资源简介

9.1　向量概念
1.下列四个命题中正确的是（　　）
A.时间、距离都是向量
B.两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
C.向量与向量表示同一个向量
D.平行向量不一定是共线向量
2.在锐角△ABC中，下列说法正确的是（　　）
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
3.（2024·无锡月考）设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是（　　）
A.a0＝b0 B.a0＝－b0
C.a0∥b0 D.｜a0｜＋｜b0｜＝2
4.（2024·常州月考）若｜｜＝｜｜且 ＝，则四边形ABCD的形状为（　　）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.（多选）下列能使a∥b成立的是（　　）
A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜
C.a与b方向相反 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0
6.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.若a≠b，则a，b一定不共线
B.在 ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.共线向量是在一条直线上的向量
7.（2024·徐州月考）给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝－b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其中，正确的命题个数有　　　　.
8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则图中的相反向量为　　　　.
9.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为　　　　.
10.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
（1）写出图中所示向量与向量长度相等的向量；
（2）分别写出图中所示向量与向量，共线的向量；
（3）求与，与的夹角的度数.
11.（多选）在下列结论中正确的有（　　）
A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件
B.a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件
C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件
D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件
12.（2024·泰州月考）已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝　　　　.
13.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，在图中所标出的向量中，与向量的夹角为120°的向量是　　　　　　　.
14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
（1）画出所有的向量；
（2）求｜｜的最大值与最小值.
15.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据：sin 53°≈0.8）
9.1　向量概念
1.B　对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故B正确；对于C，向量与向量表示的是模长相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量也叫作共线向量，故D错误.故选B.
2.B　由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于180°－∠ABC，与的夹角等于∠BAC，与的夹角等于∠ACB，与的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B正确.故选B.
3.D　单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D.
4.C　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜｜＝｜｜，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形.故选C.
5.ACD　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.
6.BC　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在 ABCD中，｜｜＝｜｜，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确.故选B、C.
7.0　解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等.
8.，，　解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量为，，.
9.135°　解析：∵∠B＝45°，∴与的夹角为135°.
10.解：（1）与长度相等的向量是，，，，，，，.
（2）与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
（3）因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°.
11.ACD　若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对于B，由a≠b /｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜ a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确.
12.0　解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
13.，，　解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与的夹角为120°的向量为，，.
14.解：（1）画出所有的向量，如图所示.
（2）由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝.
所以｜｜的最大值为，最小值为.
15.解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50（n mile），
由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°.
2 / 29.1　向量概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.了解平面向量共线和向量相同的含义 数学抽象
把木块放置在光滑的斜面上，斜面上的木块受到两个力的影响：重力G和斜面的支持力N.木块在重力与支持力的合力作用下，会沿着斜面向下运动，产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化.
【问题】　（1）物理中，位移和距离这两个量有什么不同？
（2）你能举出一些既有大小又有方向的量吗？有没有只有大小没有方向的量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　向量的概念及表示
1.向量的概念
（1）向量：既有　　　　又有　　　　的量；
（2）数量：只有大小没有方向的量.
提醒　（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小.
2.向量的表示
（1）有向线段：具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
（2）向量的表示
①几何表示：向量常用一条　　　　　　来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为　　　.向量的大小称为向量的　　　　（或称为　　），记作　　　；
②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示（印刷用粗体a，b，c，书写用，，）.
提醒　（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；（2）有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段.
知识点二　几类特殊向量
特殊向量 定义
零向量 长度为0的向量，记作　
单位向量 长度等于　　　　　　长度的向量
平行向量（共线向量） 方向　　　　　　的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量　　　　
相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量；向量a与b相等，记作a＝b
相反向量 与向量a长度　　　　，方向　　　的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有－（－a）＝a
【想一想】
1.0与0相同吗？0是不是没有方向？
2.若a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？
3.相等向量一定是共线向量吗？反之是否成立？
知识点三　两个向量的夹角
1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角（如图）.
2.当θ＝　　　　时，a与b同向；当θ＝　　　时，a与b反向；当θ＝　　　　时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.平行向量的方向相同或相反
B.零向量的模为1
C.向量与向量是相反向量
D.与非零向量a共线的单位向量是唯一的
3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（　　）
A.与 B.与
C.与 D.与
题型一 向量的有关概念
【例1】　（多选）下列结论正确的是（　　）
A.若a，b都是单位向量，则a＝b
B.物理学中作用力与反作用力是一对共线向量
C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量
通性通法
解决与向量概念有关问题的方法
　　解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相同向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0.
