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(共56张PPT)
7.2.1　任意角的三角函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，
并会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、
数学运算
2.能运用定义解决相关问题 逻辑推理、
数学运算
第1课时　
任意角的三角函数
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在初中，我们已学过锐角三角函数，如图，在Rt△ ABC 中，α为
锐角.
【问题】　（1）在初中，锐角α的正弦、余弦和正切是怎么定义
的，如何表示？
（2）若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来
表示锐角三角函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　任意角的三角函数的定义
条
件 如图，α为任意角，它的终边上异于原点
的任一点 P （ x ， y ）与原点的距离 r
＝ ，此时点 P 是角α的终边
与半径为 的圆的交点
　
r 　
定
义 正弦 比值 　 　叫作α的正弦，记作 sin α＝ 　 　
余弦 比值 　 　叫作α的余弦，记作 cos α＝ 　 　
正切 比值 　 　（ x ≠0）叫作α的正切，记作tan α＝ 　 　
三角
函数 正弦函数 y ＝ ，α∈R；
余弦函数 y ＝ ，α∈R；
正切函数 y ＝ ，
α∈{α｜α≠ ＋ k π， k ∈Z}
　
　
　
　
　
　
sin α　
cos α　
tan α　
提醒　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点 P 在终边
上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小
只与角有关.
知识点二　三角函数值的符号
如图所示：
正弦： 象限正， 象限负；
余弦： 象限正， 象限负；
正切： 象限正， 象限负.
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
一、二　
三、四　
一、四　
二、三　
一、三　
二、四　
1. 若角α终边经过点（－2，1），则 cos α＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　 r ＝ ＝ ，由余弦函数的定义得 cos α＝
＝－ .故选B.
2. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 若α是三角形的内角，则必有 sin α＞0
B. 若 sin α＞0，则α是第一或第二象限角
C. 若角α的终边过点（1，3），则 sin α＝
D. 终边在 x 轴上的角的正切值不存在
解析： 　A中，若α∈（0，π）， sin α＞0，故A正确；B中，
sin α＝1＞0时，α是终边在 y 轴上的角，故B错误；C中， r ＝
＝ ，由正弦函数的定义得 sin α＝ ＝ ＝ ，故
C正确；D中，终边在 x 轴上的角的正切值为0，终边在 y 轴上的角
的正切值不存在，故D错误.故选A、C.
3. 若 sin α＜0且 cos α＜0，则角α为第 象限角.
三　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数的定义及应用
【例1】　（链接教科书第178页例1）如图，已知角α的终边经过点 P （－4，3），求α的正弦、余弦、正切值.
解：因为 x ＝－4， y ＝3，所以 r ＝ ＝5，
所以 sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝－ .
【母题探究】
1. （变条件）如果将本例中的条件改为“已知角α的终边经过点 P
（－4 a ，3 a ）（ a ≠0）”，求α的正弦、余弦、正切值.
解： r ＝ ＝5｜ a ｜.
若 a ＞0，则 r ＝5 a ，故 sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝－
，tan α＝ ＝ ＝－ .
若 a ＜0，则 r ＝－5 a .可得 sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α＝－ .
2. （变条件）如果将本例中的条件改为“已知角α的终边落在直线
x ＋ y ＝0上”，求α的正弦、余弦、正切值.
解：直线 x ＋ y ＝0，即 y ＝－ x ，则直线通过第二和第四
象限.
①在第二象限内取直线上的点（－1， ），
则 r ＝ ＝2，
所以 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ .
②在第四象限内取直线上的点（1，－ ），则 r ＝
＝2，
所以 sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α＝－ .
通性通法
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的策略
（1）若已知角α终边上一点 P （ x ， y ）是单位圆上的点，则 sin α
＝ y ， cos α＝ x ，tan α＝ （ x ≠0）；
（2）若已知角α终边上一点 P （ x ， y ）不是单位圆上的点，则先求
出 r ＝ ，则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ （ x
≠0）；
（3）若已知角α的终边在直线（射线）上，可以在直线（射线）上
取两个（一个）点，再利用定义求解；
（4）若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
【跟踪训练】
1. 已知角α的终边经过点（ m ，2），且 cos α＝－ ，则实数 m ＝
（　　）
A. －2 B. 2
C. － D.
解析： 　由题意得 ＝－ ，且 m ＜0，所以 m ＝－2 或
m ＝2 （舍去）.
