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(共51张PPT)
7.2.2　
同角三角函数关系
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式： sin 2α＋ cos 2α
＝1， ＝tan α 逻辑推理、
数学运算
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式
的求值、化简和证明 逻辑推理、
数学运算
第1课时　
同角三角函数关系
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　终边相同的三个角的三角函数值都是由该角的终边与单位圆交点
所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联
系.如图，设点 P （ x ， y ）是角α的终边与单位圆的交点.过点 P 作 x
轴的垂线，交 x 轴于 M ，则△ OMP 为直角三角形，且 OP ＝1.
【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　
知识点　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin 2α＋ cos 2α＝ 同一个角α的正弦、余弦的
平方和等于
商数 关系 tan α＝ 　 　（α≠ ＋ k π， k
∈Z） 角α的正切等于同一个角α
的 的商
1　
1　
　
正弦、余弦　
提醒　（1）“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立；（2） sin
2α是（ sin α）2的缩写，读作“ sin α的平方”，不能将 sin 2α写成
sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
1. 已知 cos α＝ ，α为第四象限角，则 sin α＝（　　）
A. B. － C. ± D. ±
解析： 　∵ cos α＝ ，α为第四象限角，∴ sin α＜0，∴ sin α
＝－ ＝－ ＝－ .故选B.
2. （多选）下列四个结论中，正确的是（　　）
A. sin 2α＋ cos 2β＝1
B. 对任意的角α，都有tan α＝ 成立
C. 对任意角α， sin 23α＋ cos 23α＝1都成立
D. sin 2 ＋ cos 2 ＝1
解析： 　A中，在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同
角”才成立，即 sin 2α＋ cos 2α＝1，故A错误；B中，当α＝ ＋
k π， k ∈Z时不成立，故B错误；C和D符合同角三角函数的关系.故
选C、D.
3. 已知3 sin α＋ cos α＝0，求tan α的值.
解：由 cos α＝－3 sin α，则tan α＝ ＝ ＝－ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用同角三角函数关系求值
角度1　已知 sin θ（ cos θ）求值
【例1】　（链接教科书第185页例5）（1）已知 sin α＝－ ，且α
是第三象限角，求 cos α，tan α的值；
解：∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，
∴ cos 2α＝1－ sin 2α＝ .
∵α是第三象限角，
∴ cos α＜0，
∴ cos α＝－ ，tan α＝ ＝ .
（2）已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值.
解：∵ cos α＝－ ＜0，
∴α是第二或第三象限角.
若α是第二象限角，则 sin α＞0，tan α＜0，
∴ sin α＝ ＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ ；
若α是第三象限角，则 sin α＜0，tan α＞0，
∴ sin α＝－ ＝－ ＝－ ，tan α＝ ＝ .
通性通法
已知 sin θ（ cos θ）求值的方法
角度2　已知tan θ求值
【例2】　（链接教科书第185页例6）已知α∈（π， ），tan α＝
2，则 cos α＝ .
解析：由已知得由①得 sin α＝2 cos α，代
入②得4 cos 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝ ，又α∈ ，所
以 cos α＜0，所以 cos α＝－ .
－ 　
通性通法
已知tan θ求值的方法
【跟踪训练】
1. （2024·盐城五校联盟期末）已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），则
tan α＝（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），则 cos α＝－
＝－ ，所以tan α＝ ＝－ .故选B.
2. 在△ ABC 中，若tan A ＝ ，则 sin A ＝ 　 　， cos A ＝ 　 　.
解析：因为tan A ＝ ， A 为三角形的内角，所以 A ∈（0， ），
又tan A ＝ ＝ ，得 sin A ＝ cos A ，由 sin 2 A ＋ cos 2 A ＝1，
得 cos 2 A ＝ ，又 A ∈（0， ），所以 cos A ＝ ， sin A ＝ .
　
　
题型二 利用同角三角函数关系化简
【例3】　（链接教科书第186页例7）（1）若α是第四象限角，化简
tan α ；
解：原式＝tan α ＝tan α ＝ × ，
因为α是第四象限角，所以 sin α＜0， cos α＞0，
所以原式＝ × ＝－1.
