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培优课　函数性质的综合问题
题型一 函数图象的对称性
【例1】　定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（，0）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f（）＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.
通性通法
1.函数图象关于直线对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称轴
f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a
f（x）＝f（a－x） 直线x＝
f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝
2.函数图象关于点对称
y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称中心
f（a－x）＝－f（a＋x） （a，0）
f（x）＝－f（a－x） （，0）
f（a＋x）＝－f（b－x） （，0）
f（a＋x）＋f（b－x）＝c （，）
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（　　）
A.－1　　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，］ B.（1，］
C.［－，＋∞） D.（－∞，2]
题型二 函数性质的综合应用
【例2】　已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（）＝.
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数；
（3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0.
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
提醒　使用性质要规范，切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）.
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g（x）≤0的解集.
1.已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x＋2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（4）＋f（5）＝（　　）
A.－1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
2.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为　　　　.
3.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋.
（1）求f（2）的值；
（2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性；
（3）求当x＞0时，f（x）的解析式.
培优课　函数性质的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　B　∵y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（＋x）＋f（－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（）＝－f（）＝0.
跟踪训练
1.A　∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.
2.B　由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝，又二次函数f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.故选B.
【例2】　解：（1）根据题意得
即
解得∴f（x）＝.
（2）证明：任取x1，x2∈（－1，1），且令x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，1＋＞0，1＋＞0，1－x1x2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（－1，1）上是增函数.
（3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）.
∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜t＜.
∴不等式的解集为.
跟踪训练
　解：（1）由题意可知
所以解得＜x＜，
故函数g（x）的定义域为（，）.
（2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，
所以f（x－1）≤－f（3－2x）.
因为f（x）为奇函数，所以f（x－1）≤f（2x－3）.
而f（x）在（－2，2）上是减函数，
所以解得＜x≤2.
所以不等式g（x）≤0的解集为（，2］.
随堂检测
1.A　由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，由于f（x＋2）为偶函数，所以f（x）关于直线x＝2对称，所以f（4）＋f（5）＝f（0）＋f（－1）＝－f（1）＝－1.
2.（－∞，－1]，[1，＋∞）　解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）.
3.解：（1）根据题意，知函数f（x）为奇函数，
当x＜0时，f（x）＝1＋，则f（2）＝－f（－2）＝－（1＋）＝－.
（2）根据题意得，当x＜0时，f（x）＝1＋.
在（－∞，0）上任取x1，x2，设x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（1＋）－（1＋）＝－＝.
又由x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，
可得f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
由定义可知，函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.
（3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝1－，
由函数f（x）为奇函数知f（x）＝－f（－x），
所以f（x）＝－1＋＝－.
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培优课
函数性质的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数图象的对称性
【例1】　定义在R上的偶函数 y ＝ f （ x ），其图象关于点（ ，0）
对称，且 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝－ x ＋ ，则 f （ ）＝（　　）
A. －1 B. 0 C. 1
解析：　∵ y ＝ f （ x ）的图象关于点（ ，0）对称，∴ f （ ＋ x ）
＋ f （ － x ）＝0，即 f （1＋ x ）＋ f （－ x ）＝0.又∵ y ＝ f （ x ）为偶
函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （1＋ x ）＋ f （ x ）＝0，即 f （1＋
x ）＝－ f （ x ），∴ f （ ）＝－ f （ ）＝0.
通性通法
1. 函数图象关于直线对称
y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称轴
f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a
f （ x ）＝ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ）
2. 函数图象关于点对称
y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称中心
f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ） （ a ，0）
f （ x ）＝－ f （ a － x ）
f （ a ＋ x ）＝－ f （ b － x ）
f （ a ＋ x ）＋ f （ b － x ）＝ c
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）的定义域为R，若 f （1－ x ）为奇函数， f （ x －
1）为偶函数.设 f （－2）＝1，则 f （2）＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　∵ f （ x －1）为偶函数，∴ f （－ x －1）＝ f （ x －1），
∴ f （ x ）图象关于直线 x ＝－1对称，∴ f （－2）＝ f （0）＝1；
∵ f （1－ x ）为奇函数，∴ f （1＋ x ）＝－ f （1－ x ），∴ f （ x ）
图象关于点（1，0）对称，∴ f （2）＝－ f （0）＝－1，故选A.
