资源简介

7.1.1　任意角
1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是（　　）
A.120° B.－120°
C.240° D.－240°
2.“α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.下面各组角中终边相同的是（　　）
A.390°，690° B.－330°，750°
C.480°，－420° D.3 000°，－840°
4.（2024·南京十三中期中）－1 000°角的终边在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　）
A.{α｜－45°≤α≤120°}
B.{α｜120°≤α≤315°}
C.{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
6.（多选）若α是第四象限角，则下列结论正确的是（　　）
A.－α是第一象限角
B.2α是第三象限角或第四象限角
C.180°＋α是第二象限角
D.是第二象限角或第四象限角
7.终边在x轴上的角的集合可表示为　　　　　.
8.设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是　　　　.
9.若α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝　　　　.
10.在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）－720°到－360°的角.
11.终边与坐标轴重合的角α的集合是（　　）
A.{α｜α＝k·360°，k∈Z}
B.{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}
C.{α｜α＝k·180°，k∈Z}
D.{α｜α＝k·90°，k∈Z}
12.（多选）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是（　　）
A.α＋β＝180°
B.α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
C.α＋β＝k·360°（k∈Z）
D.α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
13.已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝　　　　，β＝　　　　.
14.已知集合A＝{α｜k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β｜k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}.
（1）在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
（2）在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
（3）求A∩B.
15.已知α是第一象限角，β是第二象限角，试确定终边所在的位置.
7.1.1　任意角
1.D　按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A和C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.
2.A　因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°角是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件，故选A.
3.B　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同.故选B.
4.A　因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°角与80°角终边相同，故终边在第一象限.故选A.
5.C　阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即{α｜k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.故选C.
6.ACD　∵α是第四象限角，∴k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z，∴－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，∴－α是第一象限角.故A正确.又k·720°－180°＜2α＜k·720°，k∈Z，∴2α是第三象限角或第四象限角或y轴的负半轴上的角，故B错误.∵k·360°＋90°＜180°＋α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴180°＋α是第二象限角，故C正确.∵k·180°－45°＜＜k·180°，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，n·360°－45°＜＜n·360°，为第四象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋135°＜＜n·360°＋180°，为第二象限角，∴是第二象限角或第四象限角，故D正确.故选A、C、D.
7.{α｜α＝k·180°，k∈Z}　解析：由题意，若α的终边在x轴上，则α＝m·360°，m∈Z或α＝180°＋m·360°，m∈Z，即α＝k·180°，k∈Z，故终边在x轴上的角的集合可表示成{α｜α＝k·180°，k∈Z}.
8.－360°＜α－β＜0°　解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°＜α－β＜0°.
9.270°　解析：∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.
10.解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝k·360°＋530°，k∈Z}.
（1）由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
（2）由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
（3）由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
11.D　终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α｜α＝k·90°，k∈Z}.
12.AD　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝（2k＋1）·180°（k∈Z），所以D满足条件，B、C都不满足条件.故选A、D.
13.15°　65°　解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
14.解：（1）角α终边所在区域如图①所示.
（2）角β终边所在区域如图②所示.
（3）由图①②知A∩B＝{γ｜k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.
15.解：由已知得k1·360°＜α＜90°＋k1·360°，k1∈Z，①
90°＋k2·360°＜β＜180°＋k2·360°，k2∈Z. ②
由①＋②得90°＋（k1＋k2）·360°＜α＋β＜270°＋（k1＋k2）·360°（k1，k2∈Z）.
∴45°＋（k1＋k2）·180°＜＜135°＋（k1＋k2）·180°（k1，k2∈Z）.
当k1＋k2＝2m（m∈Z）时，45°＋m·360°＜＜135°＋m·360°.
的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上；
当k1＋k2＝2m＋1（m∈Z）时，225°＋m·360°＜＜315°＋m·360°.
的终边在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上.
1 / 27.1.1　任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 数学抽象、数学运算
3.了解象限角的概念 数学抽象
　　我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角.但要表示周而复始运动着的点，仅有这些角是不够的.如跳水运动员翻腾两周半，体操运动员向前转体三周，向后转体两周等.
