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第1课时　对数函数的概念、图象与性质
1.函数f（x）＝＋lg（3x＋1）的定义域是（　　）
A.
B.（1，＋∞）
C.∪（1，＋∞）
D.∪（1，＋∞）
2.已知对数函数的图象过点M（9，－2），则此对数函数的解析式为（　　）
A.y＝log2x B.y＝log3x
C.y＝lox D.y＝lox
3.函数y＝1＋lo（x－1）的图象恒过定点（　　）
A.（1，1） B.（1，0）
C.（2，1） D.（2，0）
4.设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则（　　）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
5.（多选）函数y＝log（a－2）[（5－a）（x2＋1）]中，实数a的取值可能是（　　）
A. B.3
C.4 D.5
6.（多选）在同一坐标系中，f（x）＝kx＋b与g（x）＝logbx的图象如图，则下列关系正确的是（　　）
A.k＞0，0＜b＜1
B.k＞0，b＞1
C.f（）＞0（x＞0），g（x）＞0（x＞0）
D.x＞1时，f（x）－g（x）＞0
7.如果函数f（x）对任意的正实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b），则这样的函数f（x）的解析式可以是　　　　（写出一个即可）.
8.若函数y＝log（2a－3）x在（0，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　.
9.若loga＜1，则a的取值范围为　　　　.
10.已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
11.已知loga＞logb＞0，则下列关系正确的是（　　）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
12.设函数f（x）＝f（）lg x＋1，则f（10）＝（　　）
A.1 B.－1
C.10 D.
13.已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围为　　　　.
14.已知f（x）为定义在区间（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log2x.
（1）当x∈（－∞，0）时，求函数f（x）的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间.
15.若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围.
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
1.A　由可得－＜x＜1.故选A.
2.C　设函数f（x）＝logax（x＞0，a＞0且a≠1），∵对数函数的图象过点M（9，－2），∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a＞0，解得a＝.∴此对数函数的解析式为y＝lox.故选C.
3.C　令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋lo（x－1）的图象一定经过点（2，1）.故选C.
4.C　a＝log2π＞1，b＝loπ＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b.故选C.
5.AC　由题意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C.
6.AD　由图象可知k＞0，0＜b＜1，所以A正确，B错误；当x＞1时，g（x）＜0，所以C选项错误；当x＞1时，f（x）＞0，g（x）＜0，所以f（x）－g（x）＞0，所以D选项正确.
7.f（x）＝lg x（答案不唯一）　解析：由题意，函数f（x）对任意的正实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b），可考虑对数函数f（x）＝lg x，满足f（ab）＝lg（ab）＝lg a＋lg b＝f（a）＋f（b），故f（x）＝lg x满足题意.
8.（2，＋∞）　解析：由题意，得2a－3＞1，解得a＞2.所以a的取值范围是（2，＋∞）.
9.（0，）∪（1，＋∞）　解析：当a＞1时，满足条件；当0＜a＜1时，由得0＜a＜，综上，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）.
10.解：（1）要使函数有意义，则需满足
解得－2＜x＜2.故函数f（x）的定义域为（－2，2）.
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，因为f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－[loga（2＋x）－loga（2－x）]＝－f（x）.所以函数f（x）为奇函数.
11.A　由loga＞0，logb＞0，可知a，b∈（0，1）.又loga＞logb，作出图象如图所示，结合图象易知a＞b，∴0＜b＜a＜1.
12.A　∵f（x）＝f（）lg x＋1，将式中x换成，∴f（）＝f（x）lg ＋1.由以上两式，得f（x）＝，∴f（10）＝＝1.
13.（1，＋∞）　解析：因为y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）.
14.解：（1）设任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞），所以f（－x）＝log2（－x），
又f（x）为定义在区间（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，得f（－x）＝f（x），
所以f（x）＝log2（－x）（x∈（－∞，0））.
（2）画出函数图象如图所示.
f（x）的单调增区间是（0，＋∞），单调减区间是（－∞，0）.
15.解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，
在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示.
要使x2＜logmx在内恒成立，
只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0＜m＜1.
∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logm，
∴≤，即≤m.
又0＜m＜1，∴≤m＜1.
即实数m的取值范围是.