2. 已知图象开口向上的二次函数 f （ x ），对任意 x ∈R，都满足 f （
－ x ）＝ f （ x ＋ ），若 f （ x ）在区间（ a ，2 a －1）上单调递
减，则实数 a 的取值范围为（　　）
D. （－∞，2]
解析：　由 f （ － x ）＝ f （ x ＋ ），得函数 f （ x ）图象的对称
轴是直线 x ＝ ，又二次函数 f （ x ）图象开口向上，若 f （ x ）在区
间（ a ，2 a －1）上单调递减，则解得1＜ a ≤ .故
选B.
题型二 函数性质的综合应用
【例2】　已知函数 f （ x ）＝ 是定义在（－1，1）上的奇函
数，且 f （ ）＝ .
（1）确定函数 f （ x ）的解析式；
解：根据题意得即
解得∴ f （ x ）＝ .
（2）用定义法证明 f （ x ）在（－1，1）上是增函数；
解：证明：任取 x1， x2∈（－1，1），
且令 x1＜ x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ .
∵－1＜ x1＜ x2＜1，
∴ x1－ x2＜0，1＋ ＞0，1＋ ＞0，1－ x1 x2＞0，
∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
∴ f （ x ）在（－1，1）上是增函数.
（3）解不等式： f （ t －1）＋ f （ t ）＜0.
解： f （ t －1）＜－ f （ t ）＝ f （－ t ）.
∵ f （ x ）在（－1，1）上是增函数，
∴解得0＜ t ＜ .
∴不等式的解集为 .
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决
求值和比较大小的问题.
提醒　使用性质要规范，切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），函数 g （ x ）＝ f （ x －1）
＋ f （3－2 x ）.
（1）求函数 g （ x ）的定义域；
解：由题意可知
所以解得 ＜ x ＜ ，
故函数 g （ x ）的定义域为（ ， ）.
（2）若 f （ x ）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式 g
（ x ）≤0的解集.
解：由 g （ x ）≤0，得 f （ x －1）＋ f （3－2 x ）≤0，
所以 f （ x －1）≤－ f （3－2 x ）.
因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （ x －1）≤ f （2 x －3）.
而 f （ x ）在（－2，2）上是减函数，
所以解得 ＜ x ≤2.
所以不等式 g （ x ）≤0的解集为（ ，2］.
1. 已知奇函数 f （ x ）的定义域为R，若 f （ x ＋2）为偶函数，且 f
（1）＝1，则 f （4）＋ f （5）＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　由于 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （0）＝0，
由于 f （ x ＋2）为偶函数，所以 f （ x ）关于直线 x ＝2对称，所以 f
（4）＋ f （5）＝ f （0）＋ f （－1）＝－ f （1）＝－1.
2. 奇函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数 f （ x ）的
增区间为 .
解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数 f （ x ）的增区间为
（－∞，－1]，[1，＋∞）.
（－∞，－1]，[1，＋∞）　
3. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋
.
（1）求 f （2）的值；
解：根据题意，知函数 f （ x ）为奇函数，
当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ，则 f （2）＝－ f （－2）＝－
（1＋ ）＝－ .
（2）用定义法判断 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上的单调性；
解：根据题意得，当 x ＜0时， f （ x ）＝1＋ .
在（－∞，0）上任取 x1， x2，设 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（1＋ ）－（1＋ ）＝
－ ＝ .
又由 x1－1＜0， x2－1＜0， x2－ x1＞0，
可得 f （ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2）.
由定义可知，函数 y ＝ f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减.
（3）求当 x ＞0时， f （ x ）的解析式.
解：当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝1－ ，
由函数 f （ x ）为奇函数知 f （ x ）＝－ f （－ x ），
所以 f （ x ）＝－1＋ ＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且 f （ x ）＝ f （4－ x ），
当－2≤ x ＜0时， f （ x ）＝ ，则 f （ ）＝（　　）
A. －2
D. 2
解析：　∵ f （ x ）＝ f （4－ x ），∴ f （ x ）的图象关于直线 x ＝
2对称，∴ f （ ）＝ f （ ）.又∵函数 f （ x ）为奇函数，∴ f （ ）
＝－ f （－ ）＝－（－2）＝2，即 f （ ）＝2.
