资源简介

9.3.3　向量平行的坐标表示
1.下列各组向量中，共线的是（　　）
A.a＝（－1，2），b＝（，1）
B.a＝（3，），b＝（2，）
C.a＝（2，3），b＝（2，－3）
D.a＝（－3，2），b＝（3，－2）
2.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－2b），则＝（　　）
A.－2 B.2
C.－ D.
3.已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·常州月考）已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝（　　）
A.－ B.1
C.－或1 D.－1或
5.（多选）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中正确的是（　　）
A.不存在实数x，使a∥b
B.存在实数x，使（a＋b）∥a
C.存在实数x，m，使（ma＋b）∥a
D.存在实数x，m，使（ma＋b）∥b
6.（多选）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a－2b共线，则下列结论正确的是（　　）
A.t＝ B.＝
C.a·b＝－ D.a∥b
7.（2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方向相同，则实数m＝　　　　.8.已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜｜＝　　　　.
9.（2024·南通质检）已知向量＝（3，－4），＝（0，－3），＝（5－m，－3－m），若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为　　　　.
10.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）.
（1）若＝，求D点的坐标；
（2）设向量a＝，b＝，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的值.
11.（2024·盐城月考）已知a＝（－2，1－cos θ），b＝，且a∥b，则锐角θ＝（　　）
A.45° B.30°
C.60° D.15°
12.（多选）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正确的是（　　）
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影向量为b
C.2m＋n＝4
D.mn的最大值为2
13.设＝（－2，4），＝（－a，2），＝（b，0），a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　　　.
14.（2024·镇江月考）已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R.
（1）若x∈，a∥（b＋c），求x的值；
（2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
15.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝（4，0），＝（2，2），＝（1－λ）＋λ（λ2≠λ）.
（1）求·及在上的投影向量；
（2）证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
（3）求｜｜的最小值.
9.3.3　向量平行的坐标表示
1.D　选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b.
2.C　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0.所以＝－.故选C.
3.C　因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则（b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为.
4.A　＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）.
5.AD　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.故选A、D.
6.BCD　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－，则＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D.
7.　解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝－2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－a，a与b方向相反，不符合题意；当m＝时，a＝（，2），b＝（3，4）＝2a，a与b方向相同，符合题意.故实数m的值为.
8.8　解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量＝（y－x，x－y）＝（－8，8），＝8.
9.　解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，∴与共线.又＝（－3，1），＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝.
10.解：（1）设D（x，y）.因为＝，所以（2，－2）－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
（2）因为a＝＝（1，－5），b＝＝（4，1）－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－.
11.A　由a∥b，得－2×－（1－cos θ）（1＋cos θ）＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sin θ＝±，又θ为锐角，∴sin θ＝，θ＝45°，故选A.
12.CD　对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝，｜b｜＝，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜··＝b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝（2m·n）≤＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D.
13.　解析：由题意，得＝－＝（－a＋2，－2），＝－＝（b＋2，－4）.又∥，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以＋＝（2a＋b）·＝≥·＝，当且仅当b＝a时等号成立，即＋的最小值为.
14.解：（1）因为b＋c＝（sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈，所以x＝－.
（2）a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5.
由sin x∈，可得k∈，
所以存在k∈，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
15.解：（1）·＝4×2＋0×2＝8，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴在上的投影向量为｜｜·cos θ＝4××＝（1，）.
（2）∵＝－＝（－2，2），
＝－＝（1－λ）－（1－λ）
＝（λ－1），且λ2≠λ，
∴A，B，C三点共线.
当＝时，λ－1＝1，∴λ＝2.
（3）｜｜2＝（1－λ）2＋2λ（1－λ）·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，
∴当λ＝时，｜｜取得最小值2.
2 / 29.3.3　向量平行的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算
2.会用坐标表示平面向量共线的条件解决问题 逻辑推理
　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满足关系x1x2＋y1y2＝0.
【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？
（2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量平行的坐标表示
　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则a∥b 　　　　　　.
提醒　（1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
【想一想】
两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？
1.（多选）下列说法中，正确的是（　　）
A.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则＝
B.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1
C.向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向
D.若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b
2.若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是（　　）
A.（2，1）　　　　　　　　　 B.（－1，2）
C.（6，10） D.（－6，10）
3.（2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－9），且∥，则x＝　　　　.