2 / 26.3　对数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运算、逻辑推理
4.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1） 数学抽象、直观想象
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
　　已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x.
【问题】　（1）如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？
（2）问题（1）中的关系式中，x是关于y的函数吗？
（3）如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数y＝　　　　（a＞0，a≠1）叫作对数函数，它的定义域是　　　　.
提醒　在对数函数的定义表达式y＝logax（a＞0，a≠1）中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.
知识点二　对数函数的图象及性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：　　　
值域：　　
图象过点：　　　
在（0，＋∞）上是　　　函数； 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 在（0，＋∞）上是　　　函数； 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
提醒　（1）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴；（2）当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴.
【想一想】
　底数a的取值与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象有什么关系？
知识点三　反函数
　当a＞0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数.反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地，如果函数y＝f（x）存在反函数，那么它的反函数记作y＝　　　　.
提醒　反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
【想一想】
　对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与y＝lox（a＞0且a≠1）有什么关系？
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.对数函数的定义域为R
B.函数y＝log2（2x）是对数函数
C.函数y＝log0.3x是减函数
D.对数函数的图象一定在y轴右侧
2.若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax是对数函数，则a＝　　　　.
3.函数f（x）＝loga（2x－1）＋2的图象恒过定点　　　　.
题型一 对数函数的概念
【例1】　（1）下列函数中是对数函数的是（　　）
A.y＝3log2x B.y＝log6x
C.y＝logx5 D.y＝log2x＋1
（2）（链接教科书第154页例1）函数f（x）＝ln（x2－x）的定义域为（　　）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞）
B.（－∞，0]∪[1，＋∞）
C.（0，1）
D.[0，1]
通性通法
1.判断一个函数是对数函数的方法
2.求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝　　　　.
2.若对数函数f（x）＝logax的图象过点（2，1），则f（8）＝　　　　.
题型二 对数函数的图象及应用
【例2】　（1）（链接教科书第159页习题11题）函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系为（　　）
A.1＜d＜c＜a＜b
B.c＜d＜1＜a＜b
C.c＜d＜1＜b＜a
D.d＜c＜1＜a＜b
（2）函数y＝lo（2x－1）的图象恒过定点（　　）
A.（1，1） B.（1，0）
C.（2，1） D.（2，0）
通性通法
1.对数函数底数对图象的影响
其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0＜c＜d＜1＜a＜b.
2.关于定点问题
求函数y＝m＋logaf（x）（a＞0，且a≠1）的图象过定点时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点为（x，m）.
【跟踪训练】
1.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（　　）
A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1 D.b＞a＞1
2.若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（3，2），则实数b，c的值分别为　　　　.
题型三 对数函数的性质及应用
角度1　对数值的大小比较
【例3】　（链接教科书第154页例2）比较下列各组数中两个数的大小：
（1）ln 0.3，ln 2；
（2）loga3.1，loga5.2（a＞0，且a≠1）；
（3）log30.2，log40.2；
（4）log3π，logπ3.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
角度2　求解对数不等式
【例4】　（链接教科书第159页习题13题）解下列不等式：
（1）log2（2x＋3）≥log2（5x－6）；
（2）loga（x－4）－loga（2x－1）＞0（a＞0，且a≠1）；
（3）logx＞1.
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝logaab），再借助y＝logax的单调性求解；
（3）形如logf（x）a＞logg（x）a（f（x），g（x）＞0且不等于1，a＞0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
【跟踪训练】
1.（2024·南京期末）已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（　　）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
2.不等式log（3x－5）7＞log（2x）7（x＞2）的解集为　　　　.
1.下列函数是对数函数的是（　　）
A.y＝log2x B.y＝ln（x＋1）
C.y＝logxe D.y＝logxx
2.（2024·南京十三中期中）函数f（x）＝ln（1－2x）的定义域为（　　）
A.（ －∞，］ B.（ －∞，）
C.（ 0，） D.（ ，＋∞）
3.在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的大致图象是（　　）
4.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集为　　　　.
第1课时　对数函数的概念、图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点一
　logax　（0，＋∞）
知识点二
　（0，＋∞）　R　（1，0）　增　减　
想一想
　提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”.
知识点三
　f－1（x）
想一想
　提示：在同一坐标系内，y＝logax（a＞0且a≠1）的图象与y＝lox（a＞0且a≠1）的图象关于x轴（即直线y＝0）对称.
