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第2课时　向量的减法运算
1.化简－＋＋＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
2.（2024·南通月考）如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A.a＋b B.b－a
C.c－b D.b－c
3.（2024·苏州吴江中学月考）已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是（　　）
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.边长为1的正三角形ABC中，｜－｜＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
5.（多选）如图，在五边形ABCDE中，下列运算结果为的是（　　）
A.＋－
B.＋
C.－
D.－
6.（多选）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　）
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝　　　　.
8.（2024·镇江月考）若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b所在直线的夹角是　　　　.
9.在矩形ABCD中，｜｜＝2，｜｜＝4，则｜＋－｜＝　　　　，｜＋＋｜＝　　　　.
10.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示；
（2）用b，c表示；
（3）用a，b，e表示；
（4）用d，c表示.
11.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A.a－b＋c
B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
12.（多选）已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有（　　）
A.｜＋｜＝｜－｜
B.｜－｜＝｜－｜
C.｜－｜＝｜－｜
D.｜－｜2＞｜－｜2＋｜－｜2
13.（2024·宿迁月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，则｜a＋b｜＝　　　　.
14.如图，在 ABCD中，＝a，＝b.
（1）当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
（2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
15.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
第2课时　向量的减法运算
1.B　原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝.
2.D　由题可得＝＝＝－＝b－c，故选D.
3.A　由－＝－，得＝，所以四边形ABCD一定是平行四边形.故选A.
4.D　如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝，∴｜－｜＝｜－｜＝｜｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜｜＝ ＝ ＝，∴｜－｜＝.故选D.
5.AB　＋－＝＋＝，故A正确；＋＝，故B正确；－＝＋＝，故C错误；－＝＋≠，故D错误.故选A、B.
6.BCD　向量与的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正确；因为｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正确.故选B、C、D.
7.　解析：－－＋＋＝＋＋＋＝.
8.30°　解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
9.4　8　解析：∵＋－＝＋－＝－＋＝＋＝2，∴｜＋－｜＝｜2｜＝2＝4.∵＋＋＝＋＝2，∴｜＋＋｜＝2｜｜＝8.
10.解：由图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
（1）＝＋＋＝a＋d＋e.
（2）＝－＝－－＝－b－c.
（3）＝＋＋＝a＋b＋e.
（4）＝－＝－（＋）＝－c－d.
11.A　＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.
12.ABC　由条件可知｜｜＝｜｜，以，为邻边的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜＋｜＝｜－｜，故A正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故B正确；｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故C正确；｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，由条件可知｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，即｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2，故D错误.故选A、B、C.
13.4　解析：如图，设＝a，＝b，则｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则｜｜＝｜a＋b｜，由于（＋1）2＋（－1）2＝42，因此｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
14.解：（1）＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直.
（2）不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量.
15.证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC，
所以四边形AHCD是平行四边形，
所以＝.
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋.
3 / 3第2课时　向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解向量加法与减法的关系 逻辑推理
2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义 直观想象
　　在实数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数.如图，向量是向量与向量x的和.
【问题】　（1）类比实数的运算，向量的减法与加法有什么关系？
（2）图中，结合向量加法的几何表示，你能作出向量x吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量的减法
1.定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足　　　　　　，则向量x叫作a与b的差，记为　　　　.求两个向量差的运算，叫作向量的减法.
2.作法：如图，在平面内任取一点O，作　　　　　　，　　　　　　，则向量a－b＝　　　　.
3.法则：当向量　　　　　　时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此求两　　　　　的作图方法也常称为向量作差的　　　　　　.
4.几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
提醒　对向量减法的三点说明：①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法，即a－b＝a＋（－b）；②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点；③在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.
5.｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义
若a，b是不共线的向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分别是：
如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝（　　）
A.a　　　　　　　　　 B.a＋b
C.b－a D.a－b
2.下列计算正确的是（　　）
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.＋＝
3.（2024·苏州汾湖高中月考）化简：－＋＝　　　　　.
