资源简介

第2课时　奇偶性的应用
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1　定义法求函数解析式
【例1】　（链接教科书第127页习题7题）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式.
通性通法
　　如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）利用已知区间上的解析式进行代入；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
提醒　若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0.
角度2　方程组法求函数解析式
【例2】　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式.
通性通法
　　已知函数f（x），g（x）的组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝　　　　.
2.（2024·南通中学期中）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x＋1，则g（3）＝　　　　.
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】　设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A.f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B.f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C.f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D.f（π）＜f（－2）＜f（－3）
通性通法
　　利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（－1），f（0）的大小关系是（　　）
A.f（－0.5）＜f（0）＜f（－1）
B.f（－1）＜f（－0.5）＜f（0）
C.f（0）＜f（－0.5）＜f（－1）
D.f（－1）＜f（0）＜f（－0.5）
2.已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（　　）
A.f（－1）＜f（3）
B.f（2）＜f（3）
C.f（－3）＜f（5）
D.f（0）＞f（1）
题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
【例4】　设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围.
【母题探究】
　（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法
（1）利用图象解不等式；
（2）转化为简单不等式求解：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解.
提醒　列不等式（组）时不要忘掉函数定义域.
【跟踪训练】
1.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x的取值范围是（　　）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（－1，1）
2.（2024·苏州中学期中）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A.（－3，0）∪（3，＋∞） B.（－3，0）∪（0，3）
C.（－∞，－3）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）
1.已知奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，则（　　）
A.f（1）＜f（2） B.f（1）＞f（2）
C.f（1）＝f（2） D.以上都有可能
2.设偶函数f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　）
A.f （－）＜f（－1）＜f（2）
B.f（2）＜f （－）＜f（－1）
C.f（2）＜f（－1）＜f （－）
D.f（－1）＜f （－）＜f（2）
3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x－x2.则当x＜0时，f（x）的解析式为　　　　.
4.（2024·南通东南中学期中）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（）的x的取值范围为　　　　.
第2课时　奇偶性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：设x＜0，则－x＞0，
∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，
∴当x＜0时，f（x）＝－x－1.
又x＝0时，f（0）＝0，∴f（x）＝
【例2】　解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝， ①
用－x代替x，
得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝， ②
（①＋②）÷2，得f（x）＝；
（①－②）÷2，得g（x）＝.
跟踪训练
1.　解析：因为函数f（x）＝为奇函数，所以f（0）＝g（0）＝0.设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1，所以f（x）＝g（x）＝－f（－x）＝－x2－1.综上可得g（x）＝
2.－3　解析：因为f（x）＋g（x）＝x2－x＋1，①.所以f（－x）＋g（－x）＝x2＋x＋1，由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（x）＝f（－x），g（x）＝－g（－x），所以f（x）－g（x）＝x2＋x＋1，②.则①－②可得：2g（x）＝－2x，所以g（x）＝－x，则g（3）＝－3.
【例3】　A　由偶函数与单调性的关系知，若当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（－∞，0]时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）.
跟踪训练
1.B　∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在R上是增函数，∴f（－1）＜f（－0.5）＜f（0）.
2.D　因为函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，且f（－4）＜f（－2），所以f（4）＜f（2）.又f（x）在[0，5]上是单调函数.所以f（x）在[0，5]上单调递减，从而f（0）＞f（1），故选D.
【例4】　解：因为f（x）是奇函数且f（x）在[0，2]上单调递减，所以f（x）在[－2，2]上是减函数.
所以不等式f（1－m）＜f（m）等价于解得－1≤m＜.
所以实数m的取值范围为［－1，）.
母题探究
　解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为f（｜1－m｜）＜f（｜m｜），
故可得
即
解得＜m≤2.故实数m的取值范围为.
跟踪训练
1.B　函数定义域是R，根据题意得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1.故选B.
2.C　因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－3）＝0，作出函数f（x）的简图，如图所示，当x＞0时，由xf（x）＜0得f（x）＜0，即x＞3；当x＜0时，由xf（x）＜0得f（x）＞0，即x＜－3；当x＝0时，xf（x）＝0不合题意.所以满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞）.故选C.
随堂检测
1.A　∵f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（1）＜f（2）.故选A.