自我诊断
1.CD　A中，对数函数的定义域为（0，＋∞），故A错误；函数y＝log2（2x）不是对数函数，故B错误；函数y＝log0.3x是减函数，故C正确；对数函数的图象一定在y轴右侧，故D正确.故选C、D.
2.2　解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a＞0且a≠1，所以a＝2.
3.（1，2）　解析：令2x－1＝1，得x＝1，又f（1）＝2，故f（x）的图象恒过定点（1，2）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　（2）A　解析：（1）A中，log2x的系数是3，不是1，不是对数函数；B中，符合对数函数的结构形式，是对数函数；C中，自变量在底数位置上，不是对数函数；D中，对数式log2x后又加上1，不是对数函数.
（2）由题意得x2－x＞0，解得x＞1或x＜0，故函数的定义域是（－∞，0）∪（1，＋∞）.故选A.
跟踪训练
1.1　解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
2.3　解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f（x）＝log2x，故f（8）＝log28＝3.
【例2】　（1）B　（2）B　解析：（1）令函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y＝1从左到右依次与上述四个函数的图象交于（c，1），（d，1），（a，1），（b，1）四点，从而得出c＜d＜a＜b.又a＞1，b＞1，d＜1，c＜1，所以c＜d＜1＜a＜b.
（2）令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝0，故函数y＝lo（2x－1）的图象恒过定点（1，0）.
跟踪训练
1.B　作直线y＝1（图略），则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.故选B.
2.－2，2　解析：∵函数的图象恒过定点（3，2），∴将（3，2）代入y＝loga（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋c.又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
【例3】　解：（1）因为函数y＝ln x在（0，＋∞）上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.
（2）当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.
（3）因为log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.
（4）因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
【例4】　解：（1）原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
（2）原不等式化为loga（x－4）＞loga（2x－1）.
当a＞1时，不等式等价于 无解；
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x｜x＞4}.
（3）当x＞1时，logx＞1＝logxx，
解得x＜，此时不等式无解.
当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，
解得x＞，所以＜x＜1.
综上所述，原不等式的解集为.
跟踪训练
1.D　因为0＝log0.31＞a＝log0.32＞b＝log0.33，c＝log32＞log31＝0，所以b＜a＜c.故选D.
2.（2，5）　解析：由x＞2得3x－5＞1，2x＞4，由log（3x－5）7＞log（2x）7，得＞，故1＜3x－5＜2x，解得2＜x＜5，即原不等式的解集为（2，5）.
随堂检测
1.A　由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2.B　由题意得1－2x＞0，即x＜.故选B.
3.B
4.（－2，1）　解析：因为函数y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
5 / 5(共63张PPT)
6.3　对数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函
数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运
算、逻辑推理
4.知道对数函数 y ＝log ax 与指数函数 y ＝ ax 互为
反函数（ a ＞0，且 a ≠1） 数学抽象、
直观想象
第1课时　
对数函数的概念、图象与性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　已知细胞分裂个数 y 与分裂次数 x 满足 y ＝2 x .
【问题】　（1）如果知道了细胞的个数 y ，如何确定分裂的次数
x 呢？
（2）问题（1）中的关系式中， x 是关于 y 的函数吗？
（3）如果用 x 表示自变量，用 y 表示函数，那么这个函数是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 y ＝ （ a ＞0， a ≠1）叫作对数函数，它的定
义域是 .
提醒　在对数函数的定义表达式 y ＝log ax （ a ＞0， a ≠1）中，
log ax 前边的系数必须是1，自变量 x 在真数的位置上，否则就不是
对数函数.
log ax 　
（0，＋∞）　
知识点二　对数函数的图象及性质
a ＞1 0＜ a ＜1
图
象
a ＞1 0＜ a ＜1
性
质 定义域：
值域：
图象过点：
在（0，＋∞）上是 函数； 当0＜ x ＜1时， y ＜0； 当 x ＞1时， y ＞0 在（0，＋∞）上是 函
数；
当0＜ x ＜1时， y ＞0；
当 x ＞1时， y ＜0
（0，＋∞）　
R　
（1，0）　
增　
减　
提醒　（1）当0＜ a ＜1时，底数越小，图象越靠近 x 轴；（2）当 a ＞
1时，底数越大，图象越靠近 x 轴.
