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周周测(八)(第5章　直角三角形)
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图，直线AB∥MN，线段AN和线段BM垂直于点Q，若∠ABM＝65°，则∠ANM的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．30°
2．如图AC⊥AB，AC⊥CD.要使得△ABC≌△CDA，若以“斜边、直角边”为依据，需添加的条件是（ ）
A．BC＝DA B．AB＝CD
C．∠B＝∠D D．∠ACB＝∠CAD
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点．若BC＝6，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．如图，OA是∠MON的平分线，过点A作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P.若∠MON＝54°，则∠BDP的度数为（ ）
A．54° B．63° C．66° D.72°
【解析】过点D作DE⊥OM于点E，DF⊥ON于点F.由△BDE≌△CDF，可得∠DBE＝∠DCF.由四边形内角和，可得∠BDC ＝ 126°.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，CD⊥AB于点D，则∠ACD＝ .
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AE＋DE＝3 cm，那么AC＝ cm.
8．如图，P是△ABC内一点，且点P到三边的距离相等，则∠1＋∠2＋∠3＝ .
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝ 90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 .
三、解答题(共55分)
10．(11分)如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
11．(12分)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，求AE的长．
12．(12分)如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置．若AB＝12，AD＝18，求△C′BF 的面积．
13．(20分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若B，C在DE的同侧(如图①)且AD＝CE，求证：AB⊥AC；
(2)若B，C在DE的两侧(如图②)且AD＝CE，则AB与AC仍垂直吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．周周测(八)(第5章　直角三角形)
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如图，直线AB∥MN，线段AN和线段BM垂直于点Q，若∠ABM＝65°，则∠ANM的度数是（B）
A．23° B．25° C．27° D．30°
2．如图AC⊥AB，AC⊥CD.要使得△ABC≌△CDA，若以“斜边、直角边”为依据，需添加的条件是（A）
A．BC＝DA B．AB＝CD
C．∠B＝∠D D．∠ACB＝∠CAD
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D为AC边的中点．若BC＝6，则BD的长为（A）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（A）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．如图，OA是∠MON的平分线，过点A作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P.若∠MON＝54°，则∠BDP的度数为（B）
A．54° B．63° C．66° D.72°
【解析】过点D作DE⊥OM于点E，DF⊥ON于点F.由△BDE≌△CDF，可得∠DBE＝∠DCF.由四边形内角和，可得∠BDC ＝ 126°.
二、填空题(每小题5分，共20分)
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝35°，CD⊥AB于点D，则∠ACD＝35°.
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AE＋DE＝3 cm，那么AC＝3cm.
8．如图，P是△ABC内一点，且点P到三边的距离相等，则∠1＋∠2＋∠3＝90°.
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝ 90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2＋PA2＝ 2PC2.
三、解答题(共55分)
10．(11分)如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.
证明：设点D到AB的距离为h1，到AC的距离为h2，
因为S△DCE＝S△DBF，
所以CE·h1＝BF·h2.
又因为CE＝BF，所以h1＝h2.
所以AD平分∠BAC.
11．(12分)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，求AE的长．
解：设AE＝x，则CE＝9－x.
因为BE平分∠ABC，
CE⊥CB，ED⊥AB，
所以DE＝CE＝9－x.
又因为ED垂直平分AB，
所以AE＝BE.
所以∠A＝∠ABE＝∠CBE.
因为在Rt△ACB中，∠A＋∠ABC＝ 90°，
所以∠A＝∠ABE＝∠CBE＝ 30°.
所以DE＝AE，即9－x＝x，
解得x＝6.所以AE的长为6.
12．(12分)如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置．若AB＝12，AD＝18，求△C′BF 的面积．
解：设BF＝x，
则CF＝C′F＝18－x，
因为∠C＝∠C′＝90°，BC′＝DC＝AB＝12，
所以x2 ＝122＋(18－x)2，解得 x＝13，
所以CF＝C′F＝5，
所以S△C′BF＝C′F·C′B＝30.
13．(20分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若B，C在DE的同侧(如图①)且AD＝CE，求证：AB⊥AC；
(2)若B，C在DE的两侧(如图②)且AD＝CE，则AB与AC仍垂直吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
(1)证明：因为BD⊥DE，CE⊥DE，
所以∠ADB＝∠AEC＝ 90°，
又因为AB＝CA，AD＝CE，
所以Rt△ABD≌Rt△CAE(斜边、直角边)，
所以∠DBA＝∠EAC.
因为∠DAB＋∠DBA＝ 90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝ 90°，
所以∠BAC＝ 90°，即AB⊥AC.
(2)解：AB与AC仍垂直，
证明：由题意得
Rt△BDA≌Rt△AEC(斜边、直角边)，
所以∠BAD＝∠ACE.
因为∠CAE＋∠ACE＝ 90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝ 90°，
所以AB⊥AC.?

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