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章末检测（六）　幂函数、指数函数和对数函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数y＝的定义域为（　　）
A.（－∞，2） B.（2，＋∞）
C.（2，3）∪（3，＋∞） D.（2，4）∪（4，＋∞）
2.函数y＝（的值域是（　　）
A.（1，＋∞） B.（0，1]
C.[1，＋∞） D.（0，1）
3.函数y＝ln（－x2＋2x＋3）的单调递增区间为（　　）
A.（－1，1） B.（－∞，1）
C.（1，3） D.（1，＋∞）
4.设a＝（ ，b＝（ ，c＝（ ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞c＞b B.a＞b＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
5.设函数f（x）＝若f（3）＝a，则f（a－2）＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
6.设函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则a＋b＝（　　）
A.6 B.5
C.4 D.3
7.函数f（x）＝loga｜x｜＋1（0＜a＜1）的图象大致为（　　）
8.已知函数f（x）＝若f（2＋a2）＜f（6a－3），则实数a的取值范围是（　　）
A.（1，5）
B.（－∞，1）∪（5，＋∞）
C.（2，3）
D.（－∞，2）∪（3，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数中，是奇函数且在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝x｜x｜
10.若loga2＜logb2，则下列结论可能成立的是（　　）
A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1 D.0＜a＜1＜b
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f（x）＝－，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（　　）
A.g（x）是偶函数
B.f（x）是奇函数
C.f（x）在R上是增函数
D.g（x）的值域是{－1，0，1}
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知函数y＝ax－2＋3（a＞0且a≠1）过定点P，且P点在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝　　　　.
13.已知函数f（x）满足以下三个条件①f（2）＝－1，②在定义域（0，＋∞）上是减函数，③f（xy）＝f（x）＋f（y），请写出一个同时符合上述三个条件的函数f（x）的解析式为　　　　　.
14.已知函数f（x）＝x＋－2，若不等式f（2x）－k·2x≥0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1为偶函数.
（1）求幂函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）－2a·x在[2，4]上单调，求实数a的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝＋的定义域为A.
（1）求集合A；
（2）若函数g（x）＝（log2x）2－2log2x－1，且x∈A，求函数g（x）的最大值、最小值和对应的x值.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝a｜x＋b｜（a＞0，a≠1，b∈R）.
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，试求a，b应满足的条件.
18.（本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.
当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.
（1）试求p＝f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.
19.（本小题满分17分）定义在区间D上的函数f（x），如果满足： x∈D，存在常数M＞0，使得｜f（x）｜≤M，则称f（x）是D上的“有界函数”，其中M称为f（x）的一个“上界”.已知函数f（x）＝1＋a·（）x＋（）x.
（1）若a＝0，g（x）＝f（x）－3，试判断函数g（x）在[－1，0]上是否为有界函数，说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，＋∞）上是以7为一个“上界”的“有界函数”，求实数a的取值范围.
章末检测（六）　幂函数、指数函数和对数函数
1.C　根据题意得解得x＞2且x≠3，故选C.
2.B　易知函数y＝（是减函数，∵≥0，∴y≤（）0＝1，又y＞0，∴y∈（0，1]，故选B.
3.A　令－x2＋2x＋3＞0，即x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3，所以函数的定义域为（－1，3），由函数y＝－x2＋2x＋3的对称轴为1，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝ln（－x2＋2x＋3）的单调增区间（－1，1）.故选A.
4.A　∵函数y＝（ ）x是减函数，∴c＞b；又函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，故a＞c.故选A.
5.C　由题意f（3）＝log23＝a，因log23－2＝log23－log24＜0，所以f（a－2）＝f（log23－2）＝＝×2－2＝.故选C.
6.C　函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则即解得则a＋b＝4.
7.A　由函数f（x）的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g（x）＝loga｜x｜，先画出x＞0时，g（x）的图象，然后根据g（x）的图象关于y轴对称画出x＜0时g（x）的图象，最后由函数g（x）的图象向上整体平移一个单位即得f（x）的图象，结合图象知选A.
8.B　当x＜1时，f（x）＝2－x＝（ ）x，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减；当x≥1时，f（x）＝－log2x，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递减；又2－1＞－log21，所以f（x）在R上是减函数.因为f（2＋a2）＜f（6a－3），所以2＋a2＞6a－3，即a2－6a＋5＞0，解得a＞5或a＜1.故选B.
9.AD　A中，y＝x3＋x为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x｜x｜是奇函数，且当x＞0时，y＝x2在（0，＋∞）单调递增，与题意相符.