题型一 向量共线的判定与证明
【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　）
A.a＝，b＝（－2，－3）
B.a＝（0.5，4），b＝（－8，64）
C.a＝（2，3），b＝（3，4）
D.a＝（2，3），b＝
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？
通性通法
向量共线的判定与证明的方法
（1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b；
（2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
【跟踪训练】
　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C（1，2），且＝，＝，求证：∥.
题型二 利用向量共线求参数
【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值；
（2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求x.
通性通法
利用向量共线的坐标表示求参数的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数；
（2）利用向量共线的坐标表示直接求参数.
提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解.
【跟踪训练】
　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足＝＋t（t∈R）.
（1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？
（2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由.
题型三 坐标法判断三点共线问题
【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
（1）DE∥BC；
（2）D，M，B三点共线.
通性通法
1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两个向量有公共点.
2.若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线.
【跟踪训练】
　已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.－ D.－
1.已知向量a＝（cos α，－2），b＝（sin α，1）且a∥b，则tan α＝（　　）
A.－1 B.－
C. D.1
2.设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且＝10，则向量b的坐标为（　　）
A. B.（－6，8）
C. D.（6，－8）
3.（2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝　　　　.
4.已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，求：
（1）实数x，y的值；
（2）｜a＋b｜的值.
9.3.3　向量平行的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点
　x1y2－x2y1＝0
想一想
　提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义.
自我诊断
1.BD　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选B、D.
2.C　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝（6，10）.故选C.
3.3　解析：＝（1，－5），＝（x－1，－10），根据∥，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　A：×（－3）－×（－2）＝－＋＝0，∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行.
（2）解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和 方向相反.
法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反.
跟踪训练
　证明：由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1），
∴＝＝，＝＝，
设点E（x1，y1），F（x2，y2）.
∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝，＝（x2，y2）－（3，－1）＝.
∴（x1，y1）＝，（x2，y2）＝，
∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝.
∵4×－（－1）×＝0，∴∥.
【例2】　解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），
2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），
可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝.
（2）∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b，
∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2.
当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相同；
当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2），
a与b共线且方向相反.∴x＝2.
跟踪训练
　解：（1）＝＋t＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋3t， 2＋3t）.
如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－；
如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－.
（2）假设四边形OABP为平行四边形，则有＝.
又因为＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3），
所以此方程组无解，
故四边形OABP不能构成平行四边形.
【例3】　证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形.
∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）.
（1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴＝，∴∥，即DE∥BC.
（2）连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M，
∴＝（－1，1）－＝，＝（1，0）－＝.
∴＝－，∴∥.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线.
跟踪训练
　D　＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D.
随堂检测
1.B　因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－.故选B.
2.D　由题意不妨设b＝（－3m，4m）（m＜0），则＝＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以b＝（6，－8）.故选D.
3.1　解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1.
4.解：（1）由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2.
由b∥c得－4＝2y，则y＝－2.
（2）｜a＋b｜＝＝.
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9.3.3　
向量平行的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算
2.会用坐标表示平面向量共线的条件解
决问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，
y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满
足关系x1x2＋y1y2＝0.
【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？
（2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
知识点　向量平行的坐标表示
　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则
a∥b .
x1y2－x2y1＝0　
提醒　（1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a
与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a
＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数
λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝ ，其中a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通
过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
【想一想】
两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成
＝ 吗？
提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义.
1. （多选）下列说法中，正确的是（　　）
A. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则 ＝
B. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1
C. 向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向
D. 若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b
解析： 　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向
量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选
B、D.
√
√
2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是
（　　）
A. （2，1） B. （－1，2）
C. （6，10） D. （－6，10）
解析： 　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝ （6，10）.
故选C.
√
3. （2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－
9），且 ∥ ，则x＝ .
解析： ＝（1，－5）， ＝（x－1，－10），根据
∥ ，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3.
3　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量共线的判定与证明
【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　）
A. a＝ ，b＝（－2，－3）
B. a＝（0.5，4），b＝（－8，64）
C. a＝（2，3），b＝（3，4）
D. a＝（2，3），b＝
√
解析： 　A： ×（－3）－ ×（－2）＝－ ＋ ＝0，
∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b
不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：
2×2－3× ＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行.