2.B　∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（2）＝f（－2）.又f（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，∴f（2）＝f（－2）＜f （－）＜f（－1）.故选B.
3.f（x）＝2x＋x2　解析：当x＜0时，－x＞0，于是f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－x2）＝2x＋x2，即当x＜0时，f（x）＝2x＋x2.
4.（，）　解析：因为f（x）是偶函数，f（－x）＝f（x）＝f（｜x｜），所以不等式f（2x－1）＜f（）等价于f（｜2x－1｜）＜f（），又因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以｜2x－1｜＜，解得＜x＜.
3 / 3(共52张PPT)
第2课时　奇偶性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1　定义法求函数解析式
【例1】　（链接教科书第127页习题7题）函数 f （ x ）是定义域为R
的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝－ x ＋1，求 f （ x ）的解析式.
解：设 x ＜0，则－ x ＞0，
∴ f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1，
又∵函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，
∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）＝ x ＋1，
∴当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x －1.
又 x ＝0时， f （0）＝0，∴ f （ x ）＝
通性通法
　　如果已知函数的奇偶性和一个区间[ a ， b ]上的解析式，求关于
原点的对称区间[－ b ，－ a ]上的解析式，其解决思路为：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区
间上设；
（2）利用已知区间上的解析式进行代入；
（3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f
（ x ）.
提醒　若函数 f （ x ）的定义域内含0且为奇函数，则必有 f （0）
＝0，但若为偶函数，未必有 f （0）＝0.
角度2　方程组法求函数解析式
【例2】　设 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，且 f （ x ）＋ g
（ x ）＝ ，求函数 f （ x ）， g （ x ）的解析式.
解：∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），
g （－ x ）＝－ g （ x ），
由 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ，　①
用－ x 代替 x ，
得 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ ，
∴ f （ x ）－ g （ x ）＝ ，　②
（①＋②）÷2，得 f （ x ）＝ ；
（①－②）÷2，得 g （ x ）＝ .
通性通法
　　已知函数 f （ x ）， g （ x ）的组合运算与奇偶性，把 x 换为－ x ，
构造方程组求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 g （ x ）
＝ .
　
解析：因为函数 f （ x ）＝为奇函数，所以 f （0）
＝ g （0）＝0.设 x ＜0，则－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋1＝ x2
＋1，所以 f （ x ）＝ g （ x ）＝－ f （－ x ）＝－ x2－1.综上可得 g
（ x ）＝
2. （2024·南通中学期中）已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R
上的偶函数和奇函数，且 f （ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ＋1，则 g （3）
＝ .
解析：因为 f （ x ）＋ g （ x ）＝ x2－ x ＋1，①.所以 f （－ x ）＋ g
（－ x ）＝ x2＋ x ＋1，由函数 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上
的偶函数和奇函数，则 f （ x ）＝ f （－ x ）， g （ x ）＝－ g （－
x ），所以 f （ x ）－ g （ x ）＝ x2＋ x ＋1，②.则①－②可得：2 g
（ x ）＝－2 x ，所以 g （ x ）＝－ x ，则 g （3）＝－3.
－3　
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】　设函数 f （ x ）的定义域为R，对于任意实数 x 总有 f （－
x ）＝ f （ x ），当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）单调递增，则 f （－
2）， f （π）， f （－3）的大小关系是（　　）
A. f （π）＞ f （－3）＞ f （－2）
B. f （π）＞ f （－2）＞ f （－3）
C. f （π）＜ f （－3）＜ f （－2）
D. f （π）＜ f （－2）＜ f （－3）
解析：　由偶函数与单调性的关系知，若当 x ∈[0，＋∞）时， f
（ x ）单调递增，则当 x ∈（－∞，0]时， f （ x ）单调递减，故其图
象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜
＜｜－3｜＜π，∴ f （π）＞ f （－3）＞ f （－2）.
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转
化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则 f （－
0.5）， f （－1）， f （0）的大小关系是（　　）
A. f （－0.5）＜ f （0）＜ f （－1）
B. f （－1）＜ f （－0.5）＜ f （0）
C. f （0）＜ f （－0.5）＜ f （－1）
D. f （－1）＜ f （0）＜ f （－0.5）
解析：　∵函数 f （ x ）为奇函数，且 f （ x ）在区间[0，＋∞）
上单调递增，∴ f （ x ）在R上是增函数，∴ f （－1）＜ f （－0.5）
＜ f （0）.