【跟踪训练】
　（2024·宿迁月考）下列命题正确的是（　　）
A.｜a｜＝｜b｜ a＝b　 B.｜a｜＞｜b｜ a＞b
C.a∥b a＝b D.｜a｜＝0 a＝0
题型二 共线向量与相等（相反）向量
【例2】　（链接教科书第6页例1）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量；
（4）与相等吗？
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，试写出与长度相等且方向相反的向量.
2.（变条件，变设问）在本例中，若｜｜＝1，则正六边形的边长是多少？
通性通法
寻找共线向量或相等向量的方法
（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；
（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
（1）与向量相等的向量为　　　；
（2）若｜｜＝3，则向量｜｜＝　　　　.
题型三 向量的表示及应用
【例3】　（链接教科书第7页例2）在图中的3×4方格纸中有一个向量（小正方形的边长为1），分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中：
（1）与相等的向量有多少个？
（2）与长度相等的共线向量有多少个（除外）？
（3）与平行且模为的向量有多少个？
通性通法
用有向线段表示向量的步骤
（1）定起点：先确定向量的起点；
（2）定方向：再确定向量的方向；
（3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点.
【跟踪训练】
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.
（1）在图中作出，，，；
（2）求B地相对于A地的位置.
题型四 向量的夹角
【例4】　已知平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角又是多少？
通性通法
求向量的夹角
　　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
【跟踪训练】
　（2024·泰州月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
1.（2024·苏州汾湖高中月考）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（　　）
A.＝ B.｜｜＝｜｜
C.与共线 D.＞
2.（多选）下列结论中，正确的是（　　）
A.若＝，则∥
B.向量，共线与∥的意义是相同的
C.平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量
D.若＝，则＝
3.（2024·盐城月考）设M是正方形ABCD的中心，则，，，是（　　）
A.有相同起点的向量
B.相等向量
C.模相等的向量
D.平行向量
4.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出　　　　个向量.
9.1　向量概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）大小　方向　2.（2）①有向线段　　长度　模　｜｜
知识点二
　0　1个单位　相同或相反　平行
相等　相同　相等　相反
想一想
1.提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任意的.
2.提示：不一定.当b＝0时，a与c不一定平行，因为0与任何向量平行.
3.提示：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.
知识点三
2.0°　180°　90°
自我诊断
1.B　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量.
2.AC　对于A，平行向量的方向相同或相反，故A正确；对于B，零向量的模为0，故B错误；对于C，向量与向量长度相等，方向相反，向量与向量是相反向量，故C正确；对于D，与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向，故D错误.故选A、C.
3.C　对于A，由＝，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，故A错误；对于B，与互为相反向量，故B错误；对于C，与满足相等向量的定义，故C正确；对于D，与方向不同不满足相等向量的定义，故D错误.故选C.
【典型例题·精研析】
【例1】　BC　对于A，单位向量的方向不一定相同，故A错误；对于B，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故B正确；对于C，如图所示，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误.故选B、C.
跟踪训练
　D　对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错误；对于B，两个向量不能比较大小，故B错误；对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，故C错误；对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，故D正确.故选D.
【例2】　解：（1）与共线的向量有，，.
（2）与的模相等的向量有，，，，，，，，，，.
（3）与长度相等且方向相同，则＝.
（4）虽然//，且｜｜＝｜｜，但它们方向相反，所以这两个向量不相等.
母题探究
1.解：与长度相等、方向相反的向量有，.
2.解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜｜＝1.
跟踪训练
　（1），　（2）6　解析：（1）在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝，∴与向量相等的向量为，.
（2）由（1）知，＝，∴E，D，C三点共线，∴｜｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜＝6.
【例3】　解：（1）当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量.
这样的格点共有6个，除去点A外，还有5个，所以共有5个向量与相等.
（2）与长度相等的共线向量（除外）共有5×2＋1＝11（个）.
（3）每个小正方形的边长为1，则对角线长为，
每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，
故与平行且模为的向量共有24个.
跟踪训练
　解：（1）向量，，，，如图所示.
（2）由题意知＝，∴AD＝BC，AD∥BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6 km”.
【例4】　解：因为平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，所以该平行四边形为菱形，
又由题意知∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
故向量与的夹角为∠BAC＝30°，
向量与的夹角大小与∠ABD相等，
且∠ABD＝60°，即它们的夹角为60°.