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），
判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是
相反？
解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝
（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 与 共线，通过观察
可知， 和 方向相反.
法二　∵ ＝－2 ，∴ 与 共线且方向相反.
通性通法
向量共线的判定与证明的方法
（1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b；
（2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
【跟踪训练】
　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C
（1，2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ .
证明：由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1），
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
设点E（x1，y1），F（x2，y2）.
∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝ ， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝ .
∴（x1，y1）＝ ，（x2，y2）＝ ，
∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝ .
∵4× －（－1）× ＝0，
∴ ∥ .
题型二 利用向量共线求参数
【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b
＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值；
解： a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），
2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），
可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝ .
（2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求
x.
解： ∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b，
∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2.
当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相
同；
当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2），
a与b共线且方向相反.∴x＝2.
通性通法
利用向量共线的坐标表示求参数的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数；
（2）利用向量共线的坐标表示直接求参数.
提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解.
【跟踪训练】
　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足 ＝
＋t （t∈R）.
（1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？
解： ＝ ＋t ＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋
3t， 2＋3t）.
如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－ ；
如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－ .
（2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不
能，请说明理由.
解： 假设四边形OABP为平行四边形，则有 ＝ .
又因为 ＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3），
所以此方程组无解，
故四边形OABP不能构成平行四边形.
题型三 坐标法判断三点共线问题
【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝
2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证
明：
（1）DE∥BC；
（1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，
1）， ＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），
∴ ＝ ，∴ ∥ ，即DE∥BC.
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x
轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形.
∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）.
（2）D，M，B三点共线.
证明：连接MB，MD. ∵M为CE的中点，
∴M ，
∴ ＝（－1，1）－ ＝ ，
＝（1，0）－ ＝ .
∴ ＝－ ，∴ ∥ .
又 与 有公共点M，∴D，M，B三点共线.
通性通法
1. 三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向
相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平
行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两
个向量有公共点.
2. 若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线.
【跟踪训练】
　已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1，
2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　 ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共
线，所以 与 共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－ .
故选D.
√
1. 已知向量a＝（ cos α，－2），b＝（ sin α，1）且a∥b，则tan
α＝（　　）
A. －1 B. －
C. D. 1
解析： 因为a∥b，所以 cos α＋2 sin α＝0，所以tan α＝－
.故选B.
√
2. 设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且 ＝10，则
向量b的坐标为（　　）
A. B. （－6，8）
C. D. （6，－8）
解析： 　由题意不妨设b＝（－3m，4m）（m＜0），则 ＝
＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以
b＝（6，－8）.故选D.
√
3. （2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8， ），C（9，
λ），且A，B，C三点共线，则λ＝ .
解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝
（7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得
∥ ，则7（λ＋3）－8× ＝0，解得λ＝1.
1　
4. 已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且
a⊥c，b∥c，求：
（1）实数x，y的值；
解： 由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2.
由b∥c得－4＝2y，则y＝－2.
（2）｜a＋b｜的值.
解： ｜a＋b｜＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列各组向量中，共线的是（　　）
A. a＝（－1，2），b＝（ ，1）
B. a＝（3， ），b＝（2， ）
C. a＝（2，3），b＝（2，－3）
D. a＝（－3，2），b＝（3，－2）
√
解析： 　选项A中，2× －（－1）×1≠0，则a与b不共线；同
理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）
＝0，则有a∥b.
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2. 已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－
2b），则 ＝（　　）
A. －2 B. 2
C. － D.
解析： 　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝
（4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）
－4（3m＋2n）＝0.所以 ＝－ .故选C.
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3. 已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若
a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝
（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则
（b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为 .
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4. （2024·常州月考）已知 ＝（k，2）， ＝（1，2k）， ＝
（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝（　　）
A. － B. 1
C. － 或1 D. －1或
解析： 　 ＝ － ＝（1－k，2k－2）， ＝ － ＝
（1－2k，－3），由题意可知 ∥ ，所以（－3）×（1－k）
－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－ （k＝1不合题意舍去）.
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5. （多选）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中
正确的是（　　）
A. 不存在实数x，使a∥b
B. 存在实数x，使（a＋b）∥a
C. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥a
D. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥b
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解析： 　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝
（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）
＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m
＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，
即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m
＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，
x∈R，故D正确.故选A、D.
