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第1课时　向量的加法运算
1.（2024·扬州邗江一中月考）下列向量关系式中，正确的是（　　）
A.＝　　　 B.＋＝
C.＋＝ D.＋＋＝
2.在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是（　　）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
3.（2024·淮安月考）若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　）
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行（1＋）km
4.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是（　　）
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
5.（多选）在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式成立的是（　　）
A.a＋b＝c B.a＋d＝b
C.b＋d＝a D.｜a＋b｜＝｜c｜
6.（多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能为（　　）
A.4 B.8
C.10 D.12
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
（1）＋＋＝　　　　；
（2）＋＋＝　　　　.
8.（2024·盐城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝2，则｜＋｜＝　　　　.
9.在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么＋＝　　　　，＋＝　　　　.
10.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据：sin 37°＝0.6）.
11.（2024·南京月考）P为四边形ABCD所在平面上一点，＋＋＋＝＋，则P为（　　）
A.四边形ABCD对角线的交点
B.AC的中点
C.BD的中点
D.CD边上一点
12.（多选）设a＝（＋）＋（＋），b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（　　）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
13.（2024·镇江月考）如图所示，已知在矩形ABCD中，｜｜＝4，设＝a，＝b，＝c，则｜a＋b＋c｜＝　　　　.
14.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.求证：
（1）＋＝＋；
（2）＋＋＝0.
15.如图，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
（2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值.
第1课时　向量的加法运算
1.D　对于A，＝－，故A错误；对于B，由＋＝＝－≠，故B错误；对于C，＋＝＋＝，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有＋＋＝，故D正确.故选D.
2.D　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形.故选D.
3.B　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B.
4.D　由＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外，故D正确.
5.ABD　如图，由向量加法的平行四边形法则知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选A、B、D.
6.AD　由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D.
7.（1）　（2）0　解析：（1）＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＝＋＋＝＋＝0.
8.2　解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O.＋＝＋＝.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝＝，∴｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2.
9.　　解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知＋＝＋＝，＋＝＋＝.
10.解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜；两次位移的和指的是＋＝.
依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜｜＝＝＝1 000，
所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方向为北偏东35°＋37°＝72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向为北偏东72°.
11.B　因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点，故选B.
12.ACD　因为a＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝0.所以A、C、D正确.故选A、C、D.
13.8　解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.∵＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8.
14.证明：（1）由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
（2）由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝0＋0＋0＝0.
15.解：（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.如图所示.
（2）在平面内任取一点O，
作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
2 / 2第1课时　向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义 数学抽象
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象
如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B.利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，由景点O到景点B的位移是.
【问题】　向量，，三者之间有何关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.定义：求两个向量和的运算.
2.向量求和的运算法则
三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作　　　　，即a＋b＝　　　　　　＝
平行四边 形法则 对于任意两个　　　　　的非零向量a，b，分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作　　　　，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
提醒　（1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同.
知识点二　向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
提醒　｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立.
1.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.a＋0＝a B.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C.a＋b＝b＋a D.＝＋＋
3.在正方形ABCD中，若｜｜＝1，则＋｜＝　　　　.
题型一 向量加法的运算法则
【例1】　（链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a＋b；
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝　　　　.
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　（链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式：
（1）＋＋；
（2）（＋）＋（＋）；
（3）＋＋＋＋.
通性通法
1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3.向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
【跟踪训练】
1.在平行四边形ABCD中，＋＋＝（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心.
则：①＋＝　　　　；
②＋＋＝　　　　；
③＋＋＝　　　　.
题型三 向量加法的实际应用
【例3】　（链接教科书第12页例2）如图，在长江南岸某渡口处，江水以10 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为20 km/h.
（1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度；
（2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确定？
【母题探究】
1.（变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少km？
2.（变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于水流的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值”.
通性通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的大小和方向.
1.（多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是（　　）
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
2.（2024·南通月考）a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则（　　）
A.a，b同向
B.a，b反向
C.a＝－b
D.a，b无论什么关系均可
3.如图，在矩形ABCD中，＋＋＝　　　　.
4.某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿　　　　的方向前进，速度为　　　　.
第1课时　向量的加法运算
【基础知识·重落实】
知识点一
2.a＋b　＋　不共线　 OABC　自我诊断
1.D　＋＝.故选D.
2.ACD　A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错误；C、D正确.故选A、C、D.
3.　解析：根据向量加法的平行四边形法则知，＋＝，则｜＋｜＝｜｜＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
（2）法一（三角形法则）
如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则）
如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
跟踪训练
1.C　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.
2.1　解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1.
【例2】　解：（1）＋＋＝（＋）＋＝＋＝.
（2）法一　（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝.
法二　（＋）＋（＋）＝＋（＋＋）＝＋0＝.
