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章末检测（五）　函数概念与性质
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝＋的定义域是（　　）
A.[－1，＋∞） B.（－∞，0）∪（0，＋∞）
C.[－1，0）∪（0，＋∞） D.R
2.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的减区间为（　　）
A.（－3，－1）∪（1，4）
B.（－5，－3）∪（－1，1）
C.（－3，－1），（1，4）
D.（－5，－3），（－1，1）
3.函数f（2x＋1）＝x2－3x＋1，则f（3）＝（　　）
A.－1 B.1
C.－2 D.2
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝－x3
C.y＝x2 D.y＝x＋2
5.已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤0，则实数a的取值范围是（　　）
A.[－1，1] B.[－2，0]
C.[0，2] D.[－2，2]
6.函数y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜的最小值为（　　）
A.0 B.1
C. D.2
7.若函数y＝f（x）的图象如图所示，函数y＝f（2－x）的图象为（　　）
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为R
C.f（x）为奇函数 D.f（x）为增函数
10.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，则下列说法正确的是（　　）
A.f（－2）＝－6
B.f（x）在定义域R上为增函数
C.当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－x
D.不等式f（x－1）＜6的解集为（－∞，3）
11.已知函数f（x）＝，m∈R，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
B.f（x）是奇函数
C.当m＝0时，f（x）与y＝x为同一个函数
D.当m＝1时，｜f（x）｜的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.写出一个单调递减的奇函数　　　　.
13.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的最大值为　　　　.
14.已知函数f（x）＝则函数f（x）是　　　　　函数（填奇偶性）；若f（f（a））＜f（f（－3）），则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）.
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性.
16.（本小题满分15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
18.（本小题满分17分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为［，］，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x.
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”.
章末检测（五）　函数概念与性质
1.C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.
2.C　在某个区间上，若函数y＝f（x）的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为（－3，－1），（1，4）.
3.A　设2x＋1＝3，得x＝1，则f（3）＝1－3＋1＝－1.故选A.
4.B　对于A，y＝为奇函数，在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，在定义域内不是减函数，所以A不合题意；对于B，y＝－x3为奇函数，在定义域R上为减函数，所以B符合题意；对于C，y＝x2为偶函数，所以C不合题意；对于D，由于y＝x＋2为非奇非偶函数，所以D不合题意.故选B.
5.D　依题意，可得或
或
解得－2≤a≤2.故选D.
6.B　y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜＝由于y＝4－3x在（－∞，1）上单调递减，y＝x在[1，2]上单调递增，y＝3x－4在（2，＋∞）上单调递增，故y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜在x＝1处取得最小值，最小值为1.故选B.
7.C　函数y＝f（x）的图象先关于y对称可得函数y＝f（－x）的图象，再向右平移2个单位长度得函数y＝f[－（x－2）]的图象，即y＝f（2－x）的图象.故选C.
8.C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x）－＞0，即＞0，等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又由f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）.故选C.
9.ACD　根据分段函数的定义可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D.
10.ABD　因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，所以当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋（－x）]＝－x2＋x，所以选项C不正确；因为f（－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以选项A正确；二次函数f（x）＝x2＋x的对称轴为x＝－，所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，而f（x）是奇函数，它的图象关于原点对称，所以f（x）在定义域R上为增函数，因此选项B正确；因为f（x）是奇函数，f（－2）＝－6，所以f（2）＝6，于是由f（x－1）＜6 f（x－1）＜f（2） x－1＜2 x＜3，所以选项D正确.故选A、B、D.
11.ABD　要使函数f（x）＝有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；因为f（－x）＝＝－＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）是奇函数，故B正确；当m＝0时，f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），而y＝x的定义域为R，定义域不同，所以f（x）与y＝x不是同一个函数，故C错误；当m＝1时，｜f（x）｜＝｜｜＝＝｜x｜＋≥2＝2，当且仅当｜x｜＝即x＝±1时等号成立，故D正确.故选A、B、D.
12.f（x）＝－x（答案不唯一）　解析：f（x）＝－x，在定义域R上是减函数，又f（－x）＝x＝－（－x）＝－f（x），所以函数是奇函数.
13.　解析：如图所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图象为图中的实线部分，则易知所求最大值即为图中B点的纵坐标，又B，故所求最大值为.
