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第2课时　向量数量积的坐标表示
1.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　）
A.3 B.
C.－ D.－3
2.（2024·宿迁月考）已知点P（2，4），Q（1，6），向量＝（2，λ），若·＝0，则实数λ＝（　　）
A. B.－
C.2 D.1
3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
4.（2024·镇江月考）已知＝（－3，－2），＝（m，1），＝3，则·＝（　　）
A.7 B.－7
C.15 D.－15
5.（多选）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的是（　　）
A.若｜b｜＝2，则m＝
B.若a⊥b，则m＝2
C.若｜a｜＝｜b｜，则m＝2
D.若m＝－3，则a，b的夹角为
6.（多选）角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则与夹角的余弦值可能为（　　）
A.－ B.
C. D.
7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝　　　　.
8.已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则｜n｜＝　　　　.
9.（2024·扬州质检）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是　　　　.
10.在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）.
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值.
11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　）
A.－2 B.2
C.－2或2 D.0
12.（2024·淮安月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝（　　）
A. B.
C. D.
13.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为　　　　.
14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2，且c与a 方向相反，求c的坐标；
（2）若｜b｜＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
15.（2024·南京质检）已知a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），且｜ka＋b｜＝｜a－kb｜（k＞0）.
（1）用k表示数量积a·b；
（2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角.
第2课时　向量数量积的坐标表示
1.C　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－.
2.D　由P（2，4），Q（1，6）可得＝（－1，2），又＝（2，λ），所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D.
3.A　∵＝（8，－4），＝（2，4），∴·＝8×2＋（－4）×4＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形.故选A.
4.B　依题意可得＝（3，2），＝＋＝（3，2）＋（m，1）＝（3＋m，3），＝＝3，解得m＝－3，所以＝（－3，1），·＝（3，2）·（－3，1）＝－9＋2＝－7，故选B.
5.BD　若｜b｜＝2，则＝4，解得m＝±，所以A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜a｜＝｜b｜，则＝，解得m＝2或m＝－2，所以C错误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，可得cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以D正确.故选B、D.
6.AC　∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x），与的夹角为θ，则cos θ＝＝，当x＞0时，cos θ＝，当x＜0时，cos θ＝－.故选A、C.
7.－1　解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.1　解析：cos＝＝＝－，｜n｜＝1.
9.（－∞，－1）∪（－1，1）　解析：｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角，∴即∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）.
10.解：（1）由题设知＝（3，5），＝（－1，1），
则＋＝（2，6），－＝（4，4）.
所以｜＋｜＝2 ，｜－｜＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
（2）由题设知，＝（－2，－1），－t＝（3＋2t，5＋t），
由（－t）·＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
11.B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.C　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2，∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝.
13.（3，0）　解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
14.解：（1）设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝2，可没c＝λa（λ＜0）.
得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以
所以c＝（－2，－4）.
（2）因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.解：（1）由｜ka＋b｜＝｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），所以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝.
（2）由（1）得a·b＝＝（k＋）.
令f（k）＝（k＋），
由函数的单调性，得f（k）＝（k＋）在（0，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝×（1＋1）＝.
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°.
2 / 2第2课时　向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 数学抽象
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算
　　已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【问题】　（1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？
（2）a⊥b如何用坐标来表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量数量积的坐标表示
1.向量数量积的坐标计算公式
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝　　　　　　.
2.向量长度（模）的坐标计算公式
（1）设a＝（x，y），则a2＝　　　　，即｜a｜＝　　　　；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝　　　　　　.
3.向量夹角的坐标计算公式
设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为θ，则cos θ＝＝　　　　　　　　.
4.向量垂直的充要条件
若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即a⊥b 　　　　　　　　.
1.（多选）下列结果中正确的是（　　）
A.若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b
B.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b
C.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜
D.若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4
2.已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（　　）
A.0　　　B.10　 　C.6　　　D.－10
3.（2024·宿迁宿豫中学月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1，－2），则向量a与b夹角的大小为　　　　.
题型一 向量数量积的坐标运算
【例1】　（链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）
A.6　　　　　　　　 B.5
C.4 D.3
2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝　　　　.
题型二 向量的模、夹角、垂直问题
【例2】　（链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3，1），C（4， －1），若a＝，b＝.求：
（1）｜a－2b｜；
（2）∠BAC的大小；
（3）B到直线AC的距离；
（4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值.
【母题探究】
1.（变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值.
2.（变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， －1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角形”，试求k的值.
通性通法
1.求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
2.解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
1.已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝（　　）
A. B.
C.5 D.25
2.（2024·扬州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，2），且a与b夹角的余弦值为，则x＝　　　　.