10.BCD　若loga2与logb2同号，则由loga2＜logb2得log2b＜log2a，∴b＜a.当loga2与logb2同为正时，1＜b＜a，故C正确；当loga2与logb2同为负时，0＜b＜a＜1，故B正确；若loga2＜0＜logb2，则0＜a＜1，且b＞1，∴D正确.
11.BC　∵g（1）＝[f（1）]＝［－］＝0，g（－1）＝[f（－1）]＝［－］＝－1，∴g（－1）≠g（1），则g（x）不是偶函数，故A错误；∵f（x）＝－的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，∴f（x）为奇函数，故B正确；∵f（x）＝－＝－＝－，又y＝2x在R上是增函数，∴f（x）＝－在R上是增函数，故C正确；∵2x＞0，∴1＋2x＞1，则0＜＜1，可得－＜－＜.即－＜f（x）＜，∴g（x）＝[f（x）]∈{－1，0}，故D错误.
12.9　解析：由y＝ax－2＋3知：函数过定点（2，4），设f（x）＝xn，则2n＝4，即n＝2，∴f（x）＝x2，故f（3）＝9.
13.f（x）＝lox（答案不唯一）　解析：由f（xy）＝f（x）＋f（y）可考虑对数函数f（x）＝logax，又因为f（x）在定义域（0，＋∞）上是减函数，所以f（x）＝logax的底数a∈（0，1），又因为f（2）＝－1，所以a＝，所以f（x）＝lox.
14.（－∞，0]　解析：由f（x）＝x＋－2，所以f（2x）－k·2x≥0可化为1＋（）2－≥k.令t＝，则k≤t2－2t＋1，因为x∈[－1，1]，所以t∈［，2］，所以k≤（t2－2t＋1）min＝0，即k的取值范围是（－∞，0].
15.解：（1）依题意有：m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
又函数f（x）为偶函数，则m＝1，所以f（x）＝x2.
（2）g（x）＝x2－2a·x，对称轴为x＝－＝，
又g（x）在[2，4]上单调，所以≤2或≥4，所以a≤2或a≥3.
故实数a的取值范围为（－∞，2]∪[4，＋∞）.
16.解：（1）要使f（x）有意义，需满足所以所以≤x≤4，所以集合A＝x｜≤x≤4.
（2）设t＝log2x，因为x∈［，4］，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝（t－1）2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2，
当t＝－1时，y有最大值2.
综上可得，当x＝2时，g（x）的最小值为－2，
当x＝时，g（x）的最大值为2.
17.解：（1）因为f（x）为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），
即a｜x＋b｜＝，｜x＋b｜＝｜－x＋b｜，解得b＝0.
（2）记h（x）＝｜x＋b｜＝
①当a＞1时，f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，
即h（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，所以－b≤2，b≥－2；
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，即h（x）在区间[2，＋∞）上单调递减，但h（x）在区间[－b，＋∞）上单调递增，故不存在a，b，使f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增.
所以f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2.
18.解：（1）由题意知，当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，曲线的顶点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），则可得f（t）＝－（t－12）2＋82，t∈（0，14]，
又当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得a＝，
则f（t）＝lo（t－5）＋83，t∈[14，45].
则p＝f（t）＝
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当t∈（0，14]时，令f（t）＝－（t－12）2＋82＞80，
解得12－2＜t≤14.
当t∈[14，45]时，令f（t）＝lo（t－5）＋83＞80，
解得14≤t＜32.
综上可得，12－2＜t＜32.
故老师在（12－2，32）这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳.
19.解：（1）当a＝0时，f（x）＝（）x＋1，
又x∈[－1，0]，所以（）x∈[1，4]，
于是g（x）＝（）x－2∈[－1，2]，
所以｜g（x）｜≤2，g（x）是“有界函数”，2为它的一个“上界”.
（2）｜f（x）｜＝｜1＋a·（）x＋（）x｜≤7对x∈[0，＋∞）恒成立.
令（）x＝t，t∈（0，1]，则h（t）＝t2＋at＋1，
于是｜h（t）｜＝｜t2＋at＋1｜≤7对t∈（0，1]恒成立，
即－7≤t2＋at＋1≤7对t∈（0，1]恒成立，
即－t－≤a≤－t＋对t∈（0，1]恒成立，
即（－t－）max≤a≤（－t＋）min，
而（－t－）max＝－9，（－t＋）min＝5，
所以－9≤a≤5.
故实数a的取值范围为[－9，5].