2. 已知函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函
数，且 f （－4）＜ f （－2），则下列不等式一定成立的是（　　）
A. f （－1）＜ f （3） B. f （2）＜ f （3）
C. f （－3）＜ f （5） D. f （0）＞ f （1）
解析：　因为函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，且 f （－
4）＜ f （－2），所以 f （4）＜ f （2）.又 f （ x ）在[0，5]上
是单调函数.所以 f （ x ）在[0，5]上单调递减，从而 f （0）＞
f （1），故选D.
题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
【例4】　设定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）在区间[0，2]上单调
递减，若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围.
解：因为 f （ x ）是奇函数且 f （ x ）在[0，2]上单调递减，所以 f
（ x ）在[－2，2]上是减函数.
所以不等式 f （1－ m ）＜ f （ m ）等价于解得－
1≤ m ＜ .
所以实数 m 的取值范围为［－1， ）.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，
2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调
递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增，
原不等式可化为 f （｜1－ m ｜）＜ f （｜ m ｜），
故可得即
解得 ＜ m ≤2.故实数 m 的取值范围为 .
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法
（1）利用图象解不等式；
（2）转化为简单不等式求解：①利用已知条件，结合函数的奇偶
性，把已知不等式转化为 f （ x1）＜ f （ x2）或 f （ x1）＞ f （ x2）
的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在
对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“ f ”转化为简单不
等式（组）求解.
提醒　列不等式（组）时不要忘掉函数定义域.
【跟踪训练】
1. 已知偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足 f （2 x －
1）＜ f （1）的 x 的取值范围是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （－1，1）
解析：　函数定义域是R，根据题意得｜2 x －1｜＜1，解得0＜ x
＜1.故选B.
2. （2024·苏州中学期中）若函数 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且 f
（ x ）在（－∞，0）上单调递减， f （3）＝0，则满足不等式 xf
（ x ）＜0的 x 的取值范围是（　　）
A. （－3，0）∪（3，＋∞）
B. （－3，0）∪（0，3）
C. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
D. （－∞，－3）∪（0，3）
解析：　因为函数 f （ x ）是定义在R上的奇函
数，且 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减， f
（3）＝0，所以 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递
减，且 f （－3）＝0，作出函数 f （ x ）的简图，
如图所示，当 x ＞0时，由 xf （ x ）＜0得 f （ x ）
＜0，即 x ＞3；当 x ＜0时，由 xf （ x ）＜0得 f
（ x ）＞0，即 x ＜－3；当 x ＝0时， xf （ x ）＝0
不合题意.所以满足不等式 xf （ x ）＜0的 x 的取
值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞）.故选C.
1. 已知奇函数 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增，则（　　）
A. f （1）＜ f （2） B. f （1）＞ f （2）
C. f （1）＝ f （2） D. 以上都有可能
解析：　∵ f （ x ）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递增，∴ f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递增，∴ f （1）＜ f （2）.故选A.
2. 设偶函数 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，则（　　）
A. f （－ ）＜ f （－1）＜ f （2）
B. f （2）＜ f （－ ）＜ f （－1）
C. f （2）＜ f （－1）＜ f （－ ）
D. f （－1）＜ f （－ ）＜ f （2）
解析：　∵ f （ x ）为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （2）
＝ f （－2）.又 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜
－ ＜－1，∴ f （2）＝ f （－2）＜ f （－ ）＜ f （－1）.故选B.
3. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x －
x2.则当 x ＜0时， f （ x ）的解析式为 .
解析：当 x ＜0时，－ x ＞0，于是 f （－ x ）＝2（－ x ）－（－ x ）2
＝－2 x － x2.因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （ x ）＝－
f （－ x ）＝－（－2 x － x2）＝2 x ＋ x2，即当 x ＜0时， f （ x ）＝2 x
＋ x2.
f （ x ）＝2 x ＋ x2　
4. （2024·南通东南中学期中）已知偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）
上单调递增，则满足 f （2 x －1）＜ f （ ）的 x 的取值范围
为 .