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2. 已知定义在R上的奇函数 f （ x ），且当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）
单调递增，则不等式 f （2 x ＋1）＋ f （1）≥0的解集是（　　）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. （－∞，1]
解析：　因为函数 f （ x ）是奇函数，所以不等式 f （2 x ＋1）＋ f
（1）≥0等价于 f （2 x ＋1）≥ f （－1）.又当 x ≥0时，函数 f
（ x ）单调递增，所以函数 f （ x ）在R上为增函数，所以 f （2 x ＋
1）≥ f （－1）等价于2 x ＋1≥－1，解得 x ≥－1.
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3. 已知函数 f （ x ）在区间（0，2）上单调递减，又函数 y ＝ f （ x ＋
2）是偶函数，那么 f （ x ）（　　）
A. 在区间（2，4）上单调递减
B. 在区间（2，4）上单调递增
C. 在区间（－2，0）上单调递减
D. 在区间（－2，0）上单调递增
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解析：　∵函数 y ＝ f （ x ＋2）是偶函数，∴函数 y ＝ f （ x ＋2）
关于 y 轴对称，即函数 y ＝ f （ x ）关于 x ＝2对称，∵函数 f （ x ）在
（0，2）上单调递减，∴函数 f （ x ）在（2，4）上单调递增.函数
在（－2，0）的单调性无法确定.故选B.
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4. 若定义在R上的函数 f （ x ）满足：对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋
x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）＋1，则下列说法一定正确的是（　　）
A. f （ x ）－1为奇函数 B. f （ x ）－1为偶函数
C. f （ x ）＋1为奇函数 D. f （ x ）＋1为偶函数
解析：　∵对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）＋ f
（ x2）＋1，令 x1＝ x2＝0，得 f （0）＝－1.令 x1＝ x ， x2＝－ x ，得
f （0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＋1.∴ f （ x ）＋1＝－ f （－ x ）－1＝
－[ f （－ x ）＋1]，∴ f （ x ）＋1为奇函数.
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5. 设定义在R上的奇函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，且 f
（1）＝0，则不等式 x [ f （ x ）－ f （－ x ）]＜0的解集为（　　）
A. { x ｜－1＜ x ＜0或 x ＞1}
B. { x ｜ x ＜－1或0＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＜－1或 x ＞1}
D. { x ｜－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1}
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解析：　∵奇函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调
递增， f （－ x ）＝－ f （ x ）， x [ f （ x ）－ f （－
x ）]＜0，∴ xf （ x ）＜0，又 f （1）＝0，∴ f
（－1）＝0，从而有函数 f （ x ）的大致图象如图
所示.则不等式 x [ f （ x ）－ f （－ x ）]＜0的解集
为{ x ｜－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1}.
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6. 设函数 f （ x ）的定义域为R， f （ x ＋1）为奇函数， f （ x ＋2）为
偶函数，当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝ ax2＋ b .若 f （0）＋ f （3）＝
6，则 f （ ）＝（　　）
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解析：　∵ f （ x ＋1）为奇函数，∴ f （ x ）的图象关于点（1，
0）成中心对称， f （1）＝0.∵ f （ x ＋2）为偶函数，∴ f （ x ）的
图象关于直线 x ＝2成轴对称，∴ f （0）＝－ f （2）， f （3）＝ f
（1）＝0.又∵ f （0）＋ f （3）＝6，∴ f （0）＝6， f （2）＝－6.
如图所示.又当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝ ax2＋ b ，
∴∴∴当 x ∈[1，2]时， f （ x ）＝－2 x2
＋2，∴ f （ ）＝ f （－ ）＝－ f （ ）＝－ f （ ）＝－（－2×
＋2）＝ .
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7. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ），若函数 f （ x ）在（0，＋
∞）上单调递增，且 f （ x ）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋
∞）
B. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）的值域为（1，＋∞）
C. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增
D. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减
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解析：　当 f （ x ）是定义在R上的奇函数时， f （0）＝0，即0
在值域内，故A错误；若 f （ x ）是奇函数，因为函数 f （ x ）在
（0，＋∞）上单调递增，所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递
增，故C正确；当 f （ x ）是定义在R上的偶函数时， f （ x ）的图象
关于 y 轴对称，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋
∞），但在 x ＝0时的函数值不确定，故B错误；若 f （ x ）是偶函
数，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，则 f （ x ）在（－
∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D.