2. （2024·南京师大附中月考）已知角α的终边过点 P （3 a ，－4
a ），其中 a ＞0，则 sin α＋ cos α＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　角α的终边过点 P （3 a ，－4 a ），其中 a ＞0，则点 P
到原点的距离 r ＝ ＝5 a ，所以 sin α＋ cos α
＝ ＋ ＝－ .故选C.
题型二 特殊角的三角函数值
【例2】　（链接教科书第178页例2）当 α＝ 时，求 sin α， cos
α，tan α的值.
解：如图所示，
的终边与单位圆的交点为 P ，
过点 P 作 PB ⊥ x 轴于点 B ，
在Rt△ OPB 中， OP ＝1，∠ POB ＝ ，
则 PB ＝ ， OB ＝ ，则 P .
所以 sin ＝ ， cos ＝－ ，tan ＝ ＝－ .
通性通法
特殊角的三角函数值的求解
　　先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定
义，即可得到特殊角的三角函数值.
【跟踪训练】
　已知α＝ ，求 sin α， cos α，tan α的值.
解：在直角坐标系中，作∠ AOB ＝ ，
易知∠ AOB 的终边与单位圆的交点坐标为（ ，－ ），
所以 sin ＝－ ， cos ＝ ，tan ＝－ .
题型三 三角函数值符号的判定及应用
【例3】　（链接教科书第180页例4）（1）（多选）下列正弦、余
弦、正切值的符号为负的是（　BD　）
A. sin B. cos （－465°）
C. tan 10 D. cos π
BD
解析： A中， 是第二象限角，故 sin ＞0；B中，－465°是第三
象限角，故 cos （－465°）＜0；C中，10∈（3π， ）是第三象限
角，故tan 10＞0；D中， cos π＝－1＜0.故选B、D.
（2）已知点 P （tan α， cos α）在第三象限，则角α的终边在
第 象限.
解析：依题意得由tan α＜0知，α是第二、四象限
角.当α是第二象限角时， cos α＜0，符合题意；当α是第四
象限角时， cos α＞0，不符合题意.
二　
通性通法
三角函数值符号的判定及应用
（1）已知角α判断三角函数值的符号：准确判定角α的终边所在象
限是判定角α的三角函数值符号的关键；
（2）已知三角函数值的符号确定角α是第几象限角：由角α的不同
三角函数值的符号分别判断角α的大致所在象限，它们的公共
部分即为所求.
【跟踪训练】
1. （多选）下列三角函数值的符号判断正确的是（　　）
A. cos 80°＜0 B. sin 140°＞0
C. tan ＞0 D. tan ＞0
解析： 　∵0°＜80°＜90°，∴ cos 80°＞0；∵90°＜
140°＜180°，∴ sin 140°＞0；∵ ∈（π， ），∴tan ＞
0；∵ ∈（0， ），∴tan ＞0.故选B、C、D.
2. 当α为第二象限角时， － ＝ .
解析：∵α为第二象限角，∴ sin α＞0， cos α＜0.∴ －
＝ － ＝2.
2　
1. 已知 sin α＞0， cos α＜0，则角α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析： 　由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二
象限角.
2. （2024·淮安期末）若角α的终边经过点 P （ m ，2）（ m ≠0），
则（　　）
A. sin α＞0 B. sin α＜0
C. cos α＞0 D. cos α＜0
解析： 由角α的终边经过点 P （ m ，2），可得 OP ＝
，则 sin α＝ ＞0， cos α＝ 的符号不确定.故
选A.
3. （2024·扬州期末）已知角α的终边经过点（1，－2），则tan
α· cos α＝
解析：由三角函数的定义可得，tan α＝ ＝－2， cos α＝
＝ ，所以tan α· cos α＝－ .
－ 　
4. 已知角α的终边在射线3 x － y ＝0（ x ≤0）上，求 sin α的值.
解：∵角α的终边在射线3 x － y ＝0（ x ≤0）上，
∴角α的终边在第三象限.
在角α的终边上取一点 P （－1，－3），
∴点 P 到原点的距离 r ＝ ， sin α＝ ＝ ＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·南京期末）已知角θ的终边经过点 P （ x ，－5），且tan θ
＝ ，则 x ＝（　　）
A. －13 B. －12 C. 12 D. 13
解析： 　根据任意角三角函数定义，tan θ＝ ＝ ，所以 x ＝
－12.故选B.
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2. 若三角形的两内角α，β满足 sin α cos β＜0，则此三角形必为
（　　）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上三种情况都可能
解析： 　∵α，β为三角形的内角，∴0＜α，β＜π，∴ sin α
＞0，又 sin α cos β＜0，∴ cos β＜0，∴β为钝角，即三角形为
钝角三角形.故选C.