题型一 向量减法及其几何意义
【例1】　（链接教科书第13页例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可；
（2）用向量减法的三角形法则，即通过平移使两个向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
【跟踪训练】
如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
（2）向量a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　（链接教科书第15页练习4题）（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为（　　）
A.0　　　　　　　 B.
C. D.
（2）化简：①＋－－；
②（＋＋）－（－－）.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
化简：（1）－－＋＋；
（2）（－）－（－）.
题型三 向量加、减法法则的综合应用
【例3】　（链接教科书第14页例4）如图，点O是 ABCD的两条对角线的交点，＝a，＝b.
（1）试用向量a，b表示向量，；
（2）若＝c，求证：c－b－a＝.
【母题探究】
　（变设问）本例条件不变，当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜＝｜a－b｜.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
（1）一个关键：一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的；
（2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
题型四 向量减法几何意义的应用
【例4】　（链接教科书第16页习题14题）已知｜｜＝6，｜｜＝9，求：
（1）｜－｜的取值范围；
（2）｜＋｜的取值范围.
通性通法
向量加减法几何意义的应用
（1）由题意作出相应的几何图形，构造有关向量，一般作图思路为①首尾相连对应和；②起点相同对应差；
（2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量进行加减运算；
（3）弄懂a＋b，a－b的几何意义，正确理解｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的几何含义及等号成立的条件.
【跟踪训练】
　（2024·无锡月考）若非零向量a，b满足｜a－b｜＝｜b｜，则（　　）
A.｜2a｜＞｜2a－b｜　　 B.｜2a｜＜｜2a－b｜
C.｜2b｜＞｜a－2b｜ D.｜2b｜≤｜a－2b｜
1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则可以表示为（　　）
A.a＋b B.a－b
C.b－a D.－a－b
2.（多选）下列四个等式中正确的是（　　）
A.a－b＝b－a B.－（－a）＝a
C.＋＋＝0 D.a＋（－a）＝0
3.（2024·徐州月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的夹角为　　　　.
4.已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜.
第2课时　向量的减法运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.b＋x＝a　a－b
2.＝a　＝b　
3.a，b不共线　向量差　三角形法则
自我诊断
1.D　 ＝－＝a－b.故选D.
2.B　∵－＝，∴B正确，A错误；∵－＝＋＝，∴C错误，D错误.故选B.
3.0　解析：由向量的加减法运算知，－＋＝＋＋＝＋＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
跟踪训练
　解：（1）以，为邻边作 OBDC，
如图，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
（2）由a－b－c＝a－（b＋c），如图，
作 OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－（b＋c）＝a－b－c.
【例2】　（1）A　＋－－＝－＋－＝＋＝0，故选A.
（2）解：①＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝.
②（＋＋）－（－－）＝＋－＋＝＋＋＋＝0.
跟踪训练
　解：（1）－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝－＝.
（2）法一　（－）－（－）＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二　（－）－（－）＝－－＋＝（－）－＋＝－＋＝＋＝0.
法三　设O是平面内任意一点，则（－）－（－）＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝－－＋－＋＋－＝0.
【例3】　解：（1）由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b；
同样，由向量减法的三角形法则，知＝－＝a－b.
（2）证明：c－b－a＝－－＝＋－＝＋－＝－＝＝.
母题探究
　解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直.
跟踪训练
　解：由平行四边形的性质可知＝＝c，
由向量的减法可知＝－＝b－a，
由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.
【例4】　解：（1）∵｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝9，｜｜＝6，
∴3≤｜－｜≤15，
当与同向时，｜－｜＝3；当与反向时，｜－｜＝15.
∴｜－｜的取值范围为[3，15].
（2）由｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝6，｜｜＝9，
∴3≤｜＋｜≤15.
当与同向时，｜＋｜＝15；当与反向时，｜＋｜＝3.
∴｜＋｜的取值范围为[3，15].
跟踪训练
　C　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜＝｜b｜，则a必为零向量，∴这与a，b非零向量矛盾，即｜a－2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知无法判断｜2a｜，｜2a－b｜之间的大小关系.故选C.
随堂检测
1.D　在平行四边形ABCD中，依题意，＝－＝－a，而＝b，所以＝－＝－a－b.故选D.