跟踪训练
　C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角为120°.故选C.
随堂检测
1.B　对于A，≠，故A错误；对于B，｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，与不共线，故C错误；对于D，向量不能比较大小，故D错误.故选B.
2.ABD　C中，平行四边形两对边所表示的向量也可能方向相反，故C错误，A、B、D都正确.故选A、B、D.
3.C　根据正方形ABCD的性质可知，，，，是模相等的向量.故选C.
4.12　解析：由向量的表示方法知，可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，.
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9.1　向量概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了
解平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.了解平面向量共线和向量相同的含义 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
把木块放置在光滑的斜面上，斜面上的木块受到两个力的影响：重力
G和斜面的支持力N. 木块在重力与支持力的合力作用下，会沿着斜
面向下运动，产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化.
（2）你能举出一些既有大小又有方向的量吗？有没有只有大小没有
方向的量？
【问题】　（1）物理中，位移和距离这两个量有什么不同？
知识点一　向量的概念及表示
1. 向量的概念
（1）向量：既有 又有 的量；
（2）数量：只有大小没有方向的量.
提醒　（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比
较大小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量
既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能
比较大小.
大小　
方向　
2. 向量的表示
（1）有向线段：具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要
素：起点、方向、长度，如图所示.
（2）向量的表示
①几何表示：向量常用一条 来表示，有向线段
的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，
以A为起点、B为终点的向量记为 .向量 的大小称
为向量的 （或称为 ），记作 ；
有向线段　
　
长度　
模　
｜ ｜　
②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示（印刷用
粗体a，b，c，书写用 ， ， ）.
提醒　（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；
（2）有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线
段.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多
条有向线段.
知识点二　几类特殊向量
特殊向量 定义
零向量 长度为0的向量，记作
单位向量 长度等于 长度的向量
平行向量 （共线向量） 方向 的非零向量；向量a与向量b
平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量

相等向量 长度 且方向 的向量；向量a与b
相等，记作a＝b
0　
1个单位　
相同或相反　
平
行　
相等　
相同　
特殊向量 定义
相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量叫作
a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
性质：对任意一个向量a，总有－（－a）＝a
相等　
相反　
【想一想】
1.0与0相同吗？0是不是没有方向？
提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任
意的.
2. 若a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？
提示：不一定.当b＝0时，a与c不一定平行，因为0与任何向量
平行.
3. 相等向量一定是共线向量吗？反之是否成立？
提示：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.
知识点三　两个向量的夹角
1. 定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝
a， ＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹
角（如图）.
2. 当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向；
当θ＝ 时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
0°　
180°　
90°　
1. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥
路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
解析： 　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数
量，不是向量.
√
2. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 平行向量的方向相同或相反
B. 零向量的模为1
D. 与非零向量a共线的单位向量是唯一的
√
√
解析： 　对于A，平行向量的方向相同或相反，故A正确；对于
B，零向量的模为0，故B错误；对于C，向量 与向量 长度相
等，方向相反，向量 与向量 是相反向量，故C正确；对于
D，与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a
反向，故D错误.故选A、C.
3. 如图，在四边形ABCD中，若 ＝ ，则图中相等的向量是
（　　）
√
解析： 　对于A，由 ＝ ，可得四边形ABCD为平行四边
形. 与 互为相反向量，故A错误；对于B， 与 互为相
反向量，故B错误；对于C， 与 满足相等向量的定义，故C
正确；对于D， 与 方向不同不满足相等向量的定义，故D错
误.故选C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的有关概念
【例1】　（多选）下列结论正确的是（　　）
A. 若a，b都是单位向量，则a＝b
B. 物理学中作用力与反作用力是一对共线向量
C. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
D. 直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量
√
√
解析： 　对于A，单位向量的方向不一定相
同，故A错误；对于B，物理学中的作用力与反
作用力大小相等，方向相反，是一对共线向
量，故B正确；对于C，如图所示，方向为南偏
西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误.故选B、C.
通性通法
解决与向量概念有关问题的方法
　　解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长
度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相同向
量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，
但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0.
【跟踪训练】
　（2024·宿迁月考）下列命题正确的是（　　）
A. ｜a｜＝｜b｜ a＝b B. ｜a｜＞｜b｜ a＞b
C. a∥b a＝b D. ｜a｜＝0 a＝0
解析： 　对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错
误；对于B，两个向量不能比较大小，故B错误；对于C，向量平行只
是方向相同或相反，不能得到向量相等，故C错误；对于D，若一个
向量的模等于0，则这个向量是0，故D正确.故选D.
