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第2课时　向量共线定理
1.（2024·无锡月考）已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3（a－b），则（　　）
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
2.已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　）
①a＝5e1，b＝7e1；
②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
3.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（　　）
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
4.（2024·南京月考）已知△ABC中，D为AB的中点，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.（多选）已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为线段BC的中点，则＝（　　）
A.＋ B.－
C.＋ D.＋
6.（多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（　　）
A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b
D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
7.设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ＝　　　　，此时向量2a－λb与a＋2b的方向　　　　.（填“相同”或“相反”）
8.（2024·镇江月考）已知四边形ABCD为正方形，＝3，AP与CD交于点E，若＝m＋n，则m－n＝　　　　.
9.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝　　　.
10.设不共线向量e1，e2，若＝e1＋2e2，＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2.
（1）计算2＋－；
（2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由.
11.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝（　　）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
12.（多选）数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（　　）
A.＋＋＝0
B.＋＝2－4
C.＝3
D.｜｜＝｜｜＝｜｜
13.（2024·常州质检）已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　　　　.
14.在 ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n（m，n∈R），求的值.
15.设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足＋＝1时，连接p，q两个向量终点的直线是否通过一个定点？证明你的结论.
第2课时　向量共线定理
1.B　＝＋＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.
2.A　①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.
3.D　因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
4.C　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝.故λ＋μ＝.故选C.
5.AC　如图所示，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋×＝＋.故选A、C.
6.AB　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是相交直线，则向量，不是共线向量，即不能判定a，b共线.故选A、B.
7.－4　相同　解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与b不平行，所以即又因为k＞0，所以两向量方向相同.
8.　解析：由题作图如图所示，∵＝3，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，∴m－n＝－＝.
9.　解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.
10.解：（1）2＋－
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
（2）因为＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2，
所以＝＋＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又＝e1＋2e2，
所以＝，
所以和共线，又和有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
11.B　由题得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）.解得＝＋，即＝a＋b.故选B.
12.ABD　如图，因为O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以＝.对于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以＝2.又＋＝2，所以＋＝，即＋＋＝0，故A正确；对于B，由A可得＝3，故＋＝2＝6＝2＋4＝2（－）＋4（－）＝2－4＋4－2＝2－4，即＋＝2－4，故B正确；对于C，＝－＝2－2＝2，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点O到三个顶点的距离相等，即｜｜＝｜｜＝｜｜，故D正确.故选A、B、D.
13.2∶3　解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
14.解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接DM交AC于点N.在 ABCD中，E是AD的中点，M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.
在△AND中，E为AD的中点，
所以F为AN的中点，所以AF＝FN.
同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－.
又因为＝m＋n（m，n∈R），
所以m＝，n＝－，所以＝－2.
15.解：设＝＋，则C为定点.证明如下：
设p＝，q＝，C'为直线A'B'上任意一点.
∵O，A，B不共线，
∴存在实数m，n使＝m＋n＝mp＋nq，且m＋n＝1.
∵＋＝1，∴可设m＝，n＝，∴＝＋.
又∵＋＝，∴C与C'重合.
故连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点C.
2 / 2第2课时　向量共线定理
　　质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，记b＝3a.
【问题】　（1）向量b与向量a共线吗？
（2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量共线定理
　设a为非零向量，如果有一个实数λ，使　　　　，那么b与a是　　　　向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使　　　　.
提醒　（1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.
（2）向量共线定理的几何形式及其推论：①几何形式：∥ 存在唯一λ∈R使＝λ；②推论：∥ 存在x，y∈R使＝x＋y且x＋y＝1.
【想一想】
向量共线定理中为什么规定a≠0？
1.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（　　）
A.b＝2a　　　　　　 B.b＝－2a
C.a＝2b D.a＝－2b
2.（多选）若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定共线的是（　　）
A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝0，b＝－e2
C.a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2 D.a＝e1－e2，b＝e1＋2e2
3.若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝　　　　.
题型一 向量共线的判定及应用
角度1　判定向量共线
【例1】　（1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：与共线，并将用线性表示；
（2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－e2，b＝5e1－e2，判断向量a，b是否共线.
通性通法
向量共线的判定方法
　　向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
角度2　证明或判断三点共线
【例2】　（链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非零向量.若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线.
通性通法
证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可；
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
角度3　利用向量共线求参数
【例3】　（链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（　　）
A.　　　　　　　 B.　
C.－ D.－
（2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝　　　　.
通性通法
利用向量共线求参数的方法
　　利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表示出相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相等，利用待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的值.若解析过程中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ＝0.