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6. （多选）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a
－2b共线，则下列结论正确的是（　　）
A. t＝ B. ＝
C. a·b＝－ D. a∥b
√
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解析： 　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋
1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－
8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－
2t）＝0，得到t＝－ ，则 ＝ ＝ ，a·b＝－ －2＝－
，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D.
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7. （2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方
向相同，则实数m＝ .
解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m
＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝ .当m＝－
2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－ a，a与b方向相反，
不符合题意；当m＝ 时，a＝（ ，2），b＝（3，4）＝2a，a
与b方向相同，符合题意.故实数m的值为 .
　
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8. 已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，
（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜
｜＝ .
解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝
（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－
c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所
以y＝－4.所以向量 ＝（y－x，x－y）＝（－8，8），
＝8 .
8 　
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9. （2024·南通质检）已知向量 ＝（3，－4）， ＝（0，－
3）， ＝（5－m，－3－m），若点A，B，C不能构成三角
形，则实数m的值为 .
解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，
∴ 与 共线.又 ＝（－3，1）， ＝（5－m，－m），
∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝ .
　
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10. 设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－
2），C（4，1）.
（1）若 ＝ ，求D点的坐标；
解： 设D（x，y）.因为 ＝ ，所以（2，－2）
－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝
（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
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（2）设向量a＝ ，b＝ ，若向量ka－b与a＋3b平行，求
实数k的值.
解： 因为a＝ ＝（1，－5），b＝ ＝（4，1）
－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－
3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－ .
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11. （2024·盐城月考）已知a＝（－2，1－ cos θ），b＝ ，且a∥b，则锐角θ＝（　　）
A. 45° B. 30°
C. 60° D. 15°
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解析： 　由a∥b，得－2× －（1－ cos θ）（1＋ cos
θ）＝0，即 ＝1－ cos 2θ＝ sin 2θ，得 sin θ＝± ，又θ为
锐角，∴ sin θ＝ ，θ＝45°，故选A.
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12. （多选）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－
2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正
确的是（　　）
A. a与b的夹角为钝角
B. 向量a在b方向上的投影向量为 b
C. 2m＋n＝4
D. mn的最大值为2
√
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解析： 对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝
2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝
（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝ ，｜b｜＝
，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜· · ＝
b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－
b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝
2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝ （2m·n）≤ ＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D.
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13. 设 ＝（－2，4）， ＝（－a，2）， ＝（b，0），a＞
0，b＞0，若A，B，C三点共线，则 ＋ 的最小值
是 .
　
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解析：由题意，得 ＝ － ＝（－a＋2，－2）， ＝
－ ＝（b＋2，－4）.又 ∥ ，所以－4（－a＋2）＝－2
（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以 ＋ ＝ （2a＋b）·
＝ ≥ · ＝ ，当且仅当b＝ a
时等号成立，即 ＋ 的最小值为 .
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14. （2024·镇江月考）已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－
2），c＝（ sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R.
（1）若x∈ ，a∥（b＋c），求x的值；
解： 因为b＋c＝（ sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ .
又x∈ ，所以x＝－ .
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（2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求
出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
解： a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－
1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5.
由 sin x∈ ，可得k∈ ，
所以存在k∈ ，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
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15. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ＝（4，0），
＝（2，2 ）， ＝（1－λ） ＋λ （λ2≠λ）.
（1）求 · 及 在 上的投影向量；
解： · ＝4×2＋0×2 ＝8，
设 与 的夹角为θ，
则 cos θ＝ ＝ ＝ ，
∴ 在 上的投影向量为｜ ｜ cos θ ＝4×
× ＝（1， ）.
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（2）证明A，B，C三点共线，且当 ＝ 时，求λ的值；
解： ∵ ＝ － ＝（－2，2 ），
＝ － ＝（1－λ） －（1－λ）
＝（λ－1） ，且λ2≠λ，
∴A，B，C三点共线.
当 ＝ 时，λ－1＝1，∴λ＝2.
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（3）求｜ ｜的最小值.
解： ｜ ｜2＝（1－λ）2 ＋2λ（1－λ）
· ＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16 ＋12，
∴当λ＝ 时，｜ ｜取得最小值2 .
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