√
题型二 共线向量与相等（相反）向量
【例2】　（链接教科书第6页例1）如图，已知点O是正六边形
ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）写出与 共线的向量；
解： 与 共线的向量有 ， ， .
（2）写出与 的模相等的向量；
解： 与 的模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
（3）写出与 相等的向量；
解： 与 长度相等且方向相同，则 ＝ .
（4） 与 相等吗？
解： 虽然 // ，且｜ ｜＝｜ ｜，但它们方向相反，所以这两个向量不相等.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试写出与 长度相等且方向相反的
向量.
解：与 长度相等、方向相反的向量有 ， .
2. （变条件，变设问）在本例中，若｜ ｜＝1，则正六边形的边
长是多少？
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜
｜＝1.
通性通法
寻找共线向量或相等向量的方法
（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的
线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向
量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；
（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向
量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
（1）与向量 相等的向量为 ；
解析： 在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ，∴与向
量 相等的向量为 ， .
， 　
（2）若｜ ｜＝3，则向量｜ ｜＝ .
解析： 由（1）知， ＝ ，∴E，D，C三点共线，∴｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝2｜ ｜＝6.
6　
题型三 向量的表示及应用
【例3】　（链接教科书第7页例2）在图中的3×4方格纸中有一个向量 （小正方形的边长为1），分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中：
（1）与 相等的向量有多少个？
解： 当向量 的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与 相等的向量.
这样的格点共有6个，除去点A外，还有5个，
所以共有5个向量与 相等.
（2）与 长度相等的共线向量有多少个（ 除外）？
解： 与 长度相等的共线向量（除 外）共有5×2＋1＝11（个）.
（3）与 平行且模为 的向量有多少个？
解： 每个小正方形的边长为1，则对角线长为 ，
每个小正方形中存在两个与 平行且模为 的
向量，一共有12个正方形，
故与 平行且模为 的向量共有24个.
通性通法
用有向线段表示向量的步骤
（1）定起点：先确定向量的起点；
（2）定方向：再确定向量的方向；
（3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点.
【跟踪训练】
一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2
km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地
又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地.
（1）在图中作出 ， ， ， ；
解： 向量 ， ， ， ，如图所示.
（2）求B地相对于A地的位置.
解： 由题意知 ＝ ，∴AD＝BC，AD∥BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴ ＝ ，
则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，
距离为6 km”.
题型四 向量的夹角
【例4】　已知平行四边形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜，且向量
与 的夹角为60°，则 与 的夹角为多少？ 与 的夹角又
是多少？
解：因为平行四边形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜，所以该平行四边
形为菱形，
又由题意知∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
故向量 与 的夹角为∠BAC＝30°，
向量 与 的夹角大小与∠ABD相等，
且∠ABD＝60°，即它们的夹角为60°.
通性通法
求向量的夹角
　　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重
合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
【跟踪训练】
　（2024·泰州月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ AB，则
与 的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　如图，作向量 ＝ ，则∠BAD是 与
的夹角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝
AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 与
的夹角为120°.故选C.
√
1. （2024·苏州汾湖高中月考）如图，点O为正六边形ABCDEF的中
心，下列说法正确的是（　　）
解析： 　对于A， ≠ ，故A错误；对于B，｜ ｜＝｜
｜，故B正确；对于C， 与 不共线，故C错误；对于D，
向量不能比较大小，故D错误.故选B.
√
2. （多选）下列结论中，正确的是（　　）
C. 平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量
解析： C中，平行四边形两对边所表示的向量也可能方向相
反，故C错误，A、B、D都正确.故选A、B、D.
√
√
√
3. （2024·盐城月考）设M是正方形ABCD的中心，则 ， ，
， 是（　　）
A. 有相同起点的向量 B. 相等向量
C. 模相等的向量 D. 平行向量
解析： 　根据正方形ABCD的性质可知， ， ， ，
是模相等的向量.故选C.
√
4. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点
和终点，可以写出 个向量.
解析：由向量的表示方法知，可以写出12个向量，它们分别是
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
.