【问题】　（1）初中是如何定义角的？
（2）翻腾两周半是转了怎样的一个角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　任意角的概念
1.角的概念
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
2.角的表示
如图，（1）顶点：射线的端点　　　；
（2）始边：射线的开始位置　　　；
（3）终边：射线的终止位置　　　；
（4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
3.角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转所形成的角
负角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转所形成的角
零角 一条射线　　　　作任何旋转形成的角
【想一想】
1.始边与终边重合的角一定是零角吗？
2.正角、负角、零角是根据什么区分的？
知识点二　角的加、减法
对于两个任意角α，β：
（1）角的加法：将角α的终边旋转角β（当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转），这时终边所对应的角称为α与β的和，记作　　　　；
（2）相反角：射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角，角α的相反角记为　　　；
（3）角的减法：α－β＝　　　　.
知识点三　平面直角坐标系中的任意角
1.象限角：以角的顶点为　　　　　　，角的始边为　　　　　　　，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.
2.轴线角：如果角的终边在　　　　　上，称这个角为轴线角.
3.终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为　　　　　　　　　.
提醒　对集合{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}的理解：①角α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
1.下列说法中正确的是（　　）
A.小于90°的角都是锐角
B.经过1小时，时针转过30°
C.终边相同的角一定相等
D.－30°角是第四象限角
2.与－300°角终边相同的角是（　　）
A.－330° B.150°
C.30° D.60°
3.－1 060°角的终边落在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题型一 任意角的概念
【例1】　（链接教科书第171页练习6题）下列说法正确的是（　　）
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
通性通法
对角概念推广理解的三个关键点
（1）角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°，可以是任意大小的角，其值可以无限大，也可以无限小；
（2）在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向，由旋转方向确定角的符号；②要明确旋转量，由旋转量决定角的大小；
（3）注意角的始边位置.
【跟踪训练】
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　）
A.150°　 B.－150° C.390°　 D.－390°
2.2024年高考数学考试时间为：6月7日15：00～17：00，时间共2小时.求从考试开始到考试结束分针转过的角度.
题型二 终边相同的角
【例2】　（链接教科书第170页例1）在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）460°；（2）－315°；（3）－363°14'.
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（　　）
A.－37°　　　　　　　B.143°
C.379° D.－143°
2.与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是　　　　，最大的负角是　　　　.
题型三 象限角、轴线角及区域角的表示
【例3】　（1）（链接教科书第170页例2）已知α与280°角的终边相同，判断2α，各是第几象限角；
（2）写出满足下面条件的角的集合：
①终边落在x轴的正半轴上；
②终边落在y轴的负半轴上.
（3）如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合：
通性通法
1.给定一个角，判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°（其中k∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的象限即可.
2.nα或所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角nα或的范围；
（2）用旋转的观点确定角nα或所在象限.
3.表示区域角的三个步骤
（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
（3）起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【跟踪训练】
1.已知α是第二象限角，则180°－α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.在直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在y轴的正半轴上；
（2）终边在y＝x（x≥0）上.
3.如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合.
1.（2024·宿迁期末）下列选项中与角α＝1 680°终边相同的角是（　　）
A.120° B.－240°
C.－120° D.60°
2.（多选）下列四个角中，属于第二象限角的是（　　）
A.160° B.480°
C.－960° D.1 530°
3.如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合.
7.1.1　任意角
【基础知识·重落实】
知识点一
2.（1）O　（2）OA　（3）OB　3.逆时针　顺时针　没有
想一想
1.提示：不一定.只有始边没有作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角.
2.提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向.
知识点二
　（1）α＋β　（2）－α　（3）α＋（－β）
知识点三
1.坐标原点　x轴正半轴　2.坐标轴　
3.{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}
自我诊断
1.D　A中，锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，故A错误；B中，经过1小时，时针按顺时针方向旋转30°，时针在旋转时所形成的角为－30°，故B错误；终边相同的角不一定相等，如30°和390°的终边相同，故C错误；D中，－30°角是第四象限角，故D正确.故选D.
2.D　因为所有与－300°角终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋（－300°），k∈Z，取k＝1，得α＝60°.故选D.
3.A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的终边落在第一象限.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　A.90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；B.始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C.钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D.0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.
跟踪训练
1.B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°.故选B.
2.解：因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.
【例2】　解：（1）因为460°＝360°＋100°，所以460°的角与100°的角终边相同，是第二象限角.
（2）因为－315°＝－360°＋45°，所以－315°的角与45°的角终边相同，是第一象限角.
（3）因为－363°14'＝－2×360°＋356°46'，所以－363°14'的角与356°46'的角终边相同，是第四象限角.
跟踪训练
1.D　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为k·180°＋37°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.
