资源简介

9.3.1　平面向量基本定理
1.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　）
A.－2e1－4e2
B.－4e1－2e2
C.e2－3e1
D.－e2＋3e1
2.（2024·无锡月考）已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），则x，y满足的关系式是（　　）
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
3.在△ABC中，＝，DE∥BC，且与AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用a，b表示＝（　　）
A.（a－b） B.（b－a）
C.（a－b） D.（b－a）
4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　）
A.平行四边形 B.矩形
C.梯形 D.菱形
5.（多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　）
A.a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个
C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D.若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
6.（多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有（　　）
A.＝－a－b B.＝a－b
C.＝a＋b D.＝－a
7.在四边形ABCD中，与平行，P是BC的中点，AP∩DC＝Q，则＝　　　　（用，表示）.
8.在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若＝x＋y，则x＝　　　　.
9.（2024·淮安月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝　　　　.
10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：a，b可以作为一组基底；
（2）以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2.
11.在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形
12.（多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（　　）
A.P为线段OC的中点时，μ＝
B.P为线段OC的中点时，μ＝
C.无论μ取何值，恒有λ＝
D.存在μ∈R，λ＝
13.（2024·常州月考）已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是　　　　.
14.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
（1）求CD的长；
（2）求·的值.
15.（2024·扬州质检）已知O是线段AB外一点，若＝a，＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（a＋b）；
（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示＋＋；
（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
9.3.1　平面向量基本定理
1.C　如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
2.A　∵＝λ，∴－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ＝＋，∴∴x＋y－2＝0.故选A.
3.D　如图所示，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝×＝（b－a）.故选D.
4.C　因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.选C.
5.BC　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C.
6.AD　如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选A、D.
7.2＋　解析：＝2＝2（＋）＝2＋.
8.－　解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋.所以x＝－.
9.9　解析：考虑以，为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一组基底.
（2）设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.C　因为P是BC边的中点，所以＝－＝－－.因为c＋a＋bPB＝0，所以c（－－）＋a＋b＝0.所以（a－c）＋（b－c）＝0.因为与不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形.
12.AC　＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则＝＝μ＋×3μ，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C.
13.（－2，0）　解析：依题意，设＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.
14.解：（1）因为＝2，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以｜｜＝
＝
＝＝，
即CD的长为.
（2）＝－＝－＋
＝－（－）＋
＝＋，
所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝.
15.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝（＋），＝（＋），＝（＋），
则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）设A1是AB的二等分点，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b），
或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）.
3 / 39.3.1　平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象
2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的含义 数学抽象
3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理
木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力.
【问题】　平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量基本定理
1.定理：如果e1，e2是同一平面内两个　　　　　的向量，那么对于这一平面内的　　　向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝　　　　　.
2.基底：两个　　　　　的向量e1，e2叫作这个平面的一组　　　　.
提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
知识点二　平面向量的正交分解
　平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝　　 　　的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直线　　　 　时，这种分解也称为向量a的　　　　 　.
【想一想】
平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系吗？
1.下列说法正确的个数是（　　）
①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量的基底；③零向量不能作为基底向量.
A.0　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
2.（多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为一组基底的是（　　）
A.e1－e2，e2－e1 B.e1－e2，e1＋e2
C.2e2－e1，－2e2＋e1 D.2e1＋e2，4e1＋2e2
3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为　　　　.
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是　　　　（填序号）；
（2）（2024·镇江月考）已知a，b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝　　　　.
通性通法
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
【跟踪训练】
1.（多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（　　）
A.与　　　　 B.与
C.与 D.与
2.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为　　　　.
题型二 用基底表示向量
【例2】　（链接教科书第27页例1）如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，.
通性通法
用基底表示向量的两种基本方法
（1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底表示为止；
（2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方程（组），使得问题获解.
【跟踪训练】
1.如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以a，b为基底时，可表示为　　　　，以a，c为基底时，可表示为　　　　.
2.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】　（1）（链接教科书第29页练习3题）如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D的三等分点，连接BF交AC于点E，若＝m＋n（m，n∈R），则m＋n＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
（2）用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
通性通法
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题.