（2）若α是第一象限角，化简 － .
解：原式＝ － ＝ －
＝ － .
因为α是第一象限角，所以0＜ sin α＜1，0＜ cos α＜1，
所以原式＝ － ＝ ＝－ .
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数
名称，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后
去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造
sin 2α＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【跟踪训练】
　化简下列各式：
（1） － ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝－
2tan2α.
（2） （1－ cos α）.
解：原式＝ （1－ cos α）＝ ·（1－ cos α）
＝ ＝ ＝ sin α.
题型三 三角恒等式的证明
【例4】　（链接教科书第186页例8）求证： ＝ .
证明：法一　由 cos α≠0，知 sin α≠±1，所以1＋ sin α≠0，
左边＝ ＝ ＝ ＝
＝右边.
法二　 － ＝ － ＝
＝0，
所以 ＝ .
法三　由 ＝ ，得 cos 2α＝（1＋ sin α）·（1－ sin
α），即 cos 2α＝1－ sin 2α，即 cos 2α＋ sin 2α＝1恒成立，
故原等式成立.
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开
始化简到另一边；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）比较法：即证明“左边－右边＝0”或证明“ ＝1”；
（4）变更命题法：如要证明 ＝ ，可证 ad ＝ bc ，或证 ＝ 等.
【跟踪训练】
　求证：2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝（1－ sin α＋ cos α）2.
证明：法一　左边＝2－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α＝1＋ sin
2α＋ cos 2 α－2 sin α cos α＋2（ cos α－ sin α）＝1＋2（ cos α
－ sin α）＋（ cos α－ sin α）2＝（1－ sin α＋ cos α）2＝右边.
所以原等式成立.
法二　左边＝2－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α，
右边＝1＋ sin 2α＋ cos 2 α－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α＝2－
2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α.
左边＝右边，所以原等式成立.
法三　令1－ sin α＝ x ， cos α＝ y ，
则（ x －1）2＋ y2＝1，即 x2＋ y2＝2 x .
故左边＝2 x （1＋ y ）＝2 x ＋2 xy ＝ x2＋ y2＋2 xy ＝（ x ＋ y ）2＝右边.
所以原等式成立.
1. 若 sin α＝ ，则 sin 2α－ cos 2α＝（　　）
A. － B. － C. D.
解析： 　∵ sin α＝ ，∴ cos 2α＝1－ sin 2α＝ ，∴ sin 2α－
cos 2α＝ － ＝－ .
2. 已知 sin φ＝－ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝（　　）
A. － B. C. － D.
解析： 　∵ sin φ＝－ ，∴ cos 2φ＝1－ sin 2φ＝1－（－ ）2＝
，又｜φ｜＜ ，即－ ＜φ＜ ，∴ cos φ＞0，∴ cos φ＝ ，
∴tan φ＝ ＝ ＝－ .故选C.
3. 化简：（1＋tan2α）· cos 2α＝ .
解析：原式＝ cos 2α＝ sin 2α＋ cos 2α＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 sin θ＝ ，θ∈ ，则tan θ＝（　　）
A. －2 B. － C. － D. －
解析： 　∵ sin θ＝ ，θ∈ ，∴ cos θ＝－
＝－ ，∴tan θ＝ ＝ ＝－ .
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2. 化简 ＝（　　）
A. tan B. －
C. 1 D. －1
解析： 　原式＝ ＝ ＝－1.故选D.
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3. 如果α是第二象限角，则下列各式中成立的是（　　）
A. tan α＝－ B. cos α＝－
C. sin α＝－ D. tan α＝
解析： 　由商数关系可知A、D均不正确；当α为第二象限角
时， cos α＜0， sin α＞0，故B正确，C不正确.故选B.
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4. 化简 sin 2α＋ cos 4α＋ sin 2α cos 2α的结果是（　　）
A. B. C. 1 D.
解析： 　原式＝ sin 2α＋ cos 2α（ cos 2α＋ sin 2α）＝ sin 2α＋
cos 2α＝1.故选C.