2.240°　－120°　解析：因为－1 560°＝－120°＋（－4）×360°，即－1 560°角与－120°角的终边相同，所以与－1 560°角终边相同的角的集合是{β｜β＝－120°＋k·360°，k∈Z}，所以最小的正角为240°，最大的负角为－120°.
【例3】　解：（1）因为α＝280°＋k·360°，k∈Z，
所以2α＝560°＋2k·360°＝200°＋（2k＋1）·360°，k∈Z，
故2α为第三象限角.
＝140°＋k·180°，k∈Z，
①当k＝2n（n∈Z）时，＝140°＋n·360°（n∈Z），即是第二象限角；
②当k＝2n＋1（n∈Z）时，＝320°＋n·360°（n∈Z），即是第四象限角.
综上所述，是第二象限角或第四象限角.
（2）①终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}.
②终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}.
（3）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得
①{α｜30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}.
②{α｜－210°＋k·360°＜α＜30°＋k·360°，k∈Z}.
跟踪训练
1.A　由α是第二象限角得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z）.∴－（180°＋k·360°）＜－α＜－（90°＋k·360°）（k∈Z）.180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°）（k∈Z），即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），∴180°－α为第一象限角.故选A.
2.解：（1）在0°～360°范围内，终边在y轴的正半轴上的角有一个90°.故终边落在y轴的正半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋90°，k∈Z}.
（2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}.
3.解：30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α｜α＝30°＋k·180°，k∈Z}，180°－75°＝105°，105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α｜α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}.
随堂检测
1.C　与α＝1 680°终边相同的角为β＝1 680°＋k·360°，k∈Z，当k＝－5时，β＝1 680°－360°×5＝－120°，C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.故选C.
2.ABC　160°角是第二象限角；480°＝120°＋360°，故480°角是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°，故－960°角是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°，故1 530°角不是第二象限角.故选A、B、C.
3.解：由图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}.
4 / 5(共64张PPT)
7.1.1　任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相
同的角所组成的集合 数学抽象、数
学运算
3.了解象限角的概念 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角.但
要表示周而复始运动着的点，仅有这些角是不够的.如跳水运动员翻
腾两周半，体操运动员向前转体三周，向后转体两周等.
【问题】　（1）初中是如何定义角的？
（2）翻腾两周半是转了怎样的一个角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　任意角的概念
1. 角的概念
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另
一个位置所形成的图形.
2. 角的表示
如图，（1）顶点：射线的端点 ；
（2）始边：射线的开始位置 ；
（3）终边：射线的终止位置 ；
（4）记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠
AOB ”.
O 　
OA 　
OB 　
3. 角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按 方向旋转所形成的角
负角 一条射线绕其端点按 方向旋转所形成的角
零角 一条射线 作任何旋转形成的角
逆时针　
顺时针　
没有　
【想一想】
1. 始边与终边重合的角一定是零角吗？
提示：不一定.只有始边没有作任何旋转，始边与终边重合的角才
是零角.
2. 正角、负角、零角是根据什么区分的？
提示：根据组成角的射线是否旋转及旋转方向.
知识点二　角的加、减法
对于两个任意角α，β：
（1）角的加法：将角α的终边旋转角β（当β是正角时，按逆时针
方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角
时，不旋转），这时终边所对应的角称为α与β的和，记
作 ；
（2）相反角：射线 OA 绕端点 O 分别按逆时针方向、顺时针方向旋转
相同的量所成的两个角称为互为相反角，角α的相反角记
为 ；
（3）角的减法：α－β＝ .
α＋β　
－α　
α＋（－β）　
知识点三　平面直角坐标系中的任意角
1. 象限角：以角的顶点为 ，角的始边为
，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除端点外）在第几
象限，就说这个角是第几象限角.
2. 轴线角：如果角的终边在 上，称这个角为轴线角.
3. 终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为
.
坐标原点　
x 轴正半
轴　
坐标轴　
{β｜β
＝ k ·360°＋α， k ∈Z}　
提醒　对集合{β｜β＝ k ·360°＋α， k ∈Z}的理解：①角α为任
意角，“ k ∈Z”不能省略；② k ·360°与α中间要用“＋”连接，
k ·360°－α可理解成 k ·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定
相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们
相差360°的整数倍.
1. 下列说法中正确的是（　　）
A. 小于90°的角都是锐角
B. 经过1小时，时针转过30°
C. 终边相同的角一定相等
D. －30°角是第四象限角
解析： 　A中，锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的
角也可以是零角或负角，故A错误；B中，经过1小时，时针按顺时
针方向旋转30°，时针在旋转时所形成的角为－30°，故B错误；
终边相同的角不一定相等，如30°和390°的终边相同，故C错
误；D中，－30°角是第四象限角，故D正确.故选D.