【跟踪训练】
1.（2024·南京月考）已知△ABC中，点D在BC边上，且＝4＝r＋s，则3r＋s＝（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
2.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b，c作为基底，则＝（　　）
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
3.（2024·徐州月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线段AM的中点，＝λ＋μ，求λ＋μ＝　　　　.
9.3.1　平面向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.不共线　任一　λ1e1＋λ2e2　2.不共线　基底　
知识点二
　λ1e1＋λ2e2　互相垂直　正交分解
想一想
　提示：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理.
自我诊断
1.C　因为一个平面内的基底不唯一，即可以有无数对不共线向量组成该平面的基底，所以说法①不正确，说法②正确；因为零向量与任一向量都共线，所以它不能作为基底中的向量，说法③正确.故选C.
2.ACD　不共线的向量能作为基底，对于A，因为e1－e2＝－（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，故A正确；对于B，e1－e2与e1＋e2不共线，能作为一组基底，故B错误；对于C，因为2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，故C正确；对于D，因为2e1＋e2＝（4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋2e2共线，故D正确.故选A、C、D.
3.4e1＋3e2　解析：如图，＝3e2，＝4e1，∴＝4e1＋3e2.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）①②④　（2）3　解析：（1）①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1，e1＋e2能作为一组基底；②设e1－2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2，e2－2e1能作为一组基底；③∵e1－2e2＝－（4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2，4e2－2e1不能作为一组基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2，e1－e2能作为一组基底.
（2）因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3.
跟踪训练
1.AC　寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故A、C选项可作为基底.
2.（－∞，4）∪（4，＋∞）　解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
【例2】　解：法一　设AC，BD交于点O，
则有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二　设＝x，＝y，则＝＝y.
又所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
跟踪训练
1.a＋b　2a＋c　解析：以a，b为基底时，＝＋＝a＋b；以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c.
2.解：＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝（e1－e2），
所以＝＋＝e2＋（e1－e2）＝e1＋e2.
【例3】　（1）C　∵△ABE∽△CFE，∴＝＝，∴＝，∴＝＝（－）＝［－－（－）］＝（－＋）＝－＋.又∵＝m＋n，∴m＝－1，n＝，∴m＋n＝－.故选C.
（2）证明：如图，设＝a，＝b，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b.
设AD与BE相交于点G1，且＝λ，＝μ，
则＝λa－b，＝－a＋μb.
因为＝＋＝（1－）a＋（μ－1）b，
所以解得即＝.
再设AD与CF相交于点G2，
同理可得＝，
故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，
故三角形的三条中线交于一点.
跟踪训练
1.C　如图所示，＝－，＝－，∵＝4，∴－＝4（－），∴＝＋，∴＝（＋）－＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝3×－＝.故选C.
2.解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
随堂检测
1.B　由题图可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底.故选B.
2.A　如图，＝＋＝c＋（b－c）＝b＋c.故选A.
3.　解析：∵M为BC边上任意一点，∴可设＝x＋y（x＋y＝1）.∵N为线段AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝（x＋y）＝.
4 / 4(共64张PPT)
9.3.1　
平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象
2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的
含义 数学抽象
3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向
下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而
G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力.
【问题】　平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？
知识点一　平面向量基本定理
1. 定理：如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于
这一平面内的 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a
＝ .
2. 基底：两个 的向量e1，e2叫作这个平面的一组
.
不共线　
任一　
λ1e1＋λ2e2　
不共线　
基
底　
提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都
可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；
（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确
定的数值.
知识点二　平面向量的正交分解
　平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝
的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直
线 时，这种分解也称为向量a的 .
λ1e1＋
λ2e2　
互相垂直　
正交分解　
【想一想】
平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上
有什么区别和联系吗？
提示：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线
的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本
定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理.
1. 下列说法正确的个数是（　　）
①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一
组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量
的基底；③零向量不能作为基底向量.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　因为一个平面内的基底不唯一，即可以有无数对不共线
向量组成该平面的基底，所以说法①不正确，说法②正确；因为零
向量与任一向量都共线，所以它不能作为基底中的向量，说法③正
确.故选C.