解析：因为 f （ x ）是偶函数， f （－ x ）＝ f （ x ）＝ f （｜ x ｜），
所以不等式 f （2 x －1）＜ f （ ）等价于 f （｜2 x －1｜）＜ f
（ ），又因为偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，所
以｜2 x －1｜＜ ，解得 ＜ x ＜ .
（ ， ）　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 定义在R上的偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，若 f （ a ）
＜ f （ b ），则一定可得（　　）
A. a ＜ b B. a ＞ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. 0≤ a ＜ b 或 a ＞ b ≥0
解析：　∵ f （ x ）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递
增，∴由 f （ a ）＜ f （ b ）可得｜ a ｜＜｜ b ｜.故选C.
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2. 已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f
（ x ）－ g （ x ）＝ x3＋ x2＋1，则 f （1）＋ g （1）＝（　　）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析：　法一　用“－ x ”代替“ x ”，得 f （－ x ）－ g （－ x ）
＝（－ x ）3＋（－ x ）2＋1，化简得 f （ x ）＋ g （ x ）＝－ x3＋ x2＋
1，令 x ＝1，得 f （1）＋ g （1）＝1.
法二　由于 f （ x ）为偶函数， g （ x ）为奇函数，而 f （ x ）－ g
（ x ）＝ x3＋（ x2＋1），因此 f （ x ）＝ x2＋1， g （ x ）＝－ x3满足条
件.于是 f （1）＋ g （1）＝（1＋1）＋（－13）＝1.
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3. 若奇函数 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的
最大值为7，最小值为－1，则 f （－3）＋2 f （－6）＝（　　）
A. 13 B. －13
C. 5 D. －5
解析：　由 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的
最大值为7，最小值为－1，得 f （3）＝－1， f （6）＝7.∵ f （ x ）
是奇函数，∴ f （－3）＝－ f （3）＝1， f （－6）＝－ f （6）＝－
7，∴ f （－3）＋2 f （－6）＝1＋2×（－7）＝－13.
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4. 若奇函数 f （ x ）在（－∞，0）上的解析式为 f （ x ）＝ x （1＋
x ），则 f （ x ）在（0，＋∞）上有（　　）
A. 最大值－ B. 最大值
C. 最小值－ D. 最小值
解析：　法一　当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋ x ＝（ x ＋ ）2－ ，
所以 f （ x ）有最小值－ ，因为 f （ x ）是奇函数，所以当 x ＞0
时， f （ x ）有最大值 .
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法二　当 x ＞0时，－ x ＜0，所以 f （－ x ）＝－ x （1－ x ）.又 f （－
x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）＝ x （1－ x ）＝－ x2＋ x ＝－（ x － ）2
＋ ，所以 f （ x ）有最大值 .故选B.
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解析：　因为 f （ x ）为（－2，2）上的奇函数，所以 f （ t －1）
＋ f （2 t －3）＜0可化为 f （ t －1）＜ f （3－2 t ），又因为函数 f
（ x ）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜ t －1＜3－2 t ＜2，解
得 ＜ t ＜ .
5. 已知函数 f （ x ）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数，
若 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0，则 t 的取值范围为（　　）
A. （0， ） B. （0， ）
C. （ ， ） D. （ ，＋∞）
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6. （多选）已知函数 f （ x ）是R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）
＝ x2＋ x ＋ a －2，则（　　）
A. a ＝2 B. f （2）＝2
C. f （ x ）是R上的增函数 D. f （－3）＝－12
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解析：　 f （ x ）是R上的奇函数，故 f （0）＝ a －2＝0，得 a
＝2，故A正确. f （2）＝4＋2＝6，故B错误.当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2＋ x 在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知， f
（ x ）在（－∞，0]上单调递增，故 f （ x ）是R上的增函数，故C
正确. f （－3）＝－ f （3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、
C、D.
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7. 已知偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0.若 f （ x
－1）＞0，则 x 的取值范围是 .
解析：因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （ x －1）＝ f （｜ x －1｜）.
又因为 f （2）＝0，所以 f （ x －1）＞0可化为 f （｜ x －1｜）＞ f
（2）.又因为 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，所以｜ x －1｜＜
2，解得－2＜ x －1＜2，所以－1＜ x ＜3.