14.奇　a＜－3　解析：法一　当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝（－x）2＋2（－x）＝x2－2x＝－（－x2＋2x）＝－f（x），当x≤0时，－x≥0，则f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x＝－（x2＋2x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.因为f（－3）＝3＞0，f（f（－3））＝f（3）＝－3，所以f（f（a））＜－3.若f（a）＜0，则f2（a）＋2f（a）＜－3，无解；若f（a）≥0，则－f2（a）＋2f（a）＜－3，解得f（a）＞3或f（a）＜－1，又f（a）≥0，所以f（a）＞3.进一步分类讨论，若a＜0，则a2＋2a＞3，解得a＞1或a＜－3，即a＜－3；若a≥0，则－a2＋2a＞3，无解，综上，a＜－3.
法二　画出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）是奇函数.
以下同法一.
15.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数.
当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）.
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，此时f（x）＝x2＋.
x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2），
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增.
16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0，
由题意得＞0，
所以f（a）＋f（－b）＞0.
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（－b）＝－f（b），
所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）.
（2）由（1）知f（x）为R上的增函数，
因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，
所以f（1＋m）≥－f（3－2m），
即f（1＋m）≥f（2m－3），
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为（－∞，4].
17.解：（1）由题意可知，2≥30.
整理得（5x＋1）（x－3）≥0，
解得x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
所以x的取值范围是[3，10].
（2）易知获得的利润y＝
＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120（－3t2＋t＋5）.
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元.
18.解：（1）由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得函数f（x）的对称轴为x＝1，
要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜，
即实数a的取值范围是（0，）.
（2）由f（x）的最小值为1，可设f（x）＝k（x－1）2＋1，
又f（0）＝3，即k×（0－1）2＋1＝3，解得k＝2，
所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，
可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立，
化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立，
设函数g（x）＝x2－3x＋1，
则g（x）在区间[－1，1]上单调递减，
所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1，
所以m＜－1.
所以实数m的取值范围为（－∞，－1）.
19.解：（1）当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]，
由奇函数的定义可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x，
所以g（x）＝
（2）设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值域为［，］，
所以解得
所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］.
（3）因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为［，］，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以则
只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0.
①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2，
由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］；
②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上单调递增，
故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1.
所以－2≤a＜b≤－1，
因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则解得
所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［，－1］.
综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为［1，］和［，－1］.
3 / 3(共41张PPT)
章末检测（五）　函数概念与性质
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（　　）
A. [－1，＋∞）
B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. [－1，0）∪（0，＋∞）
D. R
解析：　要使函数有意义，需满足即 x ≥－1且 x
≠0.故选C.
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2. 已知函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则该函数的减区间为（　　）
A. （－3，－1）∪（1，4）
B. （－5，－3）∪（－1，1）
C. （－3，－1），（1，4）
D. （－5，－3），（－1，1）
解析：　在某个区间上，若函数 y ＝ f （ x ）的图象是上升的，则
该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减
区间为（－3，－1），（1，4）.
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3. 函数 f （2 x ＋1）＝ x2－3 x ＋1，则 f （3）＝（　　）
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
解析：　设2 x ＋1＝3，得 x ＝1，则 f （3）＝1－3＋1＝－1.
故选A.
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4. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　）
A. y ＝ B. y ＝－ x3
C. y ＝ x2 D. y ＝ x ＋2
解析：　对于A， y ＝ 为奇函数，在（－∞，0）和（0，＋∞）
上单调递减，在定义域内不是减函数，所以A不合题意；对于B， y
＝－ x3为奇函数，在定义域R上为减函数，所以B符合题意；对于
C， y ＝ x2为偶函数，所以C不合题意；对于D，由于 y ＝ x ＋2为非
奇非偶函数，所以D不合题意.故选B.
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5. 已知函数 f （ x ）＝若 f （－ a ）＋ f （ a ）≤0，
则实数 a 的取值范围是（　　）
A. [－1，1] B. [－2，0]
C. [0，2] D. [－2，2]
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解析： D　依题意，可得或
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解得－2≤ a ≤2.故选D.
