资源简介

(共59张PPT)
7.2.3　
三角函数的诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函
数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化
简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问
题 数学运算、
逻辑推理
第1课时　
诱导公式一～四
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的
和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质
是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性：圆既是以圆心为对
称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称
图形.
【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终
边与π±α，－α有什么样的对称关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　诱导公式一～四
终边
关系 图示 公式
公
式
一 角2 k π＋α
与角α的
终边相同 sin （α＋2 k π）＝ ；
cos （α＋2 k π）＝ ；
tan（α＋2 k π）＝ .
其中， k ∈Z
sin α　
cos α　
tan α　
终边
关系 图示 公式
公
式
二 角－α与角α的终边关于 　轴对称
sin （－α）＝ ；
cos （－α）＝ ；
tan（－α）＝
x
－ sin α　
cos α　
－tan α　
终边关系 图示 公式
公
式
三 角π－α与角α的终边关于 　轴对称
sin （π－α）＝ ；
cos （π－α）＝ ；
tan（π－α）＝
公
式
四 角π＋α与角α的终边关于 对称
sin （π＋α）＝ ；
cos （π＋α）＝ ；
tan（π＋α）＝
y
sin α　
－ cos α　
－tan α　
原点
－ sin α　
－ cos α　
tan α　
提醒　诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法：2 k π＋α，－α，
π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐
角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名不变，符号看象
限”.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函
数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假
设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还
是负值，如 sin （π＋α），若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正
弦在第三象限取负值，故 sin （π＋α）＝－ sin α.
【想一想】
　诱导公式中角α必须是锐角吗？
提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠ k π
＋ ， k ∈Z.
1. 若tan α＝4，则tan（π－α）＝（　　）
A. π－4 B. 4π C. －4 D. 4－π
解析： 　tan（π－α）＝－tan α＝－4.
2. 若 sin （3π＋α）＝ ，则 sin α＝（　　）
A. B. － C. 3 D. －3
解析： 　 sin （3π＋α）＝ sin （π＋α）＝－ sin α＝ ，∴ sin
α＝－ .
3. 求值：（1） sin ＝ 　 　；
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ .
（2） cos ＝ 　－ 　.
解析： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
　
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】　（链接教科书第189页例9）求值：
（1） sin ；
解： sin ＝ sin （2π＋ ）＝ sin ＝ sin （π－ ）＝ sin ＝
.
（2） cos （－ ）；
解：法一　 cos （－ ）＝ cos ＝ cos （4π＋ ）＝ cos
（π＋ ）＝－ cos ＝－ .
法二　 cos （－ ）＝ cos （－6π＋ ）＝ cos （π－ ）＝－ cos ＝－ .
（3）tan（－945°）.
解：tan（－945°）＝－tan 945°＝－tan（225°＋2×360°）
＝－tan 225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan 45°＝－1.
通性通法
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·常州期末） cos 840°＝（　　）
A. － B.
C. － D.
解析： 　 cos 840°＝ cos （2×360°＋120°）＝ cos 120°＝
cos （180°－60°）＝－ cos 60°＝－ .故选A.
2. sin · cos （－ ）·tan ＝ 　－ 　.
解析：原式＝ sin cos tan ＝－ sin cos tan
＝－ × ×1＝－ .
－ 　
题型二 化简求值
【例2】　（链接教科书第190页练习3题）化简：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝1.
（2） .
解：原式＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改
变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用
切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
化简： ·tan（2π－α）＝ .
解析：原式＝ ·tan（－α）＝ ·（－tan α）＝－
·tan α＝－1.
－1　
题型三 给值求值
【例3】　已知 cos （ －α）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ 　－ 　.
解析：因为（ －α）＋（α＋ ）＝π，所以α＋ ＝π－（ －
α）， cos （α＋ ）＝ cos ［π－（ －α）］＝－ cos （ －α）
＝－ .
－ 　
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，求 cos 与 sin 2 的值.
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ .
sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2
＝1－ cos 2 ＝1－（ ）2＝ .
2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin
＝ ，α∈ ”，试求 cos （α＋ ）的值.
解：因为α∈ ，则α－ ∈ .
所以 cos ＝－ cos ＝－ cos
＝ ＝ ＝ .
通性通法
解决给值求值问题的两个技巧
【跟踪训练】
已知 sin （θ－ ）＝－ ，且θ∈（0， ），则 cos （ ＋θ）
＝ .
－
解析： cos （ ＋θ）＝ cos ［（θ－ ）＋π］＝－ cos （θ－
），∵θ∈（0， ），∴θ－ ∈（－ ， ），∴ cos （θ－ ）
＞0，即 cos （θ－ ）＝ ＝ ，∴ cos （ ＋
θ）＝－ .