【跟踪训练】
1.（多选）向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　）
A.a∥b B.向量a，b方向相反
C.｜a｜＝3｜b｜ D.b＝－3a
2.（2024·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线；
（2）若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值.
题型二 利用已知向量表示未知向量
【例4】　在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？
通性通法
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
【跟踪训练】
1.（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
2.如图，已知ABCD是一个梯形，∥且｜｜＝2｜｜，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，.
1.若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（　　）
A.b B.－b
C.b D.－b
2.已知a，b是不共线的非零向量，＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b，则四边形ABCD是（　　）
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
3.（2024·徐州月考）如图，在△ABC中，向量＝3，且＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝　　　　.
4.已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共线？
第2课时　向量共线定理
【基础知识·重落实】
知识点
　b＝λa　共线　b＝λa
想一想
　提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；
（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾.
自我诊断
1.A
2.ABC
3.0　解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，所以与共线.
又DE＝BC，且与同向，所以＝.
（2）因为b＝5a，所以a与b共线.
【例2】　证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
【例3】　（1）A　（2）－4　解析：（1）由＝2，得－＝2（－），即＝＋，所以λ＝.
（2）由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.
跟踪训练
1.ABD　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.
2.解：（1）证明：因为＝－＝6a＋2b－（4a－2b）＝2a＋4b，
＝－＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2（2a＋4b）＝－2，
所以∥，又与有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）由4a＋kb与ka＋b共线，则存在实数λ，使得4a＋kb＝λ（ka＋b），
即（4－λk）a＋（k－λ）b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量，
因此解得或
所以，实数k的值是±4.
【例4】　解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，
∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
母题探究
　解：法一　如图①，∵＝－，且CD＝BD，
∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（a＋b）.
法二　如图②，以AB，AC为邻边作 ABEC，则＝＋.
∵CD＝BD，∴D是AE的中点.
∴＝＝（＋）＝（a＋b）.
跟踪训练
1.B　法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋
3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
2.解：因为∥，｜｜＝2｜｜，
所以＝2，＝.
则＝＋＝e2＋e1.
因为M，N分别为DC，AB的中点，
所以｜｜＝2｜｜，｜｜＝2｜｜，
则＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
随堂检测
1.B　∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－，∴a＝－b.
2.A　因为＝＋＋，所以＝ （a＋2b）＋（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且｜｜≠｜｜，所以四边形ABCD是梯形.故选A.
3.1　解析：由题意知，＝＋，所以＝3＝3＋3＝－3＋3.所以＝＋＝－3＋3＝－2＋3，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
4.解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），
则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，
所以λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），
故两个向量不共线.
3 / 3(共58张PPT)
第2课时　
向量共线定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用
a表示，那么在同方向上经过3 s的位移所对应的向量可用3a来表示，
记b＝3a.
【问题】　（1）向量b与向量a共线吗？
（2）如果有一个实数λ，使得b＝λa，那么向量b与向量a共线
吗？
知识点　向量共线定理
　设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 ，那么b与a
是 向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个
实数λ，使 .
b＝λa　
共线　
b＝λa　
提醒　（1）向量共线定理的代数形式及其推论：①代数形式：b∥a
（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推论：若a，b不共线，则
λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.（2）向量共线定理的几何形式及其推
论：①几何形式： ∥ 存在唯一λ∈R使 ＝λ ；②推
论： ∥ 存在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
【想一想】
向量共线定理中为什么规定a≠0？
提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向
量a与b共线；
（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在
唯一一个实数λ矛盾.
1. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的
是（　　）
A. b＝2a B. b＝－2a
C. a＝2b D. a＝－2b
√
2. （多选）若非零向量e1与e2不共线，下列各组向量中，a与b一定
共线的是（　　）
A. a＝－3e1，b＝2e1
B. a＝0，b＝－e2
C. a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2
D. a＝e1－e2，b＝e1＋2e2
√
√
√
3. 若e1与e2不共线，且e1与e1＋λe2共线，则λ＝ .
解析：∵e1与e1＋λe2共线，∴存在实数μ，使得e1＝μ（e1＋
λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量共线的判定及应用
角度1　判定向量共线
【例1】　（1）（链接教科书第18页例3）如图，已知D，E分别为
△ABC的边AB，AC的中点.求证： 与 共线，并将 用 线
性表示；
解： 因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以DE∥BC，所以 与 共线.
又DE＝ BC，且 与 同向，所以 ＝ .
（2）已知非零向量e1，e2不共线，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判
断向量a，b是否共线.
解： 因为b＝5a，所以a与b共线.
通性通法
向量共线的判定方法
　　向量共线的判定一般是用向量共线定理，即a是一个非零向量，
若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线.