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6. 函数 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜的最小值为（　　）
A. 0 B. 1 C. D. 2
解析：　 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜＝由于 y ＝
4－3 x 在（－∞，1）上单调递减， y ＝ x 在[1，2]上单调递增， y
＝3 x －4在（2，＋∞）上单调递增，故 y ＝｜ x －2｜＋｜2 x －2｜
在 x ＝1处取得最小值，最小值为1.故选B.
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7. 若函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，函数 y ＝ f （2－ x ）的图象为
（　　）
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解析：　函数 y ＝ f （ x ）的图象先关于 y 对称可得函数 y ＝ f （－
x ）的图象，再向右平移2个单位长度得函数 y ＝ f [－（ x －2）]的
图象，即 y ＝ f （2－ x ）的图象.故选C.
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8. 定义在（0，＋∞）上的函数 f （ x ）满足 ＜0，
且 f （2）＝4，则不等式 f （ x ）－ ＞0的解集为（　　）
A. （4，＋∞） B. （0，4）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
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解析：　由题意，设 g （ x ）＝ xf （ x ），因为
＜0，即 ＜0，所以函数 g （ x ）在（0，＋∞）上单
调递减，不等式 f （ x ）－ ＞0，即 ＞0，等价于 xf （ x ）
－8＞0，即 xf （ x ）＞8，又由 f （2）＝4，则 g （2）＝2· f （2）＝
8，所以不等式 xf （ x ）＞8的解集为（0，2）.故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）＝则下列结论正确的是（　　）
A. f （ x ）的定义域为R B. f （ x ）的值域为R
C. f （ x ）为奇函数 D. f （ x ）为增函数
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解析：　根据分段函数的定义可知， f （ x ）的定义域为R，选
项A正确； f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），
选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选
A、C、D.
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10. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，当 x ∈（0，＋∞）时， f
（ x ）＝ x2＋ x ，则下列说法正确的是（　　）
A. f （－2）＝－6
B. f （ x ）在定义域R上为增函数
C. 当 x ∈（－∞，0）时， f （ x ）＝－ x2－ x
D. 不等式 f （ x －1）＜6的解集为（－∞，3）
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解析：　因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，当 x ∈（0，＋
∞）时， f （ x ）＝ x2＋ x ，所以当 x ∈（－∞，0）时， f （ x ）＝
－ f （－ x ）＝－[（－ x ）2＋（－ x ）]＝－ x2＋ x ，所以选项C不
正确；因为 f （－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以选项A
正确；二次函数 f （ x ）＝ x2＋ x 的对称轴为 x ＝－ ，所以当 x ∈
（0，＋∞）时， f （ x ）单调递增，又因为 f （ x ）是定义在R上
的奇函数，所以 f （0）＝0，而 f （ x ）是奇函数，它的图象关于
原点对称，所以 f （ x ）在定义域R上为增函数，因此选项B正
确；因为 f （ x ）是奇函数， f （－2）＝－6，所以 f （2）＝6，于是由 f （ x －1）＜6 f （ x －1）＜ f （2） x －1＜2 x ＜3，所以选项D正确.故选A、B、D.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ ， m ∈R，则下列结论正确的是（　　）
A. f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
B. f （ x ）是奇函数
C. 当 m ＝0时， f （ x ）与 y ＝ x 为同一个函数
D. 当 m ＝1时，｜ f （ x ）｜的最小值为2
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解析：　要使函数 f （ x ）＝ 有意义，则 x ≠0，即 f
（ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；因为 f
（－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），且 f （ x ）的定义域关
于原点对称，所以函数 f （ x ）是奇函数，故B正确；当 m ＝0时，
f （ x ）＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），而 y ＝ x 的
定义域为R，定义域不同，所以 f （ x ）与 y ＝ x 不是同一个函数，
故C错误；
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当 m ＝1时，｜ f （ x ）｜＝｜ ｜＝ ＝｜ x ｜＋ ≥2
＝2，当且仅当｜ x ｜＝ 即 x ＝±1时等号成立，
故D正确.故选A、B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 写出一个单调递减的奇函数 .
解析： f （ x ）＝－ x ，在定义域R上是减函数，又 f （－ x ）＝ x
＝－（－ x ）＝－ f （ x ），所以函数是奇函数.
f （ x ）＝－ x （答案不唯一）　
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13. 记实数 x1， x2，…， xn 中的最大数为max{ x1， x2，…， xn }，最小
数为min{ x1， x2，…， xn }，则min{ x ＋1， x2－ x ＋1，－ x ＋6}的
最大值为 .