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3. 已知角α的终边与单位圆交于点 P ，则 sin α·tan α＝
（　　）
A. － B. ± C. － D. ±
解析： 　∵点 P 在单位圆上，∴ ＋ y2＝1，∴ y2＝
.由三角函数的定义可得 sin α＝ y ，tan α＝ ，因此 sin α·tan α
＝ ＝－ ，故选C.
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4. （2024·南通海安期末）若α的终边与－ 的终边垂直，且0＜α＜
π，则 cos α＝（　　）
A. － B. C. － D.
解析： 　因为α的终边与－ 的终边垂直，且0＜α＜π，所以α
＝ － ＝ ，则 cos ＝ .故选B.
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5. 已知角α终边上异于原点的一点 P 且｜ PO ｜＝ r ，则点 P 的坐标为
（　　）
A. P （ sin α， cos α） B. P （ cos α， sin α）
C. P （ r sin α， r cos α） D. P （ r cos α， r sin α）
解析： 　设 P （ x ， y ），则 r ＝｜ PO ｜＝ ，又 sin α＝
， cos α＝ ，∴ y ＝ r sin α， x ＝ r cos α，∴ P （ r cos α， r sin
α），故选D.
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6. （多选）（2024·南京十三中期中）下列式子正确的是（　　）
A. sin 2＞0 B. cos 3＞0
C. tan 4＞0 D. sin 6＞0
解析： 　对于A，2∈（ ，π），则 sin 2＞0，故A正确；对于
B，3∈（ ，π），则 cos 3＜0，故B错误；对于C，4∈（π，
），则tan 4＞0，故C正确；对于D，6∈（ ，2π），则 sin 6＜
0，故D错误.故选A、C.
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7. 点 P （tan 2 024°， cos 2 024°）位于第 象限.
解析：因为2 024°＝5×360°＋224°，224°是第三象限角，所
以tan 2 024°＞0， cos 2 024°＜0，所以点 P 位于第四象限.
四　
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8. 已知角θ的终边经过点（3 a －9， a ＋2），且 sin θ＞0， cos θ＜
0，则 a 的取值范围是 .
解析：已知θ的终边经过点（3 a －9， a ＋2），且 sin θ＞0， cos
θ＜0，则θ为第二象限角，所以解得－2＜ a ＜3.
（－2，3）　
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9. 已知角α的终边经过点 P （－ x ，－6），且 cos α＝－ ，则
＋ ＝ 　－ 　.
解析：因为角α的终边经过点 P （－ x ，－6），且 cos α＝－ ，
所以 cos α＝ ＝－ ，即 x ＝ .所以 P ， r ＝ ，
所以 sin α＝－ ，tan α＝ ，则 ＋ ＝－ ＋ ＝－ .
－ 　
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10. 已知角α的终边上一点 P （ m ，－ ）（ m ≠0），且 cos α＝
.
（1）求 m 的值；
解： 由题设知 r ＝｜ OP ｜＝ ＝
（ O 为坐标原点），因此 cos α＝ ＝ ，
∴2 ＝ ，解得 m ＝± .
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（2）求 sin α和tan α.
解： 当 m ＝ 时， sin α＝－ ，tan α＝－ .
当 m ＝－ 时， sin α＝－ ，tan α＝ .
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11. 角α的终边与直线 y ＝3 x 重合，且 sin α＜0，又 P （ m ， n ）是
角α终边上一点，且 m2＋ n2＝10，则 m － n ＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －4
解析： 　由题意知 所以 m ＝－1，
n ＝－3.所以 m － n ＝2.故选A.
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12. （多选）已知 sin α· cos α＜0， sin α·tan α＜0，则角 的终边
在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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解析： 　∵ sin α· cos α＜0， sin α·tan α＜0，∴ sin α＞
0， cos α＜0，tan α＜0，∴α在第二象限，∴2 k π＋ ＜α＜2 k
π＋π， k ∈Z，∴ k π＋ ＜ ＜ k π＋ .当 k ＝2 n ， n ∈Z时， 在
第一象限；当 k ＝2 n ＋1， n ∈Z时， 在第三象限.故角 的终边
在第一象限或第三象限.故选A、C.
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13. 平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标是（ x ，
y ），它与原点的距离是 r （ r ＞0），规定：比值 叫作α的正
余混弦，记作sch α.若sch α＝ （0＜α＜π），则tan α＝ 　 　.