向量共线的判断（证明），需要把两向量用共同的已知向量来表示，
进而互相表示，由此判断共线.
角度2　证明或判断三点共线
【例2】　（链接教科书第21页习题11题）设a，b是不共线的两个非
零向量.若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，
B，C三点共线.
证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，
＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2 ，
∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
通性通法
证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实
数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可；
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数
x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
角度3　利用向量共线求参数
【例3】　（链接教科书第21页习题8题）（1）在△ABC中，已知D
是AB边上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝
（　A　）
解析： 由 ＝2 ，得 － ＝2（ － ），即
＝ ＋ ，所以λ＝ .
A
（2）设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相
反，则实数k＝ .
解析： 由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴存在实数
λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不
共线，∴解得或∵ke1＋2e2与8e1
＋ke2反向，∴λ＝－ ，k＝－4.
－4　
通性通法
利用向量共线求参数的方法
　　利用向量共线求参数，就是利用向量的加法、减法及数乘运算表
示出相关向量，再利用共线的条件转化为向量相等、相应向量的和相
等，利用待定系数法建立方程（组），解方程（组），求得参数的
值.若解析过程中出现λa＝μb（a，b不共线）的条件，则λ＝μ
＝0.
【跟踪训练】
1. （多选）向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是（　　）
A. a∥b B. 向量a，b方向相反
C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a
解析： 　因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；
由向量共线定理知，A正确；－3＜0，a与b方向相反，故B正确；
由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C错误.故选A、B、D.
√
√
√
2. （2024·苏州汾湖高中月考）设a，b是不共线的两个非零向量.
（1）若 ＝4a－2b， ＝6a＋2b， ＝2a－6b，求证：
A，B，C三点共线；
解： 证明：因为 ＝ － ＝6a＋2b－（4a－
2b）＝2a＋4b，
＝ － ＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2
（2a＋4b）＝－2 ，
所以 ∥ ，又 与 有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）若4a＋ kb与 ka＋b共线，求实数k的值.
解： 由4a＋ kb与 ka＋b共线，则存在实数λ，使得
4a＋ kb＝λ（ ka＋b），
即（4－ λk）a＋（ k－λ）b＝0，又a，b是不共线的
两个非零向量，
因此解得或
所以，实数k的值是±4.
题型二 利用已知向量表示未知向量
【例4】　在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设
＝a， ＝b，试用a和b表示 .
解：∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD，
∴ ＝ .
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋
＝ a＋ b.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用
两种方法解答吗？
解：法一　如图①，∵ ＝ － ，且CD＝BD，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝ （a＋b）.
法二　如图②，以AB，AC为邻边作 ABEC，则 ＝ ＋ .
∵CD＝BD，∴D是AE的中点.
∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）.
通性通法
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和
平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然
后解关于所求向量的方程.
【跟踪训练】
1. （2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.
记 ＝m， ＝n，则 ＝（　　）
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
√
解析： 　法一　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ －
）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成
出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
2. 如图，已知ABCD是一个梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，
M，N分别是DC，AB的中点，已知 ＝e1， ＝e2，分别用
e1，e2表示 ， .
解：因为 ∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜，
所以 ＝2 ， ＝ .
则 ＝ ＋ ＝e2＋ e1.
因为M，N分别为DC，AB的中点，
所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜，
则 ＝ ＋ ＋
＝－ － ＋
＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2.
1. 若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（　　）
解析： 　∵b与a的方向相反，∴存在实数λ＜0，使a＝λb，
∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－ ，∴a＝－ b.
√
2. 已知a，b是不共线的非零向量， ＝a＋2b， ＝3a－b，
＝2a－3b，则四边形ABCD是（　　）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 菱形
解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ （a＋2b）＋
（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因为 ＝3a－b，
a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且｜ ｜≠｜ ｜，
所以四边形ABCD是梯形.故选A.
√
3. （2024·徐州月考）如图，在△ABC中，向量 ＝3 ，且 ＝
λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ＝ .
解析：由题意知， ＝ ＋ ，所以 ＝3 ＝3 ＋3
＝－3 ＋3 .所以 ＝ ＋ ＝ －3 ＋3 ＝－2
＋3 ，则λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
1　
4. 已知非零向量e1和e2不共线，试判断3e1＋2e2与3e1－2e2是否共
线？
解：若向量e1和e2不共线，设存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－
2e2），
则3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，
所以λ无解，所以不存在实数λ，使3e1＋2e2＝λ
（3e1－2e2），
故两个向量不共线.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. （2024·无锡月考）已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3
（a－b），则（　　）
A. A，B，C三点共线
B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线
D. B，C，D三点共线
解析： 　 ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝
，又∵ 与 有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.