题型四 利用诱导公式二判断函数奇偶性
【例4】　（链接教科书第189页例10）判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝1＋ cos x ；
解：因为函数 f （ x ）的定义域是R，且 f （－ x ）＝1＋ cos （－
x ）＝1＋ cos x ＝ f （ x ），
所以 f （ x ）是偶函数.
（2） g （ x ）＝ x ＋ sin x .
解：因为函数 g （ x ）的定义域是R，且 g （－ x ）＝－ x ＋ sin
（－ x ）＝－（ x ＋ sin x ）＝－ g （ x ），
所以 g （ x ）是奇函数.
通性通法
判断函数奇偶性的方法
（1）判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否
关于原点对称；二看 f （ x ）与 f （－ x ）的关系；
（2）对于三角函数奇偶性的判断，可根据诱导公式二： sin （－α）
＝－ sin α； cos （－α）＝ cos α； tan（－α）＝－tan α，
先将函数式化简后再判断.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x ；
解：函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 的定义域为R，
因为 x ∈R，都有－ x ∈R，
又 f （－ x ）＝｜ sin （－ x ）｜＋ cos （－ x ）＝｜ sin x ｜＋
cos x ＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 是偶函数.
（2） f （ x ）＝ x3· sin x .
解：函数的定义域为R，因为 x ∈R，都有－ x ∈R，
又 f （－ x ）＝（－ x ）3· sin （－ x ）＝ x3· sin x ＝ f （ x ），
所以 f （ x ）为偶函数.
1. （2024·南通如皋期中） cos 2 040°＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　 cos 2 040°＝ cos （6×360°－120°）＝ cos 120°＝
－ cos 60°＝－ .故选B.
2. 若 sin （π＋α）＝－ ，则 sin （4π－α）＝ 　－ 　.
解析：由题知， sin α＝ ，所以 sin （4π－α）＝ sin [2π＋（2π
－α）]＝ sin （2π－α）＝－ sin α＝－ .
－ 　
3. 若 P （－4，3）是角α终边上一点，则
＝ .
解析：由题意知 sin α＝ ，原式＝ ＝－ ＝－
＝－ .
－ 　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. tan 300°＋ sin 450°＝（　　）
A. －1＋ B. 1＋
C. －1－ D. 1－
解析： 　原式＝tan（360°－60°）＋ sin （360°＋90°）＝tan
（－60°）＋ sin 90°＝－tan 60°＋1＝－ ＋1.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 对函数 f （ x ）＝ x3＋ sin x 的奇偶性说法正确的是（　　）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数也是偶函数
解析： 　 f （－ x ）＝（－ x ）3＋ sin （－ x ）＝－ x3－ sin x ＝－ f
（ x ）.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 在△ ABC 中， cos （ A ＋ B ）＝（　　）
A. cos C B. － cos C
C. sin C D. － sin C
解析： 　由 A ＋ B ＋ C ＝π，得 A ＋ B ＝π－ C ，所以 cos （ A ＋
B ）＝ cos （π－ C ）＝－ cos C .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若 sin （π＋α）＋ sin （－α）＝－ m ，则 sin （3π＋α）＋2 sin
（2π－α）＝（　　）
A. － m B. － m C. m D. m
解析： 因为 sin （π＋α）＋ sin （－α）＝－2 sin α＝－ m ，
所以 sin α＝ ，则 sin （3π＋α）＋2 sin （2π－α）＝－ sin α
－2 sin α＝－3 sin α＝－ m .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）下列化简正确的是（　　）
A. tan（π＋1）＝tan 1
B. ＝ cos α
C. ＝tan α
D. ＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　A中，由诱导公式可得tan（π＋1）＝tan 1，故A正
确；B中， ＝ ＝ cos α，故B正确；C中，
＝ ＝－tan α，故C不正确；D中，
＝ ＝－1，故D不正确.故
选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）已知tan θ＝3 sin （θ－π），则 cos θ＝（　　）
A. －1 B. － C. D. 1
解析： 　∵tan θ＝3 sin （θ－π），∴ ＝－3 sin θ，若
sin θ＝0，则 cos θ＝1或－1，若 sin θ≠0，则 cos θ＝－ .故选
A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 计算： sin （－ ） cos ＝ 　 　.
解析：原式＝－ sin （6π＋ ） cos （π＋ ）＝－ sin ·（－ cos
）＝ sin · cos ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知 sin （－π－α）＝ ，且α为第二象限角，则
＝ .