解析：由题意得sch α＝ ＝ ＝ （0＜α＜π），∴25
（ y － x ）2＝ x2＋ y2，且 y ＞ x ，即24（ ）2－50 ＋24＝0，且 y
＞ x ，解得 ＝ .故tan α＝ .
　
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14. 已知 ＝－ ，且lg（ cos α）有意义.
（1）试判断角α所在的象限；
解： 由 ＝－ ，所以 sin α＜0，
由lg（ cos α）有意义，可知 cos α＞0，
所以α是第四象限角.
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（2）若角α的终边上一点 M ，且 OM ＝1（ O 为坐标原
点），求 m 的值及 sin α的值.
解： 因为 OM ＝1，所以 ＋ m2＝1，
得 m ＝± .
又α为第四象限角，故 m ＜0，从而 m ＝－ ， sin α＝ ＝
＝ ＝－ .
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15. 若α∈（0， ），证明 sin α＋ cos α＞1.
证明：设角α的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
则角α的终边与单位圆的交点 P 在第一象限，设点 P 的坐标为
（ x ， y ）.
法一　易知0＜ x ＜1，0＜ y ＜1， x2＋ y2＝1.
因为 x2＋ y2＝1，（ x ＋ y ）2＝ x2＋ y2＋2 xy ＞1，所以 x ＋ y ＞1.
由三角函数的定义可知 sin α＝ y ， cos α＝ x ，所以 sin α＋ cos α
＞1.
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法二　如图，过点 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ，则 sin α＝ MP ， cos
α＝ OM ， OP ＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知 MP ＋ OM
＞ OP ，即 sin α＋ cos α＞1.
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谢 谢 观 看！第1课时　任意角的三角函数
1.（2024·南京期末）已知角θ的终边经过点P（x，－5），且tan θ＝，则x＝（　　）
A.－13 B.－12
C.12 D.13
2.若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上三种情况都可能
3.已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α·tan α＝（　　）
A.－ B.±
C.－ D.±
4.（2024·南通海安期末）若α的终边与－的终边垂直，且0＜α＜π，则cos α＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
5.已知角α终边上异于原点的一点P且｜PO｜＝r，则点P的坐标为（　　）
A.P（sin α，cos α） B.P（cos α，sin α）
C.P（rsin α，rcos α） D.P（rcos α，rsin α）
6.（多选）（2024·南京十三中期中）下列式子正确的是（　　）
A.sin 2＞0 B.cos 3＞0
C.tan 4＞0 D.sin 6＞0
7.点P（tan 2 024°，cos 2 024°）位于第　　　　象限.
8.已知角θ的终边经过点（3a－9，a＋2），且sin θ＞0，cos θ＜0，则a的取值范围是　　　　.
9.已知角α的终边经过点P（－x，－6），且cos α＝－，则＋＝　　　　.
10.已知角α的终边上一点P（m，－）（m≠0），且cos α＝.
（1）求m的值；
（2）求sin α和tan α.
11.角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n＝（　　）
A.2 B.－2
C.4 D.－4
12.（多选）已知sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，则角的终边在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫作α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝（0＜α＜π），则tan α＝　　　　.
14.已知＝－，且lg（cos α）有意义.
（1）试判断角α所在的象限；
（2）若角α的终边上一点M，且OM＝1（O为坐标原点），求m的值及sin α的值.
15.若α∈（0，），证明sin α＋cos α＞1.
第1课时　任意角的三角函数
1.B　根据任意角三角函数定义，tan θ＝＝，所以x＝－12.故选B.
2.C　∵α，β为三角形的内角，∴0＜α，β＜π，∴sin α＞0，又sin αcos β＜0，∴cos β＜0，∴β为钝角，即三角形为钝角三角形.故选C.
3.C　∵点P在单位圆上，∴＋y2＝1，∴y2＝.由三角函数的定义可得sin α＝y，tan α＝，因此sin α·tan α＝＝－，故选C.
4.B　因为α的终边与－的终边垂直，且0＜α＜π，所以α＝－＝，则cos ＝.故选B.
5.D　设P（x，y），则r＝｜PO｜＝，又sin α＝，cos α＝，∴y＝rsin α，x＝rcos α，∴P（rcos α，rsin α），故选D.
6.AC　对于A，2∈（，π），则sin 2＞0，故A正确；对于B，3∈（，π），则cos 3＜0，故B错误；对于C，4∈（π，），则tan 4＞0，故C正确；对于D，6∈（，2π），则sin 6＜0，故D错误.故选A、C.