2.BC　A中，a－b＝－（b－a），故A错误；D中，a＋（－a）＝0，故D错误；B、C正确.故选B、C.
3.60°　解析：由题意可知a，b，a－b所在有向线段可构成等边三角形，故a，b的夹角为60°.
4.解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示，
则＝a＋b，＝a－b，因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜.
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，｜｜＝｜a｜＝8，｜｜＝｜b｜＝6，
由勾股定理，得｜｜＝＝＝10，所以｜a－b｜＝10.
4 / 4(共57张PPT)
第2课时　
向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解向量加法与减法的关系 逻辑推理
2.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在实数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是：减
去一个数等于加上这个数的相反数.如图，向量 是向量 与向
量x的和.
【问题】　（1）类比实数的运算，向量的减法与加法有什么关系？
（2）图中，结合向量加法的几何表示，你能作出向量x吗？
知识点　向量的减法
1. 定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足
，则向量x叫作a与b的差，记为 .求两个向量差的运
算，叫作向量的减法.
2. 作法：如图，在平面内任取一点O，作 ，
，则向量a－b＝ .
b＋x＝
a　
a－b　
＝a　
＝
b　
　
3. 法则：当向量 时，向量a，b，a－b正好能构成
一个三角形，因此求两 的作图方法也常称为向量作差
的 .
4. 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差
是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
a，b不共线　
向量差　
三角形法则　
提醒　对向量减法的三点说明：①向量减法的实质是向量加法的逆
运算.利用相反向量的定义，－ ＝ ，就可以把减法转化为加
法，即a－b＝a＋（－b）；②两个向量作差的前提是将两个向量
移到共同的起点；③在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起
点，连终点，指向被减”.
5. ｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义
若a，b是不共线的向量，则｜a＋b｜与｜a－b｜的几何意义分
别是：
如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a－b.因
为四边形OACB是平行四边形，所以｜a＋b｜＝｜ ｜，｜a－
b｜＝｜ ｜，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对
角线的长.
1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b，则 ＝（　　）
A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
解析： 　 ＝ － ＝a－b.故选D.
2. 下列计算正确的是（　　）
A. － ＝ B. － ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝
解析： 　∵ － ＝ ，∴B正确，A错误；∵ － ＝
＋ ＝ ，∴C错误，D错误.故选B.
√
√
3. （2024·苏州汾湖高中月考）化简： － ＋ ＝ .
解析：由向量的加减法运算知， － ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量减法及其几何意义
【例1】　（链接教科书第13页例3）如图，已知向量a，b，c不共
线，求作向量a＋b－c.
解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c.
法二　如图②所示，在平面内任取
一点O，作 ＝a， ＝b，则
＝a＋b，再作 ＝c，连接
OC，则 ＝a＋b－c.
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a
＋（－b）即可；
（2）用向量减法的三角形法则，即通过平移使两个向量的起点重
合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的
向量.
【跟踪训练】
如图所示，O为△ABC内一点， ＝a， ＝b， ＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
解： 以 ， 为邻边作 OBDC，
如图，连接OD，AD，
则 ＝ ＋ ＝b＋c，
＝ － ＝b＋c－a.
（2）向量a－b－c.
解： 由a－b－c＝a－（b＋c），如图，作 OBEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝b＋c，连接AE，则 ＝a－（b＋c）＝a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　（链接教科书第15页练习4题）（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 ＝ ，则化简 ＋ － － 的结果为（　）
A. 0 B.
C. D.
√
解析： 　 ＋ － － ＝ － ＋ － ＝
＋ ＝0，故选A.
（2）化简：① ＋ － － ；
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解：① ＋ － － ＝（ － ）＋（ －
）＝ ＋ ＝ .
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝ ＋ －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
化简：（1） － － ＋ ＋ ；
解： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ － ＝ .
（2）（ － ）－（ － ）.
解： 法一　（ － ）－（ － ）＝ － －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
法二　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（
－ ）－ ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝0.
