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第1课时　向量线性运算的坐标表示
1.已知M（2，3），N（3，1）.则的坐标是（　　）
A.（2，－1） B.（－1，2）
C.（－2，1） D.（1，－2）
2.已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），则a与b的关系是（　　）
A.不共线 B.相等
C.方向相同 D.方向相反
3.已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（　　）
A.（－23，－12） B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
4.（2024·南通月考）在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，5），＝（－1，2），则＋＝（　　）
A.（－2，4） B.（4，6）
C.（－6，－2） D.（－1，9）
5.已知向量i＝（1，0），j＝（0，1），对平面内的任一向量a，下列结论中正确的是（　　）
A.存在唯一的一对实数x，y，使得a＝（x，y）
B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2，且y1≠y2
C.若x，y∈R，a＝（x，y），且a≠0，则a的起点是原点O
D.若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是（x，y），则a＝（x，y）
6.（多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A.（4，5） B.（8，9）
C.（2，－1） D.（3，－1）
7.若a＝（2，1），b＝（－3，4），则a＋b＝　　　　，a－b＝　　　　，3a＋4b＝　　　　.
8.如图所示，若向量e1，e2分别是x轴，y轴方向上的单位向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为　　　　.
9.（2024·盐城月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，则λ＝　　　　，μ＝　　　　.
10.已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），以，为一组基底来表示＋＋.
11.如果将＝（ ，）绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是（　　）
A.（ －，） B.（ ，－）
C.（－1，） D.（ －，）
12.（多选）（2024·镇江月考）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的顶点，则实数m可以是（　　）
A.－2 B.
C.1 D.－1
13.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb（x，y∈R），则x＋y＝　　　　.
14.已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内.
15.（2024·南京质检）已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系用v＝f（u）表示.
（1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标；
（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标；
（3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
第1课时　向量线性运算的坐标表示
1.D　＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故选D.
2.D　∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D.
3.A　由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A.
4.A　在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故选A.
5.A　对于A：平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；对于B：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2或y1≠y2，故B错误；对于C：平面向量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C错误；对于D：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起点坐标，故D错误.故选A.
6.ABC　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
7.（－1，5）　（5，－3）　（－6，19）
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
8.（3，4）　解析：由题图可知a＝e1＋，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）.
9.　1　解析：由题意，知＝（1，0），＝（0，1）.设C（x，y），则＝（x，y）.∵＝λ＋μ，∴（x，y）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1.
10.解：∵＝（1，3），＝（2，4），＝（－3，5），＝（－4，2），＝（－5，1），
∴＋＋＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋＋＝m＋n，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），
即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），
∴解得
∴＋＋＝32－22.
11.D　因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.
12.ABD　若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则＝λ，即（m，m＋1）＝λ（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D.
13.　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋yb，∴解得∴x＋y＝.
14.解：设点P的坐标为（x，y），
则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且与不共线，
∴则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
15.解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
（3）证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
2 / 2第1课时　向量线性运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算及数乘运算 数学运算
“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供了一维高度信息.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据.向量也可以利用平面或空间中的坐标来表示，平面向量的坐标有何运算规律呢？
【问题】　
如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且｜a｜＝4，以i，j为基底，如何表示向量a？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　向量的坐标表示
　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个　　　　　　i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝　　　　.
提醒　（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.
【想一想】
对任一平面向量a，是否都有坐标与之对应？向量平移前后其坐标变化吗？
知识点二　向量线性运算的坐标表示
1.已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么：
（1）a＋b＝　　　　　　　　；
（2）a－b＝　　　　　　　　；
（3）λa＝　　　　　　.
2.若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝　　　　　　　　.即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.两个向量的终点不同，则其坐标一定不同
B.若a＝b，则a，b坐标也相同
C.求向量的坐标需知道起点、终点的坐标
D.向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大
2.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），则向量2a－b的坐标为（　　）
A.（1，5）　　　　　　　 B.（3，3）
C.（0，3） D.（2，1）
3.已知向量＝（1，－4），＝（2，1），＝（m，n），则m＋n＝　　　　.
题型一 向量的坐标表示
【例1】　（链接教科书第30页例1）如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，｜｜＝4， ∠xOA＝60°，｜｜＝4，∠OAB＝120°，四边形OABC为平行四边形.
（1）求向量，的坐标；
（2）求向量的坐标；
（3）求点B的坐标.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；
（2）在求向量坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
　如图，在平面直角坐标系xOy中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）.
（1）求点B，点C的坐标；
（2）求向量，的坐标.
题型二 向量线性运算的坐标表示
【例2】　（链接教科书第31页例2）已知O为坐标原点，点A（－1，3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4），a＝，b＝.