解析：如图所示， y ＝min{ x ＋1， x2－ x
＋1，－ x ＋6}的图象为图中的实线部分，
则易知所求最大值即为图中 B 点的纵坐
标，又 B ，故所求最大值为 .
　
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14. 已知函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）是 函数
（填奇偶性）；若 f （ f （ a ））＜ f （ f （－3）），则实数 a 的取
值范围为 .
奇　
a ＜－3　
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解析：法一　当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝（－ x ）2＋2
（－ x ）＝ x2－2 x ＝－（－ x2＋2 x ）＝－ f （ x ），当 x ≤0时，－
x ≥0，则 f （－ x ）＝－（－ x ）2＋2（－ x ）＝－ x2－2 x ＝－（ x2
＋2 x ）＝－ f （ x ），所以函数 f （ x ）是奇函数.因为 f （－3）＝
3＞0， f （ f （－3））＝ f （3）＝－3，所以 f （ f （ a ））＜－3.
若 f （ a ）＜0，则 f2（ a ）＋2 f （ a ）＜－3，无解；若 f （ a ）
≥0，则－ f2（ a ）＋2 f （ a ）＜－3，解得 f （ a ）＞3或 f （ a ）＜
－1，又 f （ a ）≥0，所以 f （ a ）＞3.进一步分类讨论，若 a ＜
0，则 a2＋2 a ＞3，解得 a ＞1或 a ＜－3，即 a ＜－3；若 a ≥0，则
－ a2＋2 a ＞3，无解，综上， a ＜－3.
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法二　画出函数 f （ x ）的图象，如图所示，易知 f （ x ）是奇函数.
以下同法一.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0）.
（1）判断 f （ x ）的奇偶性，并说明理由；
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解：当 a ＝0时， f （ x ）＝ x2， f （－ x ）＝ f （ x ），
函数 f （ x ）是偶函数.
当 a ≠0时， f （ x ）＝ x2＋ （ x ≠0），而 f （－1）＋ f
（1）＝2≠0， f （－1）－ f （1）＝－2 a ≠0，∴ f （－1）
≠－ f （1）， f （－1）≠ f （1）.
∴函数 f （ x ）既不是奇函数也不是偶函数.
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（2）若 f （1）＝2，试判断 f （ x ）在[2，＋∞）上的单调性.
解：若 f （1）＝2，即1＋ a ＝2，解得 a ＝1，此时 f
（ x ）＝ x2＋ .
x1， x2∈[2，＋∞），且 x1＜ x2，则 f （ x1）－ f （ x2）＝
－ ＝（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋ ＝
（ x1－ x2） ，
由于 x1≥2， x2≥2，且 x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0， x1＋ x2＞ ，∴ f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在[2，＋∞）上单调递增.
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16. （本小题满分15分）设 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且对任意
a ， b ∈R，当 a ＋ b ≠0时，都有 ＞0.
（1）若 a ＞ b ，试比较 f （ a ）与 f （ b ）的大小关系；
解：因为 a ＞ b ，所以 a － b ＞0，
由题意得 ＞0，
所以 f （ a ）＋ f （－ b ）＞0.
又 f （ x ）是定义在R上的奇函数，
所以 f （－ b ）＝－ f （ b ），
所以 f （ a ）－ f （ b ）＞0，即 f （ a ）＞ f （ b ）.
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（2）若 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，求实数 m 的取值范围.
解：由（1）知 f （ x ）为R上的增函数，
因为 f （1＋ m ）＋ f （3－2 m ）≥0，
所以 f （1＋ m ）≥－ f （3－2 m ），
即 f （1＋ m ）≥ f （2 m －3），
所以1＋ m ≥2 m －3，所以 m ≤4.
所以实数 m 的取值范围为（－∞，4].
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17. （本小题满分15分）某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产
某种产品（生产条件要求1≤ x ≤10），每小时可获得的利润是
万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求 x 的取
值范围；
解：由题意可知，2 ≥30.
整理得（5 x ＋1）（ x －3）≥0，解得 x ≤－ 或 x ≥3.
又1≤ x ≤10，所以3≤ x ≤10.