2 / 3(共34张PPT)
章末检测（六）　
幂函数、指数函数和对数函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 y ＝ 的定义域为（　　）
A. （－∞，2）
B. （2，＋∞）
C. （2，3）∪（3，＋∞）
D. （2，4）∪（4，＋∞）
解析： 　根据题意得解得 x ＞2且 x ≠3，故
选C.
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2. 函数 y ＝（ 的值域是（　　）
A. （1，＋∞） B. （0，1]
C. [1，＋∞） D. （0，1）
解析： 　易知函数 y ＝（ 是减函数，∵ ≥0，∴ y
≤（ ）0＝1，又 y ＞0，∴ y ∈（0，1]，故选B.
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3. 函数 y ＝ln（－ x2＋2 x ＋3）的单调递增区间为（　　）
A. （－1，1） B. （－∞，1）
C. （1，3） D. （1，＋∞）
解析： 　令－ x2＋2 x ＋3＞0，即 x2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜
3，所以函数的定义域为（－1，3），由函数 y ＝－ x2＋2 x ＋3的对
称轴为1，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数 y ＝ln（－
x2＋2 x ＋3）的单调增区间（－1，1）.故选A.
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4. 设 a ＝（ ， b ＝（ ， c ＝（ ，则 a ， b ， c 的大小关
系是（　　）
A. a ＞ c ＞ b B. a ＞ b ＞ c
C. c ＞ a ＞ b D. b ＞ c ＞ a
解析： 　∵函数 y ＝（ ） x 是减函数，∴ c ＞ b ；又函数 y ＝ 在
（0，＋∞）上单调递增，故 a ＞ c .故选A.
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5. 设函数 f （ x ）＝若 f （3）＝ a ，则 f （ a －2）＝
（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
解析： 　由题意 f （3）＝log23＝ a ，因log23－2＝log23－log24＜
0，所以 f （ a －2）＝ f （log23－2）＝ ＝ ×2－2＝ .
故选C.
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6. 设函数 f （ x ）＝log a （ x ＋ b ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过点
（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则 a ＋ b ＝（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解析： 　函数 f （ x ）＝log a （ x ＋ b ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象
过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则
即解得则 a ＋ b ＝4.
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7. 函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（0＜ a ＜1）的图象大致为（　　）
解析： 　由函数 f （ x ）的解析式可确定该函数为偶函数，图象关
于 y 轴对称.设 g （ x ）＝log a ｜ x ｜，先画出 x ＞0时， g （ x ）的图
象，然后根据 g （ x ）的图象关于 y 轴对称画出 x ＜0时 g （ x ）的图
象，最后由函数 g （ x ）的图象向上整体平移一个单位即得 f （ x ）
的图象，结合图象知选A.
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8. 已知函数 f （ x ）＝若 f （2＋ a2）＜ f （6 a －
3），则实数 a 的取值范围是（　　）
A. （1，5） B. （－∞，1）∪（5，＋∞）
C. （2，3） D. （－∞，2）∪（3，＋∞）
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解析： 　当 x ＜1时， f （ x ）＝2－ x ＝（ ） x ，所以 f （ x ）在
（－∞，1）上单调递减；当 x ≥1时， f （ x ）＝－log2 x ，所以 f
（ x ）在[1，＋∞）上单调递减；又2－1＞－log21，所以 f （ x ）在
R上是减函数.因为 f （2＋ a2）＜ f （6 a －3），所以2＋ a2＞6 a －
3，即 a2－6 a ＋5＞0，解得 a ＞5或 a ＜1.故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数中，是奇函数且在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A. y ＝ x3＋ x B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x2－3 D. y ＝ x ｜ x ｜
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解析： 　A中， y ＝ x3＋ x 为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递
增，与题意相符；B中， y ＝log2 x 为非奇非偶函数，与题意不符；
C中， y ＝2 x2－3为偶函数，与题意不符；D中， y ＝ x ｜ x ｜是奇
函数，且当 x ＞0时， y ＝ x2在（0，＋∞）单调递增，与题意相符.
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10. 若log a 2＜log b 2，则下列结论可能成立的是（　　）
A. 0＜ a ＜ b ＜1 B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. a ＞ b ＞1 D. 0＜ a ＜1＜ b
解析： 　若log a 2与log b 2同号，则由log a 2＜log b 2得log2 b ＜
log2 a ，∴ b ＜ a .当log a 2与log b 2同为正时，1＜ b ＜ a ，故C正
确；当log a 2与log b 2同为负时，0＜ b ＜ a ＜1，故B正确；若log a 2
＜0＜log b 2，则0＜ a ＜1，且 b ＞1，∴D正确.