（－1，3）　
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8. 已知函数 f （ x ）是定义在[－3，3]上的奇函数，当 x ＞0时， f
（ x ）＝－ x （ x ＋1）.则函数 f （ x ）的解析式为
.
解析：设－3≤ x ＜0，则0＜－ x ≤3，则有 f （－ x ）＝ x （－ x ＋
1）＝－ x （ x －1），又因为 f （ x ）＝－ f （－ x ），所以 f （ x ）
＝ x （ x －1），又 f （0）＝0，所以 f （ x ）＝
f （ x ）＝
　
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9. 已知 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调
递增.若 f （－3）＝0，则 ＜0的解集为
.
解析：∵ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上
单调递增，∴ f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴ f （3）＝ f
（－3）＝0.当 x ＞0时，由 f （ x ）＜0，解得 x ＞3；当 x ＜0时，由
f （ x ）＞0，解得－3＜ x ＜0.故所求解集为{ x ｜－3＜ x ＜0或 x ＞3}.
{ x ｜－3＜ x ＜0或 x
＞3}　
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10. 已知函数 f （ x ）的图象关于原点对称，且当 x ＞0时 f （ x ）＝ x2－
2 x ＋3.
（1）试求 f （ x ）在R上的解析式；
解：因为函数 f （ x ）的图象关于原点对称，所以 f
（ x ）为奇函数，则 f （0）＝0.
设 x ＜0，则－ x ＞0.
因为当 x ＞0时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋3，
所以当 x ＜0时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x2＋2 x ＋3）
＝－ x2－2 x －3.
于是有 f （ x ）＝
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（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
解：先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性画
出 y 轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数 f （ x ）的增区间是（－∞，－1]，[1，＋
∞），减区间是[－1，0），（0，1].
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11. （2024·盐城东台期中）已知 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x
＞0时， f （ x ）单调递增，且 f （4）＝0，则满足不等式 f （ x －
1）＜0的 x 的取值范围是（　　）
A. （－3，1）
B. （1，5）
C. （－3，0）∪（1，5）
D. （－∞，－3）∪（1，5）
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解析：　∵ f （ x ）是定义域为R的奇函数，∴ f （4）＝－ f （－
4）＝0， f （－4）＝0，当 x －1＞0时， f （ x ）在（0，＋∞）上
单调递增，且 f （4）＝0， f （ x －1）＜ f （4），∴0＜ x －1＜4，
∴1＜ x ＜5，当 x －1＜0时，根据奇函数的性质可知 f （ x ）在
（－∞，0）上单调递增，且 f （－4）＝0， f （ x －1）＜ f （－
4），∴ x －1＜－4，∴ x ＜－3，∴ x ∈（－∞，－3）∪（1，
5）.故选D.
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12. 若函数 y ＝ f （ x ）是奇函数，且函数 F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2
在（0，＋∞）上有最大值8，则函数 y ＝ F （ x ）在（－∞，0）
上有（　　）
A. 最大值－8 B. 最小值－8
C. 最小值－6 D. 最小值－4
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解析：　∵ y ＝ f （ x ）和 y ＝ x 都是奇函数，∴ T （ x ）＝
af （ x ）＋ bx 也为奇函数.又∵ F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2
在（0，＋∞）上有最大值8，∴ T （ x ）＝ af （ x ）＋ bx 在
（0，＋∞）上有最大值6，∴ T （ x ）＝ af （ x ）＋ bx 在（－
∞，0）上有最小值－6，∴ F （ x ）＝ af （ x ）＋ bx ＋2在
（－∞，0）上有最小值－4.
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13. 若函数 f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）（常数 a ， b ∈R）是偶函
数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式 f （ x ）＝
.
－2
x2＋4　
解析：∵ f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）＝ bx2＋（2 a ＋ ab ） x
＋2 a2是偶函数，∴图象关于 y 轴对称，∴2 a ＋ ab ＝0，∴ a ＝0或
b ＝－2.若 a ＝0，则函数为 f （ x ）＝ bx2，当 b 为正数时，值域为
[0，＋∞），不符合题意；当 b 为负数时，值域为（－∞，0]，
不符合题意；当 b ＝0时，值域为{0}，不符合题意.若 b ＝－2，则
函数为 f （ x ）＝－2 x2＋2 a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2 a2＝4，
∴ f （ x ）＝－2 x2＋4.