√
2. 已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有
（　　）
①a＝5e1，b＝7e1；
②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
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解析： 　①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝
6 ＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k（e1
＋e2），得无解，故a与b不共线.故选A.
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3. 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则
＝（　　）
解析： 　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－
b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.
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4. （2024·南京月考）已知△ABC中，D为AB的中点， ＝ ，
若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（　　）
解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝ .故λ
＋μ＝ .故选C.
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5. （多选）已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，
E为线段BC的中点，则 ＝（　　）
解析： 　如图所示，则 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ ×
＝ ＋ .故选A、C.
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6. （多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一
定可以使a，b共线的是（　　）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
√
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解析： 　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝
e，b＝－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设
λ≠0，则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共
线；选项D，当AB，CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与
直线CD是相交直线，则向量 ， 不是共线向量，即不能判定
a，b共线.故选A、B.
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7. 设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ
＝ ，此时向量2a－λb与a＋2b的方向 .（填“相
同”或“相反”）
解析：因为2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数k使得2a－λb
＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因为a与
b不平行，所以即又因为k＞0，所以两
向量方向相同.
－4　
相同　
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8. （2024·镇江月考）已知四边形ABCD为正方形， ＝3 ，AP
与CD交于点E，若 ＝m ＋n ，则m－n＝ .
解析：由题作图如图所示，∵ ＝3 ，∴BP＝
3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，∴m
－n＝ － ＝ .
　
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9. 如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且 ＝ ＝ ，
则 ＝ .
解析：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝
.又 与 同向，∴ ＝ .
　
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10. 设不共线向量e1，e2，若 ＝e1＋2e2， ＝－2e1－3e2，
＝6e1＋11e2.
（1）计算2 ＋ － ；
解： 2 ＋ －
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
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（2）判断A，B，D三点是否共线，并说明理由.
解： 因为 ＝－2e1－3e2， ＝6e1＋11e2，
所以 ＝ ＋ ＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又 ＝e1＋2e2，
所以 ＝ ，
所以 和 共线，又 和 有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
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11. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出
了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在
“赵爽弦图”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，则 ＝
（　　）
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解析： 　由题得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋
）＝ ＋ （－ ＋ ）.解得 ＝ ＋ ，即
＝ a＋ b.故选B.
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12. （多选）数学家欧拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重
心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到
垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为
欧拉线定理.设点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心，
且M为BC的中点，则（　　）
√
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解析： 　如图，因为O，G，H分别是
△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，所以 ＝ .对
于A，因为G是重心，M为BC的中点，所以 ＝2 .又 ＋ ＝2 ，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＋ ＝0，故A正确；对于B，由A可得 ＝3 ，故 ＋ ＝2 ＝6
＝2 ＋4 ＝2（ － ）＋4（ － ）＝2 －4 ＋4 －2 ＝2 －4 ，即 ＋ ＝2 －4 ，故B正确；对于C， ＝ － ＝2 －2 ＝2 ，故C不正确；对于D，因为点O为△ABC的外心，所以点
O到三个顶点的距离相等，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，故D正确.故选A、B、D.
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13. （2024·常州质检）已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足
＋ ＋ ＝ ，则△PBC与△ABC的面积之比
是 .
解析：因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ － － ＝
＋ ＋ ＝2 ，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧
的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
2∶3　
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解：根据题意作图如图所示，取BC的中点M，连接
DM交AC于点N. 在 ABCD中，E是AD的中点，
M是BC的中点，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以
四边形BEDM是平行四边形，所以BE∥MD.
在△AND中，E为AD的中点，
所以F为AN的中点，所以AF＝FN.
14. 在 ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若
＝m ＋n （m，n∈R），求 的值.
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同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋
（ ＋ ）＝ － .
又因为 ＝m ＋n （m，n∈R），
所以m＝ ，n＝－ ，所以 ＝－2.
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15. 设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满
足 ＋ ＝1时，连接p ，q 两个向量终点的直线是否通过一
个定点？证明你的结论.
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解：设 ＝ ＋ ，则C为定点.证明如下：
设p ＝ ，q ＝ ，C'为直线A'B'上任意一点.
∵O，A，B不共线，
∴存在实数m，n使 ＝m ＋n ＝mp ＋nq ，且m
＋n＝1.
∵ ＋ ＝1，∴可设m＝ ，n＝ ，∴ ＝ ＋ .
又∵ ＋ ＝ ，∴C与C'重合.
故连接p ，q 两个向量终点的直线通过一个定点C.
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