题型三 向量坐标运算的综合应用
【例3】　已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.
（1）求证：AB⊥AD；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.
通性通法
利用向量解决平面几何问题的基本思路
　　利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【跟踪训练】
如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF.
求证：（1）DP⊥EF；
（2）DP＝EF.
1.（2024·苏州盛泽中学月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（　　）
A.10 B.－10
C.3 D.－3
2.（多选）设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确的是（　　）
A.｜a｜＝b2 B.a·b＝0
C.｜a｜＝｜b｜ D.（a－b）⊥b
3.设向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a＋c）⊥b，则｜a｜＝　　　　.
4.已知a＝（1，2），b＝（1，－1）.
（1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
（2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值.
第2课时　向量数量积的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点
1.x1x2＋y1y2　2.（1）x2＋y2　　（2）
3.　4.x1x2＋y1y2＝0
自我诊断
1.AC　对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝－b，故B错误；对于C，｜a｜＝，｜b｜＝，故C正确；对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝，故D错误.故选A、C.
2.C　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C.
3.　解析：由题意得，cos＜a，b＞＝＝＝－，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2.
跟踪训练
1.C　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
2.　解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为＝2，所以F（，2）.所以＝（2，1），＝（，2）－（2，0）＝（－，2），所以·＝（2，1）·（－，2）＝2×（－）＋1×2＝.
【例2】　解：（1）由题意，得a＝＝（2， 1），b＝＝（3， －1），
因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3），
所以｜a－2b｜＝＝5.
（2）a与b的夹角为∠BAC，
因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝， ｜b｜＝，
所以cos∠BAC＝＝＝.
又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝.
（3）B到AC距离为｜｜sin∠BAC＝ ｜｜sin＝·＝.
（4）λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4， 3），
因为（λa－b）⊥（a－2b），
所以（λa－b）·（a－2b）＝0.
即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0，
解得λ＝3.
母题探究
1.解：因为a＋b＝＋＝（5，0），a－b＝－＝（－1，2），
所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋b｜＝5，｜a－b｜＝，
故cos θ＝＝＝－.
2.解：＝（－4，2），＝（－3，k＋1），＝（1，k－1），
若∠A＝90°，则⊥，则·＝（－4）×（－3）＋2×（k＋1）＝0，解得k＝－7；
若∠B＝90°，则⊥，则·＝（－4）×1＋2×（k－1）＝0，解得k＝3；
若∠C＝90°，则⊥，则·＝（－3）×1＋（k＋1）×（k－1）＝0，解得k＝±2.
所以k的值为－7或3或±2.
跟踪训练
1.C　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C.
2.1或－11　解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，显然x＜4，则x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11.
【例3】　解：（1）证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴＝（1，1），＝（－3，3），
则·＝1×（－3）＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
（2）∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设点C的坐标为（x，y），
则＝（x＋1，y－4），
从而有即
∴点C的坐标为（0，5）.
＝（－2，4），＝＝2，
故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2.
跟踪训练
　证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而＝（1，0），＝（0，1）.
由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），因此＝（a，a－1），＝（1－a，a）.
（1）因为·＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，
所以⊥，因此DP⊥EF.
（2）因为｜｜＝＝，｜｜＝＝，所以｜｜＝｜｜，因此DP＝EF.
随堂检测
1.B　由题意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10.故选B.
2.AD　因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故A正确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜＝，故｜a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2－2＝0，故D正确.故选A、D.
3.　解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－，则a＝（1，－1），故｜a｜＝.
4.解：（1）因为a＝（1，2），b＝（1，－1），
所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）.
所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
（2）ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
3 / 3(共59张PPT)
第2课时　
向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个
平面向量的夹角 数学抽象
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【问题】　（1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？
（2）a⊥b如何用坐标来表示？
知识点　向量数量积的坐标表示
1. 向量数量积的坐标计算公式
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ .
2. 向量长度（模）的坐标计算公式

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜
＝ .
x1x2＋y1y2　
x2＋y2　
　
　
3. 向量夹角的坐标计算公式
设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为
θ，则 cos θ＝ ＝ 　 　.
4. 向量垂直的充要条件
若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即
a⊥b .
　
x1x2＋y1y2＝0　
1. （多选）下列结果中正确的是（　　）
A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b
B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b
C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜
D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4
解析： 　对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝
－b，故B错误；对于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正确；
对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D错误.故选
A、C.
√
√
2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（　　）
A. 0 B. 10
C. 6 D. －10
解析： 　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C.