（1）求向量a，b，，的坐标；
（2）求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b.
题型三 向量坐标运算的应用
【例3】　（链接教科书第32页例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2， y2）， P是直线P1P2上一点.
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
通性通法
应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤
【跟踪训练】
如图，已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（－2，1），（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标.
1.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应
2.（2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝（　　）
A.（1，－2）　B.（1，2）　C.（5，6）　D.（2，0）
3. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是　　　　.
4.已知点A（－1，2），B（2，8）及＝，＝－.求点C，D和的坐标.
第1课时　向量线性运算的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点一
　单位向量　（x，y）
想一想
　提示：都有坐标与之对应，当向量确定以后，向量的坐标唯一确定，因此向量平移前后，其坐标不变.
知识点二
1.（1）（x1＋x2，y1＋y2）　（2）（x1－x2，y1－y2）　（3）（λx1，λy1）　2.（x2－x1，y2－y1）
自我诊断
1.BC
2.B　∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，2）－（－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故选B.
3.0　解析：因为＝＋＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）＝（m，n），所以m＝3，n＝－3，则m＋n＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设点A（x， y），则x＝OA·cos 60°＝4×＝2，
y＝OA·sin 60°＝4×＝6.
即A（2，6），∴＝（2，6）.
∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝30°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝｜｜＝4，∴C（－2，2），
∴＝＝.
（2）＝－＝.
（3）＝＋＝（2，6）＋＝（2－2，6＋2）.
∴点B的坐标为（2－2，6＋2）.
跟踪训练
　解：（1）在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜｜＝2｜｜＝2，所以A（2，0）.
又∠OAB＝，所以xB＝2＋cos（ π－）＝，yB＝0＋sin（π－）＝，
所以点B.
又＝（－1，），所以＝＋＝＝，
所以点C.
（2）由（1）可得，＝，
＝.
【例2】　解：（1）a＝＝（－1，3），b＝＝（1，－3），
＝－＝（1，－3），＝（3，4）－（4，1）＝（－1，3）.
（2）a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0），
a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6），
3a＝3（－1，3）＝（－3，9），
2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－9）＝（1，－3）.
跟踪训练
　解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）
＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）
＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3）a－b＝（－1，2）－（2，1）
＝－＝.
【例3】　解：（1）如图①，由向量的线性运算可知＝（＋）＝（，）.
所以点P的坐标是（，）.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即＝或＝2.
如果＝（图②），那么
＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（，），
即点P的坐标是（，）；
同理，如果＝2（图③），那么点P的坐标是（，）.
跟踪训练
　解：法一　设顶点D的坐标为（x，y）.
因为＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），
＝（3－x，4－y），
又＝，
所以（1，2）＝（3－x，4－y），
即解得
所以顶点D的坐标为（2，2）.
法二　如图，由向量加法的平行四边形法则可知＝＋＝（－2－（－1），1－3）＋（3－（－1），4－3）＝（3，－1），
而＝＋＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2），
所以顶点D的坐标为（2，2）.
随堂检测
1.ABD　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误；A、B、D正确.故选A、B、D.
2.A　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.故选A.
3.（－4，－2）　解析：设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（，）.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
4.解：∵A（－1，2），B（2，8），∴＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6），＝＝（1，2），＝－＝＝（1，2）.
设O为坐标原点，
则＝＋＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4），
＝＋＝－＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，0）.
∴C，D的坐标分别为（0，4），（－2，0）.
因此＝－＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）.
4 / 4(共62张PPT)
第1课时　
向量线性运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量
的正交分解及坐标表示 数学抽象
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算
及数乘运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高
度信息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供
了一维高度信息.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器
系统提供目标指示数据.向量也可以利用平面或空间中的坐标来表
示，平面向量的坐标有何运算规律呢？
【问题】　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i
的夹角是30°，且｜a｜＝4，以i，j为基底，如何表示向量a？
知识点一　向量的坐标表示
　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个
i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理
可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋yj.我们把有
序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝
.
单
位向量　
（x，
y）　
提醒　（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a
＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点
的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.
【想一想】
对任一平面向量a，是否都有坐标与之对应？向量平移前后其坐标变
化吗？
提示：都有坐标与之对应，当向量确定以后，向量的坐标唯一确定，
因此向量平移前后，其坐标不变.
知识点二　向量线性运算的坐标表示
1. 已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么：
（1）a＋b＝ ；
（2）a－b＝ ；
（3）λa＝ .
2. 若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ － ＝（x2，y2）－
（x1，y1）＝ .即一个向量的坐标等于该向
量终点的坐标减去起点的坐标.