2. 与－300°角终边相同的角是（　　）
A. －330° B. 150°
C. 30° D. 60°
解析： 　因为所有与－300°角终边相同的角都可以表示为α＝
k ·360°＋（－300°）， k ∈Z，取 k ＝1，得α＝60°.故选D.
3. －1 060°角的终边落在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角
的终边落在第一象限.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 任意角的概念
【例1】　（链接教科书第171页练习6题）下列说法正确的是
（　　）
A. 三角形的内角必是第一、二象限角
B. 始边相同而终边不同的角一定不相等
C. 钝角比第三象限角小
D. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
解析： 　A. 90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A
不正确；B. 始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C. 钝
角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；D. 0°
角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确.
通性通法
对角概念推广理解的三个关键点
（1）角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°，可以是任
意大小的角，其值可以无限大，也可以无限小；
（2）在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方
向，由旋转方向确定角的符号；②要明确旋转量，由旋转量决
定角的大小；
（3）注意角的始边位置.
【跟踪训练】
1. 射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转120°到达 OB 位置，由 OB 位置顺时
针旋转270°到达 OC 位置，则∠ AOC ＝（　　）
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
解析： 　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－
270°）＝－150°.故选B.
2. 2024年高考数学考试时间为：6月7日15：00～17：00，时间共2小
时.求从考试开始到考试结束分针转过的角度.
解：因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考
试结束分针转过了－720°.
题型二 终边相同的角
【例2】　（链接教科书第170页例1）在0°到360°的范围内，找出
与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）460°；
解：因为460°＝360°＋100°，所以460°的角与100°的角终
边相同，是第二象限角.
（2）－315°；
解：因为－315°＝－360°＋45°，所以－315°的角与45°的
角终边相同，是第一象限角.
（3）－363°14'.
解：因为－363°14'＝－2×360°＋356°46'，所以－363°14'
的角与356°46'的角终边相同，是第四象限角.
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋ k ·360°（ k ∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1. 下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（　　）
A. －37° B. 143°
C. 379° D. －143°
解析： 　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为 k ·180°＋
37°， k ∈Z，当 k ＝－1时，37°－180°＝－143°.
2. 与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是 ，最
大的负角是 .
解析：因为－1 560°＝－120°＋（－4）×360°，即－1 560°角
与－120°角的终边相同，所以与－1 560°角终边相同的角的集合
是{β｜β＝－120°＋ k ·360°， k ∈Z}，所以最小的正角为
240°，最大的负角为－120°.
240°　
－120°　
题型三 象限角、轴线角及区域角的表示
【例3】　（1）（链接教科书第170页例2）已知α与280°角的终边
相同，判断2α， 各是第几象限角；
解：因为α＝280°＋ k ·360°， k ∈Z，
所以2α＝560°＋2 k ·360°＝200°＋（2 k ＋1）·360°， k ∈Z，
故2α为第三象限角. ＝140°＋ k ·180°， k ∈Z，
①当 k ＝2 n （ n ∈Z）时， ＝140°＋ n ·360°（ n ∈Z），即 是第二
象限角；
②当 k ＝2 n ＋1（ n ∈Z）时， ＝320°＋ n ·360°（ n ∈Z），即 是
第四象限角.
综上所述， 是第二象限角或第四象限角.
解：①终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α｜α＝ k ·360°，
k ∈Z}.
②终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为{α｜α＝270°＋
k ·360°， k ∈Z}.
（2）写出满足下面条件的角的集合：
①终边落在 x 轴的正半轴上；
②终边落在 y 轴的负半轴上.
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得
①{α｜30°＋ k ·360°≤α≤150°＋ k ·360°， k ∈Z}.
②{α｜－210°＋ k ·360°＜α＜30°＋ k ·360°， k ∈Z}.
（3）如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合：
通性通法
1. 给定一个角，判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋ k ·360°（其中
k ∈Z，β在0°～360°范围内）的形式，观察角β的终边所在的
象限即可.
2. n α或 所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角 n α或 的范围；
（2）用旋转的观点确定角 n α或 所在象限.
3. 表示区域角的三个步骤
（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°
范围内的角α和β，写出最简区间{ x ｜α＜ x ＜β}，其中β
－α＜360°；
（3）起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得
区域角集合.