2. （多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不
能作为一组基底的是（　　）
A. e1－e2，e2－e1 B. e1－e2，e1＋e2
C. 2e2－e1，－2e2＋e1 D. 2e1＋e2，4e1＋2e2
√
√
√
解析： 　不共线的向量能作为基底，对于A，因为e1－e2＝－
（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，故A正确；对于B，e1
－e2与e1＋e2不共线，能作为一组基底，故B错误；对于C，因为
2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，故C正
确；对于D，因为2e1＋e2＝ （4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋
2e2共线，故D正确.故选A、C、D.
3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 .
解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2.
4e1＋3e2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2
与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是
（填序号）；
①②④　
解析： ①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1，e1＋e2能作为一组基底；②设e1－
2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，
∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2，
e2－2e1能作为一组基底；③∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1），
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2，4e2－2e1不能作为一组
基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－
ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2，
e1－e2能作为一组基底.
（2）（2024·镇江月考）已知a，b是一组基底，实数x，y满足（3x
－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ .
解析： 因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，由平面
向量基本定理得所以所以x－y＝3.
3　
通性通法
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若
共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由
这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线
的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
【跟踪训练】
1. （多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作
为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是
（　　）
解析： 　寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中， 与
不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故A、C选项
可作为基底.
√
√
2. 已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作
为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为
.
解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则
a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实
数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
（－∞，4）∪
（4，＋∞）　
题型二 用基底表示向量
【例2】　（链接教科书第27页例1）如图，在平行四边形ABCD中，
设 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， .
解：法一　设AC，BD交于点O，
则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b.
所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ a＋ b.
法二　设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y.
又所以
解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b，
即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b.
通性通法
用基底表示向量的两种基本方法
（1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底
表示为止；
（2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即
若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方
程（组），使得问题获解.
【跟踪训练】
1. 如图，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则以
a，b为基底时， 可表示为 ，以a，c为基底时，
可表示为 .
a＋b　
2a＋c　
解析：以a，b为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以a，c为基
底时，将 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形
法则即得 ＝2a＋c.
2. 如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用
＝e1， ＝e2表示 .
解： ＝ － ＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以 ＝ ＝ （e1－e2），
所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】　（1）（链接教科书第29页练习3题）如图，在正方形
ABCD中，F是边CD上靠近D的三等分点，连接BF交AC于点E，若
＝m ＋n （m，n∈R），则m＋n＝（　　）
√
解析： 　∵△ABE∽△CFE，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ － ）＝ ［－ －（ － ）］
＝ （－ ＋ ）＝－ ＋ .又∵ ＝m ＋n ，
∴m＝－1，n＝ ，∴m＋n＝－ .故选C.
（2）用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，设 ＝a， ＝b，D，E，F
分别为△ABC三边的中点，则 ＝a－b，
＝a－ b， ＝－ a＋b.
设AD与BE相交于点G1，且 ＝λ ， ＝μ ，
则 ＝λa－ b， ＝－ a＋μb.
因为 ＝ ＋ ＝（1－ ）a＋（μ－1）b，
所以解得即 ＝ .
再设AD与CF相交于点G2，
同理可得 ＝ ，
故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，
故三角形的三条中线交于一点.
通性通法
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一
向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向
量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将
条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）已知△ABC中，点D在BC边上，且 ＝4
＝r ＋s ，则3r＋s＝（　　）
√
解析： 　如图所示， ＝ － ， ＝
－ ，∵ ＝4 ，∴ － ＝4（ －
），∴ ＝ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ）－ ＝ － .又 ＝r ＋s ，∴r＝ ，s＝－ ，∴3r＋s＝3× － ＝ .故选C.
2. 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解：设 ＝e1， ＝e2，
则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ
＝2μe1＋μe2.
故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得
解得
∴ ＝ ， ＝ ，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ .
1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是
（　　）
解析： 由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能
作为基底， 与 不共线，可作为基底.故选B.
√
2. 在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，以b，c
作为基底，则 ＝（　　）
解析： 　如图， ＝ ＋ ＝c＋ （b－c）
＝ b＋ c.故选A.
√
3. （2024·徐州月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为线
段AM的中点， ＝λ ＋μ ，求λ＋μ＝ .
解析：∵M为BC边上任意一点，∴可设 ＝x ＋y （x＋y
＝1）.∵N为线段AM的中点，∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝
λ ＋μ .∴λ＋μ＝ （x＋y）＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　）
A. －2e1－4e2
B. －4e1－2e2
C. e2－3e1
D. －e2＋3e1
解析： 　如图所示，a－b＝ ＝ － ＝e2
－3e1.故选C.