解析：∵ sin （－π－α）＝ ，∴－ sin （π＋α）＝ ，∴ sin α
＝ ，∵α为第二象限角，∴ cos α＝－ ， ＝ ＝
cos α＝－ .
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. ＝ 　 －2　.
解析：原式＝ ＝
＝ ＝
＝ －2.
－2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 化简与计算：
（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝
tan θ.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2） sin 420° cos 330°＋ sin （－690°） cos （－660°）.
解： 原式＝ sin （360°＋60°） cos （360°－
30°）＋ sin （－2×360°＋30°） cos （－2×360°
＋60°）
＝ sin 60° cos 30°＋ sin 30° cos 60°＝ × ＋
× ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝（　　）
A. －1 B. C. － D. 1
解析： 　函数的定义域为{ x ｜ x ≠－1且 x ≠ a }.因为 f （ x ）＝
为奇函数，所以定义域关于原点对称，则 a ＝1，所
以 f （ x ）＝ ＝ ，因为 f （－ x ）＝ ＝
＝－ f （ x ），满足 f （ x ）为奇函数，所以 a ＝1.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）在平面直角坐标系中，若角α与角β的始边均与 x 轴的
非负半轴重合，终边关于 y 轴对称，则下列等式恒成立的是
（　　）
A. sin （α＋π）＝ sin β
B. sin （α－π）＝－ sin β
C. sin （－α）＝ sin β
D. sin （2π－α）＝－ sin β
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　不妨令α，β∈[0，2π），由题意可知α＋β＝π或
3π，所以 sin （α＋π）＝ sin （－β）＝－ sin β，故A错误；
sin （α－π）＝ sin （－β）＝－ sin β，故B正确； sin （－
α）＝ sin （β－π）＝－ sin β，故C错误； sin （2π－α）＝
sin （－α）＝－ sin β，故D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知 a ＝tan ， b ＝ cos ， c ＝ sin ，则 a ， b ， c
的大小关系是 .（用“＞”表示）
解析：因为 a ＝－tan ＝－ ， b ＝ cos ＝ cos ＝ ， c ＝ sin
＝－ sin ＝－ ，所以 b ＞ a ＞ c .
b ＞ a ＞ c 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：因为tan α， 是关于 x 的方程 x2－ kx ＋ k2－3＝0的两个实
数根，
故由根与系数的关系有tan α· ＝ k2－3＝1，解得 k ＝±2.
又3π＜α＜ ，所以tan α＞0， ＞0，
所以tan α＋ ＝ k ＞0，于是 k ＝2.
因此tan α＝ ＝1， sin α＝ cos α.
又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin α＝ cos α＝－ ，
所以 cos （3π＋α）－ sin （π－α）＝－ cos α－ sin α＝ .
14. 已知tan α， 是关于 x 的方程 x2－ kx ＋ k2－3＝0的两个实数
根，且3π＜α＜ ，求 cos （3π＋α）－ sin （π－α）的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 是否存在α∈ ，β∈（0，π），使等式 sin （3π－α）
＝ sin β， cos （－α）＝－ cos （π＋β）同时成立？若
存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在角α，β满足条件.
由已知条件可得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由①2＋②2，得 sin 2α＋3 cos 2α＝2.
∴ sin 2α＝ ，∴ sin α＝± .
∵α∈ ，∴α＝± .
当α＝ 时，由②式知 cos β＝ ，
又β∈（0，π），∴β＝ ，此时①式成立；
当α＝－ 时，由②式知 cos β＝ ，
又β∈（0，π），∴β＝ ，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝ ，β＝ 满足条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！第1课时　诱导公式一～四
1.tan 300°＋sin 450°＝（　　）
A.－1＋ B.1＋
C.－1－ D.1－
2.对函数f（x）＝x3＋sin x的奇偶性说法正确的是（　　）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
3.在△ABC中，cos（A＋B）＝（　　）
A.cos C B.－cos C
C.sin C D.－sin C
4.若sin（π＋α）＋sin（－α）＝－m，则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）＝（　　）
A.－m B.－m
C.m D.m
5.（多选）下列化简正确的是（　　）
A.tan（π＋1）＝tan 1
B.＝cos α
C.＝tan α
D.＝1
6.（多选）已知tan θ＝3sin（θ－π），则cos θ＝（　　）
A.－1 B.－
C. D.1
7.计算：sin（－）cos＝　　　　.
8.已知sin（－π－α）＝，且α为第二象限角，则＝　　　　.
9.＝　　　　　.
10.化简与计算：
（1）；
（2）sin 420°cos 330°＋sin（－690°）cos（－660°）.