（x1＋x2，y1＋y2）　
（x1－x2，y1－y2）　
（λx1，λy1）　
（x2－x1，y2－y1）　
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 两个向量的终点不同，则其坐标一定不同
B. 若a＝b，则a，b坐标也相同
C. 求向量的坐标需知道起点、终点的坐标
D. 向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大
√
√
2. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），则向量2a－b的坐标为
（　　）
A. （1，5） B. （3，3）
C. （0，3） D. （2，1）
解析： 　∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，
2）－（－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故选B.
√
3. 已知向量 ＝（1，－4）， ＝（2，1）， ＝（m，n），
则m＋n＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）
＝（m，n），所以m＝3，n＝－3，则m＋n＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的坐标表示
【例1】　（链接教科书第30页例1）如图，已知O是坐标原点，点A
在第一象限，｜ ｜＝4 ， ∠xOA＝60°，｜ ｜＝4，∠OAB
＝120°，四边形OABC为平行四边形.
（1）求向量 ， 的坐标；
解： 设点A（x， y），则x＝OA· cos 60°
＝4 × ＝2 ，
y＝OA· sin 60°＝4 × ＝6.
即A（2 ，6），∴ ＝（2 ，6）.
∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝
30°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝｜ ｜＝4，∴C（－2，2 ），
∴ ＝ ＝ .
（2）求向量 的坐标；
解： ＝－ ＝ .
（3）求点B的坐标.
解： ＝ ＋ ＝（2 ，6）＋
＝（2 －2，6＋2 ）.
∴点B的坐标为（2 －2，6＋2 ）.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向
量的坐标；
（2）在求向量坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标，再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
　如图，在平面直角坐标系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.
（1）求点B，点C的坐标；
解： 在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜ ｜＝2｜ ｜＝2，所以A（2，0）.
又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ，yB＝0＋ sin ＝ ，所以点B .
又 ＝（－1， ），所以 ＝ ＋ ＝
＝ ，
所以点C .
（2）求向量 ， 的坐标.
解： 由（1）可得， ＝ ，
＝ .
题型二 向量线性运算的坐标表示
【例2】　（链接教科书第31页例2）已知O为坐标原点，点A（－
1，3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4），a＝ ，b＝
.
（1）求向量a，b， ， 的坐标；
解： a＝ ＝（－1，3），b＝ ＝（1，－3），
＝－ ＝（1，－3）， ＝（3，4）－（4，1）＝（－
1，3）.
（2）求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标.
解： a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0），
a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6），
3a＝3（－1，3）＝（－3，9），
2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－
9）＝（1，－3）.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的
运算法则进行；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后
再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3） a－ b.
解： 2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）
＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）
＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3） a－ b＝ （－1，2）－ （2，1）
＝ － ＝ .
题型三 向量坐标运算的应用
【例3】　（链接教科书第32页例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2，
y2）， P是直线P1P2上一点.
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
解： 如图①，由向量的线性运算可知
＝ （ ＋ ）＝（ ， ）.
所以点P的坐标是（ ， ）.
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
解： 当点P是线
段P1P2的一个三等分点
时，有两种情况，即
＝ 或 ＝
2 .
如果 ＝ （图②），那么 ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝（ ， ），即点P的坐标是（ ， ）；
同理，如果 ＝2 （图③），那么点P的坐标是（ ， ）.
通性通法
应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤
【跟踪训练】
　如图，已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（－2，
1），（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标.
解：法一　设顶点D的坐标为（x，y）.
因为 ＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），
＝（3－x，4－y），
又 ＝ ，
所以（1，2）＝（3－x，4－y），
即解得
所以顶点D的坐标为（2，2）.
法二　如图，由向量加法的平行四边形法则可知
＝ ＋ ＝（－2－（－1），1－3）＋（3
－（－1），4－3）＝（3，－1），
而 ＝ ＋ ＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2），
所以顶点D的坐标为（2，2）.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 相等向量的坐标相同
B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C. 一个坐标对应唯一的一个向量
D. 平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应
解析： 　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个
相等的向量，故C错误；A、B、D正确.故选A、B、D.
√
√
√
2. （2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a＝（2，4），a＋b＝
（3，2），则b＝（　　）
A. （1，－2） B. （1，2）
C. （5，6） D. （2，0）
解析： 　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.故
选A.
√
3. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点
G（2，－1）在中线AD上，且 ＝2 ，则点C的坐标是
.
解析：设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（ ，
）.由 ＝2 可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，
y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
（－
4，－2）　
解：∵A（－1，2），B（2，8），
∴ ＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6）， ＝ ＝（1，
2）， ＝－ ＝ ＝（1，2）.