【想一想】
　底数 a 的取值与对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象有什么
关系？
提示：底数 a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a ＞
1时，对数函数的图象“上升”；当0＜ a ＜1时，对数函数的图象“下
降”.
知识点三　反函数
当 a ＞0， a ≠1时， y ＝log ax 称为 y ＝ ax 的反函数.反之， y ＝ ax 也称
为 y ＝log ax 的反函数.一般地，如果函数 y ＝ f （ x ）存在反函数，那
么它的反函数记作 y ＝ .
提醒　反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线
y ＝ x 对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函
数的定义域.
f－1（ x ）　
【想一想】
　对数函数 y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）与 y ＝lo x （ a ＞0且 a ≠1）有
什么关系？
提示：在同一坐标系内， y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象与 y ＝lo
x （ a ＞0且 a ≠1）的图象关于 x 轴（即直线 y ＝0）对称.
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 对数函数的定义域为R
B. 函数 y ＝log2（2 x ）是对数函数
C. 函数 y ＝log0.3 x 是减函数
D. 对数函数的图象一定在 y 轴右侧
解析：CD　A中，对数函数的定义域为（0，＋∞），故A错误；
函数 y ＝log2（2 x ）不是对数函数，故B错误；函数 y ＝log0.3 x 是减
函数，故C正确；对数函数的图象一定在 y 轴右侧，故D正确.故选
C、D.
2. 若函数 f （ x ）＝（ a2＋ a －5）log ax 是对数函数，则 a ＝ .
解析：由 a2＋ a －5＝1得 a ＝－3或 a ＝2.又 a ＞0且 a ≠1，所
以 a ＝2.
3. 函数 f （ x ）＝log a （2 x －1）＋2的图象恒过定点 .
解析：令2 x －1＝1，得 x ＝1，又 f （1）＝2，故 f （ x ）的图象恒
过定点（1，2）.
2　
（1，2）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数函数的概念
【例1】　（1）下列函数中是对数函数的是（　B　）
A. y ＝3log2 x B. y ＝log6 x
C. y ＝log x 5 D. y ＝log2 x ＋1
解析： A中，log2 x 的系数是3，不是1，不是对数函数；B中，符合对
数函数的结构形式，是对数函数；C中，自变量在底数位置上，不是
对数函数；D中，对数式log2 x 后又加上1，不是对数函数.
B
（2）（链接教科书第154页例1）函数 f （ x ）＝ln（ x2－ x ）的定义域
为（　A　）
A. （－∞，0）∪（1，＋∞）
B. （－∞，0]∪[1，＋∞）
C. （0，1）
D. [0，1]
解析：由题意得 x2－ x ＞0，解得 x ＞1或 x ＜0，故函数的定义域
是（－∞，0）∪（1，＋∞）.故选A.
A
通性通法
1. 判断一个函数是对数函数的方法
2. 求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）＝（ a2－ a ＋1）log（ a＋1） x 是对数函数，则实数 a
＝ .
解析：由 a2－ a ＋1＝1，解得 a ＝0或1.又 a ＋1＞0，且 a ＋1≠1，
∴ a ＝1.
2. 若对数函数 f （ x ）＝log ax 的图象过点（2，1），则 f （8）＝ .
解析：依题意知1＝log a 2，所以 a ＝2，所以 f （ x ）＝log2 x ，故 f
（8）＝log28＝3.
1　
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题型二 对数函数的图象及应用
【例2】　（1）（链接教科书第159页习题11题）函数 y ＝log ax ， y ＝
log bx ， y ＝log cx ， y ＝log dx 的图象如图所示，则 a ， b ， c ， d 的大小
关系为（　B　）
A. 1＜ d ＜ c ＜ a ＜ b B. c ＜ d ＜1＜ a ＜ b
C. c ＜ d ＜1＜ b ＜ a D. d ＜ c ＜1＜ a ＜ b
B
解析：令函数 y ＝log ax， y ＝log bx， y ＝log cx， y ＝log dx 取同样的函数
值1，得到的自变量的值恰好分别是 a ， b ， c ， d .直线 y ＝1从左到右
依次与上述四个函数的图象交于（ c ，1），（ d ，1），（ a ，1），
（ b ，1）四点，从而得出 c ＜ d ＜ a ＜ b .又 a ＞1， b ＞1， d ＜1， c ＜
1，所以 c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .