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5. 已知θ是第三象限角，且 sin 4θ＋ cos 4θ＝ ，则 sin θ cos θ＝
（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　θ为第三象限角，则 sin θ＜0， cos θ＜0， sin 4θ＋
cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ＝1－2 sin 2θ cos
2θ＝ ，∴ sin 2θ cos 2θ＝ ，又 sin θ cos θ＞0，∴ sin θ cos
θ＝ .故选A.
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6. （多选） ＋ 的值可能为（　　）
A. 0 B. 1 C. －3 D. 3
解析： 由 ＋ ＝ ＋ ，当 x 为
第一象限角时， sin x ＞0， cos x ＞0，则原式＝2＋1＝3，当 x 为第
二象限角时， sin x ＞0， cos x ＜0，则原式＝2－1＝1，当 x 为第三
象限角时， sin x ＜0， cos x ＜0，则原式＝－2－1＝－3，当 x 为第
四象限角时， sin x ＜0， cos x ＞0，则原式＝－2＋1＝－1.
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7. 若α是第三象限角且 cos α＝－ ，则 sin α＝ 　－ 　，tan α
＝ .
解析：∵α是第三象限角且 cos α＝－ ，∴ sin α＝－
＝－ ，∴tan α＝ ＝ .
－ 　
　
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解析：由 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以（ ）2＋（ ）2＝
＝1，整理可得， m2－2 m －3＝0，解得 m ＝－1或 m ＝3.
当 m ＝－1时， sin α＝0， cos α＝－1，tan α＝ ＝0；当 m ＝
3时， sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ ＝ .综上所述，tan α
＝0或tan α＝ .
8. （2024·盐城阜宁期末）若 sin α＝ ， cos α＝ ，则tan α
＝ .
0或 　
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9. 已知α为第二象限角，则 cos α ＋ sin α·
＝ .
解析：原式＝ cos α· ＋ sin α· ＝ cos
α· ＋ sin α· .因为α是第二象限角，所以 sin α＞
0， cos α＜0，所以原式＝－1＋1＝0.
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10. 求证： · ＝1.
证明： · ＝ · ＝ · ＝
＝ ＝1.
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11. 若tan α＝ m ，α是第二象限角，则 cos α＝（　　）
A. － B.
C. － D.
解析： 　∵α是第二象限角，且tan α＝ m ，∴ m ＜0， sin α＞
0， cos α＜0， m cos α＝ sin α，代入平方关系得到 m2 cos 2α＋
cos 2α＝1，∴ cos 2α＝ ，∴ cos α＝－ .故选A.
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12. （多选）若 ＝－ ，则下列选项计算结果正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝－
C. ＝ D. ＝－
解析： 　由 sin 2α＋ cos 2α＝1，得1－ cos 2α＝ sin 2α，
∴ ＝ .∵ ＝－ ，∴ ＝－ ，即 ＝
－ .故选B、D.
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13. 已知tan α＝ cos α，则 sin α＝ .
解析：由于tan α＝ ＝ cos α，则 sin α＝ cos 2α，所以 sin
α＝1－ sin 2α，解得 sin α＝ .又 sin α＝ cos 2α＞0，所
以 sin α＝ .
　
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14. 化简下列各式：
（1） cos 4α＋ sin 2α（1＋ cos 2α）；
解： 原式＝ cos 4α＋（1－ cos 2α）（1＋ cos 2α）＝
cos 4α＋1－ cos 4α＝1.
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（2） － .
解： 原式＝ －
＝ －
＝ ＝ sin x ＋ cos x .
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15. 若α∈（0， ），求 ＋ 的最小值.
解：∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，
∴ ＋ ＝（ ＋ ）（ sin 2α＋ cos 2α）＝10＋
＋ ≥10＋2 ＝16，
∵α∈ ，当且仅当 sin α＝ cos α时，等号成立，
∴ ＋ 的最小值是16.