设O为坐标原点，
则 ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4），
＝ ＋ ＝ － ＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，
0）.
∴C，D的坐标分别为（0，4），（－2，0）.
因此 ＝ － ＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）.
4. 已知点A（－1，2），B（2，8）及 ＝ ， ＝－ .求
点C，D和 的坐标.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知M（2，3），N（3，1）.则 的坐标是（　　）
A. （2，－1） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （1，－2）
解析： 　 ＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故选D.
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2. 已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），则a与b的关系是
（　　）
A. 不共线 B. 相等
C. 方向相同 D. 方向相反
解析： 　∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D.
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3. 已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c
＝0，则c＝（　　）
A. （－23，－12） B. （23，12）
C. （7，0） D. （－7，0）
解析： 　由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝
（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A.
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4. （2024·南通月考）在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，
5）， ＝（－1，2），则 ＋ ＝（　　）
A. （－2，4） B. （4，6）
C. （－6，－2） D. （－1，9）
解析： 　在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，
5），所以 ＝（2，3）.又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋
＝（1，5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋
＝（－2，4）.故选A.
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5. 已知向量i＝（1，0），j＝（0，1），对平面内的任一向量a，下
列结论中正确的是（　　）
A. 存在唯一的一对实数x，y，使得a＝（x，y）
B. 若x1，x2，y1，y2∈R，a＝（x1，y1）≠（x2，y2），则x1≠x2，
且y1≠y2
C. 若x，y∈R，a＝（x，y），且a≠0，则a的起点是原点O
D. 若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是（x，y），则a＝（x，
y）
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解析： 　对于A：平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；对
于B：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即（x1，
y1）≠（x2，y2），则x1≠x2或y1≠y2，故B错误；对于C：平面向
量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C错误；对于
D：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起
点坐标，故D错误.故选A.
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6. （多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，
B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A. （4，5） B. （8，9）
C. （2，－1） D. （3，－1）
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解析： 　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，
则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝
4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是
平行四边形ABDC，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－
6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，
9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有 ＝ ，即（6
－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求
顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为
（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
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7. 若a＝（2，1），b＝（－3，4），则a＋b＝ ，a
－b＝ ，3a＋4b＝ .
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝
（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4
（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
（－1，5）　
（5，－3）　
（－6，19）　
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8. 如图所示，若向量e1，e2分别是x轴，y轴方向上的单位向量，则
向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为 .
（3，4）　
解析：由题图可知a＝e1＋ ，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2
＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中
的坐标为（3，4）.
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9. （2024·盐城月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B
（0，1），点C在第一象限内，∠AOC＝ ，且OC＝2，若 ＝
λ ＋μ ，则λ＝ ，μ＝ .
解析：由题意，知 ＝（1，0）， ＝（0，1）.设C（x，
y），则 ＝（x，y）.∵ ＝λ ＋μ ，∴（x，y）＝
λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝
，OC＝2，∴λ＝x＝2 cos ＝ ，μ＝y＝2 sin ＝1.
　
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10. 已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），
以 ， 为一组基底来表示 ＋ ＋ .
解：∵ ＝（1，3）， ＝（2，4）， ＝（－3，5），
＝（－4，2）， ＝（－5，1），
∴ ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝
（－12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋ ＋ ＝m ＋n ，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），∴解得
∴ ＋ ＋ ＝32 －22 .
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11. 如果将 ＝（ ， ）绕原点O逆时针方向旋转120°得到 ，
则 的坐标是（　　）
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解析： 　因为 ＝ 所在直线的倾斜角为30°，绕原点
O逆时针方向旋转120°得到 所在直线的倾斜角为150°，所
以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为 ，故
的坐标是 .故选D.
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12. （多选）（2024·镇江月考）已知向量 ＝（1，－3）， ＝
（2，－1）， ＝（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的
顶点，则实数m可以是（　　）
A. －2
C. 1 D. －1
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√
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解析： 　若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因
为 ＝ － ＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2）， ＝
－ ＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假
设A，B，C三点共线，则 ＝λ ，即（m，m＋1）＝λ
（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作
为三角形的顶点.故选A、B、D.
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解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则
可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋
yb，∴解得∴x＋y＝ .
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14. 已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.
若 ＝ ＋ ，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ .
解：设点P的坐标为（x，y），
则 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线，
∴则
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（2）点P在第三象限内.
解：若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
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15. （2024·南京质检）已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－
x）的对应关系用v＝f（u）表示.
（1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）
的坐标；
解： ∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，
2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标；
解： 设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝
（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
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（3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f（ma＋nb）
＝mf（a）＋nf（b）成立.
解： 证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2
－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2
－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
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