（3）＋＋＋＋＝（＋）＋（＋＋）＝＋＝0.
跟踪训练
1.D　原式＝＋＋＝.故选D.
2.①或　②　③ 　
解析：①＋＝＋＝＋＝或＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
【例3】　解：（1） 作出图形，如图.
设表示水流的速度，表示渡船的静水速度，表示渡船的实际速度.
（2）船速v船与正北方向成α角，
由图可知，v水＋v船＝v实际，即＋＝.
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 km/h，｜｜＝｜v船｜＝20 km/h，
∴sin α＝＝＝，∴α＝30°，从而渡船行进的方向与正北方向成30°的角.
故渡船行进的方向应为北偏西30°.
母题探究
1.解：由图可知｜｜＝cos α｜｜＝｜｜＝×20＝10（km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3×10＝30（km）.
2.解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 km/h，｜｜＝｜v水｜＝10 km/h，
渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则tan∠BAC＝＝2.
即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
跟踪训练
　解：如图，用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度.以，为邻边作平行四边形OACB，则就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中，｜｜＝4，｜｜＝｜｜＝，
所以｜｜＝＝＝，
所以tan∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方向成30°角.
随堂检测
1.ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.故选A、B、D.
2.A　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；向量a与b反向且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的方向相同（与a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故选A.
3.　解析：＋＋＝＋＝.
4.与水流方向成60°　8 km/h
解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
4 / 4(共58张PPT)
第1课时　
向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量
加法运算，理解其几何意义 数学抽象
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，
并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，一个人先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和这个人直
接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到达景点B. 利
用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为 ，从景点A到景点B
的位移为 ，由景点O到景点B的位移是 .
【问题】　向量 ， ， 三者之间有何关系？
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1. 定义：求两个向量和的运算.
2. 向量求和的运算法则
三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a＋b
＝ ＝
a＋b　
＋ 　
平行四
边 形法则 对于任意两个 的非零向量a，b，分别作 ＝
a， ＝b，以OA，OC为邻边作 ，则以O
为起点的对角线表示的向量 就是向量a与b的和
提醒　（1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再
首尾相连”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强
调两个向量起点相同.
不共线　
OABC　
知识点二　向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
提醒　｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a
＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是
方向相同的非零向量时，等号成立.
1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则a＋b＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　 ＋ ＝ .故选D.
√
2. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. a＋0＝a
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. a＋b＝b＋a
D. ＝ ＋ ＋
解析： 　A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错
误；C、D正确.故选A、C、D.
√
√
√
3. 在正方形ABCD中，若｜ ｜＝1，则 ＋ ｜＝ .
解析：根据向量加法的平行四边形法则知， ＋ ＝ ，则｜
＋ ｜＝｜ ｜＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量加法的运算法则
【例1】　（链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a
＋b；
解： 首先作向量 ＝a，
然后作向量 ＝b，
则向量 ＝a＋b.如图③所示.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解： 法一（三角形法则）　如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作
向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋
b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则）　如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，
＝b， ＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则 ＝ ＋ ＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，
连接OE，
则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向
量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两
个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作
两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　以OP，OQ为邻边作平行四边形，
如图所示，则 ＋ ＝ ，由 和 的
模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋
＝ .
2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋
｜＝ .
解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边
三角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1　
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　（链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
法二　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝
＋0＝ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ＋
）＝ ＋ ＝0.
（2）（ ＋ ）＋（ ＋ ）；
解：法一　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＝ ＋ ＝ .
（3） ＋ ＋ ＋ ＋ .
通性通法
1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如
（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋
e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝
.特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋
＝0.
【跟踪训练】
1. 在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＝ .故选D.
√
2. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心.
则：① ＋ ＝ ；
或 　
② ＋ ＋ ＝ ；
③ ＋ ＋ ＝ .
　
　
解析：① ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 或 ＋ ＝
＋ ＝ .
② ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
③ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】　（链接教科书第12页例2）如图，在长江南
岸某渡口处，江水以10 km/h的速度向东流，渡船在静
水中的速度为20 km/h.
（1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度；
解： 作出图形，如图.
设 表示水流的速度， 表示渡船的静水
速度， 表示渡船的实际速度.
（2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确
定？
解： 船速v船与正北方向成α角，由图可知，v水＋v船＝v实际，即 ＋ ＝ .
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜
＝10 km/h，｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h，
∴ sin α＝ ＝ ＝ ，∴α＝30°，从而渡船行进的方向
与正北方向成30°的角.
故渡船行进的方向应为北偏西30°.
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多
少km？
解：由图可知｜ ｜＝ cos α｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝
10 （km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3×10 ＝30 （km）.
2. （变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于
水流的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切
值”.
解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20
km/h，｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h，
渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则
tan∠BAC＝ ＝2.