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8. （多选）函数 f （ x ）的图象关于点 P （ a ， b ）成中心对称图形的
充要条件是函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 为奇函数，则下列函数有对称
中心的是（　　）
A. f （ x ）＝ x B. f （ x ）＝ x3－3 x2
C. f （ x ）＝ x4＋ x2
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解析：　∵函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 为奇函
数，∴ f （－ x ＋ a ）－ b ＝－ f （ x ＋ a ）＋ b ，即 f
（ x ＋ a ）＋ f （－ x ＋ a ）＝2 b .对于A，由 f （ x ＋
a ）＋ f （－ x ＋ a ）＝2 b 得 a ＝ b ，∴对于任意的 a
＝ b ， P （ a ， b ）都是其对称中心，故A满足题
意；
对于B， f （ x ）＝ x3－3 x2＝（ x －1）3－3 x ＋1＝
（ x －1）3－3（ x －1）－2，∴ f （ x ＋1）＝ x3－3 x
－2，∴ f （ x ＋1）＋2＝ x3－3 x 是奇函数，∴ P
（1，－2）为其对称中心，故B满足题意；对于C，
∵ f （ x ）＝ x4＋ x2是偶函数，图象关于 y 轴对称，
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且 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递
减，其图象大致如图①所示，故不可能找到一个点使它为中心对称
图形，故C不满足题意；对于D， f （ x ）＝ 的图象如图②所示.
其图象关于（1，0）对称.
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9. （多选）已知函数 f （ x ）对 x ∈R，都有 f （－ x ）＝－ f （ x ），
f （2－ x ）＝ f （ x ），且 f （1）＝1，则（　　）
A. f （ x ）的图象关于直线 x ＝2对称
B. f （ x ）的图象关于点（－2，0）中心对称
C. f （6）＝0
D. f （5）＝－1
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解析：　因为 f （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数，又
因为 f （2－ x ）＝ f （ x ），所以 f （ x ）关于 x ＝1对称，所以 f （2
－ x ）＝－ f （－ x ），令 x 等价于－ x ，所以 f （2＋ x ）＝－ f
（ x ），再令 x 等价于 x ＋2，所以 f （ x ）＝ f （ x ＋4），由 f （ x ）
＝ f （ x ＋4）， f （－ x ）＝－ f （ x ）可得：－ f （－ x ）＝ f （ x ＋
4），所以 f （ x ）的图象关于（2，0）对称，故A不正确；又因为 f
（ x ）的图象关于（2，0）对称，且 f （ x ）＝ f （ x ＋4），所以 f
（ x ）的图象关于点（－2，0）中心对称，故B正确；令 f （2－
x ）＝ f （ x ）中 x ＝0，可得 f （2）＝0，所以 f （6）＝ f （2）＝
0，故C正确； f （5）＝ f （1）＝1，故D不正确.故选B、C.
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10. 已知偶函数 f （ x ）和奇函数 g （ x ）的定义域都是（－4，4），
且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f （ x ）· g
（ x ）＜0的解集是 .
（－4，－2）∪（0，2）　
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解析：设 h （ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 h （－ x ）＝ f （－ x ）· g
（－ x ）＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ h （ x ），所以 h （ x ）是奇函
数，由图象可知，当－4＜ x ＜－2时， f （ x ）＞0， g （ x ）＜0，
即 h （ x ）＜0，当0＜ x ＜2时， f （ x ）＜0， g （ x ）＞0，即 h
（ x ）＜0，所以 h （ x ）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
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11. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x －1）＜ f （2 x ＋
1），则 x 的取值范围为 .
解析：若 x ＞0，则－ x ＜0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋2 x ＝ x2＋2 x
＝ f （ x ），同理可得，当 x ＜0时， f （－ x ）＝ f （ x ），且 x ＝0
时， f （0）＝0，所以 f （ x ）是偶函数.因为当 x ＞0时，函数 f
（ x ）单调递增，所以不等式 f （ x －1）＜ f （2 x ＋1）等价于｜ x
－1｜＜｜2 x ＋1｜，整理得 x （ x ＋2）＞0，解得 x ＞0或 x ＜－2.
（－∞，－2）∪（0，＋∞）　
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12. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）判断 f （ x ）的奇偶性并证明；
解：（1）函数 f （ x ）是奇函数.
证明：函数 f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋
∞），
因为 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是奇函数.
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（2）当 x ∈（1，＋∞）时，判断 f （ x ）的单调性并证明；
解：（2）函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增.