所以 x 的取值范围是[3，10].
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（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选
取何种生产速度？并求出最大利润.
解：易知获得的利润 y ＝
＝120 ， x ∈[1，10]，
令 t ＝ ∈ ，则 y ＝120（－3 t2＋ t ＋5）.
当 t ＝ ，即 x ＝6时， ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，
且最大利润为610万元.
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18. （本小题满分17分）已知二次函数 f （ x ）的最小值为1，且 f
（0）＝ f （2）＝3.
（1）若 f （ x ）在区间[2 a ， a ＋1]上不单调，求实数 a 的取
值范围；
解：由题意，得函数 f （ x ）是二次函数，且 f （0）＝
f （2），可得函数 f （ x ）的对称轴为 x ＝1，
要使 f （ x ）在区间[2 a ， a ＋1]上不单调，则满足2 a ＜1＜
a ＋1，解得0＜ a ＜ ，
即实数 a 的取值范围是（0， ）.
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（2）在区间[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的图象恒在 y ＝2 x ＋2 m ＋1
的图象上方，试确定实数 m 的取值范围.
解：由 f （ x ）的最小值为1，可设 f （ x ）＝ k （ x －1）2＋1，
又 f （0）＝3，即 k ×（0－1）2＋1＝3，解得 k ＝2，
所以函数的解析式为 f （ x ）＝2（ x －1）2＋1＝2 x2－4
x ＋3.
由在区间[－1，1]上， y ＝ f （ x ）的图象恒在 y ＝2 x ＋
2 m ＋1的图象上方，
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可得2 x2－4 x ＋3＞2 x ＋2 m ＋1在区间[－1，1]上恒成立，
化简得 m ＜ x2－3 x ＋1在区间[－1，1]上恒成立，
设函数 g （ x ）＝ x2－3 x ＋1，
则 g （ x ）在区间[－1，1]上单调递减，
所以 g （ x ）在区间[－1，1]上的最小值为 g （1）＝－1，
所以 m ＜－1.
所以实数 m 的取值范围为（－∞，－1）.
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19. （本小题满分17分）若函数 f （ x ）在 x ∈[ a ， b ]时，函数 f
（ x ）的取值区间恰为［ ， ］，就称区间[ a ， b ]为 f （ x ）的
一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数 g （ x ），当 x
∈[0，2]时， g （ x ）＝－ x2＋2 x .
（1）求 g （ x ）的解析式；
解：当 x ∈[－2，0）时，则－ x ∈（0，2]，
由奇函数的定义可得 g （ x ）＝－ g （－ x ）＝－[－（－ x ）2＋2（－ x ）]＝ x2＋2 x ，
所以 g （ x ）＝
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（2）求函数 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”；
解：设 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[ a ，
b ]，则1≤ a ＜ b ≤2，因为函数 g （ x ）在[1，2]上单调递
减，且 g （ x ）在[ a ， b ]上的值域为［ ， ］，
所以解得
所以函数 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为［1， ］.
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（3）求函数 g （ x ）在定义域内的所有“倒域区间”.
解：因为 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]时，函数值 g （ x ）的
取值区间恰为［ ， ］，其中 a ≠ b 且 a ≠0， b ≠0，所以
则
只考虑0＜ a ＜ b ≤2或－2≤ a ＜ b ＜0.
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①当0＜ a ＜ b ≤2时，因为函数 g （ x ）在[0，1]上单调递
增，在[1，2]上单调递减，
故当 x ∈[0，2]时， g （ x ）max＝ g （1）＝1，则 ≤1，所
以1≤ a ＜2，所以1≤ a ＜ b ≤2，
由（2）知 g （ x ）在[1，2]内的“倒域区间”为［1， ］；
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②当－2≤ a ＜ b ＜0时， g （ x ）在[－2，－1]上单调递减，
在[－1，0]上单调递增，
故当 x ∈[－2，0）时， g （ x ）min＝ g （－1）＝－1，所以
≥－1，所以－2＜ b ≤－1.
所以－2≤ a ＜ b ≤－1，
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因为 g （ x ）在[－2，－1]上单调递减，则
解得
所以 g （ x ）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［ ，－1］.
综上所述，函数 g （ x ）在定义域内的“倒域区间”为［1，
］和［ ，－1］.
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