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谢 谢 观 看！第1课时　同角三角函数关系
1.已知sin θ＝，θ∈，则tan θ＝（　　）
A.－2 B.－
C.－ D.－
2.化简＝（　　）
A.tan B.－
C.1 D.－1
3.如果α是第二象限角，则下列各式中成立的是（　　）
A.tan α＝－ B.cos α＝－
C.sin α＝－ D.tan α＝
4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是（　　）
A.　　　B. C.1　　　D.
5.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ＝（　　）
A. B.－
C. D.－
6.（多选）＋的值可能为（　　）
A.0 B.1
C.－3 D.3
7.若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝　　　　，tan α＝　　　　.
8.（2024·盐城阜宁期末）若sin α＝，cos α＝，则tan α＝　　　　.
9.已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝　　　　.
10.求证：·＝1.
11.若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
12.（多选）若＝－，则下列选项计算结果正确的是（　　）
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－
13.已知tan α＝cos α，则sin α＝　　　　.
14.化简下列各式：
（1）cos4α＋sin2α（1＋cos2α）；
（2）－.
15.若α∈（0，），求＋的最小值.
第1课时　同角三角函数关系
1.D　∵sin θ＝，θ∈，∴cos θ＝－＝－，∴tan θ＝＝＝－.
2.D　原式＝＝＝－1.故选D.
3.B　由商数关系可知A、D均不正确；当α为第二象限角时， cos α＜0，sin α＞0，故B正确，C不正确.故选B.
4.C　原式＝sin2α＋cos2α（cos2α＋sin2α）＝sin2α＋cos2α＝1.故选C.
5.A　θ为第三象限角，则sin θ＜0，cos θ＜0，sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，∴sin2θcos2θ＝，又sin θcos θ＞0，∴sin θcos θ＝.故选A.
6.BCD　由＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则原式＝2＋1＝3，当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则原式＝2－1＝1，当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则原式＝－2－1＝－3，当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则原式＝－2＋1＝－1.
7.－　　解析：∵α是第三象限角且cos α＝－，∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝.
8.0或　解析：由sin2α＋cos2α＝1，所以（）2＋（）2＝＝1，整理可得，m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.综上所述，tan α＝0或tan α＝.
9.0　解析：原式＝cos α·＋sin α·＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝－1＋1＝0.
10.证明：·＝·＝·＝＝＝1.
11.A　∵α是第二象限角，且tan α＝m，∴m＜0，sin α＞0，cos α＜0，mcos α＝sin α，代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，∴cos α＝－.故选A.
12.BD　由sin2α＋cos2α＝1，得1－cos2α＝sin2α，∴＝.∵＝－，∴＝－，即＝－.故选B、D.
13.　解析：由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝.又sin α＝cos2α＞0，所以sin α＝.
14.解：（1）原式＝cos4α＋（1－cos2α）（1＋cos2α）＝cos4α＋1－cos4α＝1.
（2）原式＝－
＝－
＝＝sin x＋cos x.
15.解：∵sin2α＋cos2α＝1，
∴＋＝（＋）·（sin2α＋cos2α）
＝10＋＋≥10＋2＝16，
∵α∈，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，
∴＋的最小值是16.
1 / 27.2.2　同角三角函数关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α 逻辑推理、数学运算
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明 逻辑推理、数学运算
第1课时　同角三角函数关系
终边相同的三个角的三角函数值都是由该角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点.过点P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP为直角三角形，且OP＝1.
【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝　　 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于　　
商数 关系 tan α＝　　　（α≠＋kπ，k∈Z） 角α的正切等于同一个角α的　　　　　　的商
提醒　（1）“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立；（2）sin2α是（sin α）2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的.
1.已知cos α＝，α为第四象限角，则sin α＝（　　）
A. B.－
C.± D.±
2.（多选）下列四个结论中，正确的是（　　）
A.sin2α＋cos2β＝1
B.对任意的角α，都有tan α＝成立
C.对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立
D.sin2＋cos2＝1
3.已知3sin α＋cos α＝0，求tan α的值.