法三　设O是平面内任意一点，则（ － ）－（ － ）＝
－ － ＋ ＝（ － ）－（ － ）－（ －
）＋（ － ）＝ － － ＋ － ＋ ＋ －
＝0.
题型三 向量加、减法法则的综合应用
【例3】　（链接教科书第14页例4）如图，点O是 ABCD的两条对
角线的交点， ＝a， ＝b.
（1）试用向量a，b表示向量 ， ；
解： 由向量加法的平行四边形法则，得 ＝a＋b；
同样，由向量减法的三角形法则，知 ＝ － ＝a－b.
（2）若 ＝c，求证：c－b－a＝ .
解：证明：c－b－a＝ － － ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝ ＝ .
【母题探究】
　（变设问）本例条件不变，当a，b满足什么条件时，｜a＋b｜
＝｜a－b｜.
解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四边形的两条对角线长度相等，
这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
（1）一个关键：一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形
中，可以通过平移其中的一个向量来达到此目的；
（2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三
角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意
义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【跟踪训练】
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，
且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a，b，c表示向量 ，
， .
解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c，
由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a，
由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c.
题型四 向量减法几何意义的应用
【例4】　（链接教科书第16页习题14题）已知｜ ｜＝6，｜ ｜
＝9，求：
（1）｜ － ｜的取值范围；
解： ∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝9，｜ ｜＝6，
∴3≤｜ － ｜≤15，
当 与 同向时，｜ － ｜＝3；当 与 反向
时，｜ － ｜＝15.
∴｜ － ｜的取值范围为[3，15].
（2）｜ ＋ ｜的取值范围.
解： 由｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ ＋ ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝6，｜ ｜＝9，
∴3≤｜ ＋ ｜≤15.
当 与 同向时，｜ ＋ ｜＝15；当 与 反向
时，｜ ＋ ｜＝3.
∴｜ ＋ ｜的取值范围为[3，15].
通性通法
向量加减法几何意义的应用
（1）由题意作出相应的几何图形，构造有关向量，一般作图思路为
①首尾相连对应和；②起点相同对应差；
（2）利用三角形法则或平行四边形法则，对向量进行加减运算；
（3）弄懂a＋b，a－b的几何意义，正确理解｜a｜－｜b｜≤｜
a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的几何含义及等号成立的条件.
【跟踪训练】
　（2024·无锡月考）若非零向量a，b满足｜a－b｜＝｜b｜，则
（　　）
A. ｜2a｜＞｜2a－b｜
B. ｜2a｜＜｜2a－b｜
C. ｜2b｜＞｜a－2b｜
D. ｜2b｜≤｜a－2b｜
√
解析： 　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜
a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜
＝｜b｜，则a必为零向量，∴这与a，b非零向量矛盾，即｜a－
2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知无法判断｜
2a｜，｜2a－b｜之间的大小关系.故选C.
1. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且
＝a， ＝b，则 可以表示为（　　）
A. a＋b B. a－b
C. b－a D. －a－b
解析： 　在平行四边形ABCD中，依题意， ＝－ ＝－a，
而 ＝b，所以 ＝ － ＝－a－b.故选D.
√
2. （多选）下列四个等式中正确的是（　　）
A. a－b＝b－a B. －（－a）＝a
C. ＋ ＋ ＝0 D. a＋（－a）＝0
解析： 　A中，a－b＝－（b－a），故A错误；D中，a＋
（－a）＝0，故D错误；B、C正确.故选B、C.
√
√
3. （2024·徐州月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a
－b｜，则a与b的夹角为 .
解析：由题意可知a，b，a－b所在有向线段可构成等边三角形，
故a，b的夹角为60°.
60°　
4. 已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－
b｜.
解：设 ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作平
行四边形ABCD，如图所示，
则 ＝a＋b， ＝a－b，因为｜a＋b｜＝
｜a－b｜，所以｜ ｜＝｜ ｜.
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，｜ ｜＝｜a｜＝8，｜ ｜＝｜b｜＝6，
由勾股定理，得｜ ｜＝ ＝ ＝10，所以｜a－b｜＝10.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 － ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
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2. （2024·南通月考）如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的
中心，其中 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　）
A. a＋b
B. b－a
C. c－b
D. b－c
解析： 由题可得 ＝ ＝ ＝ － ＝b－c，故选D.