即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
通性通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4
m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着
地时速度的大小和方向.
解：如图，用 表示无风时雨滴下落的速度， 表示风
使雨滴水平向东的速度.以 ， 为邻边作平行四边形
OACB，则 就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，
所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
所以tan∠AOC＝ ＝ ＝ ，所以∠AOC＝30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方
向成30°角.
1. （多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是
（　　）
A. ＋ ＋ B. ＋ ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋
解析： 　在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B
中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝
＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ .故选A、B、D.
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√
√
2. （2024·南通月考）a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜
b｜，则（　　）
A. a，b同向
B. a，b反向
C. a＝－b
D. a，b无论什么关系均可
√
解析： 　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b
的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向
时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜
＋｜b｜；向量a与b反向且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的
方向相同（与a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故
选A.
3. 如图，在矩形ABCD中， ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .

4. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方
向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿
的方向前进，速度为 .
解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝
8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方
向前进，速度为8 km/h.
与水流方向
成60°　
8 km/h　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·扬州邗江一中月考）下列向量关系式中，正确的是
（　　）
A. ＝
B. ＋ ＝
C. ＋ ＝
D. ＋ ＋ ＝
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解析： 　对于A， ＝－ ，故A错误；对于B，由 ＋
＝ ＝－ ≠ ，故B错误；对于C， ＋ ＝ ＋ ＝
，故C错误；对于D，由向量加法的运算法则，有 ＋ ＋
＝ ，故D正确.故选D.
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2. 在四边形ABCD中， ＋ ＝ ，则四边形ABCD是（　　）
A. 梯形 B. 矩形
C. 正方形 D. 平行四边形
解析： 　由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为
邻边的平行四边形.故选D.
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3. （2024·淮安月考）若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示
“向北航行 km”，则向量a＋b表示（　　）
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行（1＋ ）km
解析： 　如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2
km，故选B.
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4. 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 ＋ ＝
，则下列结论中正确的是（　　）
A. P在△ABC的内部
B. P在△ABC的边AB上
C. P在AB边所在的直线上
D. P在△ABC的外部
解析： 　由 ＋ ＝ ，根据平行四边形法
则，如图，则点P在△ABC外，故D正确.
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5. （多选）在 ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c， ＝
d，下列等式成立的是（　　）
A. a＋b＝c B. a＋d＝b
C. b＋d＝a D. ｜a＋b｜＝｜c｜
解析： 　如图，由向量加法的平行四边形法则
知A、D正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选
A、B、D.
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6. （多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能
为（　　）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
解析： 　由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可
得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜
b｜＝4.故选A、D.
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7. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则
（1） ＋ ＋ ＝ ；
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
　
0　
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8. （2024·盐城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝
2，则｜ ＋ ｜＝ .
解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为
O. ＋ ＝ ＋ ＝ .∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在
Rt△AOB中，AO＝ ＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 ，即｜ ＋ ｜＝2 .
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9. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线
上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么 ＋
＝ ， ＋ ＝ .
解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边
形.由向量加法的运算法则可知 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋
＝ ＋ ＝ .
　
　
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10. 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达
B地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求
这架飞机飞行的路程及两次位移的和（参考数据： sin 37°＝
0.6）.
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解：设 ， 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行600 km，
则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜；两次位移的和指的
是 ＋ ＝ .
依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°
＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜ ｜＝ ＝
＝1 000，
所以 sin ∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方
向为北偏东35°＋37°＝72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000
km，方向为北偏东72°.
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11. （2024·南京月考）P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋
＋ ＋ ＝ ＋ ，则P为（　　）
A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点
C. BD的中点 D. CD边上一点
解析： 　因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋
＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝
0.所以P为线段AC的中点，故选B.
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12. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是任一非零向
量，则在下列结论中，正确的是（　　）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
解析： 　因为a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋
）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0.所以A、C、D正确.故选
A、C、D.
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13. （2024·镇江月考）如图所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝
4 ，设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a＋b＋c｜
＝ .
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解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝
＋ .如图，延长BC至点E，使CE＝
BC，连接DE. ∵ ＝ ＝ ，∴四
边形ACED是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2｜ ｜
＝8 .
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14. 如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.
求证：
（1） ＋ ＝ ＋ ；
证明： 由向量加法的三角形法则，
∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ .
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（2） ＋ ＋ ＝0.
证明： 由向量加法的平行四边形法则，∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝0＋0＋0＝0.
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15. 如图，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
解： 在平面内任取一点O，作 ＝
a， ＝b， ＝c， ＝d，则 ＝a
＋b＋c＋d.如图所示.
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（2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值.
解： 在平面内任取一点O，
作 ＝a， ＝e，
则a＋e＝ ＋ ＝ ，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示），
由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此时｜ ｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
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