11.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（　　）
A.－1 B.
C.－ D.1
12.（多选）在平面直角坐标系中，若角α与角β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（　　）
A.sin（α＋π）＝sin β B.sin（α－π）＝－sin β
C.sin（－α）＝sin β D.sin（2π－α）＝－sin β
13.已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是　　　　.（用“＞”表示）
14.已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根，且3π＜α＜，求cos（3π＋α）－sin（π－α）的值.
15.是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝sin β，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
第1课时　诱导公式一～四
1.D　原式＝tan（360°－60°）＋sin（360°＋90°）＝tan（－60°）＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1.故选D.
2.A　f（－x）＝（－x）3＋sin（－x）＝－x3－sin x＝－f（x）.故选A.
3.B　由A＋B＋C＝π，得A＋B＝π－C，所以cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C.
4.B　因为sin（π＋α）＋sin（－α）＝－2sin α＝－m，所以sin α＝，则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B.
5.AB　A中，由诱导公式可得tan（π＋1）＝tan 1，故A正确；B中，＝＝cos α，故B正确；C中，＝＝－tan α，故C不正确；D中，＝＝－1，故D不正确.故选A、B.
6.ABD　∵tan θ＝3sin（θ－π），∴＝－3sin θ，若sin θ＝0，则cos θ＝1或－1，若sin θ≠0，则cos θ＝－.故选A、B、D.
7.　解析：原式＝－sin（6π＋）·cos（π＋）＝－sin·（－cos）＝sin·cos＝.
8.－　解析：∵sin（－π－α）＝，∴－sin（π＋α）＝，∴sin α＝，∵α为第二象限角，∴cos α＝－，＝＝cos α＝－.
9.－2　解析：原式＝
＝＝
＝＝－2.
10.解：（1）原式＝
＝＝tan θ.
（2）原式＝sin（360°＋60°）cos（360°－30°）＋sin（－2×360°＋30°）cos（－2×360°＋60°）＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
11.D　函数的定义域为{x｜x≠－1且x≠a}.因为f（x）＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，所以f（x）＝＝，因为f（－x）＝＝＝－f（x），满足f（x）为奇函数，所以a＝1.故选D.
12.BD　不妨令α，β∈[0，2π），由题意可知α＋β＝π或3π，所以sin（α＋π）＝sin（－β）＝－sin β，故A错误；sin（α－π）＝sin（－β）＝－sin β，故B正确；sin（－α）＝sin（β－π）＝－sin β，故C错误；sin（2π－α）＝sin（－α）＝－sin β，故D正确.故选B、D.
13.b＞a＞c　解析：因为a＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝，c＝sin＝－sin＝－，所以b＞a＞c.
14.解：因为tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实数根，
故由根与系数的关系有tan α·＝k2－3＝1，解得k＝±2.
又3π＜α＜，所以tan α＞0，＞0，
所以tan α＋＝k＞0，于是k＝2.
因此tan α＝＝1，sin α＝cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝cos α＝－，
所以cos（3π＋α）－sin（π－α）＝－cos α－sin α＝.
15.解：假设存在角α，β满足条件.
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
1 / 27.2.3　三角函数的诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理
第1课时　诱导公式一～四
　　
　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性：圆既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　诱导公式一～四
终边关系 图示 公式
公式一 角2kπ＋α与角α的终边相同 sin（α＋2kπ）＝　　　； cos（α＋2kπ）＝　　　； tan（α＋2kπ）＝　　　. 其中，k∈Z
终边关系 图示 公式
公式二 角－α与角α的终边关于　　　轴对称 sin（－α）＝　　　； cos（－α）＝　　　； tan（－α）＝　　
公式三 角π－α与角α的终边关于　　　轴对称 sin（π－α）＝　　　； cos（π－α）＝　　　； tan（π－α）＝　　
公式四 角π＋α与角α的终边关于　　　对称 sin（π＋α）＝　　　； cos（π＋α）＝　　　； tan（π＋α）＝　　
提醒　诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin（π＋α），若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin（π＋α）＝－sin α.
【想一想】
　诱导公式中角α必须是锐角吗？
1.若tan α＝4，则tan（π－α）＝（　　）
A.π－4　　B.4π C.－4　　 D.4－π
2.若sin（3π＋α）＝，则sin α＝（　　）
A. B.－
C.3 D.－3
3.求值：（1）sin ＝　　　　；
（2）cos＝　　　　.
题型一 给角求值
【例1】　（链接教科书第189页例9）求值：
（1）sin；（2）cos（－）；（3）tan（－945°）.