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2. （2024·无锡月考）已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝x
＋y ，若 ＝λ （λ∈R），则x，y满足的关系式是
（　　）
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
解析： 　∵ ＝λ ，∴ － ＝λ（ － ），即
＝（1＋λ） －λ ＝ ＋ ，∴∴x＋y
－2＝0.故选A.
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3. 在△ABC中， ＝ ，DE∥BC，且与AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，设 ＝a， ＝b，则用
a，b表示 ＝（　　）
解析： 　如图所示，∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ × ＝ （b－a）.故选D.
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4. 在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－
3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 菱形
解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b
＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以
AD∥BC且AD≠BC. 故四边形ABCD为梯形.选C.
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5. （多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法
中不正确的是（　　）
A. a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）
有无穷多个
D. 若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
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解析： 　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于
B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平
面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝
λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C.
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6. （多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中
点，且 ＝a， ＝b，则有（　　）
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解析： 　如图，在△ABC中， ＝ ＋ ＝
－ ＋ ＝－b－ a，故A正确； ＝ ＋
＝a＋ b，故B错误； ＝ ＋ ＝－b－a，
＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b，故C错误； ＝ ＝－ a，故D正确.故选A、D.
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7. 在四边形ABCD中， 与 平行，P是BC的中点，AP∩DC＝
Q，则 ＝ （用 ， 表示）.
解析： ＝2 ＝2（ ＋ ）＝2 ＋ .
2 ＋ 　
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8. 在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若 ＝x ＋y ，则x＝ .
－ 　
解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以 ＝ ＋
.又E为AD的中点，所以 ＝ － ＝ （ ＋
）－ ＝－ ＋ .所以x＝－ .
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9. （2024·淮安月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝
6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则
· ＝ .
解析：考虑以 ， 为基底来计算.∵ ＝3 ， ＝
2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ －
＝ ×36－ ×16＝9.
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10. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：a，b可以作为一组基底；
解： 证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一组基底.
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（2）以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2.
解： 设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1
＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
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11. 在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，
b，c，若c ＋a ＋b ＝0，则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形但不是等边三角形
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解析： 　因为P是BC边的中点，所以 ＝ － ＝－ －
.因为c ＋a ＋bPB＝0，所以c（－ － ）＋a
＋b ＝0.所以（a－c） ＋（b－c） ＝0.因为 与
不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC
为等边三角形.
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12. （多选）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线
段AB交于圆内一点P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，
则（　　）
√
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解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ －
）＝（1－λ） ＋λ ，因为 与 共线，所以 ＝
，解得λ＝ ，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则
＝ ＝ μ ＋ ×3μ ，则1－λ＝ μ，λ＝
×3μ，解得μ＝ ，故A正确，B错误.故选A、C.
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13. （2024·常州月考）已知在△ABC中，点O满足 ＋ ＋ ＝
0，点P是OC上异于端点的任意一点，且 ＝m ＋n ，则
m＋n的取值范围是 .
解析：依题意，设 ＝λ （0＜λ＜1），由 ＋ ＋
＝0，知 ＝－（ ＋ ），所以 ＝－λ －λ ，由
平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，
0）.
（－2，0）　
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14. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝
2 ， ＝2 .
（1）求CD的长；
解： 因为 ＝2 ，所以 ＝ ，
所以 ＝ － ＝ － ，
所以｜ ｜＝
＝
＝
＝ ，即CD的长为 .
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（2）求 · 的值.
解： ＝ － ＝－ ＋
＝－ （ － ）＋
＝ ＋ ，
所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝
＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ .
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15. （2024·扬州质检）已知O是线段AB外一点，若 ＝a，
＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明： ＝ （a＋b）；
解： 证明：设AB的中点为E，则 ＝ ＝ ×
（a＋b）＝ （a＋b）.
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（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及
△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示
＋ ＋ ；
解： 点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
＝ （ ＋ ），
则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝
（a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b.
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（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结
论？（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
解： 设A1是AB的二等分点，则 ＝ （a＋b），
＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋
b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则 ＋ ＋
＝ （a＋b），
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或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b）.
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谢 谢 观 看！

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