证明：任取 x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＞ x2，则
f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝ ＝
＝ ，
因为 x1＞ x2＞1，所以 x1－ x2＞0， x1 x2－1＞0， x1 x2＞0，
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所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增.
（3）在（2）的条件下，若实数 m 满足 f （3 m ）＞ f （5－2 m ），
求 m 的取值范围.
解：（3）由（2）知函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递
增，所以3 m ＞5－2 m ＞1，
解得1＜ m ＜2，
所以 m 的取值范围为（1，2）.
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13. 设 a 为实数，函数 f （ x ）＝ x2＋｜ x － a ｜＋1.
（1）讨论 f （ x ）的奇偶性；
解：（1）当 a ＝0时，函数 f （－ x ）＝（－ x ）2＋｜－ x ｜
＋1＝ f （ x ），
此时 f （ x ）为偶函数；
当 a ≠0时， f （ a ）＝ a2＋1， f （－ a ）＝ a2＋2｜ a ｜＋1，
则 f （－ a ）≠ f （ a ）， f （－ a ）≠－ f （ a ），
此时函数 f （ x ）既不是奇函数，也不是偶函数.
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（2）求 f （ x ）的最小值.
解：（2）①当 x ＜ a 时，
f （ x ）＝ x2－ x ＋ a ＋1＝（ x － ）2＋ a ＋ .
若 a ≤ ，则函数 f （ x ）在（－∞， a ]上单调递减，从而函
数 f （ x ）在（－∞， a ]上的最小值为 f （ a ）＝ a2＋1；
若 a ＞ ，则函数 f （ x ）在（－∞， a ]上的最小值为 f
（ ）＝ ＋ a ，且 f （ ）＜ f （ a ）.
②当 x ≥ a 时，
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f （ x ）＝ x2＋ x － a ＋1＝（ x ＋ ）2－ a ＋ .
若 a ≤－ ，则函数 f （ x ）在[ a ，＋∞）上的最小值为 f
（－ ）＝ － a ，且 f （－ ）≤ f （ a ）；
若 a ＞－ ，则函数 f （ x ）在[ a ，＋∞）上单调递增，从而
函数 f （ x ）在[ a ，＋∞）上的最小值为 f （ a ）＝ a2＋1.
综上所述，当 a ≤－ 时，函数 f （ x ）的最小值是 － a ；
当－ ＜ a ≤ 时，
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函数 f （ x ）的最小值是 a2＋1；
当 a ＞ 时，
函数 f （ x ）的最小值是 a ＋ .
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谢 谢 观 看！培优课　函数性质的综合问题
1.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（　　）
A.－2 B.－
C. D.2
2.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（　　）
A.（－∞，1） B.（－1，＋∞）
C.[－1，＋∞） D.（－∞，1]
3.已知函数f（x）在区间（0，2）上单调递减，又函数y＝f（x＋2）是偶函数，那么f（x）（　　）
A.在区间（2，4）上单调递减 B.在区间（2，4）上单调递增
C.在区间（－2，0）上单调递减 D.在区间（－2，0）上单调递增
4.若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（　　）
A.f（x）－1为奇函数 B.f（x）－1为偶函数
C.f（x）＋1为奇函数 D.f（x）＋1为偶函数
5.设定义在R上的奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0，则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为（　　）
A.{x｜－1＜x＜0或x＞1} B.{x｜x＜－1或0＜x＜1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}
6.设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
7.（多选）已知定义在R上的函数f（x），若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A.若f（x）是奇函数，则f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）
B.若f（x）是偶函数，则f（x）的值域为（1，＋∞）
C.若f（x）是奇函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递增
D.若f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递减
8.（多选）函数f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，则下列函数有对称中心的是（　　）
A.f（x）＝x B.f（x）＝x3－3x2
C.f（x）＝x4＋x2 D.f（x）＝
9.（多选）已知函数f（x）对 x∈R，都有f（－x）＝－f（x），f（2－x）＝f（x），且f（1）＝1，则（　　）
A.f（x）的图象关于直线x＝2对称 B.f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称
C.f（6）＝0 D.f（5）＝－1
10.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）·g（x）＜0的解集是　　　　.
11.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为　　　　.
12.已知函数f（x）＝.
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）当x∈（1，＋∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（3）在（2）的条件下，若实数m满足f（3m）＞f（5－2m），求m的取值范围.
13.设a为实数，函数f（x）＝x2＋｜x－a｜＋1.