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11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其
名字命名的“高斯函数”为：设 x ∈R，用[ x ]表示不超过 x 的最
大整数，则 y ＝[ x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]
＝2.已知函数 f （ x ）＝ － ，则关于函数 g （ x ）＝[ f
（ x ）]的叙述中正确的是（　　）
A. g （ x ）是偶函数 B. f （ x ）是奇函数
C. f （ x ）在R上是增函数 D. g （ x ）的值域是{－1，0，1}
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解析： 　∵ g （1）＝[ f （1）]＝［ － ］＝0， g （－1）
＝[ f （－1）]＝［ － ］＝－1，∴ g （－1）≠ g （1），则
g （ x ）不是偶函数，故A错误；∵ f （ x ）＝ － 的定义域为
R， f （－ x ）＋ f （ x ）＝ ＋ －1＝ ＋ －
1＝ －1＝0，∴ f （ x ）为奇函数，故B正确；
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∵ f （ x ）＝ － ＝ － ＝ － ，又 y ＝2 x 在R上是增函
数，∴ f （ x ）＝ － 在R上是增函数，故C正确；∵2 x ＞0，∴1＋
2 x ＞1，则0＜ ＜1，可得－ ＜ － ＜ .即－ ＜ f （ x ）＜ ，
∴ g （ x ）＝[ f （ x ）]∈{－1，0}，故D错误.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知函数 y ＝ ax－2＋3（ a ＞0且 a ≠1）过定点 P ，且 P 点在幂函数
f （ x ）的图象上，则 f （3）＝ .
解析：由 y ＝ ax－2＋3知：函数过定点（2，4），设 f （ x ）＝ xn ，
则2 n ＝4，即 n ＝2，∴ f （ x ）＝ x2，故 f （3）＝9.
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13. 已知函数 f （ x ）满足以下三个条件① f （2）＝－1，②在定义域
（0，＋∞）上是减函数，③ f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），请写
出一个同时符合上述三个条件的函数 f （ x ）的解析式为
.
解析：由 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）可考虑对数函数 f （ x ）＝
log ax ，又因为 f （ x ）在定义域（0，＋∞）上是减函数，所以 f
（ x ）＝log ax 的底数 a ∈（0，1），又因为 f （2）＝－1，所以 a
＝ ，所以 f （ x ）＝lo x .
f （ x ）
＝lo x （答案不唯一）　
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋ －2，若不等式 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0在区间
[－1，1]上恒成立，则实数 k 的取值范围为 .
解析：由 f （ x ）＝ x ＋ －2，所以 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0可化为1＋
（ ）2－ ≥ k .令 t ＝ ，则 k ≤ t2－2 t ＋1，因为 x ∈[－1，
1]，所以 t ∈［ ，2］，所以 k ≤（ t2－2 t ＋1）min＝0，即 k 的取
值范围是（－∞，0].
（－∞，0]　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知幂函数 f （ x ）＝（ m2－3 m ＋3） xm＋1为
偶函数.
（1）求幂函数 f （ x ）的解析式；
解： 依题意有： m2－3 m ＋3＝1，解得 m ＝1或 m
＝2，
又函数 f （ x ）为偶函数，则 m ＝1，所以 f （ x ）＝ x2.
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（2）若函数 g （ x ）＝ f （ x ）－2 a · x 在[2，4]上单调，求实数 a
的取值范围.
解： g （ x ）＝ x2－2 a · x ，对称轴为 x ＝－ ＝ ，
又 g （ x ）在[2，4]上单调，所以 ≤2或 ≥4，所以 a ≤2
或 a ≥3.
故实数 a 的取值范围为（－∞，2]∪[4，＋∞）.
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ ＋
的定义域为 A .
（1）求集合 A ；
解： 要使 f （ x ）有意义，需满足所以
所以 ≤ x ≤4，
所以集合 A ＝ x ｜ ≤ x ≤4 .
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（2）若函数 g （ x ）＝（log2 x ）2－2log2 x －1，且 x ∈ A ，求函数
g （ x ）的最大值、最小值和对应的 x 值.
解： 设 t ＝log2 x ，因为 x ∈［ ，4］，所以 t ∈[－1，2]，
所以 y ＝ t2－2 t －1， t ∈[－1，2].
因为 y ＝ t2－2 t －1＝（ t －1）2－2的对称轴为 t ＝1∈[－1，2]，
所以当 t ＝1时， y 有最小值－2，当 t ＝－1时， y 有最大值2.