7.四　解析：因为2 024°＝5×360°＋224°，224°是第三象限角，所以tan 2 024°＞0，cos 2 024°＜0，所以点P位于第四象限.
8.（－2，3）　解析：已知θ的终边经过点（3a－9，a＋2），且sin θ＞0，cos θ＜0，则θ为第二象限角，所以解得－2＜a＜3.
9.－　解析：因为角α的终边经过点P（－x，－6），且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝.所以P，r＝，所以sin α＝－，tan α＝，则＋＝－＋＝－.
10.解：（1）由题设知r＝｜OP｜＝＝（O为坐标原点），因此cos α＝＝，
∴2＝，解得m＝±.
（2）当m＝时，sin α＝－，tan α＝－.
当m＝－时，sin α＝－，tan α＝.
11.A　由题意知 所以m＝－1，n＝－3.所以m－n＝2.故选A.
12.AC　∵sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，∴α在第二象限，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋＜＜kπ＋.当k＝2n，n∈Z时，在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，在第三象限.故角的终边在第一象限或第三象限.故选A、C.
13.　解析：由题意得sch α＝＝＝（0＜α＜π），∴25（y－x）2＝x2＋y2，且y＞x，即24（）2－50＋24＝0，且y＞x，解得＝.故tan α＝.
14.解：（1）由＝－，所以sin α＜0，
由lg（cos α）有意义，可知cos α＞0，
所以α是第四象限角.
（2）因为OM＝1，所以＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－，sin α＝＝＝＝－.
15.证明：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y）.
法一　易知0＜x＜1，0＜y＜1，x2＋y2＝1.
因为x2＋y2＝1，（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＞1，所以x＋y＞1.
由三角函数的定义可知sin α＝y，cos α＝x，所以sin α＋cos α＞1.
法二　如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知MP＋OM＞OP，即sin α＋cos α＞1.
2 / 27.2.1　任意角的三角函数
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、数学运算
2.能运用定义解决相关问题 逻辑推理、数学运算
第1课时　任意角的三角函数
在初中，我们已学过锐角三角函数，如图，在Rt△ABC中，α为锐角.
【问题】　（1）在初中，锐角α的正弦、余弦和正切是怎么定义的，如何表示？
（2）若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　任意角的三角函数的定义
条 件 如图，α为任意角，它的终边上异于原点的任一点P（x，y）与原点的距离r＝　　　　　，此时点P是角α的终边与半径为　　　的圆的交点
定 义 正弦 比值　　　　叫作α的正弦，记作sin α＝　　　　
余弦 比值　　　　叫作α的余弦，记作cos α＝　　　　
定 义 正切 比值　　　　（x≠0）叫作α的正切，记作tan α＝　　　　
三角函数 正弦函数y＝　　　　，α∈R； 余弦函数y＝　　　　，α∈R； 正切函数y＝　　　　， α∈{α｜α≠＋kπ，k∈Z}
提醒　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
知识点二　三角函数值的符号
如图所示：
正弦：　　　　象限正，　　　　象限负；
余弦：　　　　象限正，　　　　象限负；
正切：　　　　象限正，　　　　象限负.
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.若角α终边经过点（－2，1），则cos α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.若α是三角形的内角，则必有sin α＞0
B.若sin α＞0，则α是第一或第二象限角
C.若角α的终边过点（1，3），则sin α＝
D.终边在x轴上的角的正切值不存在
3.若sin α＜0且cos α＜0，则角α为第　　　　象限角.
　　
题型一 三角函数的定义及应用
【例1】　（链接教科书第178页例1）如图，已知角α的终边经过点P（－4，3），求α的正弦、余弦、正切值.
【母题探究】
1.（变条件）如果将本例中的条件改为“已知角α的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0）”，求α的正弦、余弦、正切值.
2.（变条件）如果将本例中的条件改为“已知角α的终边落在直线x＋y＝0上”，求α的正弦、余弦、正切值.
通性通法
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的策略
（1）若已知角α终边上一点P（x，y）是单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝（x≠0）；
（2）若已知角α终边上一点P（x，y）不是单位圆上的点，则先求出r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）；
（3）若已知角α的终边在直线（射线）上，可以在直线（射线）上取两个（一个）点，再利用定义求解；
（4）若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
【跟踪训练】
1.已知角α的终边经过点（m，2），且cos α＝－，则实数m＝（　　）
A.－2 B.2
C.－ D.