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14. 已知定义在R上的偶函数 f （ x ），当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－
4 x ＋3.
（1）求函数 f （ x ）在R上的解析式；
解：当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－4
（－ x ）＋3＝ x2＋4 x ＋3，
又∵ f （ x ）为偶函数，
∴ f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x2＋4 x ＋3.
∴当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2＋4 x ＋3，
∴ f （ x ）＝
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（2）若函数 f （ x ）在区间[－1， a －2]上单调递增，求实数 a 的
取值范围.
解：由（1）知 f （ x ）＝（ x －2）2－1（ x ≥0）在
[0，2]上单调递减，函数 f （ x ）是偶函数.
∴ f （ x ）＝ x2＋4 x ＋3（ x ＜0）在[－2，0]上单调递增.
又∵ f （ x ）在[－1， a －2]上单调递增，
∴[－1， a －2] [－2，0].
∴则1＜ a ≤2，
故实数 a 的取值范围是（1，2].
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15. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx （ m ＞0）在区间[0，2]上的最小值为
g （ m ）.
（1）求函数 g （ m ）的解析式；
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解：f （ x ）＝ x2－ mx ＝ － （ m ＞0），
当0＜ ≤2，即0＜ m ≤4时， g （ m ）＝ f ＝－ .
当 m ＞4时，函数 f （ x ）＝ － 在区间[0，2]上单调递减，
此时 g （ m ）＝ f （2）＝4－2 m .
综上可知， g （ m ）＝
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解：因为当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ），
所以当 x ＞0时， h （ x ）＝
易知函数 h （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为
偶函数，且 h （ t ）＞ h （4），
所以0＜｜ t ｜＜4，解得－4＜ t ＜0或0＜ t ＜4.
综上所述，实数 t 的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为偶函
数，且当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ）.若 h （ t ）＞ h
（4），求实数 t 的取值范围.
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谢 谢 观 看！第2课时　奇偶性的应用
1.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f（b），则一定可得（　　）
A.a＜b B.a＞b
C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0
2.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝（　　）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
3.若奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f（－3）＋2f（－6）＝（　　）
A.13 B.－13
C.5 D.－5
4.若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（　　）
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
5.已知函数f（x）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数，若f（t－1）＋f（2t－3）＜0，则t的取值范围为（　　）
A.（0，） B.（0，）
C.（，） D.（，＋∞）
6.（多选）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2＋x＋a－2，则（　　）
A.a＝2 B.f（2）＝2
C.f（x）是R上的增函数 D.f（－3）＝－12
7.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0.若f（x－1）＞0，则x的取值范围是　　　　.
8.已知函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x（x＋1）.则函数f（x）的解析式为　　　　.
9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若f（－3）＝0，则＜0的解集为　　　　.
10.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且当x＞0时f（x）＝x2－2x＋3.
（1）试求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
11.（2024·盐城东台期中）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（4）＝0，则满足不等式f（x－1）＜0的x的取值范围是（　　）
A.（－3，1） B.（1，5）
C.（－3，0）∪（1，5） D.（－∞，－3）∪（1，5）
12.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，则函数y＝F（x）在（－∞，0）上有（　　）
A.最大值－8 B.最小值－8
C.最小值－6 D.最小值－4
13.若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝　　　　.
14.已知定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2－4x＋3.
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
15.已知函数f（x）＝x2－mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值为g（m）.
（1）求函数g（m）的解析式；
（2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）＝g（x）.若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围.
第2课时　奇偶性的应用
1.C　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.故选C.
2.C　法一　用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f（1）＋g（1）＝1.
法二　由于f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，而f（x）－g（x）＝x3＋（x2＋1），因此f（x）＝x2＋1，g（x）＝－x3满足条件.于是f（1）＋g（1）＝（1＋1）＋（－13）＝1.
3.B　由f（x）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f（3）＝－1，f（6）＝7.∵f（x）是奇函数，∴f（－3）＝－f（3）＝1，f（－6）＝－f（6）＝－7，∴f（－3）＋2f（－6）＝1＋2×（－7）＝－13.