√

解析：由题意得， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－
，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量数量积的坐标运算
【例1】　（链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝
（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解： 法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－
4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]
＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，
2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋
4×2＝－2.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行
数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计
算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之
差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，
x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝
30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，
＝2 ，则 · ＝ .
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A
（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，
0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F
（ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）
－（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2，
1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ .
　
题型二 向量的模、夹角、垂直问题
【例2】　（链接教科书第35页例2）已知点A（1， 0）， B（3，
1），C（4， －1），若a＝ ，b＝ .求：
（1）｜a－2b｜；
解： 由题意，得a＝ ＝（2， 1），b＝ ＝（3， －1），
因为a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3），
所以｜a－2b｜＝ ＝5.
（2）∠BAC的大小；
解： a与b的夹角为∠BAC，
因为a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝ ， ｜b｜＝
，
所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ .
又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝ .
（3）B到直线AC的距离；
解： B到AC距离为｜ ｜ sin ∠BAC＝ ｜ ｜ sin ＝
· ＝ .
（4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值.
解： λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4，3），
因为（λa－b）⊥（a－2b），
所以（λa－b）·（a－2b）＝0.
即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0，
解得λ＝3.
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，试求a＋b与a－b的夹角θ的余弦
值.
解：因为a＋b＝ ＋ ＝（5，0），a－b＝ － ＝（－
1，2），
所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋
b｜＝5，｜a－b｜＝ ，
故 cos θ＝ ＝ ＝－ .
解： ＝（－4，2）， ＝（－3，k＋1）， ＝（1，k－
1），
若∠A＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×（－3）＋2×
（k＋1）＝0，解得k＝－7；
若∠B＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－4）×1＋2×（k－
1）＝0，解得k＝3；
若∠C＝90°，则 ⊥ ，则 · ＝（－3）×1＋（k＋1）
×（k－1）＝0，解得k＝±2.
所以k的值为－7或3或±2.
2. （变条件，变设问）若本例中的条件改为“已知点A（5， －
1）， B（1，1），C（2， k），设k为实数，△ABC为直角三角
形”，试求k的值.
通性通法
1. 求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化
为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2
＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
2. 解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出
cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ
的取值范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ
的值时，要注意 cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，
二是θ为180°； cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐
角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝
（　　）
C. 5 D. 25
解析： 　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，
∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C.
√
2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，
2），且a与b夹角的余弦值为 ，则x＝ .
解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝
＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝
＝ ，显然x＜4，则x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11.
1或－11
题型三 向量坐标运算的综合应用
【例3】　已知三点A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.
（1）求证：AB⊥AD；
解： 证明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴ ＝（1，1）， ＝（－3，3），
则 · ＝1×（－3）＋1×3＝0，
∴ ⊥ ，即AB⊥AD.
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角
线的长度.
解： ∵ ⊥ ，四边形ABCD为矩形，∴ ＝ .
设点C的坐标为（x，y），
则 ＝（x＋1，y－4），
从而有即
∴点C的坐标为（0，5）.
＝（－2，4）， ＝ ＝2 ，
故点C的坐标为（0，5），矩形ABCD的对角线的长度为2 .
通性通法
利用向量解决平面几何问题的基本思路
　　利用向量可以解决与长度、角度、垂直等有关的几何问题，其解
题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的
几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直
角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【跟踪训练】
如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF.
求证：（1）DP⊥EF；
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），D（0，1），从而 ＝（1，0）， ＝（0，1）.
由已知，可设P（a，a），其中0＜a＜1，则E（a，0），F（1，a），因此 ＝（a，a－1）， ＝（1－a，a）.
（1）因为 · ＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，
所以 ⊥ ，因此DP⊥EF.
（2）DP＝EF.
证明：因为｜ ｜＝ ＝
，｜ ｜＝ ＝
，所以｜ ｜＝｜ ｜，因此DP
＝EF.
1. （2024·苏州盛泽中学月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－
1），则（a＋2b）·（a－3b）＝（　　）
A. 10 B. －10
C. 3 D. －3
解析： 　由题意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，
2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－
10.故选B.
√
2. （多选）设向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论中正确
的是（　　）
A. ｜a｜＝b2 B. a·b＝0
C. ｜a｜＝｜b｜ D. （a－b）⊥b
解析： 　因为｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故
A正确；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B错误；｜a｜＝2，｜b｜
＝ ，故｜a｜≠｜b｜，故C错误；（a－b）·b＝a·b－b2＝2
－2＝0，故D正确.故选A、D.
√
√

解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b
＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－ ，则a＝（1，－1），
故｜a｜＝ .