2.（2024·南京师大附中月考）已知角α的终边过点P（3a，－4a），其中a＞0，则sin α＋cos α＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
题型二 特殊角的三角函数值
【例2】　（链接教科书第178页例2）当 α＝时，求sin α，cos α，tan α的值.
通性通法
特殊角的三角函数值的求解
　　先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.
【跟踪训练】
　已知α＝，求sin α，cos α，tan α的值.
题型三 三角函数值符号的判定及应用
【例3】　（链接教科书第180页例4）（1）（多选）下列正弦、余弦、正切值的符号为负的是（　　）
A.sin B.cos（－465°）
C.tan 10 D.cos π
（2）已知点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第　　　　象限.
通性通法
三角函数值符号的判定及应用
（1）已知角α判断三角函数值的符号：准确判定角α的终边所在象限是判定角α的三角函数值符号的关键；
（2）已知三角函数值的符号确定角α是第几象限角：由角α的不同三角函数值的符号分别判断角α的大致所在象限，它们的公共部分即为所求.
【跟踪训练】
1.（多选）下列三角函数值的符号判断正确的是（　　）
A.cos 80°＜0 B.sin 140°＞0
C.tan＞0 D.tan＞0
2.当α为第二象限角时，－＝　　　　.
1.已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是（　　）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.（2024·淮安期末）若角α的终边经过点P（m，2）（m≠0），则（　　）
A.sin α＞0 B.sin α＜0
C.cos α＞0 D.cos α＜0
3.（2024·扬州期末）已知角α的终边经过点（1，－2），则tan α·cos α＝　　　　.
4.已知角α的终边在射线3x－y＝0（x≤0）上，求sin α的值.
第1课时　任意角的三角函数
【基础知识·重落实】
知识点一
　　r　　　　　
　sin α　cos α　tan α
知识点二
　一、二　三、四　一、四　二、三　一、三
二、四　
自我诊断
1.B　r＝＝，由余弦函数的定义得cos α＝＝－.故选B.
2.AC　A中，若α∈（0，π），sin α＞0，故A正确；B中，sin α＝1＞0时，α是终边在y轴上的角，故B错误；C中，r＝＝，由正弦函数的定义得sin α＝＝＝，故C正确；D中，终边在x轴上的角的正切值为0，终边在y轴上的角的正切值不存在，故D错误.故选A、C.
3.三
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为x＝－4，y＝3，所以r＝＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－.
母题探究
1.解：r＝＝5｜a｜.
若a＞0，则r＝5a，故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
若a＜0，则r＝－5a.可得sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
2.解：直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限.
①在第二象限内取直线上的点（－1，），
则r＝＝2，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
②在第四象限内取直线上的点（1，－），则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
跟踪训练
1.A　由题意得＝－，且m＜0，所以m＝－2或m＝2（舍去）.
2.C　角α的终边过点P（3a，－4a），其中a＞0，则点P到原点的距离r＝＝5a，所以sin α＋cos α＝＋＝－.故选C.
【例2】　解：如图所示，的终边与单位圆的交点为P，
过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，OP＝1，∠POB＝，
则PB＝，OB＝，则P.
所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－.
跟踪训练
　解：在直角坐标系中，作∠AOB＝，
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为（，－），
所以sin＝－，cos＝，tan＝－.
【例3】　（1）BD　（2）二　解析：（1）A中，是第二象限角，故sin＞0；B中，－465°是第三象限角，故cos（－465°）＜0；C中，10∈（3π，）是第三象限角，故tan 10＞0；D中，cos π＝－1＜0.故选B、D.
（2）依题意得由tan α＜0知，α是第二、四象限角.当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意.
跟踪训练
1.BCD　∵0°＜80°＜90°，∴cos 80°＞0；∵90°＜140°＜180°，∴sin 140°＞0；∵∈（π，），∴tan＞0；∵∈（0，），∴tan＞0.故选B、C、D.
2.2　解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0.∴－＝－＝2.
随堂检测
1.B　由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角.
2.A　由角α的终边经过点P（m，2），可得OP＝，则sin α＝＞0，cos α＝的符号不确定.故选A.
3.－　解析：由三角函数的定义可得，tan α＝＝－2，cos α＝＝，所以tan α·cos α＝－.
4.解：∵角α的终边在射线3x－y＝0（x≤0）上，
∴角α的终边在第三象限.
在角α的终边上取一点P（－1，－3），
∴点P到原点的距离r＝，sin α＝＝＝－.
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