综上可得，当 x ＝2时， g （ x ）的最小值为－2，
当 x ＝ 时， g （ x ）的最大值为2.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ a｜ x＋ b｜（ a ＞0， a ≠1，
b ∈R）.
（1）若 f （ x ）为偶函数，求 b 的值；
解： 因为 f （ x ）为偶函数，
所以对任意的 x ∈R，都有 f （－ x ）＝ f （ x ），
即 a｜ x＋ b｜＝ ，｜ x ＋ b ｜＝｜－ x ＋ b ｜，解得
b ＝0.
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（2）若 f （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递增，试求 a ， b 应满足
的条件.
解： 记 h （ x ）＝｜ x ＋ b ｜＝
①当 a ＞1时， f （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递增，
即 h （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递增，所以－ b ≤2， b≥－2；
②当0＜ a ＜1时， f （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递增，即
h （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，但 h （ x ）在区间
[－ b ，＋∞）上单调递增，故不存在 a ， b ，使 f （ x ）在区
间[2，＋∞）上单调递增.
所以 f （ x ）在区间[2，＋∞）上单调递增时， a ， b 应满足
的条件为 a ＞1且 b ≥－2.
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18. （本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课
注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数 p 与听课时间 t 之
间的关系满足如图所示的曲线.
当 t ∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t ∈[14，
45]时，曲线是函数 y ＝log a （ t －5）＋83（ a ＞0且 a ≠1）图象的
一部分.根据专家研究，当注意力指数 p 大于80时听课效果最佳.
（1）试求 p ＝ f （ t ）的函数关系式；
解： 由题意知，当 t ∈（0，14]时，
曲线是二次函数图象的一部分，曲线的顶
点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），
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则可得 f （ t ）＝－ （ t －12）2＋82， t ∈（0，14]，
又当 t ∈[14，45]时，曲线是函数 y ＝log a （ t －5）＋83（ a ＞0且 a ≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得 a ＝ ，
则 f （ t ）＝lo （ t －5）＋83， t ∈[14，45].
则 p ＝ f （ t ）＝
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（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请
说明理由.
解： 由题意知，注意力指数 p 大于80
时听课效果最佳，
当 t ∈（0，14]时，令 f （ t ）＝－ （ t －
12）2＋82＞80，
解得12－2 ＜ t ≤14.
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当 t ∈[14，45]时，令 f （ t ）＝lo （ t －5）＋83＞80，
解得14≤ t ＜32.
综上可得，12－2 ＜ t ＜32.
故老师在（12－2 ，32）这一时间段内讲解核心内容，学
生听课效果最佳.
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19. （本小题满分17分）定义在区间 D 上的函数 f （ x ），如果满足：
x ∈ D ，存在常数 M ＞0，使得｜ f （ x ）｜≤ M ，则称 f （ x ）是
D 上的“有界函数”，其中 M 称为 f （ x ）的一个“上界”.已知
函数 f （ x ）＝1＋ a ·（ ） x ＋（ ） x .
（1）若 a ＝0， g （ x ）＝ f （ x ）－3，试判断函数 g （ x ）在[－
1，0]上是否为有界函数，说明理由；
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解： 当 a ＝0时， f （ x ）＝（ ） x ＋1，
又 x ∈[－1，0]，所以（ ） x ∈[1，4]，
于是 g （ x ）＝（ ） x －2∈[－1，2]，
所以｜ g （ x ）｜≤2， g （ x ）是“有界函数”，2为它的一
个“上界”.
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（2）若函数 f （ x ）在[0，＋∞）上是以7为一个“上界”的“有
界函数”，求实数 a 的取值范围.
解： ｜ f （ x ）｜＝｜1＋ a ·（ ） x ＋（ ） x ｜≤7
对 x ∈[0，＋∞）恒成立.
令（ ） x ＝ t ， t ∈（0，1]，则 h （ t ）＝ t2＋ at ＋1，
于是｜ h （ t ）｜＝｜ t2＋ at ＋1｜≤7对 t ∈（0，1]恒成
立，
即－7≤ t2＋ at ＋1≤7对 t ∈（0，1]恒成立，
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即－ t － ≤ a ≤－ t ＋ 对 t ∈（0，1]恒成立，
即（－ t － ）max≤ a ≤（－ t ＋ ）min，
而（－ t － ）max＝－9，（－ t ＋ ）min＝5，
所以－9≤ a ≤5.
故实数 a 的取值范围为[－9，5].
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谢 谢 观 看！

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