解析：令2 x －1＝1，得 x ＝1，此时 y ＝0，故函数 y ＝lo （2 x
－1）的图象恒过定点（1，0）.
（2）函数 y ＝lo （2 x －1）的图象恒过定点（　B　）
A. （1，1） B. （1，0）
C. （2，1） D. （2，0）
B
通性通法
1. 对数函数底数对图象的影响
其中 a ， b ， c ， d 是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0＜ c ＜ d ＜1＜ a ＜ b .
求函数 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图
象过定点时，只需令 f （ x ）＝1求出 x ，即得定点为（ x ， m ）.
2. 关于定点问题
【跟踪训练】
1. 如图，若 C1， C2分别为函数 y ＝log ax 和 y ＝log bx 的图象，则
（　　）
A. 0＜ a ＜ b ＜1
B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. a ＞ b ＞1
D. b ＞ a ＞1
解析： 　作直线 y ＝1（图略），则直线与 C1， C2的交点的横坐
标分别为 a ， b ，易知0＜ b ＜ a ＜1.故选B.
2. 若函数 y ＝log a （ x ＋ b ）＋ c （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过定点
（3，2），则实数 b ， c 的值分别为 .解析：∵函数的图象
恒过定点（3，2），∴将（3，2）代入 y ＝log a （ x ＋ b ）＋ c ，得
2＝log a （3＋ b ）＋ c .又当 a ＞0，且 a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴
c ＝2，3＋ b ＝1，∴ b ＝－2， c ＝2.
－2，2　
解析：∵函数的图象恒过定点（3，2），∴将（3，2）代入 y ＝
log a （ x ＋ b ）＋ c ，得2＝log a （3＋ b ）＋ c .又当 a ＞0，且 a ≠
1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2，3＋ b ＝1，∴ b ＝－2， c ＝2.
题型三 对数函数的性质及应用
角度1　对数值的大小比较
【例3】　（链接教科书第154页例2）比较下列各组数中两个数的
大小：
（1）ln 0.3，ln 2；
解：因为函数 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，且0.3＜2，所
以ln 0.3＜ln 2.
（2）log a 3.1，log a 5.2（ a ＞0，且 a ≠1）；
解：当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是增函数，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2；
当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数，
又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2.
综上所述，当 a ＞1时，log a 3.1＜log a 5.2；
当0＜ a ＜1时，log a 3.1＞log a 5.2.
（3）log30.2，log40.2；
解：因为log0.23＞log0.24，所以 ＜ ，即log30.2＜
log40.2.
（4）log3π，logπ3.
解：因为函数 y ＝log3 x 是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对
底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再
进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
角度2　求解对数不等式
【例4】　（链接教科书第159页习题13题）解下列不等式：
（1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）；
解：原不等式等价于
解得 ＜ x ≤3.
所以不等式的解集为 .
（2）log a （ x －4）－log a （2 x －1）＞0（ a ＞0，且 a ≠1）；
解：原不等式化为log a （ x －4）＞log a （2 x －1）.
当 a ＞1时，不等式等价于 无解；
当0＜ a ＜1时，不等式等价于解得 x ＞4.
综上可知，当 a ＞1时，解集为 ；当0＜ a ＜1时，解集为{ x ｜ x
＞4}.
（3）log x ＞1.
解：当 x ＞1时，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＜ ，此时不等式无解.
当0＜ x ＜1时，log x ＞1＝log xx ，
解得 x ＞ ，所以 ＜ x ＜1.
综上所述，原不等式的解集为 .
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
（1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的单调性求解，如果
a 的取值不确定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况进行讨论；
（2）形如log ax ＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式
（ b ＝log aab ），再借助 y ＝log ax 的单调性求解；
（3）形如log f（ x） a ＞log g（ x） a （ f （ x ）， g （ x ）＞0且不等于1， a
＞0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或
利用函数图象求解.