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值.
培优课　函数性质的综合问题
1.D　∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2.
2.C　因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
3.B　∵函数y＝f（x＋2）是偶函数，∴函数y＝f（x＋2）关于y轴对称，即函数y＝f（x）关于x＝2对称，∵函数f（x）在（0，2）上单调递减，∴函数f（x）在（2，4）上单调递增.函数在（－2，0）的单调性无法确定.故选B.
4.C　∵对任意x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，令x1＝x2＝0，得f（0）＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1.∴f（x）＋1＝－f（－x）－1＝－[f（－x）＋1]，∴f（x）＋1为奇函数.
5.D　∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，f（－x）＝－f（x），x[f（x）－f（－x）]＜0，∴xf（x）＜0，又f（1）＝0，∴f（－1）＝0，从而有函数f（x）的大致图象如图所示.则不等式x[f（x）－f（－x）]＜0的解集为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}.
6.D　∵f（x＋1）为奇函数，∴f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，f（1）＝0.∵f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2成轴对称，∴f（0）＝－f（2），f（3）＝f（1）＝0.又∵f（0）＋f（3）＝6，∴f（0）＝6，f（2）＝－6.如图所示.又当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b，∴∴∴当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2，∴f（）＝f（－）＝－f（）＝－f（）＝－（－2×＋2）＝.
7.CD　当f（x）是定义在R上的奇函数时，f（0）＝0，即0在值域内，故A错误；若f（x）是奇函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，故C正确；当f（x）是定义在R上的偶函数时，f（x）的图象关于y轴对称，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋∞），但在x＝0时的函数值不确定，故B错误；若f（x）是偶函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D.
8.ABD　∵函数y＝f（x＋a）－b为奇函数，∴f（－x＋a）－b＝－f（x＋a）＋b，即f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b.对于A，由f（x＋a）＋f（－x＋a）＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P（a，b）都是其对称中心，故A满足题意；
对于B，f（x）＝x3－3x2＝（x－1）3－3x＋1＝（x－1）3－3（x－1）－2，∴f（x＋1）＝x3－3x－2，∴f（x＋1）＋2＝x3－3x是奇函数，∴P（1，－2）为其对称中心，故B满足题意；对于C，∵f（x）＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，
且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，其图象大致如图①所示，故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f（x）＝的图象如图②所示.其图象关于（1，0）对称.
9.BC　因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，又因为f（2－x）＝f（x），所以f（x）关于x＝1对称，所以f（2－x）＝－f（－x），令x等价于－x，所以f（2＋x）＝－f（x），再令x等价于x＋2，所以f（x）＝f（x＋4），由f（x）＝f（x＋4），f（－x）＝－f（x）可得：－f（－x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于（2，0）对称，故A不正确；又因为f（x）的图象关于（2，0）对称，且f（x）＝f（x＋4），所以f（x）的图象关于点（－2，0）中心对称，故B正确；令f（2－x）＝f（x）中x＝0，可得f（2）＝0，所以f（6）＝f（2）＝0，故C正确；f（5）＝f（1）＝1，故D不正确.故选B、C.
10.（－4，－2）∪（0，2）　解析：设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以h（x）是奇函数，由图象可知，当－4＜x＜－2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
11.（－∞，－2）∪（0，＋∞）　解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2.
12.解：（1）函数f（x）是奇函数.
证明：函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
因为f（－x）＝＝－＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（2）函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
证明：任取x1，x2∈（1，＋∞）且x1＞x2，则
f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝
＝，
因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.
（3）由（2）知函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以3m＞5－2m＞1，解得1＜m＜2，
所以m的取值范围为（1，2）.
13.解：（1）当a＝0时，函数f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＋1＝f（x），此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（a）＝a2＋1，f（－a）＝a2＋2｜a｜＋1，
则f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a），
此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）①当x＜a时，
f（x）＝x2－x＋a＋1＝（x－）2＋a＋.
若a≤，则函数f（x）在（－∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（a）＝a2＋1；
若a＞，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）＝＋a，且f（）＜f（a）.
②当x≥a时，
f（x）＝x2＋x－a＋1＝（x＋）2－a＋.
若a≤－，则函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（－）＝－a，且f（－）≤f（a）；
若a＞－，则函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（a）＝a2＋1.
综上所述，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a；
当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2＋1；
当a＞时，函数f（x）的最小值是a＋.
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