12　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个命题中正确的是（　　）
A. 时间、距离都是向量
B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同
D. 平行向量不一定是共线向量
√
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解析： 　对于A，时间和距离只有大小，没有方向，是数量，不
是向量，故A错误；对于B，两个有共同起点且相等的向量，其终
点一定相同，故B正确；对于C，向量 与向量 表示的是模长
相等，方向相反的两个不同的向量，故C错误；对于D，平行向量
也叫作共线向量，故D错误.故选B.
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2. 在锐角△ABC中，下列说法正确的是（　　）
解析： 　由两向量的夹角的定义知， 与 的夹角等于180°
－∠ABC， 与 的夹角等于∠BAC， 与 的夹角等于
∠ACB， 与 的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角
三角形，所以只有B正确.故选B.
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3. （2024·无锡月考）设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下
列结论中正确的是（　　）
A. a0＝b0 B. a0＝－b0
C. a0∥b0 D. ｜a0｜＋｜b0｜＝2
解析： 　单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正
确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错
误，故选D.
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4. （2024·常州月考）若｜ ｜＝｜ ｜且 ＝ ，则四边形
ABCD的形状为（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
解析： 　∵ ＝ ，∴四边形ABCD为平行四边形.又∵｜
｜＝｜ ｜，∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形
ABCD为菱形.故选C.
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5. （多选）下列能使a∥b成立的是（　　）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a与b方向相反 D. ｜a｜＝0或｜b｜＝0
解析： 　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，
所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而
方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向
量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零
向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.
√
√
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6. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 若a≠b，则a，b一定不共线
C. 若a＝b，b＝c，则a＝c
D. 共线向量是在一条直线上的向量
√
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解析： 　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向
相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在
ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜， 与 平行且方向相同，所
以 ＝ ，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与
b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a
与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以
是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D
不正确.故选B、C.
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7. （2024·徐州月考）给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②
若｜a｜＝｜b｜，则a＝－b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其
中，正确的命题个数有 .
解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等
与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相
等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向
相同或相反，未必得到它们的模相等.
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8. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则
图中 的相反向量为 .
解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且
DE＝ BC. ∴｜ ｜＝｜ ｜且方向相反.｜ ｜＝｜ ｜且
方向相反.∴ 的相反向量为 ， ， .
， ， 　
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9. 在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量 与 的夹角
为 .
解析：∵∠B＝45°，∴ 与 的夹角为135°.
135°　
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10. 如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
（1）写出图中所示向量与向量 长度相等的向量；
解： 与 长度相等的向量是 ，
， ， ， ， ， ， .
（2）分别写出图中所示向量与向量 ， 共线的向量；
解： 与 共线的向量是 ， ， ；
与 共线的向量是 ， ， .
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（3）求 与 ， 与 的夹角的度数.
解： 因为△ABC为正三角形， 与 的夹角为∠ABC，故 与 的夹角为60°， 与 的夹角为∠AFD的补角，故 与 的夹角为120°.
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11. （多选）在下列结论中正确的有（　　）
A. a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件
B. a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件
C. a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件
D. a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件
√
√
√
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解析： 　若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C
正确；对于B，由a≠b ｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜
a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错
误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜
≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b
的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确.
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12. （2024·泰州月考）已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向
量 是平行向量，与 是共线向量，则m＝ .
解析：向量m与向量 是平行向量，则向量m与向量 方向相
同或相反；向量m与 是共线向量，则向量m与向量 方向相
同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量 与向量
方向不同且不共线，则m＝0.
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13. 如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平
行四边形，在图中所标出的向量中，与向量 的夹角为120°的
向量是 .
， ， 　
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC. ∴结合
共线向量及向量夹角的定义可知与 的夹角为120°的向量为
， ， .
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14. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有
两个定点A，B. 点C为小正方形的顶点，且｜ ｜＝ .
（1）画出所有的向量 ；
解： 画出所有的向量 ，如图所示.
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（2）求｜ ｜的最大值与最小值.
解： 由（1）所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，｜ ｜取
得最小值 ＝ ；
②当点C位于点C5或C6时，｜ ｜取
得最大值 ＝ .
所以｜ ｜的最大值为 ，最小值
为 .
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15. 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救
信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救
助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
解： 画出示意图，如图
所示，易得所求路程为巡逻艇
两次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
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（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据： sin
53°≈0.8）
解： 巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，
既有大小又有方向，其大小为｜ ｜＝
＝50（n mile），
由于 sin ∠BAC＝ ，故方向约为北偏东53°.
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谢 谢 观 看！

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