【跟踪训练】
1. （2024·南京期末）已知 a ＝log0.32， b ＝log0.33， c ＝log32，则下
列结论正确的是（　　）
A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b
C. c ＜ a ＜ b D. b ＜ a ＜ c
解析： 　因为0＝log0.31＞ a ＝log0.32＞ b ＝log0.33， c ＝log32＞
log31＝0，所以 b ＜ a ＜ c .故选D.
2. 不等式log（3 x－5）7＞log（2 x）7（ x ＞2）的解集为 .
解析：由 x ＞2得3 x －5＞1，2 x ＞4，由log（3 x－5）7＞log（2 x）7，得
＞ ，故1＜3 x －5＜2 x ，解得2＜ x ＜5，即原不
等式的解集为（2，5）.
（2，5）
1. 下列函数是对数函数的是（　　）
A. y ＝log2 x B. y ＝ln（ x ＋1）
C. y ＝log x e D. y ＝log xx
解析： 　由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2. （2024·南京十三中期中）函数 f （ x ）＝ln（1－2 x ）的定义域为
（　　）
A. （ －∞， ］ B. （ －∞， ）
C. （ 0， ） D. （ ，＋∞）
解析： 　由题意得1－2 x ＞0，即 x ＜ .故选B.
3. 在同一坐标系中，函数 y ＝2 x 与 y ＝log2 x 的大致图象是（　　）
4. 不等式lo （5＋ x ）＜lo （1－ x ）的解集为 .
解析：因为函数 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜ x ＜1.
（－2，1）　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 函数 f （ x ）＝ ＋lg（3 x ＋1）的定义域是（　　）
A.
B. （1，＋∞）
C. ∪（1，＋∞）
D. ∪（1，＋∞）
解析： 　由可得－ ＜ x ＜1.故选A.
2. 已知对数函数的图象过点 M （9，－2），则此对数函数的解析式
为（　　）
A. y ＝log2 x B. y ＝log3 x
C. y ＝lo x D. y ＝lo x
解析： 　设函数 f （ x ）＝log ax （ x ＞0， a ＞0且 a ≠1），∵对数
函数的图象过点 M （9，－2），∴－2＝log a 9，∴ a－2＝9， a ＞
0，解得 a ＝ .∴此对数函数的解析式为 y ＝lo x .故选C.
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3. 函数 y ＝1＋lo （ x －1）的图象恒过定点（　　）
A. （1，1） B. （1，0）
C. （2，1） D. （2，0）
解析： 　令 x －1＝1，得 x ＝2，此时 y ＝1，故函数 y ＝1＋lo
（ x －1）的图象一定经过点（2，1）.故选C.
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4. 设 a ＝log2π， b ＝lo π， c ＝π－2，则（　　）
A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. a ＞ c ＞ b D. c ＞ b ＞ a
解析： a ＝log2π＞1， b ＝lo π＜0， c ＝π－2∈（0，1），所以
a ＞ c ＞ b .故选C.
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5. （多选）函数 y ＝log（ a－2）[（5－ a ）（ x2＋1）]中，实数 a 的取
值可能是（　　）
A. B. 3 C. 4 D. 5
解析： 　由题意可知，即因此2＜ a ＜5且
a ≠3.故选A、C.
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6. （多选）在同一坐标系中， f （ x ）＝ kx ＋ b 与 g （ x ）＝log bx 的图
象如图，则下列关系正确的是（　　）
A. k ＞0，0＜ b ＜1
B. k ＞0， b ＞1
C. f （ ）＞0（ x ＞0）， g （ x ）＞0（ x ＞0）
D. x ＞1时， f （ x ）－ g （ x ）＞0
解析： 　由图象可知 k ＞0，0＜ b ＜1，所以A正确，B错误；当
x ＞1时， g （ x ）＜0，所以C选项错误；当 x ＞1时， f （ x ）＞0，
g （ x ）＜0，所以 f （ x ）－ g （ x ）＞0，所以D选项正确.
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7. 如果函数 f （ x ）对任意的正实数 a ， b ，都有 f （ ab ）＝ f （ a ）＋
f （ b ），则这样的函数 f （ x ）的解析式可以是
（写出一个即可）.