题型一 利用同角三角函数关系求值
角度1　已知sin θ（cos θ）求值
【例1】　（链接教科书第185页例5）（1）已知sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
（2）已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
通性通法
已知sin θ（cos θ）求值的方法
角度2　已知tan θ求值
【例2】　（链接教科书第185页例6）已知α∈（π，），tan α＝2，则cos α＝　　　　.
通性通法
已知tan θ求值的方法
【跟踪训练】
1.（2024·盐城五校联盟期末）已知sin α＝，α∈（，π），则tan α＝（　　）
A.　　 B.－
C.　　 D.－
2.在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝　　 　，cos A＝　　　　.
题型二 利用同角三角函数关系化简
【例3】　（链接教科书第186页例7）（1）若α是第四象限角，化简tan α；
（2）若α是第一象限角，化简－.
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【跟踪训练】
　化简下列各式：
（1）－；
（2）（1－cos α）.
题型三 三角恒等式的证明
【例4】　（链接教科书第186页例8）求证：＝.
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）比较法：即证明“左边－右边＝0”或证明“＝1”；
（4）变更命题法：如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等.
【跟踪训练】
　求证：2（1－sin α）（1＋cos α）＝（1－sin α＋cos α）2.
1.若sin α＝，则sin2α－cos2α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.已知sin φ＝－，且｜φ｜＜，则tan φ＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.化简：（1＋tan2α）·cos2α＝　　　　.
第1课时　同角三角函数关系
【基础知识·重落实】
知识点
　1　1　　正弦、余弦
自我诊断
1.B　∵cos α＝，α为第四象限角，∴sin α＜0，∴sin α ＝－＝－＝－.故选B.
2.CD　A中，在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1，故A错误；B中，当α＝＋kπ，k∈Z时不成立，故B错误；C和D符合同角三角函数的关系.故选C、D.
3.解：由cos α＝－3sin α，则tan α＝＝＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝.
∵α是第三象限角，∴cos α＜0，
∴cos α＝－，tan α＝＝.
（2）∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角.
若α是第二象限角，则sin α＞0，tan α＜0，
∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－；
若α是第三象限角，则sin α＜0，tan α＞0，
∴sin α＝－
＝－＝－，tan α＝＝.
【例2】　－　解析：由已知得由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈，所以cos α＜0，所以cos α＝－.
跟踪训练
1.B　因为sin α＝，α∈（，π），则cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.故选B.
2.　　解析：因为tan A＝，A为三角形的内角，所以A∈（0，），又tan A＝＝，得sin A＝cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得cos2A＝，又A∈（0，），所以cos A＝，sin A＝.
【例3】　解：（1）原式＝tan α＝tan α＝×，
因为α是第四象限角，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以原式＝×＝－1.
（2）原式＝－＝－＝－.
因为α是第一象限角，所以0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，
所以原式＝－＝＝－.
跟踪训练
　解：（1）原式＝
＝＝＝－2tan2α.
（2）原式＝（1－cos α）＝·（1－cos α）＝＝＝sin α.
【例4】　证明：法一　由cos α≠0，知sin α≠±1，所以1＋sin α≠0，
左边＝
＝＝
＝＝右边.
法二　－＝
－＝＝0，
所以＝.
法三　由＝，得cos2α＝（1＋sin α）（1－sin α），即cos2α＝1－sin2α，即cos2α＋sin2α＝1恒成立，故原等式成立.
跟踪训练
　证明：法一　左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝1＋sin2α＋cos2 α－2sin αcos α＋2（cos α－sin α）＝1＋2（cos α－sin α）＋（cos α－sin α）2＝（1－sin α＋cos α）2＝右边.
所以原等式成立.
法二　左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2 α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α.
左边＝右边，所以原等式成立.
法三　令1－sin α＝x，cos α＝y，
则（x－1）2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x（1＋y）＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝（x＋y）2＝右边.
所以原等式成立.
随堂检测
1.B　∵sin α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝，∴sin2α－cos2α＝－＝－.
2.C　∵sin φ＝－，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－（－）2＝，又｜φ｜＜，即－＜φ＜，∴cos φ＞0，∴cos φ＝，∴tan φ＝＝＝－.故选C.
3.1　解析：原式＝cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.
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