4.B　法一　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝（x＋）2－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值.
法二　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－）2＋，所以f（x）有最大值.故选B.
5.C　因为f（x）为（－2，2）上的奇函数，所以f（t－1）＋f（2t－3）＜0可化为f（t－1）＜f（3－2t），又因为函数f（x）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜t－1＜3－2t＜2，解得＜t＜.
6.ACD　f（x）是R上的奇函数，故f（0）＝a－2＝0，得a＝2，故A正确.f（2）＝4＋2＝6，故B错误.当x≥0时，f（x）＝x2＋x在[0，＋∞）上单调递增，利用奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0]上单调递增，故f（x）是R上的增函数，故C正确.f（－3）＝－f（3）＝－9－3＝－12，故D正确.故选A、C、D.
7.（－1，3）　解析：因为f（x）是偶函数，所以f（x－1）＝f（｜x－1｜）.又因为f（2）＝0，所以f（x－1）＞0可化为f（｜x－1｜）＞f（2）.又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，所以｜x－1｜＜2，解得－2＜x－1＜2，所以－1＜x＜3.
8.f（x）＝
解析：设－3≤x＜0，则0＜－x≤3，则有f（－x）＝x（－x＋1）＝－x（x－1），又因为f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝x（x－1），又f（0）＝0，所以f（x）＝
9.{x｜－3＜x＜0或x＞3}
解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.∴f（3）＝f（－3）＝0.当x＞0时，由f（x）＜0，解得x＞3；当x＜0时，由f（x）＞0，解得－3＜x＜0.故所求解集为{x｜－3＜x＜0或x＞3}.
10.解：（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.
设x＜0，则－x＞0.
因为当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3，
所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.
于是有f（x）＝
（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数f（x）的增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），减区间是[－1，0），（0，1].
11.D　∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（4）＝－f（－4）＝0，f（－4）＝0，当x－1＞0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（4）＝0，f（x－1）＜f（4），∴0＜x－1＜4，∴1＜x＜5，当x－1＜0时，根据奇函数的性质可知f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－4）＝0，f（x－1）＜f（－4），∴x－1＜－4，∴x＜－3，∴x∈（－∞，－3）∪（1，5）.故选D.
12.D　∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，∴T（x）＝af（x）＋bx也为奇函数.又∵F（x）＝af（x）＋bx＋2在（0，＋∞）上有最大值8，∴T（x）＝af（x）＋bx在（0，＋∞）上有最大值6，∴T（x）＝af（x）＋bx在（－∞，0）上有最小值－6，∴F（x）＝af（x）＋bx＋2在（－∞，0）上有最小值－4.
13.－2x2＋4　解析：∵f（x）＝（x＋a）·（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.若a＝0，则函数为f（x）＝bx2，当b为正数时，值域为[0，＋∞），不符合题意；当b为负数时，值域为（－∞，0]，不符合题意；当b＝0时，值域为{0}，不符合题意.若b＝－2，则函数为f（x）＝－2x2＋2a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4.
14.解：（1）当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2－4（－x）＋3＝x2＋4x＋3，
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝x2＋4x＋3.
∴当x＜0时，f（x）＝x2＋4x＋3，
∴f（x）＝
（2）由（1）知f（x）＝（x－2）2－1（x≥0）在[0，2]上单调递减，函数f（x）是偶函数.
∴f（x）＝x2＋4x＋3（x＜0）在[－2，0]上单调递增.
又∵f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
∴[－1，a－2] [－2，0].
∴则1＜a≤2，
故实数a的取值范围是（1，2].
15.解：（1）f（x）＝x2－mx＝－（m＞0），
当0＜≤2，即0＜m≤4时，g（m）＝f＝－.
当m＞4时，函数f（x）＝－在区间[0，2]上单调递减，
此时g（m）＝f（2）＝4－2m.
综上可知，g（m）＝
（2）因为当x＞0时，h（x）＝g（x），
所以当x＞0时，h（x）＝
易知函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，
因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数h（x）为偶函数，且h（t）＞h（4），
所以0＜｜t｜＜4，解得－4＜t＜0或0＜t＜4.
综上所述，实数t的取值范围为（－4，0）∪（0，4）.
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