【跟踪训练】
1. 已知α是第二象限角，则180°－α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由α是第二象限角得，90°＋ k ·360°＜α＜180°＋
k ·360°（ k ∈Z）.∴－（180°＋ k ·360°）＜－α＜－（90°＋
k ·360°）（ k ∈Z）.180°－（180°＋ k ·360°）＜180°－α＜
180°－（90°＋ k ·360°）（ k ∈Z），即－ k ·360°＜180°－α
＜90°－ k ·360°（ k ∈Z），∴180°－α为第一象限角.故选A.
2. 在直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在 y 轴的正半轴上；
解： 在0°～360°范围内，终边在 y 轴的正半轴上的角
有一个90°.故终边落在 y 轴的正半轴上的角的集合为{α｜
α＝ k ·360°＋90°， k ∈Z}.
（2）终边在 y ＝ x （ x ≥0）上.
解： 在0°～360°范围内，终边在 y ＝ x （ x ≥0）上的
角有一个45°.故终边在 y ＝ x （ x ≥0）上的角的集合为
{α｜α＝ k ·360°＋45°， k ∈Z}.
3. 如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合.
解：30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α｜α＝30°＋
k ·180°， k ∈Z}，180°－75°＝105°，105°角的终边所在直线
上的角的集合为 S2＝{α｜α＝105°＋ k ·180°， k ∈Z}，因此，
终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α｜30°＋
k ·180°≤α＜105°＋ k ·180°， k ∈Z}.
1. （2024·宿迁期末）下列选项中与角α＝1 680°终边相同的角是
（　　）
A. 120° B. －240°
C. －120° D. 60°
解析： 　与α＝1 680°终边相同的角为β＝1 680°＋ k ·360°，
k ∈Z，当 k ＝－5时，β＝1 680°－360°×5＝－120°，C选项符
合要求，经过检验，其他选项不符合要求.故选C.
2. （多选）下列四个角中，属于第二象限角的是（　　）
A. 160° B. 480°
C. －960° D. 1 530°
解析： 　160°角是第二象限角；480°＝120°＋360°，故
480°角是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°，故－960°
角是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°，故1 530°角不是第
二象限角.故选A、B、C.
3. 如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合.
解：由图形可知，角α的集合是{α｜ k ·360°＋45°＜α＜
k ·360°＋150°， k ∈Z}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是
（　　）
A. 120° B. －120°
C. 240° D. －240°
解析： 按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A和C；又由
题意知旋转的角度是240°，排除B. 故选D.
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2. “α是锐角”是“α是第一象限角”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 　因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成
立，例如400°角是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”
是“α是第一象限角”的充分不必要条件，故选A.
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3. 下面各组角中终边相同的是（　　）
A. 390°，690° B. －330°，750°
C. 480°，－420° D. 3 000°，－840°
解析： 　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°角与750°角的终边相同.故选B.
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4. （2024·南京十三中期中）－1 000°角的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°角
与80°角终边相同，故终边在第一象限.故选A.
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5. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　）
A. {α｜－45°≤α≤120°}
B. {α｜120°≤α≤315°}
C. {α｜ k ·360°－45°≤α≤ k ·360°＋120°， k ∈Z}
D. {α｜ k ·360°＋120°≤α≤ k ·360°＋315°， k
∈Z}
解析： 　阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上
360°的整数倍，即{α｜ k ·360°－45°≤α≤ k ·360°＋120°， k
∈Z}.故选C.
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6. （多选）若α是第四象限角，则下列结论正确的是（　　）
A. －α是第一象限角
B. 2α是第三象限角或第四象限角
C. 180°＋α是第二象限角
D. 是第二象限角或第四象限角
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解析： 　∵α是第四象限角，∴ k ·360°－90°＜α＜
k ·360°， k ∈Z，∴－ k ·360°＜－α＜－ k ·360°＋90°， k ∈Z，
∴－α是第一象限角.故A正确.又 k ·720°－180°＜2α＜
k ·720°， k ∈Z，∴2α是第三象限角或第四象限角或 y 轴的负半轴
上的角，故B错误.∵ k ·360°＋90°＜180°＋α＜ k ·360°＋
180°， k ∈Z.
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∴180°＋α是第二象限角，故C正确.∵ k ·180°－45°＜ ＜
k ·180°， k ∈Z，当 k ＝2 n ， n ∈Z时， n ·360°－45°＜ ＜ n ·360°，
为第四象限角；当 k ＝2 n ＋1， n ∈Z时， n ·360°＋135°＜ ＜
n ·360°＋180°， 为第二象限角，∴ 是第二象限角或第四象限角，
故D正确.故选A、C、D.