　
4. 已知a＝（1，2），b＝（1，－1）.
（1）若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
解： 因为a＝（1，2），b＝（1，－1），
所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）.
所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .
（2）若2a＋b与ka－b垂直，求k的值.
解： ka－b＝（k－1，2k＋1），依题意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　）
A. 3 D. －3
解析： 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，
∴x＝－ .
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√
2. （2024·宿迁月考）已知点P（2，4），Q（1，6），向量 ＝
（2，λ），若 · ＝0，则实数λ＝（　　）
C. 2 D. 1
解析： 　由P（2，4），Q（1，6）可得 ＝（－1，2），
又 ＝（2，λ），所以 · ＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.
故选D.
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3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状
是（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析： 　∵ ＝（8，－4）， ＝（2，4），∴ · ＝
8×2＋（－4）×4＝0，∴ ⊥ ，∴△ABC是直角三角形.故
选A.
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4. （2024·镇江月考）已知 ＝（－3，－2）， ＝（m，1），
＝3，则 · ＝（　　）
A. 7 B. －7
C. 15 D. －15
解析： 　依题意可得 ＝（3，2）， ＝ ＋ ＝（3，2）
＋（m，1）＝（3＋m，3）， ＝ ＝3，解得
m＝－3，所以 ＝（－3，1）， · ＝（3，2）·（－3，1）
＝－9＋2＝－7，故选B.
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5. （多选）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），则下列结论正确的
是（　　）
B. 若a⊥b，则m＝2
C. 若｜a｜＝｜b｜，则m＝2
√
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解析： 　若｜b｜＝2，则 ＝4，解得m＝± ，所以
A错误；若a⊥b，则m－2＝0，解得m＝2，所以B正确；若｜
a｜＝｜b｜，则 ＝ ，解得m＝2或m＝－2，所以C错
误；若m＝－3，则b＝（－3，－1），设向量a与b的夹角为θ，
可得 cos θ＝ ＝ ＝－ ，因为θ∈[0，π]，所以
θ＝ ，所以D正确.故选B、D.
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6. （多选）角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P
在α的终边上，点Q（－3，－4），且tan α＝－2，则 与
夹角的余弦值可能为（　　）
√
√
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解析： 　∵tan α＝－2，∴可设P（x，－2x）， 与 的
夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，当x＞0时，
cos θ＝ ，当x＜0时， cos θ＝－ .故选A、C.
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7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m
＝ .
解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要
条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
－1　
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8. 已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为 ，且m·n＝
－1，则｜n｜＝ .
解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1.
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9. （2024·扬州质检）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a与b
的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围是
.
解析：｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝λ－1.又∵a，b的
夹角α为钝角，∴即∴λ
＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）.
（－∞，－1）∪（－
1，1）　
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10. 在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，－2），B（2，3），C
（－2，－1）.
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
解： 由题设知 ＝（3，5）， ＝（－1，1），
则 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）.
所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 .
故所求的两条对角线的长分别为2 ，4 .
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（2）设实数t满足（ －t ）· ＝0，求t的值.
解： 由题设知， ＝（－2，－1）， －t ＝
（3＋2t，5＋t），
由（ －t ）· ＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－
1）＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－ .
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11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n·
＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －2或2 D. 0
解析： 　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即
n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2.
√
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12. （2024·淮安月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC
＝2，点E在边CD上，且 ＝2 ，则 · ＝（　　）
√
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解析： 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所
在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB
＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C
（ ，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且
＝2 ，∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），∴ · ＝－ ＋4＝ .
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13. 已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x
轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标为
.
解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2），
＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×
（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， ·
有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
（3，
0）　
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14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2 ，且c与a 方向相反，求c的坐标；
解： 设c＝（x，y），由c与a方向相反及｜c｜＝
2 ，可没c＝λa（λ＜0）.得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以所以c＝（－2，－4）.
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（2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解： 因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2× ＝0，
所以a·b＝－ ，
所以 cos θ＝ ＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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15. （2024·南京质检）已知a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β，
sin β），且｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜（k＞0）.
（1）用k表示数量积a·b；
解： 由｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜，得（ka＋b）2
＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），所
以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝ ＝ .
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（2）求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角.
解： 由（1）得a·b＝ ＝ （k＋ ）.
令f（k）＝ （k＋ ），
由函数的单调性，得f（k）＝ （k＋ ）在（0，1]上单调
递减，在（1，＋∞）上单调递增，
所以当k＝1时，f（k）min＝f（1）＝ ×（1＋1）＝ .
设此时a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，所以θ
＝60°.
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