通性通法
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【跟踪训练】
1.（2024·常州期末）cos 840°＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
2.sin·cos（－）·tan＝　　　　.
题型二 化简求值
【例2】　（链接教科书第190页练习3题）化简：
（1）；
（2）.
通性通法
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
　化简：·tan（2π－α）＝　　　　.
题型三 给值求值
【例3】　已知cos（－α）＝，则cos（α＋）＝　　　　.
【母题探究】
1.（变设问）若本例条件不变，求cos与sin2的值.
2.（变条件）若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，试求cos（α＋）的值.
通性通法
解决给值求值问题的两个技巧
【跟踪训练】
已知sin（θ－）＝－，且θ∈（0，），则cos（＋θ）＝　　　　.
题型四 利用诱导公式二判断函数奇偶性
【例4】　（链接教科书第189页例10）判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝1＋cos x；
（2）g（x）＝x＋sin x.
通性通法
判断函数奇偶性的方法
（1）判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f（x）与f（－x）的关系；
（2）对于三角函数奇偶性的判断，可根据诱导公式二：sin（－α）＝－sin α；cos（－α）＝cos α； tan（－α）＝－tan α，先将函数式化简后再判断.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝｜sin x｜＋cos x；
（2）f（x）＝x3·sin x.
1.（2024·南通如皋期中）cos 2 040°＝（　　）
A. B.－
C. D.－
2.若sin（π＋α）＝－，则sin（4π－α）＝　　　　.
3.若P（－4，3）是角α终边上一点，则＝　　　　.
第1课时　诱导公式一～四
【基础知识·重落实】
知识点
　sin α　cos α　tan α　x　－sin α　cos α
－tan α　y　sin α　－cos α　－tan α　原点　－sin α　－cos α　tan α
想一想
　提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
自我诊断
1.C　tan（π－α）＝－tan α＝－4.
2.B　sin（3π＋α）＝sin（π＋α）＝－sin α＝，∴sin α＝－.
3.（1）　（2）－　解析：（1）sin ＝sin＝sin ＝.
（2）cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）sin＝sin（2π＋）＝sin＝sin（π－）＝sin＝.
（2）法一　cos（－）＝cos＝cos（4π＋）＝cos（π＋）＝－cos＝－.
法二　cos（－）＝cos（－6π＋）＝cos（π－）＝－cos＝－.
（3）tan（－945°）＝－tan 945°＝－tan（225°＋2×360°）＝－tan 225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan 45°＝－1.
跟踪训练
1.A　cos 840°＝cos（2×360°＋120°）＝cos 120°＝cos（180°－60°）＝－cos 60°＝－.故选A.
2.－　解析：原式＝sincos（4π＋）tan＝－sincostan＝－××1＝－.
【例2】　解：（1）原式
＝＝＝1.
（2）原式＝
＝＝＝.
跟踪训练
　－1　解析：原式＝·tan（－α）＝·（－tan α）＝－·tan α＝－1.
【例3】　－　解析：因为（－α）＋（α＋）＝π，所以α＋＝π－（－α），cos（α＋）＝cos［π－（－α）］＝－cos（－α）＝－.
母题探究
1.解：cos＝cos＝cos＝.
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－（ ）2＝.
2.解：因为α∈，则α－∈.
所以cos＝－cos＝－cos＝
＝＝.
跟踪训练
　－　解析：cos（＋θ）＝cos［（θ－）＋π］＝－cos（θ－），∵θ∈（0，），∴θ－∈（－，），∴cos（θ－）＞0，即cos（θ－）＝＝，∴cos（＋θ）＝－.
【例4】　解：（1）因为函数f（x）的定义域是R，且f（－x）＝1＋cos（－x）＝1＋cos x＝f（x），
所以f（x）是偶函数.
（2）因为函数g（x）的定义域是R，且g（－x）＝－x＋sin（－x）＝－（x＋sin x）＝－g（x），
所以g（x）是奇函数.
跟踪训练
　解：（1）函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，
又f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜sin x｜＋cos x＝f（x），
所以函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x是偶函数.
（2）函数的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R，
又f（－x）＝（－x）3·sin（－x）＝x3·sin x＝f（x），
所以f（x）为偶函数.
随堂检测
1.B　cos 2 040°＝cos（6×360°－120°）＝cos 120°＝－cos 60°＝－.故选B.
2.－　解析：由题知，sin α＝，所以sin（4π－α）＝sin[2π＋（2π－α）]＝sin（2π－α）＝－sin α＝－.
3.－　解析：由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－.
4 / 4

展开更多......

收起↑