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7. 终边在 x 轴上的角的集合可表示为 .
解析：由题意，若α的终边在 x 轴上，则α＝ m ·360°， m ∈Z或α
＝180°＋ m ·360°， m ∈Z，即α＝ k ·180°， k ∈Z，故终边在 x
轴上的角的集合可表示成{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}.
{α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}　
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8. 设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是
.
解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－
360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°
＜α－β＜0°.
－
360°＜α－β＜0°　
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9. 若α满足180°＜α＜360°，5α与α有相同的始边，且又有相同
的终边，则α＝ .
解析：∵5α＝α＋ k ·360°， k ∈Z，∴α＝ k ·90°， k ∈Z. 又
∵180°＜α＜360°，∴α＝270°.
270°　
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10. 在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
（1）最大的负角；
（1）由－360°＜ k ·360°＋530°＜0°且 k ∈Z，可得 k ＝
－2，故所求的最大负角为－190°.
解：与530°角终边相同的角的集合为{β｜β＝ k ·360°＋
530°， k ∈Z}.
（2）最小的正角；
解：由0°＜ k ·360°＋530°＜360°且 k ∈Z，可得 k
＝－1，
故所求的最小正角为170°.
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（3）－720°到－360°的角.
解：由－720°≤ k ·360°＋530°≤－360°且 k ∈Z，可得
k ＝－3，故所求的角为－550°.
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11. 终边与坐标轴重合的角α的集合是（　　）
A. {α｜α＝ k ·360°， k ∈Z}
B. {α｜α＝90°＋ k ·180°， k ∈Z}
C. {α｜α＝ k ·180°， k ∈Z}
D. {α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}
解析： 　终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐
标轴重合的角的集合为{α｜α＝ k ·90°， k ∈Z}.
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12. （多选）下列条件中，能使α和β的终边关于 y 轴对称的是
（　　）
A. α＋β＝180°
B. α＋β＝ k ·360°＋90°（ k ∈Z）
C. α＋β＝ k ·360°（ k ∈Z）
D. α＋β＝（2 k ＋1）·180°（ k ∈Z）
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解析： 　假设α，β为0°～180°内的角，如
图所示，因为α，β的终边关于 y 轴对称，所以α
＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的
角的概念，可得α＋β＝ k ·360°＋180°＝（2 k
＋1）·180°（ k ∈Z），所以D满足条件，B、C都
不满足条件.故选A、D.
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13. 已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相
同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝ ，β
＝ .
解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜
α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋ k1·360°，
k1∈Z，∴α＋β＝80°①.又α－β＝670°＋ k2·360°，
k2∈Z，∴α－β＝－50°②.由①②得，α＝15°，β＝65°.
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14. 已知集合 A ＝{α｜ k ·180°＋45°＜α＜ k ·180°＋60°， k
∈Z}，集合 B ＝{β｜ k ·360°－55°＜β＜ k ·360°＋55°， k
∈Z}.
（1）在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
解： 角α终边所在区域如图①所示.
（2）在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
解： 角β终边所在区
域如图②所示.
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（3）求 A ∩ B .
解： 由图①②知 A ∩ B ＝{γ｜ k ·360°＋45°＜γ＜
k ·360°＋55°， k ∈Z}.
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15. 已知α是第一象限角，β是第二象限角，试确定 终边所在的
位置.
解：由已知得 k1·360°＜α＜90°＋ k1·360°， k1∈Z，　①
90°＋ k2·360°＜β＜180°＋ k2·360°， k2∈Z. 　②
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由①＋②得90°＋（ k1＋ k2）·360°＜α＋β＜270°＋（ k1＋
k2）·360°（ k1， k2∈Z）.
∴45°＋（ k1＋ k2）·180°＜ ＜135°＋（ k1＋ k2）·180°
（ k1， k2∈Z）.
当 k1＋ k2＝2 m （ m ∈Z）时，45°＋ m ·360°＜ ＜135°＋
m ·360°.
的终边在第一象限或第二象限或 y 轴的非负半轴上；
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当 k1＋ k2＝2 m ＋1（ m ∈Z）时，225°＋ m ·360°＜ ＜315°
＋ m ·360°.
的终边在第三象限或第四象限或 y 轴的非正半轴上.
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