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周周测(六)()(4.5等腰三角形－4.6线段的垂直平分线))
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题 5分，共30分)
1．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．80°
C．100° D．100°或40°
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C 到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一条直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．如图，DE是线段AB的垂直平分线．下列结论中一定成立的是（ ）
A．ED＝CD B．∠DAC＝∠B
C．∠C＝2∠B D．∠B＋∠ADE＝ 90°
4．如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ.若∠BAP＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．40°
C．60° D．70°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
二、填空题(每小题5分，共 20分)
7．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是 .
8．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°， 则∠AOD＝ .
9．如图，以直角顶点O为圆心，适当长为半径画一条弧，分别交两直角边于A，B两点．若再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，与交于点C，则∠BOC＝ .
10．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为10 cm .在直线l上有动点P，那么PA＋PB的最小值为 cm.
三、解答题(共50分)
11．(11 分)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且DE平分∠BDC.求证：AD＝BC.
12．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝2∠B.(1)请用尺规作图法，作AB边的垂直平分线DE，交边BC于点D(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，求证：AC＝AD.
13．(13分)如图，在△ABC中，AC＝BC，F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA，OB.
(1)求证：△OBC为等腰三角形；
(2)若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．
14．(14分)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连接AE.
(1)比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论；
(2)若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．周周测(六)()(4.5等腰三角形－4.6线段的垂直平分线))
(时间：40分钟　满分：100分)
一、选择题(每小题 5分，共30分)
1．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（C）
A．40° B．80°
C．100° D．100°或40°
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C 到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一条直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（D）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．如图，DE是线段AB的垂直平分线．下列结论中一定成立的是（D）
A．ED＝CD B．∠DAC＝∠B
C．∠C＝2∠B D．∠B＋∠ADE＝ 90°
4．如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ.若∠BAP＝20°，则∠1的度数为（B）
A．80° B．40°
C．60° D．70°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（B）
A．30° B．36° C．40° D．45°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（A）
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
二、填空题(每小题5分，共 20分)
7．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是F.
8．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°， 则∠AOD＝75°.
9．如图，以直角顶点O为圆心，适当长为半径画一条弧，分别交两直角边于A，B两点．若再以点A为圆心，OA的长为半径画弧，与交于点C，则∠BOC＝ 30°.
10．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为10 cm .在直线l上有动点P，那么PA＋PB的最小值为10cm.
三、解答题(共50分)
11．(11 分)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD＝BC，过点D作DE∥AB交BC于点E，且DE平分∠BDC.求证：AD＝BC.
证明：因为DE 平分∠BDC，
所以∠BDE＝∠CDE.
又因为 DE∥AB，
所以∠ABD＝∠BDE，
∠A＝∠CDE.
所以∠ABD＝∠A.
所以AD＝BD.
因为BD＝BC，所以AD＝BC.
12．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝2∠B.(1)请用尺规作图法，作AB边的垂直平分线DE，交边BC于点D(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接AD，求证：AC＝AD.
(1)解：如图，DE即为所求．
(2)证明：因为DE垂
直平分线段AB，
所以DA＝DB.所以∠DAB＝∠B.
所以∠ADC＝∠B＋∠DAB＝2∠B.
因为∠C＝2∠B，所以∠C＝∠ADC.
所以AC＝AD.
13．(13分)如图，在△ABC中，AC＝BC，F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA，OB.
(1)求证：△OBC为等腰三角形；
证明：因为DE为线段AC的垂直平分线，
所以OC＝OA.
因为AC＝BC，F为AB的中点，
所以CF为线段AB的垂直平分线．
所以OB＝OA.所以OB＝OC.
所以△OBC为等腰三角形．
(2)若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．
解：因为AC＝BC，F为AB的中点，
所以CF为∠ACB的平分线．
所以∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝25°，
所以∠ACB＝50°.
所以∠DEC＝180°－∠EDC－∠ACB＝40°.
因为△OBC为等腰三角形，
所以∠CBO＝∠BCF＝25°.
所以∠BOE＝∠DEC－∠CBO＝15°.
14．(14分)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连接AE.
(1)比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论；
(2)若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．
解：(1)∠AED＝∠ABC.
证明：因为EF垂直平分AB，所以EA＝EB，
所以∠EAB＝∠EBA，
所以∠AED＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠EBA，
所以∠AED＝∠ABC.
(2)因为△ADE是等腰三角形，
所以∠EAD＝∠DEA，
因为∠DEA＝∠ABC，
设∠DBC＝x，
所以∠ABD＝∠DBC＝∠BAE＝x，
所以∠ABC＝∠DAE＝2x，
所以∠CAB＝∠BAE＋∠DAE＝3x，
因为∠ABC＋∠CAB＝90°，
所以2x＋3x＝90°，解得x＝18°，
所以∠CAB＝3x＝54°.

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