解析：由题意，函数 f （ x ）对任意的正实数 a ， b ，都有 f （ ab ）
＝ f （ a ）＋ f （ b ），可考虑对数函数 f （ x ）＝lg x ，满足 f （ ab ）
＝lg（ ab ）＝lg a ＋lg b ＝ f （ a ）＋ f （ b ），故 f （ x ）＝lg x 满足
题意.
f （ x ）＝lg x （答
案不唯一）
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8. 若函数 y ＝log（2 a－3） x 在（0，＋∞）上是增函数，则实数 a 的取值
范围是 .
解析：由题意，得2 a －3＞1，解得 a ＞2.所以 a 的取值范围是
（2，＋∞）.
（2，＋∞）　
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9. 若log a ＜1，则 a 的取值范围为 　（0， ）∪（1，＋∞）　.
解析：当 a ＞1时，满足条件；当0＜ a ＜1时，由
得0＜ a ＜ ，综上，实数 a 的取值范围是（0， ）∪（1，＋∞）.
（0， ）∪（1，＋∞）　
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10. 已知函数 f （ x ）＝log a （2＋ x ）－log a （2－ x ）（ a ＞0，且 a
≠1）.
（1）求函数 f （ x ）的定义域；
解： 要使函数有意义，则需满足
解得－2＜ x ＜2.故函数 f （ x ）的定义域为（－2，2）.
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（2）判断函数 f （ x ）的奇偶性.
解： 由（1）知 f （ x ）的定义域关于原点对称，因
为 f （－ x ）＝log a （2－ x ）－log a （2＋ x ）＝－[log a
（2＋ x ）－log a （2－ x ）]＝－ f （ x ）.所以函数 f
（ x ）为奇函数.
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11. 已知log a ＞log b ＞0，则下列关系正确的是（　　）
A. 0＜ b ＜ a ＜1 B. 0＜ a ＜ b ＜1
C. 1＜ b ＜ a D. 1＜ a ＜ b
解析： 　由log a ＞0，log b ＞0，可知 a ， b
∈（0，1）.又log a ＞log b ，作出图象如图
所示，结合图象易知 a ＞ b ，∴0＜ b ＜ a ＜1.
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12. 设函数 f （ x ）＝ f （ ）lg x ＋1，则 f （10）＝（　　）
A. 1 B. －1
C. 10 D.
解析： 　∵ f （ x ）＝ f （ ）lg x ＋1，将式中 x 换成 ，∴ f
（ ）＝ f （ x ）lg ＋1.由以上两式，得 f （ x ）＝ ，
∴ f （10）＝ ＝1.
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13. 已知函数 y ＝lg（ x2＋2 x ＋ a ）的定义域为R，则实数 a 的取值范
围为 .
解析：因为 y ＝lg（ x2＋2 x ＋ a ）的定义域为R，所以 x2＋2 x ＋ a
＞0恒成立，所以Δ＝4－4 a ＜0，所以 a ＞1.故实数 a 的取值范围
是（1，＋∞）.
（1，＋∞）　
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14. 已知 f （ x ）为定义在区间（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函
数，当 x ∈（0，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x .
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（1）当 x ∈（－∞，0）时，求函数 f （ x ）的解析式；
解： 设任意 x ∈（－∞，0），则－ x ∈（0，＋∞），
所以 f （－ x ）＝log2（－ x ），
又 f （ x ）为定义在区间（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶
函数，得 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）＝log2（－ x ）（ x ∈（－∞，0））.
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（2）在给出的坐标系中画出函数 f （ x ）的图象，写出函数 f
（ x ）的单调区间.
解： 画出函数图象如图所示.
f （ x ）的单调增区间是（0，＋∞），单调减区间是（－
∞，0）.
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15. 若不等式 x2－log mx ＜0在 内恒成立，求实数 m 的取值
范围.
解：由 x2－log mx ＜0，得 x2＜log mx ，
在同一坐标系中作 y ＝ x2和 y ＝log mx 的草图，
如图所示.
要使 x2＜log mx 在 内恒成立，
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只要 y ＝log mx 在 内的图象在 y ＝ x2图象的上方，于是0＜ m
＜1.
∵当 x ＝ 时， y ＝ x2＝ ，
∴只要当 x ＝ 时， y ＝log m ≥ ＝log m ，
∴ ≤ ，即 ≤ m .
又0＜ m ＜1，∴ ≤ m ＜1.
即实数 m 的取值范围是 .
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