图，E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N.有下列四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°－∠ABC；④S△APM＋S△CPN>S△APC.其中正确的是（A）
A．①②③ B．①②③④
C．②③④ D．①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为6.
12．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝50°.
13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝15°.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接DE，若AB＝6，则DE＝3.
15．将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是24.5cm2.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝8 cm.
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是10.
18．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2＋CF2的值是36.
【解析】由角平分线的定义证出△CEF是直角三角形，再由平行线的性质以及角平分线的定义证出EP＝CP＝FP，然后求出EF的长，利用勾股定理列式计算即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，且AC＝AB，求∠B的度数．
解：因为∠A＋∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝ 180°，
所以∠C＝ 90°.因为AC＝AB，所以∠B＝ 30°.
20．(6分)如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点P1，P2即为所求．
21．(8分)如图，在Rt△ABD中，已知AB＝8，AD＝17，BC＝9，CD＝12，∠ABD＝90°，求△BCD的面积．
解：因为AB＝8，AD＝17，
所以BD2＝AD2－AB2＝225，
因为BC＝9，CD＝12，
所以BC2＋CD2＝225.
所以BC2 ＋CD2 ＝BD2.
所以△BCD是直角三角形，且∠C＝90°.
所以S△BCD＝BC·CD＝54.
22．(8分)如图，点O是线段AB的中点，在线段AB的同侧作AC＝AO, BD＝BO，过点C作CE⊥AB 于点E，过点D作DF⊥AB 于点F，已知CE＝DF.
(1)求证：∠CAB＝∠DBA；
(2)求证： OE＝OF.
证明：(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA＝OB，
因为AC＝AO, BD＝BO，所以AC＝BD，
因为CE⊥AB，DF⊥AB，所以∠CEA＝∠DFB＝ 90°，
因为CE＝DF，
所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)，所以∠CAB＝∠DBA.
(2) 由(1)得Rt△AEC≌Rt△BFD(HL)，所以AE＝FB，
因为OA＝OB，所以AE＋EO＝FB＋OF，
所以OE＝OF.
23．(9分)如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3 m，BC为1 m.
(1)求滑道BD的长；
(2)若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，求DF的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732)
解：(1)易知AB＝CE＝3 m，AE＝BC＝1 m.
设BD＝DE＝x m，则AD＝(x－1) m.
由勾股定理，得32＋(x－1)2＝x2，
解得x＝5.
答：滑梯BD的长为5 m.
(2)在Rt△BAF中，易得∠ABF＝30°.所以BF＝2AF.
由勾股定理，得AF＝.所以DF＝AD－AF≈4－1.732≈2.3(m)．
答：DF的长约为2.3 m.
24．(9分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点，连接OA.
(1)求证：∠AOD＝2∠ABO；
(2)若∠ABC＝45°，求证：AC＝OA.
证明：(1)因为∠BAD＝90°，O为BD的中点，
所以OA＝OB＝OD，所以∠ABO＝∠BAO，
所以∠AOD ＝∠ABO＋∠BAO
＝2∠ABO.
(2)连接OC.
同(1)可得OC＝OB＝OD＝OA,
∠COD＝2∠CBO，
所以∠AOC＝2(∠ABO＋∠CBO)
＝2∠ABC＝ 90°，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以AC＝OA.
25．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.
(1)∠DAC的度数为45°；
(2)求证：DF＝FG；
(2)证明：因为∠DAC＝45°，CF⊥AF，
所以∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝
∠CAF＝45°，所以AF＝CF，
因为AE⊥CB，所以∠CEG＝∠AFG＝90°，
因为∠CGE＝∠AGF，所以∠FAG＝∠FCD，
所以△AFG≌△CFD(角边角)，所以FG＝FD.
(3)若DC＝2，求线段EG的长．
解：在Rt△CFD中，因为∠CFD＝90°，∠ADC＝60°，
所以∠FCD＝30°，所以DF＝CD＝1，
所以FG＝DF＝1，CF＝＝，
所以CG＝CF－FG＝－1，
在Rt△CGE中，EG＝CG＝.
26．(10分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC.
【特殊求证】(1)若P为BC上的中点，求证：AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系．
(1)证明：如图①，连接AP，由题意，得
AP⊥BC，PB＝PC，所以AB2－AP2＝PB2，
又因为PB＝PC，所以PB·PC＝PB2，
所以AB2－AP2＝PB·PC.
(2)解：成立．理由：如图②，连接AP，
作AD⊥BC，交BC于点D，所以BD＝CD,
AB2－AP2＝AD2＋BD2－(AD2＋DP2)＝BD2－DP2，
又因为BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
所以BP·CP＝(BD＋DP)(BD－DP)＝BD2－DP2，
所以AB2－AP2＝PB·PC.
(3)解：AP2－AB2＝PB·PC.
如图③，P是BC延长线上一点，连接AP，并作AD⊥BC于点D，所以BD＝CD,
AP2－AB2＝(AD2＋DP2)－(AD2＋DB2)
＝PD2－BD2，
又因为BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
所以BP·CP＝DP2－BD2，
所以AP2－AB2＝PB·PC.第5章　直角三角形 质量评价
(时量：120分钟　满分：120分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，能用“斜边、直角边”判定 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件是（ ）
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
3．如图，数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．60
C．30 D．30
4．若直角三角形的两个锐角之差为32°，则较小的一个锐角的度数是（ ）
A．24° B．29° C．44° D．46°
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，∠BDC＝ 60°，AC＝6，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C. D．4
7．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝ m，AB＝2 m，点P到AF的距离是4 m，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
A. m B. m
C．5 m D. m
9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F.若AF＝ cm，则AD的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
10．如图，E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N.有下列四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°－∠ABC；④S△APM＋S△CPN>S△APC.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④
C．②③④ D．①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为 .
12．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝ .
13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝ .
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接DE，若AB＝6，则DE＝ .
15．将一副三角尺如图叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是 cm2.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝ cm.
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 .
18．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2＋CF2的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，且AC＝AB，求∠B的度数．
20．(6分)如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹)
21．(8分)如图，在Rt△ABD中，已知AB＝8，AD＝17，BC＝9，CD＝12，∠ABD＝90°，求△BCD的面积．
22．(8分)如图，点O是线段AB的中点，在线段AB的同侧作AC＝AO, BD＝BO，过点C作CE⊥AB 于点E，过点D作DF⊥AB 于点F，已知CE＝DF.
(1)求证：∠CAB＝∠DBA；
(2)求证： OE＝OF.
23．(9分)如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3 m，BC为1 m.
(1)求滑道BD的长；
(2)若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，求DF的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732)
24．(9分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点，连接OA.
(1)求证：∠AOD＝2∠ABO；
(2)若∠ABC＝45°，求证：AC＝OA.
25．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.
(1)∠DAC的度数为 ；
(2)求证：DF＝FG；
(3)若DC＝2，求线段EG的长．
26．(10分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC.
【特殊求证】(1)若P为BC上的中点，求证：AB2－AP2＝PB·PC；
【探究说明】(2)若P为BC上的任意一点，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
【拓展探究】(3)若P为BC延长线上一点，说明AB，AP，PB，PC之间的数量关系．

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