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3. （2024·苏州吴江中学月考）已知在四边形ABCD中， － ＝
－ ，则四边形ABCD一定是（　　）
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
解析： 　由 － ＝ － ，得 ＝ ，所以四边形
ABCD一定是平行四边形.故选A.
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4. 边长为1的正三角形ABC中，｜ － ｜＝（　　）
A. 1 B. 2
C. D.
√
解析： 　如图延长AB到D. 使AB＝BD. ∴ ＝ ，∴｜ － ｜＝｜ － ｜＝｜ ｜，∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
∴｜ － ｜＝ .故选D.
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5. （多选）如图，在五边形ABCDE中，下列运算结果为 的是
（　　）
A. ＋ －
B. ＋
C. －
D. －
解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ ，故A正确； ＋
＝ ，故B正确； － ＝ ＋ ＝ ，故C错误；
－ ＝ ＋ ≠ ，故D错误.故选A、B.
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6. （多选）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　）
A. ＝
B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜
D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
√
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解析： 　向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B
正确，A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜
｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正确；因为｜ ＋ ｜
＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正
确.故选B、C、D.
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7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则
－ － ＋ ＋ ＝ .
解析： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
　
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8. （2024·镇江月考）若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，则a与a＋b所在直线的夹角是 .
解析：设 ＝a， ＝b，以OA，OB为邻边
作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝
，a－b＝ .∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
30°　
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9. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，则｜ ＋ －
｜＝ ，｜ ＋ ＋ ｜＝ .
解析：∵ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝
＋ ＝2 ，∴｜ ＋ － ｜＝｜2 ｜＝2 ＝
4 .∵ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝2 ，∴｜ ＋ ＋ ｜
＝2｜ ｜＝8.
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10. 向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
（1）用a，d，e表示 ；
（1） ＝ ＋ ＋ ＝a＋d＋e.
解：由图知， ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e.
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（2）用b，c表示 ；
解析： ＝ － ＝－ － ＝－b－c.
（3）用a，b，e表示 ；
解析： ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋e.
（4）用d，c表示 .
解析： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d.
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11. 在如图所示的四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，
则 ＝（　　）
A. a－b＋c
B. b－（a＋c）
C. a＋b＋c
D. b－a＋c
解析： 　 ＝－ ＋ ＋ ＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故
选A.
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12. （多选）已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则有
（　　）
A. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
B. ｜ － ｜＝｜ － ｜
C. ｜ － ｜＝｜ － ｜
D. ｜ － ｜2＞｜ － ｜2＋｜ － ｜2
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解析： 　由条件可知｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 为邻边
的四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知｜
＋ ｜＝｜ － ｜，故A正确；｜ － ｜＝｜
｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ －
｜，故B正确；｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜
－ ｜，故C正确；｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，由条件可知｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，即｜ － ｜2＝｜ － ｜2＋｜ － ｜2，故D错误.故选A、B、C.
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13. （2024·宿迁月考）已知非零向量a，b满足｜a｜＝ ＋1，｜
b｜＝ －1，且｜a－b｜＝4，则｜a＋b｜＝ .
解析：如图，设 ＝a， ＝b，则｜ ｜＝
｜a－b｜.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则｜ ｜＝｜a＋b｜，由于（ ＋1）2＋（
－1）2＝42，因此｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△OAB是直角三角形，从而OA⊥OB，所以四边形OACB是矩形，所以
｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
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14. 如图，在 ABCD中， ＝a， ＝b.
（1）当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂
直？
解： ＝ ＋ ＝a＋b， ＝
－ ＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直.
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（2）a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解： 不可能.因为 ABCD的两对角线
不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共
线向量，更不可能为相等向量.
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15. 如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证： ＝ ＋ ＋ .
证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点
D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，
DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH∥DA，AH∥DC，所以四边形AHCD是平行四边形，
所以 ＝ .
又 ＝ － ＝ ＋ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .
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